Electrons bidimensionnels sous champ magnétique fort : la

1
Electrons bidimensionnels sous champ
magnétique fort :
la physique des effets Hall quantiques
Notes de cours, 2006
Mark Oliver GOERBIG
Pascal LEDERER
Laboratoire de Physique des Solides, CNRS-UMR 8502
Université de Paris Sud, Bât. 510
F-91405 Orsay cedex
2
Table des matières
1 Introduction
7
1.1 Motivation du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Histoire de l’effet Hall quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Echantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Particule chargée dans un champ magnétique
2.1 Traitement classique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Formalisme lagrangien . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Formalisme hamiltonien . . . . . . . . . . .
2.2 Traitement quantique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Fonctions d’onde dans la jauge symétrique .
2.2.2 Etats cohérents et mouvement semi-classique
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19
19
20
22
22
25
29
3 Propriétés de transport – effet Hall quantique entier
33
3.1 Calcul de conductance d’un niveau de Landau rempli . . . . . 33
3.2 Localisation dans un champ magnétique fort . . . . . . . . . . 36
3.3 Transitions entre plateaux – image de percolation . . . . . . . 41
4 L’effet Hall quantique fractionnaire – de la théorie de Laughlin aux fermions composites
4.1 Modèle d’électrons restreints à un seul NL . . . . . . . . . . .
4.1.1 Calcul des éléments de matrice . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Algèbre des densités projetées . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Le potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 La fonction d’onde de Laughlin . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Quasi-particules de charge fractionnaire . . . . . . . . .
4.2.2 Energie du fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Modes collectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
45
46
48
50
51
54
56
58
63
4
TABLE DES MATIÈRES
4.3 La généralisation de Jain – fermions composites . . . . . . . . 67
5 Théories de Chern-Simons et la physique des anyons
5.1 Transformations de Chern-Simons . . . . . . . . . . . .
5.2 Transmutation statistique – les anyons en 2D . . . . . .
5.2.1 Les anyons dans les théories de Chern-Simons .
5.2.2 Charge fractionnaire et statistique fractionnaire
.
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71
71
75
77
78
6 Théorie hamiltonienne de l’effet Hall quantique fractionnaire
6.1 Théorie miscroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Traitement des fluctuations de ACS (r) . . . . . . . . .
6.1.2 Transformation de découplage à petit vecteur d’onde .
6.2 Théorie effective pour tout vecteur d’onde . . . . . . . . . . .
6.2.1 Traitement approximatif de la contrainte . . . . . . . .
6.2.2 Calculs des gaps d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Autosimilarité dans le modèle effectif . . . . . . . . . .
81
82
82
87
91
94
96
99
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7 Les phases quantiques dans les niveaux de Landau élevés
7.1 Raisonnements qualitatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Solides électroniques dans l’approximation de Hartree-Fock .
7.2.1 Energie des phases d’ı̂lots . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Energie des phases de rubans . . . . . . . . . . . . .
7.3 Liquides quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Energie des liquides de Laughlin à ν̄ = 1/(2s + 1) . .
7.3.2 Energie des liquides à ν̄ 6= 1/(2s + 1) : excitations de
quasi-particules et de quasi-trous . . . . . . . . . . .
7.4 Comparaison des énergies dans n = 1 et 2 . . . . . . . . . .
7.4.1 Phases quantiques dans n = 1 . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Phases quantiques dans n = 2 . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Diagramme de phase – comparaison aux arguments
d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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113
114
114
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115
115
118
121
. 123
8 Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
127
8.1 Pertinence des interactions à ν = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.1 Fonctions d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.1.2 Comparaison avec le ferromagnétisme dans les métaux 130
8.2 Structure algébrique du modèle avec spin . . . . . . . . . . . . 131
8.3 Modèle effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
TABLE DES MATIÈRES
8.4
8.3.1
8.3.2
Phase
8.4.1
Intrication spin-charge . . . . . . . . .
Energie dans le modèle effectif . . . . .
de Berry et transport adiabatique . . .
Applications au magnétisme quantique
de spin dans un champ magnétique . .
8.4.2 Application aux textures de spin . . .
5
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
– Dynamique
. . . . . . . .
. . . . . . . .
9 Les
9.1
9.2
9.3
9.4
bicouches d’effet Hall quantique
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analogie de pseudo-spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Différences avec le cas de la monocouche ferromagnétique . .
Données expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Diagramme de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Gap d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Effet d’un champ magnétique parallèle . . . . . . . .
9.4.4 L’effet quasi-Josephson . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.5 Expérience de courants antiparallèles . . . . . . . . .
9.5 Superfluidité excitonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Mode collectif – dynamique du condensat excitonique
9.5.2 Excitations topologiques chargées . . . . . . . . . . .
9.5.3 Transition de Kosterlitz-Thouless . . . . . . . . . . .
9.5.4 Effet du terme tunnel inter-couches . . . . . . . . . .
9.5.5 Effets combinés d’un terme tunnel entre couches et
d’un champ Bk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.6 Effet d’une différence de potentiel entre couches . . .
10 Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
10.1 Modèle de liaisons fortes – sans champ . . . . . . . . . . . .
10.2 Limite continue – modèle de basse énergie . . . . . . . . . .
10.3 Limite continue avec champ magnétique . . . . . . . . . . .
10.3.1 Niveaux de Landau relativistes . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Dégénérescences des niveaux relativistes . . . . . . .
10.3.3 Vérification expérimentale . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 L’effet Hall quantique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Modèle d’électrons en interaction . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1 Le potentiel d’interaction effective dans le graphène et
l’EHQF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Le ferromagnétisme de chiralité . . . . . . . . . . . . . . . .
. 137
. 140
. 141
. 146
. 147
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149
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155
157
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159
160
163
167
168
171
172
. 174
. 177
181
. 182
. 187
. 189
. 190
. 194
. 195
. 197
. 199
. 204
. 207
6
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Introduction
1.1
Motivation du cours
Deux décennies après la découverte de l’effet Hall quantique entier (EHQE,
en 1980) [1] et fractionnaire (EHQF, en 1983) [2], les systèmes bidimensionnels d’électrons soumis à un champ magnétique perpendiculaire restent
un domaine de recherche intense tant au niveau expérimental que théorique
[3]. Dans des échantillons de la meilleure qualité obtenue jusqu’à maintenant, les physiciens ont réussi à augmenter la mobilité µ des électrons à
l’interface des hétéro-structures de GaAs/AlGaAs, qui constitue un des prototypes dans lesquels un gas bidimensionnel d’électrons est réalisé, jusqu’à
µ ' 30 × 106 cm2 /Vs. Cette mobilité accrue permet l’observation d’une structure beaucoup plus fine dans les courbes de résistance que celle trouvée au
moment de la découverte de ces effets dans les années 80. Empruntant un
terme du langage de la spectroscopie, une meilleure “résolution” est maintenant accessible, et il semble que le plafond ne soit pas encore atteint.
L’observation des effets Hall quantiques, notamment de l’EHQF, fait
partie des découvertes qui ont bouleversé notre compréhension du fluide
électronique en physique de la matière condensée. En effet, le comportement collectif des électrons dans les métaux a été décrit avec succès dans la
théorie de Landau du liquide de Fermi [4] : les interactions entre électrons
modifient adiabatiquement l’état fondamental déduit dans un modèle de particules libres, c’est-à-dire qu’elles peuvent être considérées comme une perturbation qui renormalise les paramètres du modèle sans interactions. D’un
point de vue technique, les principales méthodes utilisées dans ce contexte
7
8
Introduction
sont la théorie de perturbation (les diagrammes de Feynman) et la théorie
du groupe de renormalisation. La supraconductivité des métaux a également
trouvé une explication dans le cadre des liquides de Fermi avec la théorie BCS
(Bardeen-Cooper-Schrieffer) : à basse température, la mer de Fermi devient
instable vers la formation de paires d’électrons, due à une attraction effective
causée par échange de phonons, quanta des vibrations du résau cristallin [5].
Les paires d’électrons, obéissant à une statistique bosonique, condensent dans
un état suprafluide qui est à l’origine de la supraconductivité. Les liquides de
Fermi semblaient donc être le point de départ inévitable pour la description
du comportement collectif des électrons. A cette époque, les conducteurs unidimensionnels, qui sont plus correctement décrits par le concept du liquide
de Luttinger, constituent la seule exception connue, avec les isolants de Mott
et la physique de l’3 He solide.
Cette image théorique n’a pas seulement été mise en cause par la découverte
de l’EHQF mais aussi par celle de la supraconductivité à haute température
critique par Bednorz et Müller en 1986 [6]. Les matériaux qui exhibent ce dernier phénomène consistent en des plans de cuivre-oxygène faiblement couplés
et constituent donc un système quasi-bidimensionnel. Ils possèdent un diagramme de phase très varié en fonction de la température et du dopage, ce
dernier étant la densité de trous dans les plans de cuivre-oxygène ; la plupart des phases ne se comprennent guère en termes de liquide de Fermi.
En effet, ce dernier est trouvé uniquement à haute densité de trous. A
faible dopage, ces systèmes sont des antiferromagnétiques isolants, tandis
qu’à dopage intermédiaire, on trouve des liquides de spin, une phase supraconductrice et, à plus haute température, un métal étrange avec des propriétés très différentes d’un liquide de Fermi. Même si, à première vue, les
matériaux qui révèlent cette forme de supraconductivité paraissent peu semblables aux hétéro-structures de semiconducteurs, dans lesquelles on observe
les effets Hall quantiques, la physique des deux phénomènes est contrôlée par
la présence de corrélations fortes entre les électrons. Contrairement au cas du
liquide de Fermi, leurs interactions mutuelles ne peuvent donc être traitées
comme une perturbation qui modifie un état fondamental obtenu pour des
électrons libres, mais elles déterminent ce dernier. Un autre système, dont
les propriétés sont affectées de façon essentielle par des corrélations fortes,
avait été étudié peu avant les découvertes de l’EHQF et de la supraconductivité à haute température critique. Il s’agit des matériaux de fermions lourds,
où les interactions entre électrons causent une augmentation de la masse
électronique d’environ un facteur 100 dans la phase conductrice [7]. En rai-
Motivation du cours
9
son d’une haute densité de moments magnétiques, cette phase fait place à
une phase isolante avec un ordre antiferromagnétique sous certaines conditions expérimentales (par exemple sous pression ou application d’un champ
magnétique).
D’un point de vue théorique, ces découvertes ont nécessité de nouveaux
concepts pour traiter ces nouveaux phénomènes [8]. La méthode la plus intuitive s’est avérée être également la plus réussie : elle consiste à deviner
une fonction d’onde à N particules pour l’état fondamental. C’est le chemin
qui a mené Laughlin au Prix Nobel en 1983. Il a correctement deviné une
telle fonction d’essai pour décrire l’EHQF [9]. C’est aussi dans le contexte
de la supraconductivité à haute température critique que cette méthode a
trouvé son application. En 1987, Anderson a proposé une fonction d’onde
qui décrit des paires d’électrons dans un état singulet de spin sur des sites
voisins de cuivre [10]. Cet état consiste en des liens de valence résonants et
ressemble à une fonction d’onde du type BCS, où la projection de Gutzwiller interdit une double occupation de chaque site sur lequel les électrons
ressentent précisément une forte répulsion coulombienne. Cette fonction est
censée décrire l’état fondamental d’un modèle effectif, le modèle de Hubbard.
L’étude de tels modèles effectifs, qui caractérisent des excitations de basse
énergie en présence de corrélations fortes et qui sont parfois empruntés aux
théories des champs quantiques, a suscité plus d’intérêt après les découvertes
des années 80. Dans le contexte des systèmes à effet Hall quantique, ce sont
les théories de Chern-Simons qui ont été utilisées avec le plus grand succès
[11, 12, 13]. Ces théories ont mis en évidence nombre de phénomènes étranges,
qui sont liés à leur caractère topologique, comme la fractionnalisation de la
charge et la statistique fractionnaire satisfaite par les excitations élémentaires
des liquides électroniques.
Un nouveau concept, émergeant des études de ces modèles effectifs, est
celui des transitions de phase quantiques et du point critique quantique [14].
Contrairement à leur cousin classique, les transitions de phase quantiques
ont lieu à température nulle et sont contrôlées par un paramètre différent
de la température. Dans le contexte des fermions lourds, où ce concept a
trouvé un vaste champ d’application [8, 14], ce paramètre peut être une
pression variable, un champ magnétique appliqué ou le dopage chimique des
matériaux. Le point critique quantique sépare une phase antiferromagnétique
isolante d’une phase conductrice. A température finie, il évolue en une région
“critique quantique” sur une gamme plus large du paramètre de contrôle.
Le concept des transitions de phase quantiques a également été appliqué
10
Introduction
au cas des matériaux supraconducteurs à haute température critique, où la
phase supraconductrice couvrirait éventuellement un point critique quantique
qui sépare une phase de liquide de spin d’une phase métallique (liquide de
Fermi). Dans ce scénario, le métal étrange est associé à la région critique
quantique. Pourtant, on ignore encore si le point critique quantique est un
concept pertinent pour la compréhension de la phase supraconductrice dans
ces matériaux.
1.2
Histoire de l’effet Hall quantique
Préhistoire – l’effet Hall classique
On ne peut commencer une introduction à l’effet Hall quantique sans
mentionner l’effet classique, qui a été prédit par E. Hall en 1879 : lorsqu’on fait passer un courant I à travers une couche métallique soumise à
un champ magnétique perpendiculaire B = Bez , on crée un gradient de
densité électronique perpendiculaire à la direction du courant. Ce gradient
mène à une tension V , et la résistance associée (dite de Hall) est proportionnelle au champ et inversement proportionnelle à la densité électronique,
RH = −B/enel (Fig. 1.1). Ici, nel est la densité surfacique, et −e est la charge
d’un électron.
Le phénomène se comprend de façon relativement simple dans le modèle
de Drude, avec l’équation du mouvement d’un électron
p
dp
p
= −e E +
×B − ,
dt
m
τ
où E est le champ électrique, m la masse (de bande) de l’électron, p son
impulsion et τ le temps moyen de diffusion par des impuretés du système.
On cherche la solution stationnaire de cette équation, dp/dt = 0,
py 0 = −e Ex + B −
m
px 0 = −e Ey − B −
m
px
,
τ
py
.
τ
Avec la fréquence cyclotron ωC ≡ eB/m et la conductivité de Drude σ0 =
Histoire de l’effet Hall quantique
11
I
gaz d’électrons 2D
résistance
longitudinale
−I
résistance
de Hall
Fig. 1.1 – Système bidimensionnel d’électrons sous champ magnétique. Le courant I
passe par les deux contacts noirs. La résistance longitudinale est mesurée par deux contacts
au même bord, et la résistance de Hall par deux contacts sur les deux bords opposés.
nel e2 τ /m, cela s’écrit
px
py
σ0 Ex = −nel e − nel e (ωC τ ),
m
m
px
py
σ0 Ey = nel e (ωC τ ) − nel e ,
m
m
ou, en termes de densité de courant j = −nel ep/m, sous forme matricielle
E = ρ j,
avec le tenseur de résistivité
−1
B σ0
1
1
ωC τ
enel
=
.
ρ=
− enBel σ0−1
1
σ0 −ωC τ
La conductivité s’obtient par inversion matricielle,
σL −σH
−1
σ=ρ =
,
σH σL
(1.1)
(1.2)
avec σL = σ0 /(1 + ωC2 τ 2 ) et σH = σ0 ωC τ /(1 + ωC2 τ 2 ). Dans la limite d’un
métal sans impuretés (diffuseurs), où ωC τ → ∞, on a
B 0
0 − enBel
enel
ρ=
,
σ=
.
(1.3)
enel
− enBel 0
0
B
12
Introduction
Notons que la conductivité diagonale (longitudinale) s’annule en même temps
que la résistivité longitudinale.
L’effet Hall classique est utilisé encore aujourd’hui pour mesurer la densité
de porteurs dans des conducteurs, ainsi que pour déterminer si le courant est
porté par des charges négatives ou positives.
Un soupçon de mécanique quantique – la quantification
de Landau
Avec l’application de la mécanique quantique à la physique des métaux,
à partir des années 1930, le physicien russe L. Landau s’intéressa au traitement quantique d’un électron 2D dans un champ magnétique. Il trouva que,
de même qu’un oscillateur harmonique, les niveaux dénergie de l’électron sont
équidistant, avec un écart de h̄ωC . Le caractère 2D du problème se manifeste
par une haute dégénérescence de chaque niveau : le nombre d’états par niveau « de Landau » (NL) est NB = nB A, où A est la surface du système
et nB = B/φ0 la densité de flux mesurée en unités de quantum de flux
φ0 = h/e. En raison de leur statistique fermionique, les électrons remplissent
successivement les NL, et il est naturel de définir un facteur de remplissage
ν=
nel
.
nB
(1.4)
Ce traitement quantique est l’objet du chapitre 2.
Un phénomène quantique macroscopique – l’effet Hall
quantique
L’EHQE, découvert par v. Klitzing en 1980, est une conséquence de cette
quantification de Landau [1]. Il se manifeste à basse température, lorsque
kB T h̄ωC , et consiste en des paliers dans la résistance de Hall, qui est
quantifiée en RH = (h/e2 )1/n, où n est un entier. Il est la partie entière du
facteur de remplissage n = [ν]. Chaque palier dans la résistance de Hall est
accompagné d’une résistance longitudinale nulle (Fig. 1.2). Ce qui est remarquable concernant la quantification de la résistance est son indépendance de
la géométrie – et des propriétés tout court – de l’échantillon : la résistance
de Hall est donnée par les constantes fondamentales e et h. La précision de
sa valeur à n = 1 est tellement bonne (10−9 ) que le palier à n = 1 sert
Histoire de l’effet Hall quantique
13
3.0
2.0
Ix
Vy
2.5
Vx
1.5
ρxx (kΩ)
2
ρxy (h/e )
2.0
6 54 3
1.0
1.5
1
2
3/ 2
3/ 4
2/3
1/ 2
3/5
4/9
4/7
5/9
4/3
5/3
8/5
7/5
0.5
5/7
4/5
0
4
2/5
1.0
5/11
6/11
8/15
0
3/7
7/13
8
6/13
0.5
0.0
7/15
12
16
Field B (T)
champMagnetic
magnétique
B[T]
Fig. 1.2 – Signature expérimentale de l’effet Hall quantique. Chaque palier est accompagné d’une résistance longitudinale nulle. La courbe classique est représentée par la ligne
grise en pointillé. Les nombres indiquent le facteur de remplissage ν, ν = n pour l’EHQE
et ν = p/q pour l’EHQF.
aujourd’hui en métrologie d’étalon de résistance, appelé la constante de v.
Klitzing, RK−90 = 25 812, 807Ω.
