Corrigé contrôle continu

STID MATHS221B - Algèbre
Corrigé
contrôle continu
1.
a) Etant données deux matrices A et B, à quelle condition peut-on multiplier A par B ?
On peut-on multiplier A par B si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de
B.
b) Lorsque le calcul du produit AB est possible, quels sont les nombres de lignes et colonnes
de AB ?
Lorsque le calcul du produit AB est possible, le nombres de lignes de AB est celui de A, et le
nombre de colonnes de AB est celui de B.
c) A et B sont deux matrices carrées. L’identité remarquable A 2 B 2
A B A B est
valable pour des nombres réels, mais pas toujours pour des matrices. Quelle propriété doivent
vérifier les matrices A et B pour que cette identité soit vraie ?
A B A B
AA AB BA BB A 2 B 2 AB BA.
L’identité remarquable est vraie si AB BA 0, c’est à dire lorsque les matrices A et B
commutent par multiplication (AB BA).
1
2. Soient les vecteurs x 1
4
et x 3
1
2
1
a) Calculer la ”longueur” des deux vecteurs x 1 et x 2 .
Longueurs de x 1 et x 2 :
x1
12 02
2 2
1
0
, x2
0
3
42 32
1 2
26
b) Calculer la distance entre x 1 et x 2 .
La distance entre x 1 et x 2 est la longueur du vecteur x 1
vecteur x 2 x 1
1 4
3
x1 x2
et x 1 x 2
0 3
3
.
5 et
x2
2
1
x 2 ou, ce qui revient au même du
3
2
3
2
1
2
19
1
c) Rappeler la formule du cosinus de l’angle x 1 , x 2 , puis calculer ce cosinus.
1 4 0 3 2
1
x 1 .x 2
6
cos x 1 , x 2
x1 x2
5 26
5 26
d) Lorsque le cosinus de deux vecteurs u et v est égal à 1, que peut-on dire de u et v ? Et
lorsque ce cosinus vaut 1 ? Et lorsqu’il vaut 0 ?
Lorsque le cosinus de deux vecteurs u et v est égal à 1, u et v sont colinéaires de même sens.
Lorsqu’il est égal à 0, ils sont orthogonaux. Lorsu’il est égal à 1, ils sont colinéaires de sens
opposé.
e) Calculer les coordonnées du centre de gravité g des vecteurs x 1 , x 2 , x 3 .
3
1
3
g
1
3
xi
i 1
x1
x2
x 3 et donc g
1
3
1
3
1
3
1
4
0
0
3
1
2
1
1
5
3
4
3
4
3
f) Calculer les coordonnées du barycentre h des vecteurs x 1 , x 2 , x 3 affectés des poids 2, 3, 1 .
2
1 36 4 16 0
6
2
2 3 1
h
x1
3
2 3 1
x2
1
2 3 1
2
6
x 3 d’où h
2
6
14
6
10
6
8
6
3
6
0
2
3
6
3
1
1
6
:
1
1
6
1
7
3
5
3
4
3
3
3. Soit u
.
4
a) Calculer les coordonnées du vecteur e 1 colinéaire à u, de même sens, et de norme 1.
u
e1
est colinéaire à u, de même sens, et de norme 1. La norme de u est égale à
u
u
3
2
4
2
5 et donc e 1
3
5
4
5
.
b) Calculer les coordonnées d’un vecteur e 2 tel que e 1 , e 2 forme un repère orthonormé.
4
Le vecteur v
vérifie u. v 0 et est donc orthogonal à u. Le vecteur
3
v
v
e2
4
5
3
5
forme donc avec e 1 une base orthonormée.
4.
a) Exprimer les vecteurs 1, 2, 3 et 4 en fonction de u et v.
1: v
2: u
3: u v
4:v u car l’addition de u et du vecteur 4 est égale à v.
b) Démontrez ”l’identité du parallélogramme” : la somme des carrés des diagonales d’un
parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés.
Les longueurs des diagonales sont les normes de u v et u v . Les longueurs des côtés
sont les normes de u , v , u et v .
u v 2
u v 2
u v . u v
u v . u v
u. u 2u. v v. v
u. u 2u. v
2
u v
u v 2
u 2
v 2
u 2
v 2
5.
a) Indiquer la formule de l’abscisse de la projection orthogonale p u x d’un vecteur x sur la
droite portée par un vecteur u (rem. : le résultat est un nombre réel, et pas un vecteur).
