Corrigé contrôle continu

STID MATHS221B -Algèbre
Corrigé
contrôle continu
1.
a) Etant données deux matrices Aet B, à quelle condition peut-on multiplier Apar B?
On peut-on multiplier Apar Bsi le nombre de colonnes de Aest égal au nombre de lignes de
B.b) Lorsque le calcul du produit AB est possible, quels sont les nombres de lignes et colonnes
de AB ?
Lorsque le calcul du produit AB est possible, le nombres de lignes de AB est celui de A, et le
nombre de colonnes de AB est celui de B.
c) Aet Bsont deux matrices carrées. L’identité remarquable A
2
B
2
ABABest
valable pour des nombres réels, mais pas toujours pour des matrices. Quelle propriété doivent
vérifier les matrices Aet Bpour que cette identité soit vraie ?
ABABAA AB BA BB A
2
B
2
AB BA.
L’identité remarquable est vraie si AB BA 0, c’est à dire lorsque les matrices Aet B
commutent par multiplication (AB BA).
2. Soient les vecteurs x
1
1
0
2
,x
2
4
3
1
et x
3
0
1
1
.
a) Calculer la ”longueur” des deux vecteurs x
1
et x
2
.
Longueurs de x
1
et x
2
:x
1
1
2
0
2
2
2
5 et
x
2
4
2
3
2
1
2
26
b) Calculer la distance entre x
1
et x
2
.
La distance entre x
1
et x
2
est la longueur du vecteur x
1
x
2
ou, ce qui revient au même du
vecteur x
2
x
1
x
1
x
2
14
03
21
3
3
1
et x
1
x
2
3
2
3
2
1
2
19
c) Rappeler la formule du cosinus de l’angle x
1
,x
2
, puis calculer ce cosinus.
cos x
1
,x
2
x
1
.x
2
x
1
x
2
140321
5 26
6
5 26
d) Lorsque le cosinus de deux vecteurs uet vest égal à 1, que peut-on dire de uet v? Et
lorsque ce cosinus vaut 1 ? Et lorsqu’il vaut 0 ?
Lorsque le cosinus de deux vecteurs uet vest égal à 1, uet vsont colinéaires de même sens.
Lorsqu’il est égal à 0, ils sont orthogonaux. Lorsu’il est égal à 1, ils sont colinéaires de sens
opposé.
e) Calculer les coordonnées du centre de gravité gdes vecteurs x
1
,x
2
,x
3
.

g
1
3
i1
3
x
i
1
3
x
1
x
2
x
3
et donc g
1
3
140
1
3
031
1
3
211
5
3
4
3
4
3
f) Calculer les coordonnées du barycentre hdes vecteurs x
1
,x
2
,x
3
affectés des poids 2,3,1.
h
2
231
x
1
3
231
x
2
1
231
x
3
d’où h
2
6
1
3
6
4
1
6
0
2
6
0
3
6
3
1
6
1
2
6
2
3
6
1
1
6
1
:
14
6
7
3
10
6
5
3
8
6
4
3
3. Soit u3
4.
a) Calculer les coordonnées du vecteur e
1
colinéaire à u, de même sens, et de norme 1.
e
1
u
u
est colinéaire à u, de même sens, et de norme 1. La norme de uest égale à
u3
2
4
2
5 et donc e
1
3
5
4
5
.
b) Calculer les coordonnées d’un vecteur e
2
tel que e
1
,e
2
forme un repère orthonormé.
Le vecteur v4
3vérifie u.v0 et est donc orthogonal à u. Le vecteur
e
2
v
v
4
5
3
5
forme donc avec e
1
une base orthonormée.
4.
a) Exprimer les vecteurs 1, 2, 3 et 4 en fonction de uet v.
1: v2: u3: uv4:vucar l’addition de uet du vecteur 4 est égale à v.
b) Démontrez ”l’identité du parallélogramme” : la somme des carrés des diagonales d’un
parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés.
Les longueurs des diagonales sont les normes de uvet uv. Les longueurs des côtés
sont les normes de u,v,uet v.
uv
2
uv
2
uv.uvuv.uvu.u2u.vv.vu.u2u.v
uv
2
uv
2
u
2
v
2
u
2
v
2

