Quaternions et arithmétique sur les quaternions entiers

(quaternions)
(conjugu´e et norme)
(impair/pair, premier, associ´e et diviseur `a droite)
(Algorithme d0Euclide `a droite)
(pgdc `a droite)
(existence du pgdc `a droite)

(quaternions)
H(R)
H(R)H(R) = {a0+a1i+a2j+a3k|ai∈R}
i2=j2=k2=−1
ij =−ji =k
jk =−kj =i
ki =−ik =j
H(R)k=ij 6=ji =−k
(A, +,·,×)
(A, +,·,×)
×A×A
×
C
(conjugu´e et norme)
q=ao+a1i+a2j+a3k
¯q=ao−a1i−a2j−a3k
N(q) = q¯q= ¯qq =a2
o+a2
1+a2 2+a2 3
q1q2∈H(R)
N(q1q2) = N(q1)N(q2).
q1, q2∈H(Z)
q1= 1 + 2i+ 3j+ 4k q2= 5 + 6i+ 7j+ 8k
q1q2=−60 + 12i+ 30j+ 24k
N(q1q2) = (−60)2+ 122+ 302+ 242= 5220
N(q1)=12+ 22+ 32+ 42= 30
N(q2)=52+ 62+ 72+ 82= 174
N(q1)N(q2) = 30 ·174 = 5220
⇒N(q1q2) = N(q1)N(q2)

q=pkp∈N
∈Fqx2+y2+ 1 = 0
F312+ 22+ 1 = 0
F912+ 52+ 1 = 0
H(Z)
U(H(Z)) H(Z)
U(H(Z)) = {±1,±i, ±j, ±k}
(impair/pair, premier, associ´e et diviseur `a droite)
q∈H(Z)
q(resp.pair)N(q) (resp.paire)
q
q /∈U(H(Z))
q=α·β⇒α β ∈U(H(Z))
q1q2∈H(Z)1, 2∈U(H(Z)) q1=1·q2·2
δ∈H(Z)q∈H(Z)γ∈H(Z)q=γ·δ
q= 1 + 2i+ 3j+ 4k⇒N(q)=12+ 22+ 32+ 42= 30 ⇒q
q1= 1 + 2i+ 3j+ 4k q2=−2 + i−4j+ 3k⇒q1q2q2=i·q1·1
q1q2q2=i·q1
N()=1 ∈U(H(Z))
⇒”ˆetre associ´es”
(pair/impair, premier, unit´e, ...)
H(Z)H(Z)
xy x
α∈H(Z)
N(α)
N(α)=1 α(cf. remarque ci −dessus)
N(α)>1
N(α)
α
α⇒α=β·γ β γ /∈U(H(Z))
⇒N(β)< N (α)N(γ)< N (α)
⇒β γ `a β γ
⇒α

Z
H(Z)
13 = (1 + 2i+ 2j+ 2k) (1 −2i−2j−2k) = (3 + 2i) (3 −2i)
H(Z)
β
γ0δ0∈H(Z)
α=β·γ0+δ0N(δ0)< N (β)γ0δ0γ δ
(Algorithme d0Euclide `a droite)
α, β ∈H(Z)β
γ, δ ∈H(Z)α=γ·β+δ N (δ)< N (β)
σ=s0+s1i+s2j+s3k∈H(Z)
m
γ∈H(Z)N(σ−γ·m)< m2
∀si∃ri∈Zmri−m/2< si< mri+m/2
si=mri+ti|ti|< m/2
γ=r0+r1i+r2j+r3k
⇒σ−γ·m=s0+s1i+s2j+s3k−mro−mr1i−mr2j−mr3k
=mro+t0+mr1i+t1i+mr2j+t2j+mr3k+t3k−mr0−mr1i−mr2j−mr3k
=to+t1i+t2j+t3k
⇒N(σ−γ·m) = t2
0+t2 1+t2 2+t2 3<4·(m/2)2=m2|ti|< m/2
m=N(β) = β¯ β β
σ=α¯ β
γ∈H(Z)N(σ−γ·m)< m2
m2=N(β)2=N(β)N¯ β
N(σ−γ·m) = Nα¯ β−γ·β¯ β=N(α−γβ)N¯ β
⇒N(β)N¯ β> N (α−γβ)N¯ β
⇒N(β)> N (α−γβ)
δ=α−γβ
⇒N(β)> N (δ)α=γβ +δ