Devoir maison 15 pour le mercredi 24 mai

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Mathématiques
Devoir maison 15 pour le mercredi 24 mai
La rédaction sera fortement prise en compte dans la notation.
Les résultats de chaque question doivent être encadrés ou soulignés.
Une particule possède deux états possibles numérotés 1 et 2 et peut passer d’un état à l’autre de façon
aléatoire.
On considère un espace probabilisé (Ω, F, P ) sur lequel on définit pour tout n ∈ N la variable aléatoire
Xn égale à l’état de la particule au temps n. L’état de la particule au temps n + 1 dépend uniquement de
son état eu temps n selon les règles suivantes :
1. Si au temps n la particule est dans l’état 1, au temps n + 1 elle passe à l’état 2 avec une probabilité
de 12 .
2. Si au temps n la particule est dans l’état 2, au temps n + 1 elle passe à l’état 1 avec une probabilité
de 41 .
On suppose que P (X0 = 1) = P (X0 = 2) = 12 .
1. Etude d’une suite de probabilité
(a) Déterminer, à l’aide des probabilités totales, la loi de X1 et celle de X2 .
(b) On pose µn = (P (Xn = 1), P (Xn = 2)), le vecteur ligne représentant la loi de Xn . Montrer que
1
2
µn+1 = µn .A où A = 
1
2

1
4
3
4



(c) En déduire l’expression de µn en fonction de µ0 , de A et de n.
2. Informatique
(a) Ecrire une fonction python itere(x, A) qui prend en entrée un vecteur ligne x et une matrice A
et qui rend le vecteur produit x.A
(b) A l’aide de votre fonction, déterminer la loi de la variable X5 .
3. Etude de la matrice A
(a) Déterminer λ1 et λ2 les racines du polynôme P = det(XI2 − A).
(b) Montrer qu’il existe une matrice Q inversible à coefficients entiers telle que
!
λ 0
A=Q . 1
.Q
0 λ2
−1
(c) Exprimer les puissances de A en fonction de Q, λ1 , λ2 et n.
(d) En déduire que les suites (An )n∈N et (µn )n∈N convergent et déterminer leur limite A∞ et µ∞ .
4. Vecteurs et matrices stochastiques
On dit que x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn est un vecteur stochastique lorsque
∀i ∈ [1; n], xi ≥ 0 et
n
X
xi = 1
i=1
On dit qu’une matrice B = (bi,j )1≤i,j≤n est une matrice stochastique lorsque tous les coefficients
sont positifs et lorsque la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1
∀i ∈ [1; n], ∀j ∈ [1; n], bi,j ≥ 0 et ∀i ∈ [1; n],
n
X
bi,j = 1
j=1
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(a) Justifier que la matrice A est stochastique.
(b) Montrer que si x est un vecteur ligne stochastique et si B est une matrice stochastique alors
X.B est encore un vecteur stochastique.
(c) En déduire que tous les vecteurs µn de la première partie sont des vecteurs stochastiques.
(d) Déterminer dim(Ker(AT − I2 )). En déduire qu’il existe un unique vecteur stochastique x∞ tel
que
AT .x∞ = x∞
Ce vecteur est appelée probabilité invariante de A
N’hésitez pas à en parler entre vous, avec moi et à me contacter par e-mail.
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