Quaternions et arithmétique sur les quaternions entiers Julie Raniolo décembre 2016 Université de Fribourg Département de Mathématiques Semestre d'automne 2016 Responsable : Dr. Corina Ciobotaru 1 Table des matières 1 Introduction 2 Quaternions et arithmétique sur les quaternions entiers 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 Dénition 1 (quaternions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénitions 2 (conjugué et norme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proposition 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénitions 4 (impair/pair, premier, associé et diviseur à droite) Proposition 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme 6 (Algorithme d0 Euclide à droite) . . . . . . . . . . . . . Dénition 7 (pgdc à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème 9 (existence du pgdc à droite) . . . . . . . . . . . . . . Lemme 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corollaire 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corollaire 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 4 4 4 5 6 6 6 6 6 6 7 8 1 Introduction Ce chapitre du proséminaire sur les graphes expanseurs porte sur les quaternions, en particulier sur les quaternions entiers. Une dénition de l'algèbre des quaternions sur un anneau commutatif unitaire va être donnée, puis l'intérêt se portera sur les propriétés des quaternions entiers. Certaines propriétés sont modiées car l'aglèbre des quaternions n'est pas commutative. Enn, on atteindra l'objectif de ce chapitre qui est de montrer que chaque nombre naturel est une somme de quatre carrés. 2 Quaternions et arithmétique sur les quaternions entiers Soit R un anneau commutatif unitaire. 2.1 Dénition 1 (quaternions) L'algèbre des quaternions sur R, H (R), est une algèbre associative unitaire ayant les propriétés suivantes : 1. 2. 3. 4. H (R) est un R-module libre sur les symboles 1, i, j, k, c'est-à-dire H (R) = {a0 + a1 i + a2 j + a3 k | ai ∈ R}. 1 est l'élément neutre de la multiplication. i2 = j 2 = k 2 = −1 ij = −ji = k jk = −kj = i ki = −ik = j Remarques H (R) n'est pas commutative. On le voit directement avec k = ij 6= ji = −k . Une algèbre sur un corps K est une structure algébrique (A, +, ·, ×) t.q. 1. (A, +, ·, ×) est un espace vectoriel sur K, 2. la loi × est dénie de A × A dans A, 3. la loi × est bilinéaire. Un exemple d'algèbre est C. 2.2 Dénitions 2 (conjugué et norme) Soit q = ao + a1 i + a2 j + a3 k un quaternion. Son est déni par q̄ = ao − a1 i − a2 j − a3 k . Sa est dénie par N (q) = q q̄ = q̄q = a2o + a21 + a22 + a23 . La norme quaternionique est multiplicative, c'est-à-dire que pour q1 et q2 ∈ H (R), on a N (q1 q2 ) = N (q1 ) N (q2 ) . conjugué norme Exemple : Soient q1 , q2 ∈ H (Z). q1 = 1 + 2i + 3j + 4k , q2 = 5 + 6i + 7j + 8k q1 q2 = −60 + 12i + 30j + 24k N (q1 q2 ) = (−60)2 + 122 + 302 + 242 = 5220 N (q1 ) = 12 + 22 + 32 + 42 = 30 N (q2 ) = 52 + 62 + 72 + 82 = 174 N (q1 ) N (q2 ) = 30 · 174 = 5220 ⇒ N (q1 q2 ) = N (q1 ) N (q2 ) 3 2.3 Proposition 3 Soit q = pk avec p un nombre premier impair et k ∈ N. Alors, il existe x, y ∈ Fq t.q. x2 + y 2 + 1 = 0. Exemples Dans F3 : 12 + 22 + 1 = 0. Dans F9 : 12 + 52 + 1 = 0. A partir de maintenant, on se restreint aux quaternions entiers, c'est-à-dire à H (Z). Soit U (H (Z)) le groupe des unités dans H (Z). U (H (Z)) = {±1, ±i, ±j, ±k}. 