5.
a) Indiquer la formule de l’abscisse de la projection orthogonale p
u
xd’un vecteur xsur la
droite portée par un vecteur u(rem. : le résultat est un nombre réel, et pas un vecteur).
L’abscisse de la projection orthogonale p
u
xd’un vecteur xsur la droite portée par un
vecteur uvaut
p
u
xx.
u
u
qui s’écrit aussi
x.u
u
.
b) Application : x
1
0
1
1
et u
0
1
1
2
. Calculer l’abscisse de p
u
xsur l’axe u.
Application : p
u
x
10011112
0
2
1
2
1
2
2
2
1
6
6. Soient les matrices A1 3
2 4 et B5 0 61. Calculer
t
ABsans calculer AB.
t
AB
t
B
t
A5 6
01
1 2
3 4 23 34 34
7. Aest une matrice quelconque de Mn,p. Montrer que, pour toutes valeurs de net p, le
produit matriciel
t
A A (produit de la transposée de Apar A) est :
a) toujours calculable :
Pour toutes valeurs de net p,
t
AMp,n. Le nombre nde colonnes de
t
Aest égal au
nombre de lignes de Aet donc le produit matriciel
t
A A est calculable,
b) nécessairement une matrice carrée,
AB est une matrice de Mp,p(nombre de lignes de
t
A, nombre de colonnes de A),
c) une matrice symétrique (égal à sa transposée).
t t
AA
t
A
t t
A 
t
AA car
t t
AA. On en déduit que
t
AA est égale à sa transposée,
donc symétrique.
8. Soit la matrice P1 1
31
8. Soit la matrice P1 1
31
a) Calculer P
2
.
P
2
1 1
31
1 1
314 0 0 4 .
b) En déduire la matrice Minverse de P, c’est à dire la matrice Mqui vérifie PM MP I
où I1 0
0 1 est la matrice-identité de M2,2.
P
2
4 0
0 4 41 0 0 1 4Idonc

P
2
4I
1
4
P
2
I
1
4
P P Iet de même P
1
4
P
1
4
PP 
1
4
P
2
Iet on en
déduit que la matrice M
1
4
Pvérifie PM MP I. C’est donc l’inverse de P.
c) nest un nombre entier non nul. Exprimer P
2n
en fonction de n, et en déduire P
2n1
en
fonction de n.
P
2
4IP
2n
P
2
n
4I
n
4
n
I
n
. Or Iest l’élément neutre (le "1") de la
multiplication matricielle. Donc I
n
I. On en déduit que :
P
2n
4
n
I4
n
0
0 4
n
et que
P
2n1
P
2n
P4
n
0
0 4
n
1 1
314
n
4
n
34
n
4
n
9. Soient trois points A,B,C. soit Gle centre de gravité du triangle ABC. Montrer que
AG 
2
3
AI où Iest le milieu de BC.
GA GB GC 0 d’où
GA GI IB GI IC 0 d’où
GA GI GI 0 car IB IC 0 (Iétant le milieu de BC)
GA 2GI 0
GA 2GA 2AI 0
3GA 2AI 0
2AI 3GA 3AG
AG 
2
3
AI
10. Etant donnée une variable aléatoire dont on a mesuré les valeurs x
1
,...,x
n
sur une
population de nindividus, soit xla moyenne de ces nvaleurs et soit Xle vecteur de IR
n
de ses
valeurs centrées, de coordonnées x
1
x,...,x
n
x.
Montrer que l’écart-type de la série x
1
,...,x
n
correspond à une grandeur géométrique du
vecteur X(l’indiquer ne suffit pas, écrivez le calcul effectué).
1
n
i1
n
x
i
x
2
1
n
X.X
1
n
X.X
1
n
X
l’écart-type de la série x
1
,...,x
n
correspond à la norme du vecteur Xdivisée par n.
11. x
1
,...,x
n
sont nvecteurs d’un espace vectoriel E. Soit gleur centre de gravité. Soit
uE, et p
u
la projection orthogonale sur l’axe porté par u.
Montrer que le projeté orthogonal du centre de gravité des x
1
,...,x
n
est égal au centre de
gravité des projetés orthogonaux des x
1
,...,x
n
.
Le centre de gravité des x
1
,...,x
n
est
1
n
i1
n
x
i
. Son projeté orthogonal est :
p
u1
n
i1
n
x
i
1
n
i1
n
x
i
.
u
uu u
1
n
i1
n
x
i
.
u
uu u
par bilinéarité du produit
scalaire.
p
u1
n
i1
n
x
i
1
n
i1
n
x
i
.
u
uu u
1
n
i1
n
p
u
x
i
soit p
u1
n
i1
n
x
i
1
n
i1
n
p
u
x
i

1
n
i1
n
p
u
x
i
est le centre de gravité des projetés des x
1
,...,x
n
, ce qui démontre le résultat.