L’abscisse de la projection orthogonale p u x d’un vecteur x sur la droite portée par un
vecteur u vaut
.
pu x
x. uu qui s’écrit aussi x.u
u
1
0
0
b) Application : x
1
et u
1
1
2
1 0 0 1
Application : p u x
02
AB
t
t
B A
1
12
1
2 4
5 6
0
1 1
1 3
6. Soient les matrices A
t
. Calculer l’abscisse de p u x sur l’axe u.
1
2
2
2
2
et B
1 2
1
3 4
1
6
5 0
6
. Calculer t AB sans calculer AB.
1
23 34
3
4
7. A est une matrice quelconque de M n, p . Montrer que, pour toutes valeurs de n et p, le
produit matriciel t A A (produit de la transposée de A par A) est :
a) toujours calculable :
Pour toutes valeurs de n et p, t A M p, n . Le nombre n de colonnes de t A est égal au
nombre de lignes de A et donc le produit matriciel t A A est calculable,
b) nécessairement une matrice carrée,
AB est une matrice de M p, p (nombre de lignes de t A, nombre de colonnes de A),
c) une matrice symétrique (égal à sa transposée).
t
t
t t
AA
A t tA
AA car t t A
A. On en déduit que t AA est égale à sa transposée,
donc symétrique.
1 1
8. Soit la matrice P
3
1
1 1
8. Soit la matrice P
3
1
2
a) Calculer P .
1 1
1 1
4 0
P2
.
3 1
3 1
0 4
b) En déduire la matrice M inverse de P, c’est à dire la matrice M qui vérifie PM
1 0
où I
est la matrice-identité de M 2, 2 .
0 1
P2
4 0
0 4
4
1 0
0 1
4I donc
MP
I
1 2
1
1
1 2
P 2 4I
P
I
P P I et de même P 14 P
PP
P
I et on en
4
4
4
4
1
déduit que la matrice M
P vérifie PM MP I. C’est donc l’inverse de P.
4
c) n est un nombre entier non nul. Exprimer P 2n en fonction de n, et en déduire P 2n 1 en
fonction de n.
P 2 4I
P 2n
P2 n
4I n 4 n I n . Or I est l’élément neutre (le "1") de la
multiplication matricielle. Donc I n I. On en déduit que :
4n 0
2n
n
P
4 I
0 4n
et que
4n 0
1 1
4n
4n
P 2n 1 P 2n P
3 4n 4n
0 4n
3 1
9. Soient trois points A, B, C. soit G le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que
2
AG
AI où I est le milieu de BC .
3
GA GB GC 0 d’où
GA GI IB GI IC 0 d’où
GA GI GI 0 car IB IC 0 (I étant le milieu de BC )
GA 2GI 0
GA 2GA 2AI 0
3GA 2AI 0
3GA 3AG
2AI
2
AG
AI
3
10. Etant donnée une variable aléatoire dont on a mesuré les valeurs x 1 , . . . , x n sur une
population de n individus, soit x la moyenne de ces n valeurs et soit X le vecteur de IR n de ses
valeurs centrées, de coordonnées x 1 x , . . . , x n x .
Montrer que l’écart-type de la série x 1 , . . . , x n correspond à une grandeur géométrique du
vecteur X (l’indiquer ne suffit pas, écrivez le calcul effectué).
n
1
n
xi
x
2
1
n
1
n
X. X
i 1
l’écart-type
1
n
X. X
X
de la série x 1 , . . . , x n correspond à la norme du vecteur X divisée par n .
11. x 1 , . . . , x n sont n vecteurs d’un espace vectoriel E. Soit g leur centre de gravité. Soit
E, et p u la projection orthogonale sur l’axe porté par u.
Montrer que le projeté orthogonal du centre de gravité des x 1 , . . . , x n est égal au centre de
gravité des projetés orthogonaux des x 1 , . . . , x n .
u
n
Le centre de gravité des x 1 , . . . , x n est
n
pu
1
n
xi
i 1
x i . Son projeté orthogonal est :
i 1
n
1
n
1
n
xi .
i 1
u
u
u
u
n
1
n
xi.
i 1
scalaire.
n
pu
n
1
n
i 1
soit p u
n
1
n
xi
i 1
n
1
n
xi
i 1
xi.
u
u
n
1
n
pu xi
i 1
u
u
1
n
pu xi
i 1
u
u
u
u
par bilinéarité du produit
n
1
n
p u x i est le centre de gravité des projetés des x 1 , . . . , x n , ce qui démontre le résultat.
i 1