Devoir maison 15 pour le mercredi 24 mai

PCSI Mathématiques
Devoir maison 15 pour le mercredi 24 mai
La rédaction sera fortement prise en compte dans la notation.
Les résultats de chaque question doivent être encadrés ou soulignés.
Une particule possède deux états possibles numérotés 1 et 2 et peut passer d’un état à l’autre de façon
aléatoire.
On considère un espace probabilisé (Ω,F, P )sur lequel on définit pour tout n∈Nla variable aléatoire
Xnégale à l’état de la particule au temps n. L’état de la particule au temps n+ 1 dépend uniquement de
son état eu temps nselon les règles suivantes :
1. Si au temps nla particule est dans l’état 1, au temps n+ 1 elle passe à l’état 2 avec une probabilité
de 1
2.
2. Si au temps nla particule est dans l’état 2, au temps n+ 1 elle passe à l’état 1 avec une probabilité
de 1
4.
On suppose que P(X0= 1) = P(X0= 2) = 1
2.
1. Etude d’une suite de probabilité
(a) Déterminer, à l’aide des probabilités totales, la loi de X1et celle de X2.
(b) On pose µn= (P(Xn= 1), P (Xn= 2)), le vecteur ligne représentant la loi de Xn. Montrer que
µn+1 =µn.A où A=
1
2
1
2
1
4
3
4
(c) En déduire l’expression de µnen fonction de µ0, de Aet de n.
2. Informatique
(a) Ecrire une fonction python itere(x, A)qui prend en entrée un vecteur ligne xet une matrice A
et qui rend le vecteur produit x.A
(b) A l’aide de votre fonction, déterminer la loi de la variable X5.
3. Etude de la matrice A
(a) Déterminer λ1et λ2les racines du polynôme P=det(XI2−A).
(b) Montrer qu’il existe une matrice Qinversible à coefficients entiers telle que
A=Q−1. λ10
0λ2!.Q
(c) Exprimer les puissances de Aen fonction de Q,λ1,λ2et n.
(d) En déduire que les suites (An)n∈Net (µn)n∈Nconvergent et déterminer leur limite A∞et µ∞.
4. Vecteurs et matrices stochastiques
On dit que x= (x1, ..., xn)∈Rnest un vecteur stochastique lorsque
∀i∈[1; n], xi≥0et
n
X
i=1
xi= 1
On dit qu’une matrice B= (bi,j )1≤i,j≤nest une matrice stochastique lorsque tous les coefficients
sont positifs et lorsque la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1
∀i∈[1; n],∀j∈[1; n], bi,j ≥0et ∀i∈[1; n],
n
X
j=1
bi,j = 1
Lycée l’Essouriau 1 2016-2017

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(a) Justifier que la matrice Aest stochastique.
(b) Montrer que si xest un vecteur ligne stochastique et si Best une matrice stochastique alors
X.B est encore un vecteur stochastique.
(c) En déduire que tous les vecteurs µnde la première partie sont des vecteurs stochastiques.
(d) Déterminer dim(Ker(AT−I2)). En déduire qu’il existe un unique vecteur stochastique x∞tel
que
AT.x∞=x∞
Ce vecteur est appelée probabilité invariante de A
N’hésitez pas à en parler entre vous, avec moi et à me contacter par e-mail.
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