La découverte inattendue de l’EHQE ne fut pas la seule surprise : en 1983,
D. Tsui, H. Störmer et A. Gossard découvrirent l’EHQF [2]. Il se produit à
des fractions « magiques » du facteur de remplissage, notamment dans le
plus bas NL. Les premiers états observés étaient ceux à ν = 1/3 et 2/3. Depuis, on a trouvé toute une zoologie d’états, comme au début de la physique
des particules élémentaires. L’effet est particulièrement remarquable parce
que, au niveau de l’énergie cinétique qui donne lieu à la formation des NL, il
y a pour un remplissage non entier une dégénérescence énorme des états à N
particules. C’est l’interaction de Coulomb, qui devient alors la seule échelle
d’énergie (à part les impuretés), qui lève la dégénérescence originale – on
est donc face à un système d’électrons fortement corrélés. Notre comprehension de l’EHQF est, encore aujourd’hui, due à une théorie proposée par R.
14
Introduction
Laughlin en 1983 : elle consiste en une fonction d’onde à N particules (en
première quantification) qui décrit un liquide électronique incompressible,
dont les excitations élementaires et collectives sont séparées par un gap de
l’état fondamental [9]. Suite à cette proposition et à la découverte d’autres
états d’EHQF, qui ne sont pas classifiés par la théorie originale de Laughlin,
plusieurs généralisations ont été proposées. Dans la même année, B. Halperin généralisa la fonction d’onde de Laughlin au cas avec un degré de liberté
discret, comme le spin [15], et J. Jain proposa en 1989 une généralisation aux
états trouvés à ν = p/(2sp+1), avec s et p entier, en termes de fermions composites (FC). La théorie de FC nous permet de comprendre l’EHQF comme
un EHQE de ces quasi-particules, qui seront l’objet du chapitre 4.
1.3
Echantillons
La découverte des EHQE et EHQF est intimement liée au progres dans
la fabrication des échantillons et des gaz d’électrons 2D. Comme on possède
depuis assez longtemps des couches métalliques d’assez bonne qualité, on
pourrait se poser la question pourquoi ces effets ont été découverts si tard. Un
raisonnement en ordres de grandeur fournit la réponse : la densité élecronique
dans les métaux étant essentiellement donnée par la densité d’atomes du
< 10−9 m, la densité surfacique est
réseau, avec un pas caractéristique de a ∼
nettement plus grande que nel = 1018 m−2 = 1014 cm−2 . La physique de l’effet
Hall quantique se manifeste lorsque la densité électronique est de l’ordre
de la densité de flux, nel ∼ nB = eB/h, ce qui, avec e = 1, 6 × 10−19 C et
h = 6, 6×10−34 Js, nécessiterait des champs magnétiques de l’ordre de 1000T.
Même les aimants les plus puissants, à notre disposition aujourd’hui pour les
expériences, ne dépassent pas des champs de l’ordre de 40T dans le régime
continu et 80T pour des champs pulsés. Des champs plus intenses ne sont
accessibles que dans des expériences destructrices, i.e. des expériences qui
détruisent les échantillons et parfois même les aimants. Une grandeur
p utile
pour caractériser
les
distances
est
la
longueur
magnétique,
l
=
h̄/eB =
B
p
25, 7nm/ B[T], qui constitue une longueur minimale du système.
Des densités électroniques moins élevées, typiquement nel ∼ 1011 cm−2 ,
peuvent être atteintes dans des structures semiconductrices. Les échantillons
utilisés pendant la découverte de l’EHQE étaient des MOS FET, FET pour
« transistor à effet champ » (en anglais : Field Effect Transistor) et MOS
pour ses composantes, métal-oxyde-semiconducteur. Une telle structure est
Echantillons
15
(a)
métal
oxyde
(isolant)
semiconducteur
I
bande de
conduction
niveaux
d’accepteurs
EF
z
métal
oxyde
semiconducteur
V
G
bande de
valence
II
z
(b)
E1
E0
(c)
métal
oxyde
(isolant)
métal
semiconducteur
VG
niveaux
d’accepteurs
bande de
valence
z
oxyde
(isolant)
z
électrons 2D
bande de
conduction
bande de
conduction
EF
E
niveaux
d’accepteurs
EF
VG
bande de
valence
z
Fig. 1.3 – Transistor à effet champ (MOS FET). L’encadré I montre le schéma d’un
MOS FET. (a) Structure des niveaux. Dans la partie métallique, la bande est remplie
jusqu’au niveau de Fermi (EF ) tandis que l’oxyde est un isolant. Dans le semiconducteur,
le niveau de Fermi se trouve dans le gap entre la bande de valence et la bande de conduction.
Près de la bande de valence, mais au-dessus de EF , se trouvent les niveaux des dopants
(accepteurs). (b) Le potentiel chimique dans la partie métalique peut être piloté par une
tension de grille VG . L’introduction de trous a pour effet une courbure des bandes dans
la partie semiconductrice, et (c) à partir d’une certaine tension, la bande de conduction
se remplit près de l’interface avec l’isolant, ce qui crée le gaz d’électron 2D. Son potentiel
de confinement a une forme triangulaire, dont les niveaux (sousbandes électroniques) sont
représentés dans l’encadré II.
16
(a)
EF
Introduction
AlGaAs
(b)
GaAs
EF
dopants
(récepteurs)
z
AlGaAs
dopants
(récepteurs)
GaAs
électrons 2D
z
Fig. 1.4 – Hétérostructure semiconductrice (GaAs/AlGaAs). (a) Une couche de dopants
(récepteurs) se trouve du côté de AlGaAs, à une certaine distance de l’interface avec GaAs.
L’énergie de Fermi se trouve dans les niveaux des dopants. La bande de conduction de
GaAs étant plus basse que ces niveaux, il est énergétiquement favorable pour les électrons
qui occupent les niveaux des dopants proche de l’interface de se mettre dans la bande de
conduction de GaAs. (b) Cette polarisation mène à une courbure des bandes, et un gaz
d’électrons 2D se forme à l’interface, du côté de GaAs.
esquissée dans la figure 1.3. Une couche métallique est séparée d’un semiconducteur, dopé avec des accepteurs, par une couche isolante (oxyde). Le
potentiel chimique du métal peut être contrôlé par une tension de grille VG .
A VG = 0, le niveau de Fermi EF se trouve entre la bande de conduction
et la bande de valence dans le semiconducteur, en-dessous des niveaux d’accepteurs [Fig. 1.3(a)]. Lorsqu’on abaisse le potentiel chimique par VG > 0
dans le métal, on y introduit des trous qui, par l’effet capacitif, attirent les
électrons du semiconducteur vers l’interface avec l’isolant. Cela a pour effet
de courber vers le bas les bandes du semiconducteur lorsqu’on s’approche
de l’interface. D’abord, les électrons attirés vers l’interface remplissent les
niveaux d’accepteurs, qui se trouvent maintenant en-dessous de EF [Fig.
1.3(b)]. En abaissant davantage le potentiel chimique dans le métal, la bande
de conduction du semiconducteur peut être courbée en-dessous du niveau de
Fermi près de l’isolant, et les électrons qui peuplent cette partie de la bande
de conduction forment le gaz d’électrons 2D. La dynamique de ces électrons,
malgré l’extension de leur fonction d’onde dans la direction z, est purement
2D si le confinement est suffisamment fort pour que la séparation entre les
sousbandes électroniques, E0 (partiellement rempli) et E1 (vide), soit plus
grande que l’énergie thermique kB T (encadré II de la figure 1.3).
Echantillons
17
Le problème du MOS FET est le manque de séparation spatiale entre le
gaz d’électrons 2D et les dopants, qui agissent également comme des diffuseurs. Cela mène à un libre parcours moyen relativement court et donc à
une basse mobilité des électrons 2D. Ce problème est contourné dans un gaz
2D qui se forme à l’interface d’une hétérostructure semiconductrice, comme
par exemple dans le composé III-V GaAs/AlGaAs. Les deux semiconducteurs n’ont pas le même gap entre leurs bandes de conduction et de valence
respectives. Lorsqu’on dope le côté Alx Ga1−x As, avec le plus grand gap, les
niveaux des dopants récepteurs sont occupés par des électrons, et l’énergie
de Fermi est donc accrochée aux niveaux des récepteurs, qui peuvent avoir
une plus haute énergie que la bande de conduction dans GaAs. Il est donc
énergétiquement favorable pour les électrons qui occupent les niveaux des
récepteurs proche de l’interface de sauter dans cette bande de conduction
[Fig. 1.4(a)], et cette polarisation a pour effet une courbure des bandes, similaire à celle dans un MOS FET. On obtient ainsi un gaz d’électrons 2D à
l’interface, mais cette fois-ci du côté de GaAs qui n’est pas désordonné par les
dopants. Cette séparation spatiale permet donc d’avoir une mobilité accrue
par rapport aux MOS FET. Notons enfin que le progrès technologique dans la
fabrication des hétérostructures semiconductrices pendant ces vingt dernières
années a permis d’augmenter la mobilité électroniques par deux ordres de
grandeurs : l’EHQF a été découvert en 1983 dans un échantillon avec une
mobilité de µ ' 0, 1×106 cm2 /Vs [2], tandis que les échantillons du même type
(GaAs/AlGaAs) utilisés aujourd’hui ont une mobilité de µ ' 30×106 cm2 /Vs.
18
Introduction
Chapitre 2
Particule chargée dans un
champ magnétique
Notre compréhension des effets Hall quantiques, intégral et fractionnaire,
est essentiellement basée sur le traitement quantique d’un électron dans un
champ magnétique lorsqu’on restreint sa dynamique au plan x−y. C’est l’objet de ce chapitre, qui commence par une discussion du mouvement classique
de l’électron, avant d’aborder son comportement quantique.
2.1
Traitement classique
L’équation du mouvement d’un électron (de charge −e et de masse m)
dans un champ magnétique B = Bez s’écrit
ẍ = −ωC ẏ,
ÿ = ωC ẋ,
(2.1)
ce qui se déduit de la force de Lorentz F = −eṙ×B – on rappelle la fréquence
cyclotron ωC = eB/m. L’équation s’intègre formellement,
ẋ = −ωC (y − Y ),
ẏ = ωC (x − X),
(2.2)
où R = (X, Y ) est une constante du mouvement. Avec η = (ηx , ηy ) = r − R,
on a
η¨x = −ωC2 ηx ,
η¨y = −ωC2 ηy ,
(2.3)
et l’on obtient comme solution
x(t) = X + r sin(ωC t + φ),
y(t) = Y + r cos(ωC t + φ),
19
(2.4)
20
Particule chargée dans un champ magnétique
B
η
R
r
Fig. 2.1 – Mouvement cyclotron d’un électron dans un champ magnétique autour du
centre de guidage R.
où r est le rayon caractéristique du mouvement cyclotron, et φ un angle arbitraire (constantes du mouvement). La signification physique de la constante
du mouvement R devient plus transparente : il s’agit du « centre de guidage »
autour duquel tourne l’électron en cercle de rayon r (Fig 2.1).
2.1.1
Formalisme lagrangien
La stratégie de la mécanique lagrangienne consiste à trouver une fonction
L (d’énergie) qui reproduise les équations du mouvement du système classique. Cette fonction est définie dans l’espace des configurations (positions
qµ et vitesses q̇µ ) et satisfait aux équations d’Euler-Lagrange
d ∂L
∂L
−
= 0,
dt ∂ q̇µ ∂qµ
(2.5)
pour tout indice µ. La fonction appropriée pour notre cas est
1
L(x, y; ẋ, ẏ) = m ẋ2 + ẏ 2 − e [Ax (x, y)ẋ + Ay (x, y)ẏ] ,
2
(2.6)
où A = (Ax , Ay ) est un potentiel vecteur constant dans le temps. Ce n’est
pas autre chose que le couplage minimal d’une particule chargée à un champ
Traitement classique
21
électromagnétique qui s’écrit de façon covariante (avec la convention d’Einstein)
1
Lrel = mẋµ ẋµ − eẋµ Aµ .
2
Les moments conjugués, dont on aura besoin dans le cadre de la formulation
hamiltonienne et donc de la mécanique quantique, sont
px ≡
∂L
= mẋ − eAx ,
∂ ẋ
py ≡
∂L
= mẏ − eAy .
∂ ẏ
(2.7)
Les équations d’Euler-Lagrange fournissent les équations du mouvement [Eq.
(2.1)]
mẍ = −eẏ(∂x Ay − ∂y Ax ),
mÿ = eẋ(∂x Ay − ∂y Ax ),
(2.8)
où ∂x ≡ ∂/∂x et ∂y ≡ ∂/∂y, et (∂x Ay − ∂y Ax ) = (∇ × A)z = B est bien la
composante z du champ magnétique.
Invariance de jauge
Une transformation de jauge sur le potentiel vecteur est donnée par
A = A + ∇χ, où χ est une fonction arbitraire. Le champ magnétique est
naturellement invariant de jauge, car ∇ × ∇χ = 0. Une jauge habituelle en
physique non relativiste est la jauge de Coulomb, ∇ · A = 0.1 Notons que la
jauge n’est pas complètement fixée par cette contrainte – elle impose seulement ∆χ = 0, où ∆ = ∇2 est le laplacien, et les transformations de jauge en
2D sont donc données par les fonctions harmoniques. Deux jauges, souvent
utilisées pour le traitement quantique du problème, sont la jauge de Landau
0
AL = B(−y, 0, 0)
(2.9)
et la jauge symétrique
B
(−y, x, 0),
(2.10)
2
et la transformation entre ced deux jauges est décrite par la fonction χ =
(B/2)xy.
Comme les vitesses, ẋ et ẏ, sont également invariantes de jauge, on voit
que les moments conjugués dans l’équation (2.7) ne le sont pas. Les quantités
de mouvement invariantes de jauge sont
AS =
Πx = mẋ = px +eAx = −mωC ηy ,
1
Πy = mẏ = py +eAy = mωC ηx , (2.11)
En mécanique relativiste, on utilise plutôt la jauge de Lorentz, ∂ µ Aµ = 0.
22
Particule chargée dans un champ magnétique
où on a utilisé Eq. (2.2).
2.1.2
Formalisme hamiltonien
Pour le traitement quantique d’un système à une particule, il est souvent
préférable d’utiliser le formalisme hamiltonien de la mécanique classique.
Le hamiltonien s’obtient à partir du lagrangien par une transformation de
Legendre,
H(x, y; px, py ) = ẋpx + ẏpy − L,
et il est une fonction d’énergie définie dans l’espace des phases (positions/moments conjugués). Il faut donc exprimer, à l’aide des équations (2.7), les
vitesses en terme de moments conjugués, et l’on trouve pour le hamiltonien
H=
1 (px + eAx )2 + (py + eAy )2 .
2m
(2.12)
Notons que le hamiltonien peut également s’écrire, de façon concise, en terme
de variables « relatives » (ηx , ηy ),
1
H = mωC2 (ηx2 + ηy2 ),
2
(2.13)
où les « nouvelles » variables sont pourtant définies par les variables de
l’espace des phases, i.e. (x, y, px , py ).
2.2
Traitement quantique
Le formalisme hamiltonien nous permet d’introduire la quantification canonique, où l’on impose la non commutativité d’une position avec son moment conjugué, en termes de constante de Planck h̄,
[x, px ] = [y, py ] = ih̄,
[x, y] = [px , py ] = [x, py ] = [y, px ] = 0.
Comme [x, y] = 0, on voit immédiatement que [ηx , ηy ] = −[X, Y ], et le fait
que les composantes du centre de guidage sont des constantes du mouvement
se traduit par [voir aussi Eq. (2.13)]
[X, H] = [Y, H] = 0.
(2.14)
Traitement quantique
23
Pour calculer le commutateur entre les composantes ηx et ηy , on peut se
servir de la formule utile
[A, f (B)] =
∂f
[A, B],
∂B
(2.15)
qui est valable pour deux opérateurs arbitraire qui commutent avec leur commutateur, [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0. On obtient
[ηx , ηy ] =
e
m2 ωC2
([px , Ay ] − [py , Ax ])
1
(∂x Ay [px , x] − ∂y Ax [py , y])
eB 2
−ih̄
=
eB
p
ou, en termes de longueur magnétique lB ≡ h̄/eB,
=
2
[ηx , ηy ] = −ilB
,
2
[X, Y ] = ilB
.
(2.16)
Le résultat est bien évidemment invariant de jauge. Un point remarquable est
que le système d’une particule chargée dans un champ magnétique constitue
peut-être l’exemple le plus simple d’une géométrie non commutative. Pour
voir cela plus en détail, on remarque que, sans aucune connaissance de la
structure des niveaux d’énergie, ces derniers sont dégénérés – dans un niveau choisi au hasard, chaque état occupe une surface minimale donnée par
l’incertitude de Heisenberg,
2
σ = ∆X∆Y = 2πlB
.
Dans ce sens, l’espace réel 2D ressemble à l’espace des phases d’une particule
1D, où chaque état occupe une “surface” de 2πh̄. La dégénérescence par niveau peut donc être décrite directement en fonction de cette surface minimale,
le nombre d’états par niveau et par unité de surface étant nB = 1/σ = B/φ0
– i.e. la densité de flux en unité de quantum de flux φ0 = h/e. Comme les
électrons suivent la statistique fermionique, chaque état quantique peut être
occupé au maximum par une seule particule à cause du principe de Pauli.
Dans le cas où il y a plusieurs électrons dans le système, le remplissage ν des
niveaux d’énergie est donc décrit par le rapport entre la densité surfacique
d’électrons nel et la densité de flux nB , ν = nel /nB . Ce rapport est aussi
appelé facteur de remplissage.
24
Particule chargée dans un champ magnétique
La forme (2.13) du hamiltonien, avec les relations de commutation (2.16),
montre immédiatement qu’il s’agit d’un oscillateur harmonique – ηx et ηy
peuvent être interprétés comme des variables conjuguées. Pour montrer plus
explicitement la structure de l’oscillateur harmonique, on introduit deux jeux
d’opérateurs d’échelle, (a, a† ) avec
a = √
1
(ηx − iηy ),
2lB
lB
ηx = √ (a† + a),
2
a† = √
1
(ηx + iηy )
2lB
lB
ηy = √ (a† − a),
2i
(2.17)
et (b, b† ) avec
b = √
1
(X + iY ),
2lB
lB
X = √ (b† + b),
2
b† = √
1
(X − iY )
2lB
ilB
Y = √ (b† − b),
2
(2.18)
avec [a, a† ] = [b, b† ] = 1 et [a, b(†) ] = 0. En termes d’opérateurs d’échelle, le
hamiltonien s’écrit
1
†
H = h̄ωC a a +
.
(2.19)
2
Le spectre d’énergie est donc donné par En = h̄ωC (n+1/2), où n est la valeur
propre de l’opérateur a† a. Dans le contexte de l’électron dans un champ
magnétique on appelle les niveaux équidistants de l’oscillateur « niveaux de
Landau » (NL, voir Fig. 2.2). Notons de plus que formellement, on peut voir
ce système comme deux oscillateurs harmoniques,
1
1
†
0
†
+ h̄ω b b +
,
H = h̄ωC a a +
2
2
où la fréquence du deuxième oscillateur est nulle, ω 0 = 0. Le deuxième nombre
quantique m est donc la valeur propre de b† b.
