Electrons bidimensionnels sous champ magnétique fort : la

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Electrons bidimensionnels sous champ
magn´etique fort :
la physique des effets Hall quantiques
Notes de cours, 2006
Mark Oliver GOERBIG Pascal LEDERER
Laboratoire de Physique des Solides, CNRS-UMR 8502
Universit´e de Paris Sud, Bˆat. 510
F-91405 Orsay cedex

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Table des mati`eres
1 Introduction 7
1.1 Motivation du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Histoire de l’effet Hall quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Echantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Particule charg´ee dans un champ magn´etique 19
2.1 Traitement classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Formalisme lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Formalisme hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Traitement quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Fonctions d’onde dans la jauge sym´etrique . . . . . . . 25
2.2.2 Etats coh´erents et mouvement semi-classique . . . . . . 29
3 Propri´et´es de transport – effet Hall quantique entier 33
3.1 Calcul de conductance d’un niveau de Landau rempli . . . . . 33
3.2 Localisation dans un champ magn´etique fort . . . . . . . . . . 36
3.3 Transitions entre plateaux – image de percolation . . . . . . . 41
4 L’effet Hall quantique fractionnaire – de la th´eorie de Laugh-
lin aux fermions composites 45
4.1 Mod`ele d’´electrons restreints `a un seul NL . . . . . . . . . . . 46
4.1.1 Calcul des ´el´ements de matrice . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.2 Alg`ebre des densit´es projet´ees . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.3 Le potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 La fonction d’onde de Laughlin . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 Quasi-particules de charge fractionnaire . . . . . . . . . 56
4.2.2 Energie du fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.3 Modes collectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
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4TABLE DES MATI ` ERES
4.3 La g´en´eralisation de Jain – fermions composites . . . . . . . . 67
5 Th´eories de Chern-Simons et la physique des anyons 71
5.1 Transformations de Chern-Simons . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Transmutation statistique – les anyons en 2D . . . . . . . . . . 75
5.2.1 Les anyons dans les th´eories de Chern-Simons . . . . . 77
5.2.2 Charge fractionnaire et statistique fractionnaire . . . . 78
6 Th´eorie hamiltonienne de l’effet Hall quantique fractionnaire 81
6.1 Th´eorie miscroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1.1 Traitement des fluctuations de ACS (r) . . . . . . . . . 82
6.1.2 Transformation de d´ecouplage `a petit vecteur d’onde . 87
6.2 Th´eorie effective pour tout vecteur d’onde . . . . . . . . . . . 91
6.2.1 Traitement approximatif de la contrainte . . . . . . . . 94
6.2.2 Calculs des gaps d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.3 Autosimilarit´e dans le mod`ele effectif . . . . . . . . . . 99
7 Les phases quantiques dans les niveaux de Landau ´elev´es 105
7.1 Raisonnements qualitatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2 Solides ´electroniques dans l’approximation de Hartree-Fock . . 108
7.2.1 Energie des phases d’ˆılots . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2.2 Energie des phases de rubans . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 Liquides quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.3.1 Energie des liquides de Laughlin `a ¯ν= 1/(2s+ 1) . . . 114
7.3.2 Energie des liquides `a ¯ν6= 1/(2s+ 1) : excitations de
quasi-particules et de quasi-trous . . . . . . . . . . . . 115
7.4 Comparaison des ´energies dans n= 1 et 2 . . . . . . . . . . . 115
7.4.1 Phases quantiques dans n= 1 . . . . . . . . . . . . . . 118
7.4.2 Phases quantiques dans n= 2 . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.3 Diagramme de phase – comparaison aux arguments
d’´echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8 Spin et effet Hall quantique – ferromagn´etisme `a ν= 1 127
8.1 Pertinence des interactions `a ν= 1 . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.1 Fonctions d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.1.2 Comparaison avec le ferromagn´etisme dans les m´etaux 130
8.2 Structure alg´ebrique du mod`ele avec spin . . . . . . . . . . . . 131
8.3 Mod`ele effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

TABLE DES MATI ` ERES 5
8.3.1 Intrication spin-charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.3.2 Energie dans le mod`ele effectif . . . . . . . . . . . . . . 140
8.4 Phase de Berry et transport adiabatique . . . . . . . . . . . . 141
8.4.1 Applications au magn´etisme quantique – Dynamique
de spin dans un champ magn´etique . . . . . . . . . . . 146
8.4.2 Application aux textures de spin . . . . . . . . . . . . 147
9 Les bicouches d’effet Hall quantique 149
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.2 Analogie de pseudo-spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.3 Diff´erences avec le cas de la monocouche ferromagn´etique . . . 152
9.4 Donn´ees exp´erimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.4.1 Diagramme de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.4.2 Gap d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.4.3 Effet d’un champ magn´etique parall`ele . . . . . . . . . 158
9.4.4 L’effet quasi-Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.4.5 Exp´erience de courants antiparall`eles . . . . . . . . . . 160
9.5 Superfluidit´e excitonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.5.1 Mode collectif – dynamique du condensat excitonique . 167
9.5.2 Excitations topologiques charg´ees . . . . . . . . . . . . 168
9.5.3 Transition de Kosterlitz-Thouless . . . . . . . . . . . . 171
9.5.4 Effet du terme tunnel inter-couches . . . . . . . . . . . 172
9.5.5 Effets combin´es d’un terme tunnel entre couches et
d’un champ Bk......................174
9.5.6 Effet d’une diff´erence de potentiel entre couches . . . . 177
10 Le graph`ene et l’effet Hall quantique relativiste 181
10.1 Mod`ele de liaisons fortes – sans champ . . . . . . . . . . . . . 182
10.2 Limite continue – mod`ele de basse ´energie . . . . . . . . . . . 187
10.3 Limite continue avec champ magn´etique . . . . . . . . . . . . 189
10.3.1 Niveaux de Landau relativistes . . . . . . . . . . . . . 190
10.3.2 D´eg´en´erescences des niveaux relativistes . . . . . . . . 194
10.3.3 V´erification exp´erimentale . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.4 L’effet Hall quantique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.5 Mod`ele d’´electrons en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.5.1 Le potentiel d’interaction effective dans le graph`ene et
l’EHQF ..........................204
10.6 Le ferromagn´etisme de chiralit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 207