2.4 Dénitions 4 (impair/pair, premier, associé et diviseur à droite) Soit q ∈ H (Z). q est dit (resp.pair) si N (q) est impaire (resp.paire). q est dit si impair premier 1. q ∈ / U (H (Z)) 2. q = α · β ⇒ α ou β ∈ U (H (Z)). associés Deux quaternions q1 et q2 ∈ H (Z) sont s'il existe 1 , 2 ∈ U (H (Z)) t.q. q1 = 1 · q2 · 2 . δ ∈ H (Z) est un de q ∈ H (Z) s'il existe γ ∈ H (Z) t.q. q = γ · δ . Exemples diviseur à droite q = 1 + 2i + 3j + 4k ⇒N (q) = 12 + 22 + 32 + 42 = 30 ⇒ q est pair. q1 = 1 + 2i + 3j + 4k , q2 = −2 + i − 4j + 3k ⇒ q1 et q2 sont associés car q2 = i · q1 · 1. q1 est un diviseur à droite de q2 car q2 = i · q1 . Remarques N () = 1 pour tout ∈ U (H (Z)). ⇒ ”être associés” dénit une relation d'équivalence qui préserve les propriétés arithmétiques (pair/impair, premier, unité, ...). La dénition de premier et irréductible ne sont pas équivalentes dans H (Z) car H (Z) n'est pas commutative. Un diviseur à droite de xy n'est en général pas un diviseur à droite de x. 2.5 Proposition 5 Chaque quaternion α ∈ H (Z) est un produit de quaternions premiers. Preuve par induction sur N (α) Hypothèse : tout quaternion est un produit de quaternions premiers. Si N (α) = 1, cela signie que α est une unité (cf. remarque ci − dessus). Il n'y a donc rien à montrer. On prend donc le cas où N (α) > 1. On suppose que l'hypothèse est vraie pour tout quaternion de norme < N (α) Si α est premier, il n'y a rien à montrer. Si α n'est pas premier ⇒ α = β · γ où β et γ ∈ / U (H (Z)) ⇒ N (β) < N (α) et N (γ) < N (α) ⇒ L'hypothèse est vraie pour β et γ , c-à-d que β et γ sont des produits de quaternions premiers. ⇒ α est aussi un produit de quaternions premiers. 4 Remarque On a aussi une telle factorisation dans Z qui est unique à associés près. Dans H (Z), elle n'est pas forcément unique. Ex : 13 = (1 + 2i + 2j + 2k) (1 − 2i − 2j − 2k) = (3 + 2i) (3 − 2i) L'algorithme d'Euclide existe aussi dans H (Z). Cependant, il est un peu modié. On se restreint à la multiplication à droite et à β impair. On trouve un résultat analogue pour la multiplication à gauche, pour γ 0 ,δ 0 ∈ H (Z) t.q. α = β · γ 0 + δ 0 et N (δ 0 ) < N (β). γ 0 et δ 0 ne sont pas forcément les mêmes que γ et δ du lemme ci-dessous. 2.6 Lemme 6 (Algorithme d0 Euclide à droite) Soient α, β ∈ H (Z) t.q. β est impair. Alors, il existe γ, δ ∈ H (Z) t.q. α = γ · β + δ et N (δ) < N (β). On va d'abord montrer une armation qui va nous être utile pour la preuve. Armation Soit σ = s0 + s1 i + s2 j + s3 k ∈ H (Z). Soit m un nombre entier impair et positif. Alors, il existe γ ∈ H (Z) t.q. N (σ − γ · m) < m2 . Preuve de l'armation ∀si ∃ri ∈ Z t.q. mri − m/2 < si < mri + m/2. On a une inégalité stricte car m est impair. On pose : si = mri + ti t.q. |ti | < m/2, γ = r0 + r1 i + r2 j + r3 k . ⇒ σ − γ · m = s0 + s1 i + s2 j + s3 k − mro − mr1 i − mr2 j − mr3 k = mro + t0 + mr1 i + t1 i + mr2 j + t2 j + mr3 k + t3 k − mr0 − mr1 i − mr2 j − mr3 k = to + t1 i + t2 j + t3 k ⇒ N (σ − γ · m) = t20 + t21 + t22 + t23 < 4 · (m/2)2 = m2 car |ti | < m/2 Preuve du lemme Pour la preuve du lemme, il sut de poser : m = N (β) = β β̄ , m est bien impair car β est impair par hypothèse, σ = αβ̄ . Par l'armation au-dessus, il existe γ ∈ H (Z) t.q. N (σ − γ · m) < m2 . m2 = N (β)2 = N (β) N β̄ N (σ − γ · m) = N αβ̄ − γ · β β̄ =N (α − γβ) N β̄ ⇒ N (β) N β̄ > N (α − γβ) N β̄ ⇒ N (β) > N (α − γβ) On pose δ = α − γβ . ⇒ N (β) > N (δ) et α = γβ + δ . 5 2.7 Dénition 7 (pgdc à droite) Soient α, β ∈ H (Z). δ ∈ H (Z) est dit (pgdc) 1. Si δ est un diviseur à droite de α et de β , 2. Si δ0 ∈ H (Z) est un diviseur à droite de α et β , alors δ0 est un diviseur à droite de δ . On écrit δ = (α, β)r . S'il existe, δ = (α, β)r est unique à associés près. le plus grand diviseur commun à droite de α et β Les résultats suivants ne vont pas être prouvés, mais ils vont nous être utiles pour la preuve d'un théorème et de corollaires importants. 