Les états propres sont donc déterminés par les deux nombres quantiques
entiers, n et m, associés aux deux sortes d’opérateurs d’échelle,
√
√
a† |n, mi = n + 1|n + 1, mi,
a|n, mi = n|n − 1, mi (pour n >0);
√
√
b|n, mi = m|n, m − 1i (pour m >0).
b† |n, mi = m + 1|n, m + 1i,
25
niveaux de Landau
Traitement quantique
4
3
2
1
n=0
m
Fig. 2.2 – Niveaux de Landau. Le nombre quantique n dénombre les niveaux, et m est
associé au centre de guidage qui donne lieu à la dégénérescence de chaque niveau.
Dans le cas où n = 0 ou m = 0, on trouve
a|0, mi = 0,
b|n, 0i = 0,
(2.20)
et des nombres négatifs sont exclus. Un état arbitraire peut par conséquent
être construit à l’aide des opérateurs d’échelle à partir de l’état |0, 0i,
(a† )n (b† )m
|n, mi = √ √ |0, 0i.
n! m!
(2.21)
Les fonctions d’ondes, qui sont la représentation de ces états dans l’espace
réel, dépendent de la jauge choisie pour le potentiel vecteur.
2.2.1
Fonctions d’onde dans la jauge symétrique
Pour trouver les fonctions d’onde φn,m (x, y) = hx, y|n, mi, i.e. la représentation des états propres dans l’espace réel, nous devons fixer une jauge. Ici,
on choisit la jauge symétrique [Eq. (2.10)], A = (B/2)(−y, x, 0), et il suffit
de traduire les équations (2.20) et (2.21) en équations différentielles, à l’aide
de px = −ih̄∂x et py = −ih̄∂y . A l’aide des équations (2.11) et (2.17), on
trouve la représentation des opérateurs d’échelle dans la jauge symétrique
∗
√
√
z
z
†
¯
+ lB ∂ ,
a = 2
− lB ∂
a= 2
2
4lB
4lB
∗
√
√
z
z
†
¯
b= 2
− lB ∂
(2.22)
+ lB ∂ ,
b = 2
2
4lB
4lB
26
Particule chargée dans un champ magnétique
où z = x − iy est la position de l’électron dans le plan complexe,2 z ∗ = x + iy
son complexe conjugé, ∂¯ = (∂x − i∂y )/2 et ∂ = (∂x + i∂y )/2. Par conséquent,
un état dans le plus bas NL est déterminé par l’équation différentielle
2 ¯
z + 4lB
∂ φn=0 (z, z ∗ ) = 0.
(2.23)
La solution de l’équation (2.23) est une gaussienne multipliée par une fonction
¯ (z) = 0,
analytique arbitraire f (z), avec ∂f
φn=0 (z, z ∗ ) = f (z)e−|z|
2 /4l2
B
,
(2.24)
De la même façon on trouve pour l’état avec m = 0
2
z ∗ + 4lB
∂ φm=0 (z, z ∗ ) = 0,
(2.25)
dont la solution est
φm=0 (z, z ∗ ) = g(z ∗ )e−|z|
2 /4l2
B
,
(2.26)
où la fonction g(z ∗ ) est anti-analytique, ∂g(z ∗ ) = 0. L’état |n = 0, m = 0i
doit donc être représenté par une fonction qui soit à la fois analytique et
anti-analytique, et la seule fonction qui satisfasse à cela est une constante.
Avec la normalisation, on obtient
1
2
2
φn=0,m=0 (z, z ∗ ) = hz, z ∗ |n = 0, m = 0i = p 2 e−|z| /4lB ,
2πlB
(2.27)
Un état correspondant au nombre quantique m dans le plus bas NL s’obtient
à l’aide des équations (2.20) et (2.22),
√
m
2m
z
2
2
∗
¯
e−|z| /4lB
φn=0,m (z, z ) = p 2
− lB ∂
2πlB m! 4lB
m
1
z
2
2
√
= p 2
e−|z| /4lB ,
(2.28)
2lB
2πlB m!
et
n
∗
2n
z
2
2
− lB ∂ e−|z| /4lB
φn,m=0 (z, z ) = p 2
2
2πlB n! 4lB
∗ n
1
z
2
2
√
e−|z| /4lB ,
= p 2
2lB
2πlB n!
∗
2
√
(2.29)
Le signe de la partie réelle est inhabituel, mais il convient pour les électrons. Si l’on
traitait des particules de charge positive, on obtiendrait la chiralité opposée.
Traitement quantique
27
pour un état centré à l’origine m = 0 dans le NL n. En regardant ces deux
équations, on constate que le nom « jauge symétrique » n’est pas inapproprié.
Un état arbitraire peut s’écrire
√
m ∗ n
2m
z
z
2
2
∗
¯
√
φn,m (z, z ) = p 2
− lB ∂
e−|z| /4lB
(2.30)
2lB
2πlB m!n! 4lB
ce qui engendre les polynômes de Laguerre associés [17].
Il est remarquable que, même si les fonctions (2.28) et (2.29) ont la même
densité de probabilité,3
2 j −|z|2 /2l2
B
e
|z|
∗ 2
∗ 2
,
|φn=0,m=j (z, z )| = |φn=j,m=0(z, z )| ∼
2
j!
√
avec un maximum de probabilité au rayon r0 = 2jlB (Fig. 2.3), elles ne
représentent pas des états de même énergie.
Pour conclure la discussion des états |n = 0, mi représentés dans la jauge
symétrique, on calcule la valeur moyenne de l’opérateur de centre de guidage.
A l’aide des équations (2.18), on trouve que
hRi ≡ hn = 0, m|R|n = 0, mi = 0,
mais
h|R|i =
E
Dp
E
D√
√
X 2 + Y 2 = lB
2b† b + 1 = lB 2m + 1.
(2.31)
Cela signifie que, non seulement la particule,
mais aussi son centre de guidage
√
se trouvent sur un cercle de rayon lB 2m + 1, mais sa phase est indéterminée.
Notons que l’on peut se servir de cet argument pour le comptage des états,
qu’on a déjà élaboré plus haut, pour une géométrie avec un disque de rayon
2
Rmax
√ et de surface A = πRmax : comme l’état de rayon maximal est Rmax =
lB 2M + 1, cela donne pour le nombre d’états dans la limite thermodyna2
= AnB , avec nB = eB/h, en accord avec l’argument
mique M = A/2πlB
concernant la surface minimale d’un état due à la non commutativité des
composantes du centre de guidage. De la même manière, on constate pour
l’état |n, m = 0i dans le niveau n que la variable relative η se trouve localisée
sur un rayon
√
RC ≡ h|η|i = lB 2n + 1
(2.32)
qu’on appelle également rayon cyclotron.
3
Il s’agit d’une distribution poissonienne.
28
Particule chargée dans un champ magnétique
0.4
(a)
n=1
n=3
n=5
0.35
|φn,m=0(z,z )|
* 2
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
(b)
3
r/lB=|z|/lB
n=0
4
6
n=1
2
y/l B
0
0
-2
-2
-4
-4
-4
-2
0
x/l B
2
4
-4
n=3
4
-2
0
x/l B
2
4
n=5
4
2
y/l B
5
4
2
y/l B
4
2
y/l B
0
0
-2
-2
-4
-4
-4
-2
0
x/l B
2
4
-4
-2
0
x/l B
2
4
Fig. 2.3 – Densité de probabilité d’un état |n, m = 0i pour différentes valeurs√ de n. (a)
La densité ne dépend que du rayon |z| = r et possède un maximum à r0 = lB 2jlB . (b)
Quand elles sont tracées dans le plan 2D, les fonctions d’onde pour n ≥ 1 ont la forme
d’un anneau.
Traitement quantique
(a)
29
p
p0
p
x0 x
x
(b)
y
y0
y
<x,y|x0 ,y0 >
<x,y|n=0,m=0>
x
x0 x
Fig. 2.4 – Etats cohérents.
2.2.2
Etats cohérents et mouvement semi-classique
Pour retrouver la trajectoire classique (2.4), il faut construire des états
semi-classique, aussi appelés états cohérents parce qu’il jouent un rôle éminent
en optique quantique. Dans le cas d’un oscillateur harmonique 1D, un état
cohérent peut être vu comme un état dans
p l’espace des phases qui a à la fois
une incertitude minimale dans le rayon x2 + p2 et dans sa phase. Cet état
peut se construire à partir de l’état fondamental qu’on déplace dans l’espace
des phases à l’endroit (x0 , p0 ) souhaité [Fig. 2.4(a)]. Le déplacement s’effectue
à l’aide de l’opérateur
D(x0 , p0 ) = e−i(x0 p̂−p0 x̂) ,
(2.33)
où on a ajouté les chapeaux sur les symboles qui représentent des opérateurs,
pour mieux les distinguer des variables x0 et y0 . On voit bien que cet opérateur
donne lieu au déplacement souhaité, car on trouve à l’aide de la formule (2.15)
D † (x0 , p0 )x̂D(x0 , p0 ) = eix0 p̂ x̂e−ix0 p̂ = x̂ + x0
et
D † (x0 , p0 )p̂D(x0 , p0 ) = e−ip0 x̂ p̂eip0 x̂ = p̂ + p0 .
30
Particule chargée dans un champ magnétique
L’état cohérent s’écrit
|x0 , p0 i = D(x0 , p0 )|n = 0i,
(2.34)
où |n = 0i désigne l’état fondamental de l’oscillateur harmonique 1D. Notons
qu’en principe, [D(x0 , y0 ), H] 6= 0 et l’état cohérent n’est donc pas un état
propre du hamiltonien. En effet, l’état change dans le temps, et on retrouve
ainsi la trajectoire dans l’espace des phases [Fig. 2.4(a)]. Malgré la formulation de l’état propre comme dans l’équation (2.34), x0 et p0 ne sont pas
stricto sensu des nombres quantiques – ce serait même en contradiction avec
les postulats fondamentaux de la mécanique quantique, car les opérateurs associés ne commutent pas entre eux. La base |x0 , p0 i est dite « sur-complète »
[18].
D’un point de vue général, un déplacement peut se construire à partir
de deux operateurs conjugués, qui ne commutent donc pas. Dans le cas d’un
électron 2D dans un champ magnétique, on a deux paires à notre disposi2
2
tion, [X, Y ] = ilB
et [ηx , ηy ] = −ilB
. Avec le premier choix, l’opérateur de
déplacement, qui agit cette fois-ci dans l’espace réel, s’écrit
D(X0 , Y0 ) = e
−
i
l2
B
(X0 Ŷ −Y0 X̂)
,
(2.35)
et l’état cohérent (dans le plus bas NL) est
|X0 , Y0 ; n = 0i = D(X0 , Y0 )|0, 0i,
(2.36)
où |0, 0i ≡ |n = 0, m = 0i. Notons que, comme le centre de guidage est une
constante du mouvement, l’opérateur de déplacement D(X0 , Y0 ) commute
avec le hamiltonien. L’état (2.36) reste donc un état propre du hamiltonien,
ce qui justifie le maintien du deuxième nombre quantique n.
La dynamique est obtenue à l’aide de la deuxième paire d’opérateurs qui
ne commutent pas, avec l’opérateur de déplacement
D̃(η0x , η0y )
=e
i
l2
B
(η0x η̂y −η0y η̂x )
,
(2.37)
qui engendre un déplacement à la position η 0 = (η0x , η0y ), et un état semiclassique général peut donc s’écrire
|X0 , Y0 ; η0x , η0y i = D̃(η0x , η0y )D(X0 , Y0 )|0, 0i.
(2.38)
Le centre de guidage est donc centré à R0 = (X0 , Y0 ), et l’électron tourne
autour de cette position sur un cercle de rayon r = |η 0 |. On retrouve ainsi
Traitement quantique
31
le mouvement représenté dans la Fig. 2.1, en termes de paquet gaussien. On
peut prouver ces propriétés dynamiques en constatant qu’un état cohérent
est un état propre de l’opérateur d’échelle a, et dans notre cas aussi de b,
avec
η0x − iη0y
√
=
|X0 , Y0 ; η0x , η0y i,
2lB
X
+
iY0
0
√
|X0 , Y0 ; η0x , η0y i.
b |X0 , Y0 ; η0x , η0y i =
2lB
a |X0 , Y0 ; η0x , η0y i
(2.39)
Cela se voit lorsqu’on exprime les opérateurs de déplacement en termes
d’opérateurs d’échelle (2.17) et (2.18),
D(X0 , Y0 ) = eβb
† −β ∗ b
D(η0x , η0y ) = eαa
† −α∗ a
= e−|β|
2 /2
= e−|α|
∗
†
eβb e−β b ,
2 /2
†
∗
eαa e−α a ,
(2.40)
où l’on a défini
η0x − iη0y
α≡ √
2lB
X0 + iY0
β≡ √
,
2lB
et où on s’est servi de la formule de Baker-Hausdorff
eA+B = eA eB e−[A,B]/2 ,
(2.41)
qui est valable lorsque [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0. L’état cohérent s’écrit
donc
|X0 , Y0 ; η0x , η0y i = e−(|α|
2 +|β|2 )/2
†
†
eαa eβb |0, 0i
et l’on trouve à l’aide de la formule (2.15)
a |X0 , Y0 ; η0x , η0y i
= e
−(|α|2 +|β|2 )/2
b |X0 , Y0 ; η0x , η0y i = e−(|α|
2 +|β|2 )/2
h
αa†
a, e
h
†
eαa
i
†
eβb |0, 0i = α |X0 , Y0 ; η0x , η0y i,
i
†
b, eβb |0, 0i = β |X0 , Y0 ; η0x , η0y i,
ce qui n’est autre chose que l’équation (2.39).
Pour obtenir l’évolution temporelle de l’état cohérent |α, βi = |X0 , Y0 ; η0x , η0y i,
32
Particule chargée dans un champ magnétique
il suffit d’appliquer l’opération d’évolution à l’état,
i
|α, βi(t) = e− h̄ Ht |α, βi(t = 0)
∞
X
i
(αa† )n
2
= e−(|α| )/2 e− h̄ Ht
|n = 0, βi(t = 0)
n!
n=0
∞
X
(α)n
√ |n, βi(t = 0)
= e
e
n!
n=0
∞
X (αe−iωC t )n
−(|α|2 )/2 −iωC t/2
√
|n, βi(t = 0)
= e
e
n!
n=0
−(|α|2 )/2 − h̄i Ht
= e−iωC t/2 |α(t = 0)e−iωC t , βi,
(2.42)
ce qui donne pour l’évolution des valeurs propres
α(t) = α(t = 0)e−iωC t ,
β(t) = β(t = 0).
(2.43)
√
√
√
x
2l
2l
2lB Re[α(t)] et η0y (t) =
Re[β],
Y
=
Im[β],
η
(t)
=
Comme
X
=
B
0
B
0
0
√
− 2lB Im[α(t)], on retrouve
η0x (t) = η0x (t = 0) cos(ωC t),
η0y (t) = η0y (t = 0) sin(ωC t)
et donc la trajectoire donnée dans l’équation (2.4), en identifiant r = |η 0 | et
R = (X0 , Y0 ), comme il a été mentionné plus haut.
Chapitre 3
Propriétés de transport – effet
Hall quantique entier
Dans ce chapitre, nous abordons quelques aspects de la physique de l’effet
Hall quantique entier (EHQE), sur la base du traitement quantique d’un
électron 2D dans un champ magnétique, discuté dans le chaptitre précédent.
L’EHQE se comprend à partir de deux ingrédients :
– chaque NL complètement rempli (à ν = n) contribue à la conduction
électronique avec un quantum de conductance, e2 /h,
– des électrons supplémentaires, qui peuplent le prochain NL à ν 6= n,
sont localisés par les impuretés résiduelles de l’échantillon et ne contribuent donc pas au transport.
Ce deuxième aspect ressemble, à première vue, à la localisation d’Anderson
d’électrons 2D sans champ magnétique [19]. Il se trouve que la localisation
devient même plus pertinente en présence d’un champ magnétique.
3.1
Calcul de conductance d’un niveau de Landau rempli
Pour calculer la conductance d’un NL complètement rempli, on fait l’hypothèse initiale que le système est invariant par translation dans la direction
x. Dans la direction y, on tient compte d’un confinement qui est à l’origine
d’une courbure vers le haut des NL dans les zones « interdites » (contact L
et contact R dans la figure 3.1). La jauge appropriée à une telle situation est
33
Propriétés de transport – EHQE
contact
L
énergie
34
contact
R
µL
µR
NL n
k min
y’
k max y=kl B2
Fig. 3.1 – NL dans la jauge de Landau, avec un potentiel électrostatique plus élevé dans
les zones « contact L » et « contact R » dont le potentiel chimique est donné respectivement par µL et µR . La position y 0 dans la direction y est liée au vecteur d’onde k dans la
2
direction x par y 0 = klB
.
la jauge de Landau AL = B(−y, 0, 0), et le hamiltonien s’écrit donc
H=
p2y
(px − eBy)2
+
− eV (y),
2m
2m
où le potentiel V (y) tient compte de la courbure vers le haut de l’énergie
par le confinement, ainsi que d’une éventuelle variation lente du potentiel
électrostatique dans le volume. Le développement du potentiel autour d’une
position y 0 donne
V (y) = V (y 0 ) − E(y − y 0 ) + ...,
(3.1)
où E est un champ électrique local orienté dans la direction y. On choisi
le référentiel et le zéro d’énergie afin que y 0 = 0 et V (y 0 = 0) = 0. Cette
linéarisation donne pour le hamiltonien dans le voisinage de y 0 = 0
H=
p2y
1
E
+ mωC2 (y − y0 )2 + px + C,
2m 2
B
2
où px = h̄k, y0 = klB
−eE/mωC2 et C est une constante sans intérêt. En raison
de l’invariance par translation dans la direction x, px (ou k) est conservée et
constitue donc un bon nombre quantique. Il correspond au nombre quantique
m dans la jauge symétrique et, par conséquent, au centre de guidage qui est,
Calcul de conductance d’un NL rempli
35
dans un état |n, ki, délocalisé sur une ligne dans la direction x à la position
2
klB
. L’énergie d’un tel état |n, ki est
1
E
(3.2)
εn,k = h̄ωC n +
+ h̄k ,
2
B
et l’on constate que les niveaux sont localement inclinés en raison du champ
électrique local E.
Pour calculer la conductance d’un niveau (dans la direction x), on se sert
de la formule
eX
hn, k|vx |n, ki,
(3.3)
In = −
L k
où L est l’extension du système dans la direction x, et la valeur moyenne de
la vitesse est donnée par la dispersion de l’énergie
1 ∂εn,k
1 ∆εn,k
'
.
h̄ ∂k
h̄ ∆k
Dans la dernière ligne, on a utilisé l’approximation, innocente pour L très
grand, que l’écart ∆k = 2π/L soit petit. Avec ce remplacement, on a
vk =
L
L
∆εn,k =
(εn,k+1 − εn,k ).
2πh̄
2πh̄
Notons que l’équation (3.3) n’est strictement valable que dans le voisinage
du point y 0 = 0, i.e. autour de k = 0. Il se trouve que la somme sur les états
k dans ce voisinage donne un résultat qui ne dépend que des énergies aux
« bords », kmin et kmax , comme les contributions à l’intérieur s’annulent dans
la somme de l’expression (3.3). Il est donc valable, dans le cas d’un potentiel
électrostatique qui varie lentement dans la direction y, de sommer sur les
voisinages, ce qui donne finalement
e
In = − (εn,kmax − εn,kmin ) ,
h
où les valeurs kmin et kmax définissent les extrémités du système dans la
direction y (Fig. 3.1). Les énergies à ces points sont données par les potentiels
chimiques dans les contacts, εn,kmin = µL et εn,kmax = µR . La différence de
potentiel chimique étant crée par une tension ∆µ = (µR − µL ) = −eV , on
obtient que la conductance d’un NL est bien e2 /h, car
In =
e2
V.
h
(3.4)
36
Localisation dans un champ magnétique fort
Dans le cas de n NL complètement remplis, on a donc pour la conductance
G=n
e2
,
h
et comme il s’agit d’une conductance transverse (courant dans la direction
x et différence de potentiel chimique dans la direction y), on obtient pour le
tenseur de résistance
0 −RH
−1
R̂ = Ĝ =
,
(3.5)
RH
0
avec la résistance de Hall RH = h/e2 n. Souvent les gens crient « Victoire ! »
après avoir déduit ce résultat important – à première vue, la résistance de Hall
ne dépend que des constantes universelles e et h, à part un entier n. Cette joie
est précoce si l’on tient compte correctement de la validité de cet argument :
l’équation (3.5) donne le résultat de la résistance de Hall uniquement pour
le cas où le facteur de remplissage est exactement un entier, ν = n. Or
ν = hnel /eB = n, et si l’on remplace n dans l’équation (3.5), on retombe sur
le résultat classique RH = B/enel . Pour avoir l’EHQE, il faut que la résistance
de Hall reste quantifiée sur toute une plage dans le voisinage de ν = n et
que donc les électrons (ou trous) supplémentaires injectés dans le système ne
contribuent pas au transport. En effet, ces particules supplémentaires sont
localisées par le potentiel dû aux impuretés résiduelles dans l’échantillon,
comme on le décrira dans la section suivante.
3.2
Localisation dans un champ magnétique
fort
Pour décrire la présence des impuretés, on considère un potentiel électrostatique Vext (r = R + η) qui varie lentement dans le plan xy afin que la
quantification en NL ne soit pas affectée. Ce potentiel lève la dégénérescence
des niveaux parce que le centre de guidage n’est plus une constante du mouvement. Cela se manifeste dans les équations de Heisenberg,
2
ih̄Ẋ = [X, H] = [X, Vext (X, Y )] = ilB
∂Vext
∂Y
et
2
ih̄Ẏ = −ilB
∂Vext
,
∂X
(3.6)
Calcul de conductance d’un NL rempli
37
Fig. 3.2 – Mouvement semi-classique d’un électron dans un champ magnétique en
présence d’un potentiel d’impuretés. Le centre de guidage suit les équipotentielles d’un
paysage, qui modélise le potentiel d’impuretés. Cette dérive de Hall, indiquée par la flèche,
est superposée au mouvement cyclotron de l’électron. Un transport électronique est uniquement possible dans le cas où l’équipotentielle connecte les deux bords de l’échantillon.
Si l’électron occupe un puits de potentiel avec une équipotentielle fermée, il ne contribue
pas au transport.
où on a utilisé la formule (2.15). On voit donc que le centre de guidage suit les
équipotentielles du potentiel d’impuretés (Fig. 3.2). Dans le cas d’un potentiel
créé par un champ électrique uniforme, discuté dans la section précédente,
cela mène à la dérive de Hall qui est donc perpendiculaire au champ local.
En termes de fonctions d’onde d’un NL, l’état quantique est localisé sur
l’équipotentiel qui correspond à son énergie. On peut voir cela comme une
déformation de la fonction d’onde, en forme d’anneau (Fig. 2.3), pour être
accordé à l’équipotentielle.
De la même manière, on trouve pour les équations de Heisenberg des
variables ηx et ηy ,
ih̄η̇x
⇔
η˙x
et
η˙y
1
= ηx , mωC (ηx2 + ηy2 ) + V (r + η)
2
l2 ∂V
= −ωC ηy − B
h̄ ∂ηy
2
l ∂V
= ω C ηx + B
.
h̄ ∂ηx
Cela nous fournit un critère pour la stabilité des NL, car les premiers termes
dans l’équation précédente doivent rester plus pertinents que les termes dus
38
Localisation dans un champ magnétique fort
au potentiel électrostatique – i.e., en ordres de grandeurs,
∂V
h̄ωC
.
∂η
lB
(3.7)
La condition est satisfaite lorsque (a) l’énergie caractéristique du potentiel
est bien plus petite que la séparation entre NL h̄ωC ou (b) sa variation dans
l’espace est lente.
On a maintenant à notre disposition les ingrédients essentiels pour comprendre certains aspects importants du phénomène de l’EHQE. L’argument
suivant est représenté de façon schématique dans la figure 3.3. On a vu, dans
la section précédente que la résistance de Hall à ν = n est RH = h/e2 n
alors que la résistance longitudinale est nulle. Lorsqu’on abaisse légèrment
le champ magnétique et donc le nombre d’états par NL, les électrons sont
contraints de peupler le prochain NL n+1 et se mettent de préférence dans les
vallées du potentiel d’impuretés. C’est une forme de localisation particulière
due au champ magnétique, et les électrons sont isolants. Les résistances restent donc accrochées à leurs valeurs initiales, ce qui fait aparaı̂tre un palier dans la résistance de Hall autour de ν = n. La résistance longitudinale
nulle indique un régime de transport balistique. On a vu, en effet, que les
contributions de transport s’annulent dans le volume et que le transport est
entièrement limité au bord qui est constitué de n canaux (états de bord), un
par NL complètement rempli. La direction du courant au bord est déterminée
par le gradient du potentiel qui y monte de façon considérable. Cela donne
aux états de bord une chiralité, et un électron injecté par un contact ne
peut revenir à ce dernier que si les bords opposés sont en proximité. La
rétro-diffusion est donc supprimée dans un échantillon macroscopique, et les
impuretés au bord ont pour seul effet de mélanger les différents canaux, sans
changer la direction du courant (diffusion vers l’avant).
C’est seulement quand les flaques d’électrons dans le NL n+1 grandissent
et deviennent elles-même macroscopique, i.e. lorsque les équipotentielles qui
connectent les différents bords sont remplis, que le système entre dans un
régime diffusif : la resistance longitudinale est non nulle, et la résistance de
Hall saute sur un plateau voisin. Cette situation se produit lorsque le dernier
NL est demi-rempli. Au-dessus demi-remplissage, on peut utiliser le même
argument, en termes de localisation de trous.
Pour comprendre l’EHQE dans la perspective d’états de bord, il est utile
de considérer la situation expérimentale d’une mesure sur un échantillon à
six contacts (Fig. 3.4). On injecte les électrons par le contact 1, et on les
Calcul de conductance d’un NL rempli
(a)
ε
(b)
ε
EF
n
EF
n
39
(c)
ε
EF
n
densité d’états
densité d’états
états localisés
états étendus
densité d’états
NL
(n+1)
Rxx R xy
Rxx R xy
Rxx R xy
h/e2 n
h/e2 n
h/e2 (n+1)
ν =n
B
B
B
Fig. 3.3 – Effet Hall quantique. La première ligne montre les NL élargis par les impuretés
et leur remplissage, indiqué par le niveau de Fermi (EF ). La deuxième ligne représente
l’échantillon vu d’en haut, avec les équipotentielles et le remplissage électronique du n-ième
NL. La dernière ligne montre schématiquement les courbes de résistance (longitudinale en
rouge et de Hall en bleu). La figure se lit par colonnes qui représentent le système lorsqu’on
fait varier le facteur de remplissage. La première (a) représente le système à remplissage
entier, ν = n, où le niveau de Fermi se trouve exactement entre les NL n et n+1, le dernier
étant non occupé. La résistance de Hall est donc RH = h/ne2 , et la resistance longitudinale
s’annule. La colonne (b) montre le système avec un faible remplissage du NL n + 1, où
les électrons occupent les puits du potentiel dans l’échantillon et ne contribuent pas au
transport électronique. Comme cette situation se produit lorsqu’on abaisse légèrement
le champ magnétique de sa valeur correspondant à ν = n, les résistances, qui mesurent
précisement le transport, restent accrochées à leurs valeurs initiales. La dernière colonne
(c) montre le NL n + 1 à demi-remplissage : les équipotentielles connectent les bords, ce
qui a pour effet une rétro-diffusion – le système change d’un régime balistique à un régime
diffusif. La résistance longitudinale est donc non nulle et accompagnée d’un saut dans la
résistance de Hall sur un plateaux voisin. Dans la densité d’états, les états étendus sont
alors au milieu des NL tandis que les états localisés (représentés par des cercles bleus) se
trouvent dans les flancs. Lorsque le remplissage du dernier NL est plus grand que 1/2, le
même raisonnement s’applique, en termes de trous.
40
Localisation dans un champ magnétique fort
R L ~ µ 3− µ 2= 0
µ2 = µL 2
3
µ3 = µL
I
I
4
1
6
µ6 = µ5 = µR 5
R ~ µ5− µ3= µR− µL
H
Fig. 3.4 – Mesure de l’EHQE à ν = n. Le courant I est injecté par le contact 1 et
récupéré au contact 4. Entre ces deux contacts (bord bleu), le potentiel chimique µ L ne
varie pas comme (a) il n’y a pas de rétro-diffusion et (b) aux contacts 2 et 3, où l’on
mesure la résistance longitudinale RL , il n’y a pas de fuite d’électron ni injection. De la
même manière, le potentiel chimique µR reste constant au bord d’en bas (rouge) entre les
contacts 4 et 1. Le potentiel chimique varie uniquement le long des contacts 1 et 4 (lignes
en pointillé). Pour cette raison, la résistance longitudinale s’annule, RL = (µ3 − µ2 )/I =
0, et la résistance de Hall est déterminée par la différence de potentiel entre les bords,
µ5 − µ 3 = µ R − µ L .
3.3. TRANSITIONS ENTRE PLATEAUX – IMAGE DE PERCOLATION41
récupère au contact 4. Les autres contacts, 2, 3, 5 et 6, servent uniquement
pour des mesures de résistance – il n’y a donc pas d’injection ni de fuite
d’électrons à ces contacts-là. En raison de cela et de la supression de la
rétro-diffusion (autour de ν = n), le potentiel chimique ne varie que le long
des contacts 1 et 4. On peut donc associer un potentiel chimique constant
à chaque bord, µL et µR . Comme la résistance longitudinale est mesurée,
par exemple, entre les contacts 1 et 2, où le potentiel ne varie pas, elle est
nulle, RL = −(µ3 − µ2 )/eI = 0. En revanche, la résistance de Hall, mesurée
entre les contacts 3 et 5, est sensible à la chute du potentiel chimique, RH =
−(µ5 −µ3 )/eI = −(µR −µL )/eI. Cette situation est précisement décrite dans
la section précédente, où l’on a calculé la conductance (et résistance) de n
NL complètement remplis, et l’on trouve donc RH = h/ne2 .
3.3
Transitions entre plateaux – image de percolation
Le scénario, décrit dans la section précédente, de transition entre plateaux
de Hall suggère un lien avec les transitions de percolation : la résistance saute
sur un niveau voisin lorsque les flaques électroniques deviennent macroscopiques et percolent afin de connecter des bords opposés. Les transitions de
percolation font partie de la classe des transitions de phase de deuxième ordre,
qui se manifestent par des lois d’échelle pour des grandeurs physiques autour
de la transition. En effet, ces grandeurs physiques ne dépendent plus des
détails microscopiques du système en question, mais elles sont caractérisées
par des exposants critiques qui définissent une classe d’universalité.
La transition est pilotée par un paramètre K, dit paramètre de contrôle,
qui peut être la température ou, dans le cas des transitions de phase quantiques à température nulle, un autre paramètre comme la pression ou la densité électronique [14]. Dans notre cas, il s’agit bien évidemment du champ
magnétique qui contrôle la transition entre plateaux. A la transition au
champ critique Bc , la longueur de corrélation spatiale diverge, avec un exposant critique ν, qui n’est pas à être confondu avec le facteur de remplissage,
ξ ∼ |δ|−ν ,
(3.8)
où δ ≡ (B − Bc )/Bc mesure l’écart entre B et le champ critique. De la même
manière, les fluctuations temporelles sont décrites par une « longueur » de
42
Transitions entre plateaux – percolation
100.0
!#"%$
10.0
(∆B)
−1
N=0
N=1
N=1
−1
(∆B)
N=1
N=1
1.0
0.10
T(K)
1.00
Fig. 3.5 – Expériences de Wei et al. [22]. La largeur de la transition δB et de la dérivée
de la résistivité de Hall ∂ρxy /∂B, mesurées en fonction de la température, révèlent une loi
d’échelle avec un exposant 1/zν = 0, 42 ± 0, 04, pour les transitions entre les facteurs de
remplissage 1 → 2 (N = 0 ↓), 2 → 3 (N = 1 ↑) et 3 → 4 (N = 1 ↓).
Fig. 9
corrélation
ξτ ∼ ξ z ∼ |δ|−zν ,
(3.9)
où z est appelé exposant critique dynamique. Il mesure grosso modo une
anisotropie entre les fluctuations spatiales et temporelles, dans le cas non
relativiste qui est souvent rencontré en physique de la matière condensée.
Notons de plus que, dans une description d’intégrale de chemin, le temps
caractéristique τ est lié à la température T par h̄/τ = kB T et qu’une augmentation de la température peut être considérée comme une taille finie dans
la direction du temps [21, 20].
A la transition, les grandeurs physiques sont déterminées par des lois
d’échelle qui ne dépendent que des grandeurs sans dimension. On trouve
Calcul de conductance d’un NL rempli
alors pour les résistivités longitudinales et de Hall
h̄ω τ
,
ρL/H = fL/H
k B T ξτ
h̄ω δ zν
,
= fL/H
,
kB T T
43
(3.10)
où ω est une fréquence caractéristique à laquelle on regarde le système, par
exemple dans une mesure à courant alterné (ac), et fL/H (x) sont des fonctions
universelles. Dans la suite, on s’intéresse uniquement au cas ω = 0 comme les
mesures de transport se font dans le régime dc. Si l’on mesure donc la largeur
caractéristique ∆B de la transition en fonction du champ magnétique, on
s’attend, pour une transition de phase de deuxième ordre, à une dépendence
de la température
∆B ∼ T 1/zν .
(3.11)
Cette loi d’échelle a été mise en évidence dans les mesures de Wei et al. [22],
qui ont trouvé un exposant 1/zν = 0, 42 ± 0, 04 lorsqu’ils ont fait varier la
température sur plus d’un ordre de grandeur, entre 0, 1 et 1, 3K (figure 3.5).
Les deux exposants ν et z peuvent être séparés si l’on tient compte de la
loi d’échelle pour les fluctuations du courant dues à un champ électrique. En
termes d’énergie on trouve
eE`E ∼
h̄
h̄
∼ z,
τE
`E
où τE ∼ `zE est le temps caractéristique de ces fluctuations qui est lié à
une longueur caractéristique `E par l’équation (3.9). On trouve donc `E ∼
E −1/(1+z) , et pour la loi d’échelle des résistivités (à ω = 0)
δ
δ
,
(3.12)
,
ρL/H = gL/H
T 1/zν E 1/ν(1+z)
en termes de fonctions universelles gL,H (x). D’autres mesures par Wei et al.,
concernant une telle loi d’échelle pour le courant, ont montré que z ' 1, ce
qui fournit ν ' 2, 3 ' 7/3 [23].
Notons que l’exposant critique de la percolation 2D classique est, avec
νp = 4/3, plus petit que celui mesuré dans les expériences. En revanche, des
calculs numériques ont bien réproduit l’exposant ν = 7/3 [24]. Le désaccord
avec la percolation classique est très probablement dû à des effets quantiques :
44
Transitions entre plateaux – percolation
les flaques percollent par effet tunnel avant qu’elles se touchent dans une
image classique, et la rétro-diffusion a donc lieu plus tôt que prévu par la
théorie classique. Un modèle qui tient compte de ces effets est celui de Chalker
et Coddington, où l’on trouve, à l’aide de calculs de matrice de transfer, un
exposant critique ν = 2, 5 ± 0, 5 [25].
Chapitre 4
L’effet Hall quantique
fractionnaire – de la théorie de
Laughlin aux fermions
composites
Dans le chapitre précédent, on a vu que l’EHQE à ν = n peut se comprendre à partir de deux ingrédients : (i) la quantification en NL a pour
conséquence que l’état fondamental avec un nombre entier de NL complètement
remplis est séparé par un gap (simplement la séparation entre niveaux) des
autres états ; (ii) les excitations élémentaires, qui sont obtenues lorsqu’on
ajoute un électron ou un trou, sont localisées par les impuretés résiduelles
dans l’échantillon et ne contribuent pas au transport électronique. Ce ne sont
que les NL complètement remplis qui contribuent chacun avec un quantum
de conductance e2 /h à la conduction.
Cette formulation nous permet d’aborder l’EHQF qu’on observe à un remplissage partiel du plus bas NL, ν = p/(2sp + 1), où s et p sont des entiers.
D’un point de vue d’énergie cinétique, tous les états à remplissage partiel sont
hautement dégénérés, et il faut donc comprendre le rôle des interactions de
Coulomb qui rendent certaines superpositions de ces états énergétiquement
plus favorables que d’autres. Si, sous certaines conditions, les interactions
lèvent complètement la dégénérescence et si l’état fondamental qui en résulte
est séparé par un gap de toutes ses excitations – élémentaires et collectives
– l’image établie dans le chapitre précédent nous permettra également de
comprendre l’EHQF : il suffit d’appliquer le même raisonnement de locali45
46
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
sation d’excitations élémentaires (quasi-particules chargées), qui se forment
lorsqu’on s’éloigne d’un remplissage où l’on a un état non dégénéré avec un
gap. La partie la plus dure consiste à identifier de tels états et à caractériser
ses propriétés, comme par exemple ses excitations élémentaires.
Avant d’introduire l’approche des fonctions d’essai de Laughlin et Jain, on
discute, dans la première section de ce chapitre, la structure du modèle effectif
qui décrit la dynamique des électron restreinte à un seul NL partiellement
rempli. Ce modèle nous servira également dans les chapitres suivants, comme
base de la théorie hamiltonienne de l’EHQF.