2.8 Lemme 8 Soit α ∈ H (Z). Alors, il existe une factorisation unique α = 2k · π · α0 , avec k ∈ N, π ∈ {1, 1 + i, 1 + j, 1 + k, (1 + i) (1 + j) , (1 + i) (1 − k)} et α0 ∈ H (Z) impair. 2.9 Théorème 9 (existence du pgdc à droite) Soient α, β ∈ H (Z) t.q. β est impair. Alors, (α, β)r existe. Remarque On a la version suivante de la relation de Bézout : ∃γ, δ ∈ H (Z [1/2]) t.q. (α, β)r = γα + δβ , où Z [1/2] = {k/2n |k ∈ Z, n ∈ N} . 2.10 Lemme 10 Soit α ∈ H (Z) et m ∈ Z impair. (m, α)r = 1 ⇐⇒ (m, N (α))r = 1 2.11 Lemme 11 Hypothèses : p ∈ N premier et impair, α ∈ H (Z) t.q. p ne divise pas α, mais p divise N (α), (α, p)r = δ . Armation : δ est premier dans H (Z) et N (δ) = p. Remarque Ce lemme nous dit que si N (δ) est premier Z, alors δ est premier dans H (Z). 2.12 Théorème 12 Pour tout p ∈ N premier impair, il existe δ ∈ H (Z) premier t.q. N (δ) = p = δ δ̄ . En d'autres termes, p n'est pas premier dans H (Z). Preuve Par la proposition 3, on sait qu'il existe x, y ∈ Z t.q. 1 + x2 + y 2 ≡ 0 mod p. On pose α = 1 + xi + yj . ⇒ p ne divise pas α, mais p |N (α) = 1 + x2 + y 2 . On peut utiliser le lemme 11 qui nous dit que δ = (α, p)r est premier dans H (Z) et que N (δ) = p. ⇒ δ est le quaternion premier recherché. 6 2.13 Corollaire 13 δ ∈ H (Z) est premier ⇐⇒ N (δ) est premier dans Z Preuve ⇐ : Soit N (δ) = p t.q. p est un nombre premier dans Z. Comme chaque quaternion peut être écrit comme le produit de quaternions premiers, on peut écrire δ = xy . On prend la norme N (δ) = N (x) N (y) = p. Comme p est premier ⇒ N (x) = 1 ou N (y) = 1 ⇒ x ou y ∈ U (H (Z)) ⇒ δ est premier dans H (Z) ⇒ : On distingue deux cas : δ est pair : Par le lemme 8, on a δ = 2k · π · δ0 , où k ∈ N, π ∈ {1, 1 + i, 1 + j, 1 + k, (1 + i) (1 + j) , (i + 1, ) (1 − k)} et δ0 impair. 2 n'est pas premier dans H (Z) car 2 = (1 + i) (1 − i) . ⇒ k = 0 car δ ∈ H (Z) est premier par hypothèse. ⇒ δ = π · δ0 Comme δ est premier et pair, on a 1. soit π ∈ U (H (Z)) et δ0 pair, 2. soit δ0 ∈ U (H (Z)) et π pair. Comme δ0 est impair par hypothèse, on a la deuxième possibilité. ⇒ N (δ0 ) = 1 et π ∈ {1 + i, 1 + j, 1 + k} ⇒ N (δ) = N (π) N (δ0 ) = 2 · 1 = 2 2 est bien premier dans Z. δ est impair : Soit p ∈ N un nombre premier qui divise N (δ). A montrer : N (δ) = p. Soit α = (p, δ)r . ⇒ δ = γα pour un certain γ ∈ H (Z) Par le lemme 10, on a (N (δ) , p)r 6= 1 car N (δ) divise p ⇒ (δ, p)r 6= 1 donc α ∈ / U (H (Z)). Comme δ est premier dans H (Z) par hypothèse ⇒ γ ∈ U (H (Z)) ⇒ α et δ sont associés ⇒ δ est un diviseur à droite de p, p = ψδ pour un certain ψ ∈ H (Z). On prend la norme N (p) = p2 = N (ψ) N (δ) Comme p divise N (δ) par hypothèse, on a p = N (ψ) (N (δ) /p). Comme p est premier, on a N (ψ) = 1 ou (N (δ) /p) = 1. Si N (ψ) = 1, alors p et δ sont associés. ⇒ p est premier dans H (Z). Ceci contredit le théorème 12 qui dit que si p ∈ N est premier, alors p n'est pas premier dans H (Z). ⇒ (N (δ) /p) = 1 et donc N (δ) = p. 7 2.14 Corollaire 14 Chaque nombre naturel est une somme de quatre carrés. Preuve Soit n ∈ N. Pour n = 0 et n = 1, le résultat est clair. On prend donc n ≥ 2. Soit n = 2ro · pr11 · ... · prkk la factorisation de n en nombres premiers t.q. pi impairs ∀i. Par le théorème 12, il existe δi ∈ H (Z) t.q. pi = N (δi ) = δi δ¯i et 2 = (1 + i) (1 − i) = N (1 + i). ⇒ n = N ((1 + i))r0 N (δ1 )r1 ...N (δk )rk = N ((1 + i)r0 ) N (δ1r1 ) ...N δkrk = N (1 + i)ro · δ1r1 · ... · δkrk par la multiplicativité de la norme quaternionique. Comme la norme est une somme de quatre carrés (cf. Déf inition 2), alors n est aussi une norme de quatre carrés. 8