4.1
Modèle d’électrons restreints à un seul
NL
Comme le but est de décrire les propriétés physiques du système dans la
limite où la température tend vers zéro, seules les excitations de plus basse
énergie sont prises en compte. En raison de la dégénérescence des NL, il s’agit
des excitations restreintes à un seul niveau - ou plus précisément à une seule
branche de spin - qui deviennent importantes si ν 6= n. A remplissage entier
ν = n, ces excitations dans un seul niveau sont interdites par le principe
de Pauli (Fig. 4.1). Comme elles ne couplent que les états du même niveau,
l’énergie cinétique est une constante, qui ne joue plus aucun rôle pour la
dynamique des électrons restreints à un niveau. Cette constante est désormais
omise. Des excitations virtuelles inter-niveaux peuvent être considérées dans
une approche perturbative et donnent lieu à une fonction diélectrique (q),
qui modifie le potentiel d’interaction entre les électrons du même niveau [26].
Contrairement au cas des métaux, où l’on trouve un écrantage de la répulsion
coulombienne à longue portée, l’écrantage de l’interaction entre électrons en
présence d’un champ magnétique ne se manifeste qu’à des valeurs finies du
vecteur d’onde : à q → 0 ainsi qu’à q → ∞, il disparaı̂t, et (q) → , où est
la constante diélectrique du semiconducteur sous-jacent. Le spin de l’électron
n’est pas changé pendant de tels processus dans une branche de spin, et il
n’intervient donc pas dans le modèle. Formellement, on traitera désormais
des fermions sans spin. Une discussion plus détaillée des phénomènes dus à
la présence du spin – comme la formation d’un état ferromagnétique à ν = 1
même en absence d’effet Zeeman – est reportée à un chapitre particulier.
Le hamiltonien d’électrons restreints à un seul NL n est donc donné, en
Modèle d’électrons restreints à un seul NL
(a)
ν= N
(b)
47
ν= N
∆Z
h ωC
Fig. 4.1 – Excitations de plus basse énergie. Chaque NL est séparé en deux branches
de spin en raison de l’effet Zeeman. (a) A remplissage ν = n, des excitations qui couplent
des états du même niveau sont interdites par le principe de Pauli. Seules des excitations
inter-niveaux sont possibles. (b) A remplissage partiel du dernier niveau peuplé (ν 6= n),
des excitations dans un seul niveau étant permises définissent la physique de basse énergie,
tandis que les excitations inter-niveaux, d’énergie h̄ωC ou ∆z , sont omises dans le modèle.
deuxième quantification, par
Z
1
d2 r d2 r 0 ψn† (r)ψn (r)V (r − r0 )ψn† (r0 )ψn (r0 ),
Ĥ =
2
(4.1)
où les champs P
électroniques ne comprennent
du n-ième niP que des états
†
†
veau, ψn (r) = m hr|n, mien,m et ψn (r) = m hn, m|rien,m . Les opérateurs
en,m et e†n,m sont respectivement les opérateurs d’annihilation et de création
d’un électron dans l’état |n, mi. Ils satisfont aux règles d’anti-commutation
fermioniques,
n
o
en,m , e†n0 ,m0 = δn,n0 δm,m0 ,
{en,m , en0 ,m0 } = 0.
(4.2)
Notons que les champs électroniques restreints ψn (r) ne sont pas complètement
localisés : en raison de la seule sommation sur le nombre quantique m, on a,
avec les règles (4.2),
X
0 2
2
ψn (r), ψn† (r0 ) =
hr|n, mihn, m|r0 i ∝ e−|r−r | /2lB 6= δ(r − r0 ). (4.3)
m
Le champ ψn† (r) crée donc un électron à la position r dans un voisinage de ∼
2
lB
, ce qui n’est pas surprenant : c’est une autre manifestation de l’incertitude
sur la position lorsqu’on restreint la dynamique à un seul NL, comme on l’a
48
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
vu dans le chapitre 2.2. Pour obtenir une localisation parfaite du champ, il
faudrait sommer aussi sur l’indice n, i.e. faire une superposition de plusieurs
NL.
Dans l’espace réciproque, le hamiltonien s’écrit
1X
Ĥ =
v(q)ρn (−q)ρn (q),
(4.4)
2 q
R
P
avec la mesure q = d2 q/(2π)2 et le potentiel d’interaction coulombienne
v(q) = 2πe2 /q. Les opérateurs ρn (q) sont les composantes de Fourier de la
densité électronique du n-ième niveau, ρn (r) = ψn† (r)ψn (r), et l’on a
Z
X
ρn (q) =
d2 r
hn, m|rie−iq·rhr|n, m0 ie†n,m en,m0
m,m0
=
X
m,m0
hn, m|e−iq·r |n, m0 ie†n,m en,m0
= hn|e−iq·η |ni
X
m,m0
= Fn (q)ρ̄(q),
hm|e−iq·R |m0 ie†n,m en,m0
(4.5)
où Fn (q) ≡ hn| exp(−iq · η)|ni est le facteur de forme, et l’on a profité de la
décomposition r = R + η, qui permet de factoriser les éléments de matrice
hn, m|e−iq·r |n0 , m0 i = hn| exp(−iq · η)|n0 i ⊗ hm| exp(−iq · R)|m0 i.
(4.6)
Dans la dernière ligne de l’équation (4.5), on a finalement défini l’opérateur
de densité projetée,
X
ρ̄(q) ≡
hm|e−iq·R |m0 ie†n,m en,m0 .
(4.7)
m,m0
4.1.1
Calcul des éléments de matrice
Il faut maintenant calculer les éléments de matrices qui interviennent
dans l’expression (4.5) pour l’opérateur de densité. La façon la plus simple
consiste à utiliser les expressions (2.17) et (2.18) pour les opérateurs R et
η, en fonction de a, a† , b et b† . On pose désormais lB ≡ 1 pour alléger les
expressions. En notation complexe, avec q = qx − iqy et q ∗ = qx + iqy , on a
1
q · η = √ qa + q ∗ a† ,
2
1
q · R = √ q ∗ b + qb† ,
2
Modèle d’électrons restreints à un seul NL
49
ce qui donne pour le premier élément de matrice, avec n ≥ n0 , et à l’aide de
la formule de Baker-Hausdorff (2.41),
hn|e−iq·η |n0 i = hn|e
− √i (q ∗ a† +qa)
= e−|q|
2
|n0 i
− √i q ∗ a†
2
2 /4
− √i qa
hn|e
e 2 |n0 i
X
i
2
− √i qa
− √ q ∗ a†
|jihj|e 2 |n0 i
= e−|q| /4
hn|e 2
j
r
n0 !
n!
−iq ∗
√
2
n−n0 X
n0
n!
= e
(n − j)!(n0 − j)!j!
j=0
r
0
n0 ! −iq ∗ n−n n−n0 |q|2
−|q|2 /4
√
= e
L n0
,
n!
2
2
−|q|2 /4
|q|2
−
2
n0 −j
(4.8)
où nous avons utilisé
hn|e
− √i q ∗ a†
2
|ji =
(
0
q
pour j > n
1
n!
j! (n−j)!
− √i2 q ∗
n−j
pour j ≤ n
dans la troisième ligne ainsi que la définition des polynômes de Laguerre [17],
0
Lnn−n
(x)
0
0
=
n
X
n!
(−x)m
.
0 − m)!(n − n0 + m)!
(n
m!
m=0
De même, nous trouvons pour m ≥ m0
hm|e−iq·R |m0 i = hm|e
= e−|q|
− √i (qb† +q ∗ b)
2 /4
2
r
|m0 i
m−m0
2
|q|
m0 ! −iq
m−m0
√
L m0
.
m!
2
2
(4.9)
Avec la définition des fonctions
r n−n0
2
|q|
n0 ! −iq
n−n0
√
L n0
Gn,n0 (q) ≡
,
n!
2
2
on peut également écrire, sans les conditions n ≥ n0 et m ≥ m0 ,
hn|e−iq·η |n0 i = [Θ(n − n0 )Gn,n0 (q ∗ ) + Θ(n0 − n − 1)Gn0 ,n (−q)] e−|q|
2 /4
(4.10)
50
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
et
2
hm|e−iq·R |m0 i = [Θ(m − m0 )Gm,m0 (q) + Θ(m0 − m − 1)Gm0 ,m (−q ∗ )] e−|q| /4 .
(4.11)
Pour le cas n = n0 , on trouve dans (4.10) le facteur de forme du n-ième NL
2
|q|
2
−iq·η
Fn (|q|) ≡ hn|e
|ni = Ln
e−|q| /4 .
(4.12)
2
4.1.2
Algèbre des densités projetées
A première vue, le modèle (4.4) semble simple à traiter : le hamiltonien est
quadratique en termes d’opérateurs de densité projetée, et de tels modèles ont
souvent une solution exacte. Il se trouve que la projection à un NL engendre
une non commutativité des opérateurs à des vecteurs d’onde différents, ce
qui donne lieu à une dynamique quantique compliquée.
Pour classifier le modèle, il faut donc encore calculer le commutateur
[ρ̄(q), ρ̄(k)]. DansP
le cas d’un opérateur à une particule en deuxième quantifiA
A
A
cation, F (q) = λ,λ0 f A (q)λ,λ0 e†λ eλ0 , où fλ,λ
0 (q) = hλ|f (q)|λi, les règles de
commutation en première quantification induisent celles en deuxième quantification
A
X A
(4.13)
f (q), f B (q0 ) λ,λ0 e†λ eλ0 .
F (q), F B (q0 ) =
λ,λ0
Les indices λ peuvent contenir plusieurs nombres quantiques. Cette équation
se déduit facilement en utilisant à deux reprises pour les opérateurs électroniques
[AB, C] = A[B, C]± − [C, A]± B,
(4.14)
qui est valable pour les commutateurs aussi bien que pour les anti-commutateurs.
Avec l’équation (2.16), on trouve
[q · R, q0 · R] = qx qy0 [X, Y ] + qy qx0 [Y, X]
= i(qx qy − qy qx0 ) = −i(q ∧ q0 ),
où l’on a défini q ∧ q0 ≡ −(q × q0 )z , et on obtient à l’aide de la formule de
Baker-Hausdorff (2.41)
i
i 0
h
i
0
0
e−iq·R , e−iq ·R = e−i(q+q)·R e 2 q∧q − e− 2 q∧q
q ∧ q0 −i(q+q)·R
= 2i sin
e
.
(4.15)
2
Modèle d’électrons restreints à un seul NL
51
Cela donne, avec l’équation (4.13),
[ρ̄(q), ρ̄(k)] = 2i sin
q∧k
2
ρ̄(q + k),
(4.16)
pour l’algèbre des opérateurs de densités projetées, qui est isomorphe à
l’algèbre des translations magnétiques. En effet les opérateurs (2.40), qui
décrivent les déplacements d’un électron dans un champ magnétique, ont les
mêmes règles de commutation. Notons que cette algèbre ne dépend pas de
l’indice n du NL.
L’algèbre (4.16) complète le modèle, décrit par le hamiltonien (4.4), qui
s’écrit en termes de densité projetée
Ĥ =
1X
vn (q)ρ̄(−q)ρ̄(q),
2 q
(4.17)
où l’on a absorbé le facteur de forme dans un potentiel d’interaction effective
du n-ième NL,
2 2
|q|
2πe2
2πe2
2
2
e−|q| /2 .
[Fn (q)] =
Ln
vn (q) =
|q|
|q|
2
(4.18)
On remarque que le modèle a la même structure pour tous les NL. L’information sur le niveau est encodée dans le potentiel effectif, qui est le sujet
de la section suivante. La physique du plus bas NL, qu’on discute principalement dans la suite de ce chapitre, se généralise donc facilement à un NL
élevé : il suffit de tenir compte du facteur de forme du NL dans le potentiel
d’interaction et de remplacer le facteur de remplissage ν par le facteur de
remplissage partiel du n-ième NL, ν̄ = ν − n.
4.1.3
Le potentiel effectif
Pour mieux comprendre le modèle, on discutera dans cette section quelques
propriétés du potentiel d’interaction effectif (4.17). En raison des zéros des
polynômes de Laguerre Ln (x), la répulsion coulombienne disparaı̂t
à cer√
taines valeurs du vecteur d’onde, notamment à q0 (n) ' 2, 4/ 2n + 1, ce qui
correspond au premier zéro x ' 1, 2/(2n + 1) [27]. Cela mène à des instabilités du système pour la formation des phases de densité inhomogène avec une
périodicité caractéristique Λ ' 2π/q0 (n), car il est énergétiquement favorable
52
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
2.02
1.01
1/r
1.5
1.5
n=1
0.6
(b)
1.75
n=2
0.5
0.4
n=3
n=4
n=5
1/r
n=1
1.25
n=2
1.01
n=3
0.75
n=4
0.5
0.5
n=5
~
v(r)
0.8
vn (r)
(a)
0.25
0.2
22
4
4
r
6
88
10
10
10
1.0
20
2.0
30
3.0
40
4.0
50
5.0
r/R C
Fig. 4.2 – (a) Potentiel effectif dans l’espace réel pour les NL n = 1, ..., 5, en unités
de e2 /. Le potentiel de Coulomb en 1/r est montré pour comparaison (tirets). (b) Les
résultats pour le potentiel (points) sont tracés après la transformation d’échelle (4.19). La
ligne noire représente l’expression approchée ṽ(x) et la ligne grise le potentiel de Coulomb.
pour la densité moyenne hρ̄(q)i d’avoir un maximum à q0 . La
√ périodicité
Λ varie proportionnellement avec le rayon cyclotron RC = 2n + 1. Les
phases de densité inhomogène seront discutées plus en détail dans le chapitre 7. Une transformation dans l’espace réel du potentiel effectif, vn (r) =
P
q exp(ir · q)vn (q) confirme la apparition d’une échelle de longueur caractéristique. Pour des petites valeurs de n, cette transformation peut être
effectuée de façon exacte, et l’on trouve une somme finie sur des fonctions
de Bessel. Dans des NL plus élevés, n 1, on peut déduire une loi d’échelle
pour le potentiel à l’aide de Fn (q) ' J0 (qRC ), ce qui devient exact dans la
limite n → ∞,
!#2
p
1 − 4/x2
,
2
(4.19)
où J0 (x) est la fonction de Bessel d’ordre zéro, et K(x) est l’intégrale elliptique complète de première espèce [17].
La figure 4.2(a) montre les résultats pour le potentiel effectif dans les niveaux n = 1, ..., 5. On remarque la formation d’un palier – à part des petites
oscillations – pour des distances moyennes, superposé au potentiel coulombien habituel, e2 /r, qui est retrouvé à grande distance. Ce palier devient plus
large dans des NL élevés cependant que sa hauteur est diminuée. La forme
d’échelle ṽ(x) est mise en évidence après la transformation des résultats selon
l’équation (4.19) : les points, qui représentent les résultats exacts, tombent
ṽ(r/RC )
vn (r) ' √
,
2n + 1
"
4e2
Re K
avec ṽ(x) =
πx
1−
Modèle d’électrons restreints à un seul NL
(a)
(b)
53
(c)
r
Fig. 4.3 – Les fonctions d’onde des électrons dans un NL n ≥ 1 peuvent être représentées
par des anneaux [voir Fig. 2.3(a)]. (a) Si r > 2RC , les anneaux ne se recouvrent par. (b)
< 2RC , les anneaux commencent à avoir un recouvrement, représenté par la surface
Pour r ∼
grise foncée. (c) Le recouvrement n’augmente pas de façon significative lorsque les anneaux
sont rapprochés davantage.
approximativement sur la même courbe (noire). L’approximation (4.19), qui
devient exacte dans la limite n → ∞, décrit la forme du potentiel de façon
suffisamment appropriée aussi pour de plus bas NL à condition que n > 0.
Le point anguleux à r = 2RC dans la forme approchée du potentiel est un
artéfact mathématique – pour x ≥ 2, l’argument de l’intégrale elliptique est
réel tandis qu’il devient complexe pour x < 2, ce qui donne lieu à cette
discontinuité. Cet effet pourrait engendrer des divergences artificielles dans
d’éventuelles dérivées, mais on peut se servir de cette forme du potentiel uniquement comme support dans des intégrations, ce qui rend la discontinuité
inoffensive.
La forme du potentiel peut être illustrée dans une image quasi-classique.
Avec la restriction des champs électroniques au n-ième NL, on a fait une
moyenne sur le mouvement rapide de l’électron, déterminé par la variable
η qui, sans cette restriction, couplerait des états de différents n. Les degrés
de liberté du mouvement des électrons sont donc uniquement leurs centres
de guidage. Comme on l’a vu dans la section 2.2.1, la fonction d’onde d’un
électron dans un niveau de Landau n ≥ 1 tient compte de cette moyenne sur
le mouvement cyclotron et a par conséquent une forme d’anneau de rayon
RC , représentant une densité électronique moyenne [Figs.2.3(b) et 4.3]. Si
la distance r entre les centres d’anneaux, qui sont précisément les centres
de guidage du mouvement cyclotron de chaque particule, est suffisamment
grande (r > 2RC ), la forme des fonctions d’onde de deux particules n’a
pour effet qu’une faible correction du potentiel coulombien. A r ∼ RC , les
anneaux commencent à se recouvrir et la répulsion devient donc plus forte. En
revanche, si l’on rapproche les centres de guidage, ce recouvrement ne devient
pas plus grand et la répulsion n’augmente donc pas de façon significative, ce
54
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
qui explique la formation du palier dans le potentiel effectif. La répulsion
devient à nouveau plus importante quand le recouvrement est complet à très
petite distance. Or les centres de guidage étant étalés sur la surface minimale
2
2πlB
ne peuvent pas être approchés à des distances plus petites que lB . Pour
n = 0, cette image quasi-classique devient plus problématique parce que les
fonctions d’onde sont de forme gaussienne avec une extension spatiale de
l’ordre de la longueur magnétique. Les électrons devraient donc plutôt être
représentés par un disque de rayon lB , qui constitue également la longueur
minimale, comme il a été décrit dans le chapitre 2 [voir Fig. 2.3(b)].
4.2
La fonction d’onde de Laughlin
Avant la découverte de l’EHQF en 1983, un cristal de Wigner a souvent
été évoqué comme état fondamental d’électrons dans le plus bas NL partiellement rempli : pour réduire leur répulsion coulombienne, les électrons
choisiraient donc une structure cristalline (triangulaire). Même si l’on a des
indications expérimentales d’un tel état à faible remplissage dans le plus bas
NL, le cristal de Wigner ne peut être à l’origine de l’EHQF car un cristal
est un état avec des symétries continues (translation et rotation) brisées. Il
y a donc forcément un mode de Goldstone – une excitation collective dont
l’énergie tend vers zéro lorsqu’on regarde des fluctuations à vecteur d’onde
nul – et par conséquent l’état n’a pas de gap pour de telles fluctuations.
Comme on l’a évoqué dans l’introduction de ce chapitre, c’est en contradiction avec l’EHQF. De plus, on ne comprendrait pas, dans ce scénario de cristal
électronique, l’apparition de valeurs « magiques » du facteur de remplissage,
pour lesquelles on observe l’effet.
La solution du problème que posait l’observation de l’EHQF à ν =
1/(2s + 1) fut trouvée par Laughlin dans la même année que la découverte de
l’effet [9]. Il était à la recherche d’une fonction d’onde d’essai qui respecte les
symétries du problème, et l’on donne ici les pas essentiels dans la construction de la fonction d’onde de Laughlin, à travers la discussion d’une fonction
d’onde à deux particules ψ (2) (z, z 0 ).
– La condition P
d’analyticité (2.24), pour la jauge symétrique, impose que
(2)
0
2
ψ (z, z ) = m,M αm,M (z + z 0 )M (z − z 0 )m exp[−(|z|2 + |z 0 |2 )/4lB
], où
m et M sont des entiers.
– Comme on cherche à décrire un état qui respecte l’invariance par translation (et rotation) pour un état liquide), on peut se limiter à des fonc-
La fonction d’onde de Laughlin
55
P
2
tions d’onde ψ (2) (z, z 0 ) = m αm (z − z 0 )m exp[−(|z|2 + |z 0 |2 )/4lB
].
– Les électron sont des fermions, et la fonction doit donc être antisymétrique, ce qui limite le choix de m aux entiers impairs. En général,
la fonction d’onde à deux particules est alors une superposition des
2
fonctions ψ (2) (z, z 0 ) ∝ (z − z 0 )2s+1 exp[−(|z|2 + |z 0 |2 )/4lB
].
La fonction d’onde à N particules, proposée par Laughlin, respecte ces
conditions,
Y zi − zj 2s+1 P
2
2
L
ψ ({zj }) =
e− j |zj | /4lB .
(4.20)
lB
i<j
Notons que, avec les conditions discutées plus haut, c’est une fonction d’essai avec qu’un seul paramètre variationnel, l’entier s. Le préfacteur dans la
fonction de Laughlin (4.20) est aussi appelé facteur de Jastrow, et de telles
fonctions d’essai ont également été proposées pour la description de l’He
liquide.
Pour mieux se familiariser avec cette fonction à N particules, Laughlin
proposa d’interpréter le module carré de la fonction en termes de densité
de probabilité, dans une image statistique, l’espace des configurations étant
donné par l’espace 2D [9]. Dans cette image on identifie la fonction de partition d’un système statistique classique, décrit par le « hamiltonien » Ucl ,
avec l’intégrale sur l’espace du module carrée de la fonction de Laughlin. Sa
fonction de partition s’écrit donc
Z
X
2
−βUcl
=
ˆ
d2 z1 ...d2 zN ψ L ({zj }) ,
(4.21)
Z=
e
C
où C représente les configurations, ce qui mène à
X zi − zj X |zj |2
−
,
−βUcl = 2q
ln 2
l
2lB
B
j
i<j
où q = 2s + 1. On choisit, de façon un peu arbitraire,1 la « température »
β ≡ 2/q afin d’obtenir
X zi − z j X |zj |2
2
−q
Ucl = −q
ln .
(4.22)
2
l
4l
B
B
i<j
j
1
Notons qu’on est à T = 0 et que ce choix est uniquement formel.
56
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
A l’aide de l’équation de Poisson, −∆φ = 2πqnq (r), pour un potentiel électrostatique (2D) dû à la présence d’une densité de charge de qnq , on s’aperçoit
que le premier terme de l’expression (4.22) décrit des particules de charge
q en interaction, avec un potentiel d’interaction coulombienne 2D φ(r) =
− ln(|r|/lB ). De la même manière, on trouve que le deuxième terme consiste
en une interaction de ces particules avec un arrière-plan neutralisant, car
2
2
−∆|r|2 /4lB
= −1/lB
= 2πρB , où ρB est la densité de charge de l’arrièreplan. C’est donc un hamiltonien qui décrit un plasma 2D à une composante.
La neutralité de charge de ce plasma impose ρB + qnel = 0, et comme le
2
facteur de remplissage est lié à la densité par nel = ν/2πlB
, on trouve
ν=
1
1
=
.
q
2s + 1
(4.23)
Cela veut dire que le seul paramètre variationnel s de la fonction d’onde de
Laughlin (4.20) est intimement lié au facteur de remplissage ν et ne peut
donc être choisi de façon indépendante de ce dernier.
4.2.1
Quasi-particules de charge fractionnaire
Une propriété remarquable du liquide de Laughlin est qu’il possède des excitations élémentaires de charge fractionnaire. Considérons la fonction d’onde
ψqh (z0 , {zj }) =
N Y
zi − z 0
i=1
lB
ψ L ({zj }),
(4.24)
où l’on a donc un zéro supplémentaire à la position z0 . En développant formellement la fonction de Laughlin en puissances,
X
P
2
mN − j |zj |2 /4lB
e
,
ψ L ({zj }) =
αm1 ,...,mN z1m1 ...zN
{mi }
on trouve pour la fonction
ψqh (z0 = 0, {zj }) =
X
mN +1 −
αm1 ,...,mN z1m1 +1 ...zN
e
P
j
2
|zj |2 /4lB
.
{mi }
Toutes les particules sont donc déplacées d’un état par rapport à la fonction
de Laughlin, mj → mj + 1. Dans la jauge symétrique,
où la position d’une
p
particule se trouve sur un anneaux de rayon lB 2mj + 1, cela indique que
La fonction d’onde de Laughlin
57
l’on a crée un trou à l’origine z0 = 0 (« quasi-trou »). De plus, ce quasi-trou
est
P associé à une vorticité lorsqu’on regarde la phase, ψqh (z0 = 0, {zj }) ∝
j exp(−iθj ), où θj = arctan(yj /xj ). Une particule sur un chemin fermé
autour de z0 attrape donc une phase de 2π.
De la même manière, un peut, en principe, écrire une fonction d’onde
pour une excitation de type « quasi-particule » (de vorticité opposée),
ψqp (z0 , {zj }) = PLLL
N ∗
Y
z − z∗
i
i=1
0
lB
ψ L ({zj }),
(4.25)
avec la complication que l’analyticité des fonctions d’onde dans le plus bas
NL nous interdit de recourir à des variables zj∗ . Pour cette raison, il faut
tenir compte d’un projecteur PLLL dans le plus bas NL. Une façon de faire
cette projection est de dériver la partie polynomiale de la fonction d’onde
par zj au lieu de la multiplier par zj∗ : par intégration partielle, cela équivaut
à appliquer la dérivée ∂zj à la gaussienne, où elle génère précisement zj∗ , à un
facteur près [28].
Que ces excitations portent une charge fractionnaire, se voit dans l’analogie avec un plasma 2D à une composante, introduite plus haut. Le préfacteur
dans la fonction d’onde (4.23) donne lieu à un nouveau terme dans l’expression (4.22), Ucl → Ucl + V , où
V = −q
N
X
j
zj − z 0 ,
ln lB qui s’interprète comme un terme d’interaction du plasma avec une « impureté » de charge 1 à la position z0 . Comme le plasma essaie de maintenir
sa neutralité de charge, cette impureté est écrantée, et puisque la charge des
particules du plasma est q, il faut 1/q particules pour cet écrantage. Cela
mène à la fractionnalisation de la charge de la quasi-particule2 du liquide de
Laughlin,
e
e
e∗ = =
.
(4.26)
q
2s + 1
Une autre façon, plus directe, de voir cette fractionnalisation de la charge
2
On utilise désormais le terme quasi-particule comme générique pour désigner les quasiparticules et quasi-trous, sauf si la distinction s’avère nécessaire.
58
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
consiste à introduire q quasi-particules à la même position
3
q
N Y
zj − z 0
[ψqh (z0 , {zj })] =
ψ L ({zj }) = ψ L ({zj }, z0 ),
l
B
j=1
q
où l’on trouve donc la fonction de Laughlin pour N + 1 électrons, le dernier
électron étant situé à la position z0 . Par conséquent, on a besoin de q quasiparticules pour ajouter un électron dans le liquide de Laughlin, ce qui mène
à la même conclusion que l’analogie de plasma (4.26).
Des calculs numériques ont montré que le coût en énergie de créer de telles
quasi-particules est non nul, ce qui signifie que l’état fondamental (décrit par
la fonction de Laughlin) a un gap par rapport à ses excitations élémentaires.
Comme on l’a indiqué plus haut, c’est une condition nécessaire pour l’EHQF.
4.2.2
Energie du fondamental
Le mérite du travail de Laughlin ne consiste pas seulement en la proposition de sa fonction d’onde, mais il a surtout montré que l’énergie de cet état
variationnel est plus basse que celle du cristal de Wigner. Rappelons que
le cristal a été proposé comme état fondamental parce que ses corrélations
sont favorables à la minimisation de la répulsion coulombienne. L’énergie du
liquide de Laughlin se calcule à partir de
!
Z
Z
N
2
Y
2
hψ L |Ĥ|ψ L i
e
1 X
d 2 zi d 2 zj
d2 zk ψ L (zi , zj ; {zk })
=
Z
2Z
|zi − zj |
i6=j
k6=i,j
Z
2
2
e
nel A
=
d2 r
g(r),
(4.27)
2
|r|
où
N (N − 1)
g(r) ≡
n2el Z
Z
2
d2 z3 ...d2 zN ψ L (z1 = 0, z2 = r; z3 , ..., zN )
(4.28)
est la fonction de corrélation de paires. Dans cette expression, on a utilisé
l’invariance par translation et rotation4 et le fait qu’on a N (N −1) possibilités
de choisir les paires zi = z1 et zj = z2 dans la première ligne de l’équation
3
4
La première égalité se lit de façon schématique.
L’invariance par rotation a pour effet que r = z = |z| est réel.
La fonction d’onde de Laughlin
59
(4.27). D’habitude, on divise cette expression par le nombre total de particules N = nelRA et l’on choisit l’énergie d’un liquide homogène non corrélé
E0 = (nel /2) d2 re2 /r comme énergie de référence. L’énergie par particule
du liquide de Laughlin s’écrit donc, en termes de fonction de corrélation de
paires,
Z
nel
e2
L
[g(r) − 1],
(4.29)
E =
d2 r
2
|r|
ou dans l’espace de Fourier
EL =
1X
v(q)[s(q) − 1],
2 q
(4.30)
en termes de facteur de structure (statique)
s(q) =
1
hρ(−q)ρ(q)i,
N
(4.31)
qui est lié à la fonction de corrélation de paires par transformation de Fourier
[21]
Z
[s(q) − 1] = nel
d2 r eiq·r [g(r) − 1].
(4.32)
La fonction de corrélation de paires (ou le facteur de structure) détermine
donc la structure du liquide et indique un éventuel ordre à courte portée. Elle
peut se calculer à partir de la fonction d’onde de Laughlin par intégration
Monte Carlo [29, 30].
Au lieu de calculer numériquement la fonction de corrélation de paires,
Girvin l’analysa en 1984 en tenant compte de certaines symétries et des
propriétés du plasma 2D à une composante [31]. En développant la fonction
d’onde de Laughlin par rapport à z = (z1 − z2 )/lB et z+ = (z1 + z2 )/lB ,
ψ L ({zj }) =
∼
XX
M m −(|z+ |
aM,m (z3 , ..., zN )z+
z e
2 +|z|2 )/8
,
(4.33)
M m=1
où le tilde sur la deuxième somme indique qu’on ne somme que sur les entiers
impairs, on trouve pour la fonction de corrélation de paires
g(z) =
∼
X
m,m0
0
Am,m0 (z+ )z ∗m z m e−|z|
2 /4
,
60
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
où les fonctions Am,m0 (z+ ) ne dépend que de z+ dû à l’intégration sur les
autres variables z3 , ...zN . En raison de l’invariance par translation du liquide, on a ∂Am,m0 (z+ )/∂z+ = 0, et l’invariance par rotation impose Am,m0 =
δm,m0 bm , ce qui donne
g(z) =
∼
X
m=1
bm |z|2m e−|z|
2 /4
.
P̃
Comme lim|z|→∞ g(|z|) = 1, et donc lim|z|→∞ m=1 bm |z|2m = exp(|z|2 /4), il
convient de réécrire les paramètres de développement,
m
2 1
bm =
(1 + cm ),
m! 4
où les limites imposent limm→∞ cm = 0. La fonction de corrélation de paires
est donc donnée par un sinus hyperbolique plus des corrections, décrites par
les paramètres cm ,
m
2
∼
X
|z|
2cm |z|2
2
−|z|2 /4
e−|z| /4
e
+
g(z) = 2 sinh
4
m!
4
m=1
∼
m
X
2cm |z|2
2
2
= 1 − e−|z| /2 +
e−|z| /4 .
(4.34)
m!
4
m=1
La transformation de Fourier donne l’expression pour le facteur de structure
statique
∼
X
2 /2
2 2
−q 2 lB
2
[s(q) − 1] = −νe
+ 4ν
cm Lm (q 2 lB
)e−q lB ,
(4.35)
m=1
en termes de polynômes de Laguerre. L’énergie (4.30) peut donc s’écrire
∼
ν X
νX
E =
cm Vm0 −
v0 (q),
π m=1
2 q
L
(4.36)
où v0 (q) est le potentiel effectif dans le plus bas NL (4.18), et l’on a défini
les pseudo-potentiels de Haldane
X
2 2
2
Vm0 ≡ 2π
v0 (q)Lm (q 2 lB
)e−q lB /2 .
(4.37)
q
La fonction d’onde de Laughlin
61
Ces pseudo-potentiels signifient la force du potentiel d’interaction entre particules qui se trouvent dans un état de moment angulaire relatif m, ce qu’on
peut voir également en considérant la fonction d’onde à 2 particules,
ψ (2) (z1 , z2 ) = hz1 , z2 |m, M i = (z1 − z2 )m (z1 + z2 )M e−(|z1 |
2 +|z
2|
2 )/4l2
B
.
Les pseudo-potentiels sont précisément
Vm0 =
hm, M |V |m, M i
.
hm, M |m, M i
L’avantage de l’expression de l’énergie (4.36) en termes de pseudo-potentiels
de Haldane, définis à l’aide du potentiel effectif, nous permet directement
de décrire des liquides de Laughlin dans un NL plus élevé (n 6= 0) : il suffit
de généraliser les pseudo-potentiels au NL n, en utilisant le potentiel effectif
approprié (4.18),
Vmn ≡ 2π
X
2
vn (q)Lm (q 2 lB
)e−q
2 l2 /2
B
.
(4.38)
q
La figure (4.4) montre les pseudo-potentiels pour les NL n = 0 à n = 3. Ils ont
une allure semblable à la forme du potentiel effectif dans l’espace réel (voir
la figure 4.2) – en effet, les pseudo-potentiels sont une copie de l’interaction
dans l’espace réel comme la distance moyenne dm entre deux√
particules dans
un moment angulaire relatif m est dm = hm| |r1 − r2 | |mi = 2mlB . Notons
enfin que seuls les pseudo-potentiels avec m impair joue un rôle physique
pour les électrons en interaction, en raison de leur statistique fermionique.
Revenons sur la discussion de la fonction de corrélation de paires (4.34).
On remarque qu’en raison du comportement de la fonction de Laughlin lorsqu’on rapproche deux particules décrites par leurs positions z1 et z2 , on a
g(z) ∼ |z|2(2s+1) à courte distance. Cela montre que les corrélations dont on
tient compte dans la fonction de Laughlin sont favorables pour minimiser l’interaction de Coulomb, même plus favorables que dans n’importe quel autre
état où la statistique fermionique n’imposerait que g(z) ∼ |z|2 . De plus, ce
comportement à courte distance impose
cm = −1,
sur les paramètres de développement.
pour m < s
(4.39)
62
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
n=0
n
pseudo−potentiels V m
0.8 0.8
n=1
0.6 0.6
n=2
n=3
0.4 0.4
0.2 0.2
0
21
2
43
4
65
6
87
8 10
9 10 12
m
Fig. 4.4 – Pseudo-potentiels pour les NL n = 0 (pointillé), n = 1 (courbe noire), n = 2
(courbe grise foncée) et n = 3 (courbe grise claire), en unités de e2 /lB .
Il est également convenable de définir les « moments »
2 n
Z
|z|
2
[g(z) − 1]
Mn = nel d z
4
#
"
∼
X
(n + m)!
= 2πnel −n! + 2n+2
cm ,
m!
m=1
(4.40)
où la deuxième ligne se calcule à l’aide de l’équation (4.34). Selon la théorie
des plasmas,5 la neutralité de charge impose M0 = −1 et donc
∼
X
1
s
cm =
(4.41)
1 − ν −1 = − .
4
2
m=1
L’écrantage parfait du plasma se traduit par M1 = −1, i.e.
∼
X
s
1
1 − ν −1 = − ,
(m + 1)cm =
8
4
m=1
(4.42)
et les propriétés de compressibilité donnent une troisième règle de somme,
∼
X
2 s2
1
1 − ν −1 = .
(4.43)
(m + 2)(m + 1)cm =
8
2
m=1
5
On n’entre pas dans les détails de cette théorie. Le lecteur intéressé peut se référer à
[29, 30, 31] (et références dans ces travaux, notamment [33])
La fonction d’onde de Laughlin
63
Au lieu d’utiliser ces règles de sommes (4.41-4.43) et (4.39) comme contraintes
dans l’ajustement de la fonction de corrélation de paires (4.34) par rapport
à des résultats numériques obtenus par l’intégration Monte Carlo, on peut
s’en servir pour déterminer la fonction de façon approximative : les règles
de somme forment un système d’équations linéaires que l’on peut résoudre si
l’on pose cm = 0 pour m > s + 3, ce qui est une approximation raisonnable
comme limm→∞ cm = 0. Par cette méthode, on trouve
s=1
s=2
s=3
s=4
cs1
cs3
cs5
cs7
cs9
cs11
cs13
-1 17/32 1/16 -3/32
0
0
0
-1
-1
7/16 11/8 -13/16
0
0
-1
-1
-1
-25/32 79/16 -85/32
0
-1
-1
-1
-1
-29/8
47/4 -49/8
pour s = 1, .., 4.
L’énergie ainsi calculée dévie de moins d’un pour cent des résultats numériques de Levesque et al. [29], comme il est montré dans la figure 4.5(a).
La fonction de corrélation de paires exhibe, à part la probabilité diminuée
d’avoir un électron dans le voisinage immédiat d’un autre, un maximum à
distance finie, où il est plus probable de trouver une deuxième particule. Ce
maximum se déplace vers des distances plus grandes et devient plus prononcé
si s est augmenté, donc si la densité électronique est abaissée [ν = 1/(2s+1)].
Cela indique un ordre à courte portée qui devient plus important à basse
densité, où l’on s’attendrait à la formation d’un cristal de Wigner. En effet,
des calculs numériques plus précis montrent même des oscillations autour de
la ligne cassée dans la figure 4.5(b) pour r plus grand, indiquant la présence
de corrélations à longue distance [34].
4.2.3
Modes collectifs
Jusqu’à présent, on a calculé l’énergie de l’état fondamental, et on a analysé les excitations élémentaires (quasi-particules de charge fractionnaire),
qui sont séparées par un gap du fondamental. Pour comprendre l’EHQF, il
reste à montrer quw les excitations collectives, elles aussi, ont une dispersion
d’énergie qui révèle un gap à toute valeur du vecteur d’onde. Ces excitations
64
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
Facteur de remplissage
5
0.1
15
0.3
10
0.2
20
0.4
25
0.5
12
14 15
Energie
-0.1
−0.1
-0.2
−0.2
-0.3
−0.3
-0.4
−0.4
1.4 g s(r)
1.2
Fonction de corrélation de paires
(b)
1.01
s=3
s=2
s=1
0.8
0.6
0.5
0.4
0.2
2
4 5 6
r8
10
10
Fig. 4.5 – (a) Comparaison de nos résultats pour l’énergie (traits noirs) des
états de Laughlin aux résultats numériques de Levesque et al. (ligne grise) en
unités de √e2 /lB . La ligne est donnée par les formules d’interpolation U (ν) =
−0, 782133 ν 1 − 0, 211ν 0,74 + 0, 012ν 1,7 pour les résultats de Levesque et al. [29]. (b)
Fonctions de corrélation de paires pour différents s. La distance r est mesurée en unités
de la longueur magnétique lB . La ligne droite (tirets) indique la fonction pour un gaz
d’électrons non corrélés.
La fonction d’onde de Laughlin
65
collectives |ψq i sont de type phonon, et on peut utiliser l’ansatz (approximation à un seul mode) [30]
|ψq i = ρ̄(q)|ψ L i,
(4.44)
où ρ̄(q) est l’opérateur de densité projetée (4.7). Comme
X
hm|e−iq·R |m0 ie†n=0,m en=0,m0 ,
ρ̄(q) =
m,m0
on peut interpréter l’état excité également comme une superposition d’excitations particule-trou (particule dans l’état |n = 0, mi et trou dans |n = 0, m0 i)
2
dont les composantes sont séparées par une distance moyenne de qlB
. Notons
qu’en raison de la projection, l’état |ψq i n’a pas de composantes dans les NL
n 6= 0. L’énergie de cette excitation par rapport au fondamental est
∆(q) =
'
hψ L |ρ̄(−q)Ĥ ρ̄(q)|ψ L i
− EL
hψ L |ρ̄(−q)ρ̄(q)|ψ L i
1 hψ L |[ρ̄(−q), [Ĥ, ρ̄(q)]|ψ L i
f¯(q)
≡
,
2 hψ L |ρ̄(−q)ρ̄(q)|ψ L i
s̄(q)
(4.45)
où l’on a fait l’hypothèse que l’état de Laughlin est un état propre du hamiltonien, Ĥ|ψ L i ' E L |ψ L i, ce qui est une très bonne approximation au vu des
résultats obtenus par diagonalisation exacte qui indiquent un recouvrement
de plus de 99% entre |ψ L i et l’état fondamental exact. De plus, on a utilisé
l’invariance par rotation du liquide pour obbtenir la deuxième ligne, ainsi que
ρ̄† (q) = ρ̄(−q). Le facteur de structure projeté est lié au facteur de structure
(4.35) par
2 /2
−q 2 lB
s̄(q) = s(q) − 1 − e
.
L’équation (4.45) est précisement la formule de Feynman et Bijl, proposée
originalement pour la description des excitations collectives de l’He liquide.
[35]. A l’aide des règles de commutations pour les opérateurs de densité projetée (4.16), on trouve
2
X
s̄(k)
q ∧ klB
2
.
(4.46)
∆(q) = 2
[v0 (|k − q|) − v0 (k)] sin
2
s̄(q)
k
Les dispersions d’énergie sont tracées dans la figure 4.6, en comparaison avec les résultats obtenus par des calculs numériques de diagonalisation
66
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
Fig. 4.6 – Dispersion d’énergie des excitations collectives [36]. Les courbes montrent
les résultats obtenus dans l’approximation à un seul mode pour ν = 1/3, 1/5 et 1/7, et
les symboles indiquent les valeurs trouvées par diagonalisation exacte [37]. Les flèches
indiquent le module des vecteurs d’onde attendus pour un cristal de Wigner aux facteurs
de remplissages correspondants.
4.3. LA GÉNÉRALISATION DE JAIN – FERMIONS COMPOSITES 67
exacte [37]. Pour toute valeur du vecteur d’onde, les dispersions montrent
un gap d’énergie fini, comme on s’y attend pour un liquide incompressible,
mais elles révèlent un minimum à des vecteurs d’onde qui correspondent au
module du pas du réseau réciproque d’un cristal de Wigner. Le minimum,
qu’on appelle aussi minimum de magnéto-roton, en analogie avec le cas de
l’He liquide [35], indique donc un ordre (cristallin) à courte portée, et son
amollissement montre une tendance d’instabilité vers un cristal de Wigner
lorsque le facteur de remplissage devient plus petit.
L’approximation à un seul mode devient moins fiable à grand vecteur
d’onde, où l’on s’attend à trouver un comportement asymptotique
2πe∗2
,
∆(q 1/lB ) ' ∆qp + ∆qh −
2
qlB
i.e. l’énergie pour créer une paire comstituée d’une quasi-particule d’énergie
∆qp et d’un quasi-trou d’énergie ∆qh , dont les composantes sont bien séparées
et s’attirent par l’interaction de Coulomb, en raison de leurs charges respectives, e∗ et −e∗ .
4.3
La généralisation de Jain – fermions composites
La fonction de Laughlin est féconde pour décrire l’EHQF à ν = 1/(2s+1),
mais elle n’explique pas les états fractionnaires qui ont été découverts dans
la suite, comme celui à ν = 2/5 qui fait partie de la série ν = p/(2sp +
1). Pour aborder ces nouveaux états, une image d’hiérarchie a été proposée
par Haldane [32] et Halperin [38]. Selon cette image, les quasi-particules
de Laughlin forment, à densité suffisamment élévée, elles-mêmes un liquide
incompressible, pour minimiser leur répulsion coulombienne due à leur charge
e∗ . L’état à ν = 2/5 serait donc un état « rejeton » de l’état de Laughlin à
ν = 1/3.
Une alternative fut proposée dans le cadre de la théorie de fermions composites (FC) : en 1989, Jain réinterpréta la fonction de Laughlin,
L
ψ ({zj }) =
Y zi − zj 2s Y zi − zj i<j
lB
i<j
lB
e−
P
j
2
|zj |2 /4lB
,
(4.47)
68
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
Q
comme étant constituée de deux facteurs : le premier, i<j [(zi − zj )/lB ]2s ,
attache 2s zéros (vortex avec 2s quanta de flux) aux positions des particules,
et le deuxième,
Y zi − z j ,
(4.48)
χν ∗ =1 ({zj }) =
l
B
i<j
peut s’interpréter comme la fonction d’onde d’un NL virtuel complètement
rempli, avec un nouveau facteur de remplissage (virtuel) ν ∗ = 1 [16]. En effet,
le déterminant de Slater, qui représente l’état non dégénéré à ν = 1, coı̈ncide
avec l’expression (4.48),
 0

z1 z11 ... z1N −1
 z 0 z 1 ... z2N −1  Y
2
2

det 
(zi − zj ),
 ... ... ... ...  =
i<j
N −1
0
1
zN
zN
... zN
aussi appelé déterminant de Vandermonde. La généralisation proposée par
Jain consiste à remplacer χν ∗ =1 ({zj }) par un déterminant de Slater pour p
NL virtuels complètement remplis, χν ∗ =p ({zj }),
J
ψ ({zj }) = PLLL
Y zi − zj 2s
i<j
lB
χν ∗ =p ({zj }),
(4.49)
où il faut tenir compte de la projection dans le plus bas NL, à travers PLLL ,
comme la fonction χν ∗ =p ({zj }) contient des composantes dans un NL différent
du plus bas, pour ν ∗ 6= 1.
Essayons de visualiser cette situation. On a renormalisé le nombre d’états
effectifs par niveau, M → M ∗ = M − 2sN , car le premier terme d’attachement de vortex « enlève » 2sN zéros du système à N électrons. Cela revient
à renormaliser le champ magnétique, qui n’est pas autre chose que la densité de flux, en termes de quanta de flux φ0 = h/e, ainsi que le facteur de
remplissage, par
B → B ∗ = B − 2sφ0 nel
et
ν ∗−1 = ν −1 − 2s.
(4.50)
Cette image nous permet d’interpréter l’état d’EHQF à ν = 1/3 comme un
état entier de FC (électron plus vortex portant 2s quanta de flux) à ν ∗ = 1,
ainsi que l’état à ν = 2/5 comme un état de FC à ν ∗ = 2 (figure 4.7).
D’une manière générale, l’image de FC nous permet de comprendre l’EHQF
La généralisation de Jain – fermions composites
ν = 1/3 :
69
ν∗ = 1
Théorie
de FCs
électron
quantum de flux libre
ν = 2/5 :
ν∗ = 2
vortex
portant 2s quanta de flux (liés)
fermion composite
Fig. 4.7 – Fermions composites. L’état électronique à ν = 1/3 peut être compris comme
un état avec un remplissage entier ν ∗ = 1 en termes de FCs, dont les vortex portent 2s
quanta de flux chacun. De même, un remplissage de FCs de ν ∗ = 2 donne lieu à l’état
= 2/5.
d’électrons à ν = p/(2sp + 1) en termes d’EHQE de FC à ν ∗ = p, car le
facteur de remplissage de FC ν ∗ = hnel /eB ∗ est lié au facteur de remplissage
électronique par
ν∗
ν=
,
(4.51)
2sν ∗ + 1
ce qui n’est qu’une réécriture de l’expression (4.50).
Dans les chapitres suivants, on cherche à donner un sens physique plus
clair à cette image, qui est avant tout une image de comptable, basée sur
un attachement de flux aux électrons. A priori il n’est pas très intuitif de
renormaliser un champ magnétique qui est une quantité physique externe
imposée au système. Notons pourtant que le champ magnétique n’intervient
dans nos expressions qu’en combinaison avec la charge électronique e, la
constante de couplage à ce champ. On peut donc également renormaliser la
charge,
(eB)∗ = eB ∗ = e∗ B,
ce qui semble particulièrement pertinent au vu de la fractionnalisation de la
charge pour les excitations de type quasi-particule, discutée plus haut.
70
EHQF – de Laughlin aux fermions composites
Chapitre 5
Théories de Chern-Simons et la
physique des anyons
Suite à la proposition de l’image des FC, une théorie des champs, qui
tienne compte de l’attachement de flux au champ électronique, a été cherchée.
De telles théories étaient connues sous le nom théories de Chern-Simons
dans le cadre d’une généralisation de la théorie de Maxwell des champs
électromagnétiques. Leur pertinence pour l’EHQF fut soulignée en premier
par Lopez et Fradkin en 1991 [11] et par Halperin, Lee et Read en 1993 [12],
dans le cadre de la description de l’état (compressible) à ν = 1/2, qui est la
limite de la suite p/(2sp + 1) pour p → ∞.
Ce chapitre a pour but l’introduction des notions de base des transformations de Chern-Simons, mais se veut modeste par rapport à une description
détaillée dans le cadre de la théorie des champs. Mis à part le lien avec la
théorie des anyons, particules 2D de statistique fractionnaire, qui se décrivent
de façon transparente à travers les transformations de Chern-Simons, leur
intérêt principal consiste en une base pour la théorie hamiltonienne, qui sera
l’objet du chaptitre suivant.
5.1
Transformations de Chern-Simons
Le hamiltonien d’électrons dans un champ magnétique, en deuxième quantification, s’écrit
Ĥ = Ĥ0 + Ĥint ,
71
72
Théories de Chern-Simons et la physique des anyons
où le terme cinétique est
Z
[−ih̄∇ + eA(r)]2
ψ(r),
Ĥ0 = d2 rψ † (r)
2m
(5.1)
et Ĥint tient compte des interactions entre électrons. Une transformation de
Chern-Simons est une transformation unitaire singulière,
ψ(r) = e−iφ̃
R
d2 r 0 θ(r−r0 )ρ(r0 )
ψCS (r),
(5.2)
où θ(r) = arctan(y/x) est l’angle entre le vecteur r et l’axe x. Cette transformation est clairement singulière parce que l’angle θ(r) n’est pas défini à
r = 0. Notons que la densité reste invariante sous cette transformation,
†
ρ(r) = ψ † (r)ψ(r) = ψCS
(r)ψCS (r).
Le gradient dans l’expression (5.1) agit également sur la phase de cette transformation, et l’on trouve
Z
R
−iφ̃ d2 r 0 θ(r−r0 )ρ(r0 )
2 0
0
0
−ih̄∇ψ(r) = e
−ih̄∇ − φ̃h̄∇ d r θ(r − r )ρ(r ) ψCS (r).
On peut donc définir un nouveau champ de jauge (potentiel vecteur de ChernSimons) par
Z
h̄
(5.3)
ACS (r) = − φ̃∇ d2 r 0 θ(r − r0 )ρ(r0 ),
e
et si ce potentiel vecteur satisfait à la jauge de Coulomb ∇ · ACS (r) = 0,
ce que l’on montrera dans la suite, on peut réécrire le hamiltonien cinétique
comme
Z
[−ih̄∇ + eA(r) + eACS (r)]2
†
(r)
Ĥ0 = d2 rψCS
ψCS (r),
(5.4)
2m
tandis que le hamiltonien d’interaction reste invariant, car il ne dépend que
de la densité, qui est invariante elle-même.
Pour analyser ce nouveau champ de jauge et son « champ magnétique »
associé, BCS (r) = ∇ × ACS (r), il s’avère utile de faire une petite excursion
dans la théorie des fonctions analytiques. Ici, on pose z = x + iy, et non
pas comme dans le chapitre 2, où la chiralité d’un électron dans un champ
magnétique nous imposait de façon naturelle l’inversion entre la variable z
Transformations de Chern-Simons
73
et son complexe conjugué z ∗ . On peut séparer chaque fonction complexe en
une partie réelle et imaginaire,
f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y),
et la condition d’analyticité ∂z ∗ f (z) = 0 se traduit, en termes de x et y, par
les équations
∂x u(x, y) = ∂y v(x, y),
et
∂y u(x, y) = −∂x v(x, y),
(5.5)
connues sous le nom équations différentielles de Cauchy-Riemann.1
Au lieu d’utiliser la formulation cartésienne2 des fonctions complexes, on
peut également choisir la représentation polaire
f (x, y) = w(x, y)eiχ(x,y) ,
où w(x, y) et χ(x, y) sont des fonctions réelles. La condition d’analyticité,
(∂x + i∂y )f (x, y) = 0, se traduit maintenant par
∂x w(x, y) − w(x, y)∂y χ(x, y) + i [∂y x(x, y) + w(x, y)∂x χ(x, y)]
ou bien, après séparation en parties réelle et imaginaire et division par
w(x, y), par
∂x ln w(x, y) = ∂y χ(x, y)
et
∂y ln w(x, y) = −∂x χ(x, y),
(5.6)
équations de Cauchy-Riemann ( !) dans la représentation polaire. Pour le cas
le plus simple, f (z) = z = r exp(iθ), qui nous intéresse ici, cela donne
∂x ln r(x, y) = ∂y θ(x, y)
et
∂y ln r(x, y) = −∂x θ(x, y).
A l’aide de ces équations, on calcule aisément
[∇ × ∇θ(r)]z = (∂x ∂y − ∂y ∂x )θ(r) = ∆ ln r = 2πδ (2) (r),
1
(5.7)
Il parait qu’en France, on appelle ces équations équations différentielles de Cauchy
seulement. Hélas, ce patriotisme scientifique a pour conséquence qu’on appelle un nombre
non négligeable de théorèmes de cette discipline mathématique théorème de Cauchy, pour
la confusion de générations et générations d’étudiants. On utilisera donc ici le terme francogermanique – après tout, un des enseignants de ce cours vient d’outre-Rhin ...
2
Ici, il n’y a ni ambiguité ni interférence germanique.
74
Théories de Chern-Simons et la physique des anyons
où le dernier pas est l’équation de Poisson pour un potentiel 2D. Notons que,
normalement, le rotationnel d’un gradient donne zéro – la présente exception
est due au fait que θ(r) est singulière à r = 0, comme on l’a déjà mentionné
plus haut. De la même manière, on trouve
∆θ(r) = −∂x ∂y ln(r) + ∂y ∂x ln(r) = 0.
(5.8)
Avec la définition (5.3), la dernière équation montre que le champ de ChernSimons satisfait à la jauge de Coulomb, et l’équation (5.7) donne pour le
champ magnétique
Z
h̄
h
BCS = − φ̃ d2 r 0 ∇ × ∇θ(r − r0 )ρ(r0 ) = − φ̃ρ(r)ez .
(5.9)
e
e
On remarque donc que ce champ magnétique est intimement lié à la densité
électronique, et il est, contrairement au champ B habituel, un opérateur
quantique.
Dans l’approximation du champ moyen, on remplace l’opérateur de densité dans l’équation (5.9) par la densité moyenne hρ(r)i = nel , ce qui donne
lieu à une renormalisation du champ
h
B → B ∗ = B + hBCS i = B − φ̃nel
e
(5.10)
ou, en termes de facteur de remplissage,
B → B ∗ = B(1 − φ̃ν).
(5.11)
Si l’on choisit φ̃ = 2s, cette renormalisation du champ est précisément celle
de la théorie de FC (4.50).
Pour faire le lien avec les fonctions d’onde d’essai, on peut réécrire, en
première quantification, cette transformation du champ comme
ψ({zj }) = e
iφ̃
P
i<j
θ(zi −zj )
Y zi − zj φ̃
ψCS ({zj }).
ψCS ({zj }) =
|zi − zj |
i<j
(5.12)
On voit donc que la transformation de Chern-Simons attache φ̃ quanta de
flux (singularité d’ordre φ̃ dans la phase), sans attacher les modules des zéros
pour donner des vortex, comme dans la fonction de Jain pour φ̃ = 2s (4.49).
5.2. TRANSMUTATION STATISTIQUE – LES ANYONS EN 2D
(b)
(a)
z
75
A
B
C
A
B
+
B
A
Fig. 5.1 – (a) Processus dans lequel la particule A se déplace sur un chemin C autour
d’une deuxième particule. En 3D, on peut soulever ce chemin et ainsi le rétrécir en un seul
point (lignes grises). (b) Processus équivalent qui consiste en deux échanges successifs des
particules A et B.
5.2
Transmutation statistique – les anyons en
2D
Les théories de Chern-Simons sont particulièrement bien adaptées pour
aborder la physique des anyons, quasi-particules avec une statistique qui
n’est ni bosonique ni fermionique. Notons que toutes les particules que l’on
connait dans la nature sont soit des bosons ou des fermions, en fonction de
leur comportement lorsqu’on échange deux particules de la même espèce.
Cette classification est due au caractère spatial 3D de notre environnement
et n’est plus valable en 2D.
Pour visualiser ces propriétés statistiques dues à l’échange de deux particules identiques, notons d’abord qu’un processus T dans lequel on tourne
adiabatiquement une particule A autour d’une autre B est, à une translation
près, équivalent à deux processus d’échange E (Fig. 5.1). On suppose pour
ces deux processus que les particules sont suffisamment localisées pour pouvoir négliger le recouvrement entre leurs fonctions d’onde. D’un point de vue
algébrique, qui tient compte de l’homotopie de ces processus, on peut écrire
E2 = T
modulo une translation. Discutons d’abord le cas d’un espace (sans temps)
de dimension 3 ou plus, où l’on a placé le chemin C dans le plan x−y. Comme
on a la troisième dimension (direction z) à notre disposition, on peut soulever
le chemin C de la particule A au-dessus de la particule B et ainsi le rétrécir
en un seul point sans que la position de B fasse à aucun moment partie du
chemin C.3 On peut associer à ce processus adiabatique un « temps », tel
que C(t = 0) = C (le chemin initial dans le plan x − y) et C(t = 1) = 1 (le
point de la position A). Le processus de contournement de A autour de B
3
Ce ne serait pas possible si B était une ligne infinie dans la direction z.
76
Théories de Chern-Simons et la physique des anyons
est donc équivalent à un processus où l’on ne touche pas aux particules, i.e.
à l’unité, et l’on trouve
√
T =&
et donc
E= & ,
où la dernière équation est symbolique. Elle indique que E a deux valeurs
propres e1 = exp(2iπ) = 1 et e2 = exp(iπ) = −1 (les racines de l’identité).
Cette règle de supersélection indique qu’en 3D (ou plus), toutes les particules
ponctuelles peuvent être distinguées en deux classes, suivant leur comportement quand on échange deux particules identiques, et e1 = 1 correspond aux
bosons et e2 = −1 aux fermions.
Cet argument n’est pas valable lorsqu’on restreint la dynamique des particules à 2D : dans ce cas, on ne peut rétrécir le chemin C en un point sans
croiser la position de la particule B, et un chemin qui contourne une autre
particule n’est donc pas dans la même classe d’homotopie qu’un chemin qui
n’en contourne aucune (et qui peut toujours être rétréci en un point). En 2D,
on peut donc classifier tous les chemins par le nombre de particules qu’ils
contournent et donc par un nombre entier. D’un point de vue algébrique, les
processus d’échange ne sont plus déterminés par les deux racines de l’identité 1 et −1, mais par le groupe de tresse, et la classification des particules
en bosons ou fermions n’est plus valable. Schématiquement, on doit donc
généraliser les règles d’(anti-)commutation pour les champs
ψ(r1 )ψ(r2 ) = ±ψ(r2 )ψ(r1 ) ⇒ ψ(r1 )ψ(r2 ) = eiαπ ψ(r2 )ψ(r1 ),
(5.13)
où α est aussi appelé angle statistique. Comme α n’est plus contraint d’être 0
(pour les bosons) ou 1 (pour les fermions), mais peut être un angle quelconque
(anglais : any), on appelle anyons les particules de statistique généralisée.4
Quid du principe de Pauli ? On sait que, contrairement aux bosons, les fermions ne peuvent pas occuper à plusieurs le même état. En terme de champ,
cela se traduit par
2ψ(r)ψ(r) = 0,
pour les champs fermioniques à la même position r1 = r2 = r, où l’on a
utilisé l’équation (5.13) avec le signe moins pour les fermions. En général,
pour un angle α arbitraire, on trouve
1 − eiαπ ψ(r)ψ(r) = 0,
(5.14)
4
A ne pas confondre avec les anions des chimistes. Malgré notre effort d’éviter trop
d’anglicismes, on se garde de l’introduction du terme – certainement plus français – quelconquon.
Transmutation statistique – les anyons en 2D
77
et seulement lorsque α = 0 mod(2), on peut avoir ψ(r)ψ(r) 6= 0, comme on
le sait pour les bosons. Lorsque α 6= 0 mod(2), on a donc nécessairement
ψ(r)ψ(r) = 0, et l’équation (5.14) peut être interprétée comme un principe
de Pauli généralisé.
5.2.1
Les anyons dans les théories de Chern-Simons
On analyse maintenant les propriétés statistiques des champs ψCS (r)
transformés par la transformation de Chern-Simons, à l’aide de la statistique
connue des champs électroniques ψ(r). En définissant
Z
τ (r) ≡ d2 r 0 θ(r − r0 )ρ(r0 ),
(5.15)
pour alléger la notation des expressions suivantes, on a
ψCS (r1 )ψCS (r2 ) = eiφ̃τ (r1 ) ψ(r1 )eiφ̃τ (r2 ) ψ(r2 )
= eiφ̃τ (r1 ) eiφ̃τ (r2 ) e−iφ̃τ (r2 ) ψ(r1 )eiφ̃τ (r2 ) ψ(r2 ). (5.16)
A l’aide de la formule de Hausdorff,
A
e Be
−A
∞
X 1
1
= B + [A, B] + [A, [A, B]] + ... =
Cn (A; B),
2
n!
n=0
(5.17)
où Cn (A; B) = [A, Cn−1 (A; B)] est défini de façon récurrente, Cn=0 (A; B) ≡ B,
et
Z
[τ (r2 ), ψ(r1 )] = d2 r 0 θ(r2 − r0 )[ψ † (r0 )ψ(r0 ), ψ(r1 )] = −θ(r2 − r1 )ψ(r1 ),
on trouve donc
e−iφ̃τ (r2 ) ψ(r1 )eiφ̃τ (r2 ) = eiφ̃θ(r2 −r1 ) ψ(r1 ).
Cela donne pour l’expression (5.16)
ψCS (r1 )ψCS (r2 ) = eiφ̃θ(r2 −r1 ) eiφ̃τ (r1 ) eiφ̃τ (r2 ) ψ(r1 )ψ(r2 )
et de même en interchangeant r1 ↔ r2 ,
ψCS (r2 )ψCS (r1 ) = eiφ̃θ(r1 −r2 ) eiφ̃τ (r2 ) eiφ̃τ (r1 ) ψ(r2 )ψ(r1 ).
78
Théories de Chern-Simons et la physique des anyons
Avec ψ(r1 )ψ(r2 ) = −ψ(r2 )ψ(r1 ), θ(r2 −r1 ) = θ(r1 −r2 )+π et [τ (r1 ), τ (r2 )] =
0, on trouve donc
ψCS (r1 )ψCS (r2 ) = −eiφ̃π ψCS (r2 )ψCS (r1 ),
(5.18)
et de la même manière
†
†
ψCS (r1 )ψCS
(r2 ) + eiφ̃π ψCS
(r2 )ψCS (r1 ) = δ(r1 − r2 ).
(5.19)
En comparant ces expressions à l’équation (5.14), on s’aperçoit que φ̃ joue le
rôle de l’angle statistique α, et les transformations de Chern-Simons sont donc
celles qui permettent de changer la statistique entre les particules. Notons de
plus que le choix φ̃ = 2s + 1 a pour effet une transmutation de fermions en
bosons, tandis que φ̃ = 2s ne change pas la statistique des particules, comme
c’est le cas dans la théorie des FC, discutée plus haut.
5.2.2
Charge fractionnaire et statistique fractionnaire
Les points abordés dans la section précédente ont un lien direct avec la
phase de Berry, qui est un phase géométrique acquise lors d’un chemin de
changement adiabatique de la particule dans l’espace des paramètres. La
phase de Berry la plus connue est celle due à l’effet d’Aharonov-Bohm, où
une particule de charge e∗ acquiert sur un chemin ∂Σ = C, entourant une
surface Σ, une phase de
I
Z
e∗
e∗
Γ=−
dr · ACS (r) = −
d2 rBCS (r),
(5.20)
h̄ ∂Σ
h̄ Σ
où l’on a déjà considéré que le champ de jauge en question est celui obtenu
par la transformation de Chern-Simons. Dans ce cas, la phase de Berry est un
opérateur dû au fait que le « champ magnétique » BCS est proportionnel aux
fluctuations de la densité. Dans l’approximation du champ moyen [équation
(5.10)], BCS = hφ̃nel /e, qui néglige ce caractère du champ magnétique, on
trouve
e∗
Γ = 2π φ̃N (Σ),
(5.21)
e
où N (Σ) est le nombre d’électrons contenus dans la surface Σ.
On distingue maintenant trois cas :
Transmutation statistique – les anyons en 2D
79
– Dans le premier cas (le plus simple), la particule qui se meut sur le
chemin C autour d’un liquide de Laughlin est un électron de charge
e∗ = e, et elle acquiert donc une phase qui est un multiple de Γ = 2π φ̃.
Lorsque φ̃ est un entier, comme pour la théorie de Laughlin, cette phase
reste un multiple de 2π.
– Dans le cas où il s’agit d’une quasi-particule de charge fractionnaire,
e.g. e∗ = e/φ̃, la phase acquise est toujours un multiple de Γ = 2π.
– Le cas le plus intéressant est celui où il y a une (ou plusieurs) quasiparticule(s) en plus du liquide de Laughlin dans la surface Σ, entourée
par le chemin que prend une quasi-particule. Rappelons que la fonction
d’onde d’une quasi-particule
Q à la position z0 dans la théorie de Laughlin
s’obtient par le facteur j (zj − z0 ). En termes de transformations de
Chern-Simons, cela peut se modéliser par la transformation
UV (r) = eiq
R
d2 r 0 θ(r−r0 )ρV (r0 )
,
où ρV (r) est la densité des quasi-particules de vorticité q = ±1. Pour
une seule quasi-particule à r0 , on aurait ρV (r) = δ (2) (r − r0 ). Comme
pour la comparaison entre la transformation de Chern-Simons et la
fonction d’onde de Laughlin (ou Jain), cette transformation attache la
phase (singulière) associée à la quasi-particule, sans y attacher le zéro
dans le module.
En termes de transformation de jauge, on a ACS (r) → ACS (r) −
(h̄/e)∇f (r) lorsque la fonction d’onde se transforme selon ψ(r) →
exp[if (r)]ψ(r). Le potentiel vecteur total est donc
Z
h̄q
ACS (r) → ACS (r) − ∇ d2 r 0 θ(r − r0 )ρV (r0 ),
e
et le lien entre le champ magnétique et les densités (5.9) s’écrit maintenant
hq
h
(5.22)
BCS (r) = [∇ × ACS (r)]z = − φ̃ρ(r) + ρV (r).
e
e
Le premier terme donne lieu à la même phase de Berry Γ que dans
le cas d’une quasi-particule qu’on fait tourner autour d’un liquide de
Laughlin dans Σ, et le deuxieme terme ajoute une phase ∆Γ due à
la présence d’éventuelles quasi-particules dans Σ. Supposons qu’on ait
exactement une autre quasi-particule à la position rV ∈ Σ, ce qui donne
Z
hq
e∗
q
e∗
d2 r δ(r − rV ) = 2π q = 2π
,
(5.23)
∆Γ =
h̄ Σ
e
e
2s + 1
80
Théories de Chern-Simons et la physique des anyons
pour le cas où e∗ = e/(2s + 1) (quasi-particule de Laughlin). On voit
donc que la fractionnalisation de la charge engendre également une
statistique fractionnaire en 2D, car l’angle statistique associé à la phase
de Berry ∆Γ est
q
e∗
.
(5.24)
α=q =
e
2s + 1
Notons enfin que la mise en évidence de la statistique fractionnaire constitue un sujet de recherche actuel. La charge fractionnaire des quasi-particules
dans l’EHQF a déjà été mise en évidence dans des mesure de bruit de grenaille [40]. Dans ces expériences, on rapproche à un endroit les deux bord par
une tension de grille latérale – lorsque les bords sont suffisamment proches,
une quasi-particule sur un bord peut être diffusée sur l’autre, et sa charge
se manifeste dans des mesure de bruit dû à cette rétro-diffusion. De cette
manière, la charge des quasi-particules mesurée à ν = 1/3 est e/3 [40], et à
ν = 2/5 leur charge est e/5.
En raison du lien intime entre charge et statistique fractionnaires, il est
difficile de mettre en évidence la statistique seule, notamment pour les quasiparticules de Laughlin [41]. De différents dispositifs ont récemment été proposés pour décortiquer charge et statistique dans le cas d’un EHQF particulier à ν = 5/2, qui semble être un état avec des quasi-particules anyoniques
de statistique non abélienne [42]. Une discussion de ces états est pourtant audelà des objets traités dans ce cours, et l’on réfère le lecteur à la littérature
indiquée.
Chapitre 6
Théorie hamiltonienne de l’effet
Hall quantique fractionnaire
Dans le chapitre précédent, on a discuté quelques aspects des théories
de Chern-Simons. Notons que la transformation (5.2) n’engage que la partie
cinétique du hamiltonien mais nulle part les interactions, qui restent invariantes. Or, comme on l’a vu dans le chapitre 4, l’EHQF est dû aux interactions répulsives, et le modèle d’électrons restreints à un seul NL [équation
(4.17)] ne consiste qu’en ce terme d’interaction. Il semble donc y avoir une
contradiction dans les approches théoriques. Ce reproche aux transformations de Chern-Simons est pourtant trop fort. En effet, la transformation
de Chern-Simons a pour but de remplacer la vraie répulsion coulombienne
par une interaction statistique due à l’attachement des tubes de flux aux
électrons, ce qui engendre une singularité dans la fonction d’onde à N particules lorsqu’on tente de superposer deux particules au même endroit [voir
l’équation (5.12)].
Il persiste pourtant un problème dans l’approximation du champ moyen
(5.10) qui renormalise le champ magnétique, B → B ∗ = B(1− φ̃ν) : les particules peupleraient donc des niveaux (NL∗ ) dont la séparation est déterminée
par une fréquence cyclotron ωC∗ = eB ∗ /m, et cette échelle d’énergie fait intervenir la masse m des électrons, tandis que le modèle (4.17) impose l’échelle
d’énergie e2 /lB , qui est indépendente de la masse. On voit donc la nécessité
d’aller au-delà de l’approximation du champ moyen pour obtenir les bonnes
échelles d’énergie. Plusieurs approches ont été proposées, comme une approximation de phase aléatoire (RPA) [12, 43] qui renormalise également la masse
m → m∗ afin d’obtenir la bonne échelle d’énergie dans la limite ν → 1/2
81
82
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
(p → ∞). Une approche alternative, que l’on discutera dans ce chapitre, est
la théorie hamiltonienne de l’EHQF [44, 45, 46]. On se concentrera sur sa
formulation proposée par Murthy et Shankar dans leur article de revue [45].
6.1
Théorie miscroscopique
Cette section traite le lien entre les théories de Chern-Simons et le modèle
effective (4.17), dans le cadre d’une formulation microscopique de la théorie
hamiltonienne. L’idée générale est de traiter les fluctuation du potentiel vecteur, ACS (r), à l’aide d’un nouveau champ de jauge quantique, a(r), qui
nécessite l’introduction d’une contrainte, pour enlever au bout du compte les
degrés de liberté non physiques. Les différentes transformations de ce traitement sont parfois assez techniques au niveau mathématique. On essaiera
de fournir le plus d’interprétations physiques possibles, aussi pour les pas
intermédiaires, mais le lecteur moins intéressé par ce traitement peut directement se référer à la théorie effective dans la section 6.2. La discussion de
cette théorie ne nécessite pas une connaissance détaillée de la théorie microscopique exposée dans la présente section.
6.1.1
Traitement des fluctuations de ACS (r)
En première quantification,1 le hamiltonien de Chern-Simons (5.5) s’écrit
comme une somme sur les particules j = 1, ..., Nel
ĤCS =
1 X
[pj + eA∗ (rj ) + eδACS (rj ) + ea(rj )]2 ,
2m j
(6.1)
où l’on a absorbé la valeur moyenne du potentiel vecteur de Chern-Simons
dans un potentiel vecteur effectif « externe », A∗ (r) = A(r) + hACS (r)i,
tandis qu’on traite ses fluctuations δACS (r) à part. Elles sont liées aux fluctuations de la densité par l’équation (5.9), ou dans l’espace de Fourier par
(h̄ ≡ 1)
2π φ̃
δρ(q)e⊥ ,
(6.2)
δACS (q) =
e|q|
P
où δρ(q) = j exp(−iq · rj ) − nel et e⊥ = iez × ek , avec ek = q/|q|. Le
dernier terme dans l’équation (6.1) représente un nouveau champ de jauge
1
On utilise ici une formulation en première quantification, pour simplifier les notations.
Théorie microscopique
83
transverse, ∇ · a(r) = 0, qu’on a introduit « à la main ». Son caractère
quantique est révélé par la présence de son champ conjugué (longitudinal)
P(r), avec les règles de commutation canoniques
[a(q), P (−q0 )] = iδq,q0 ,
(6.3)
où dans l’espace de Fourier
a(q) = a(q)e⊥ ,
P(q) = iP (q)ek .
On a donc artificiellement agrandi l’espace de Hilbert par les degrés de liberté
de ce nouveau champ de jauge, et le sous-espace physique et celui des états
|ϕphys i annihilés par a(q),
a(q)|ϕphys i = 0.
(6.4)
Qu’a-t-on gagné par cette opération formelle ? De la même façon que l’impulsion px est le générateur des translations dans la direction x (voir la section
2.2.2), le champ conjugé P (q) peut servir de générateur des translations des
potentiels vecteurs. On peut donc utiliser la transformation
Ua = e i
P
q0
P (−q)δACS (q0 )
(6.5)
pour se débarasser des fluctuations du potentiel vecteur de Chern-Simons,
Ua† a(q)Ua = a(q) − δACS (q),
Ua† a(r)Ua = a(r) − δACS (r),
(6.6)
obtenu à l’aide de l’équation (6.3) et de la formule de Baker-Hausdorff (2.41).
En raison de la contrainte (6.2), la transformation est également affectée par
le gradient (l’impulsion dans la représentation r), car
"
!#
X
X
1
2π φ̃
0
P (−q0 ) 0
Ua = exp i
e−iq ·rj − nel
.
e q0
|q |
j
On obtient donc
[−i∇j + eA∗ (rj ) + eδACS (rj ) + ea(rj )] Ua
#
"
X
1
2π
φ̃
∇j
P (−q) e−iq·rk
= Ua −i∇j + eA∗ (rj ) + ea(rj ) +
e
|q|
k
"
#
2π φ̃
= Ua −i∇j + eA∗ (rj ) + ea(rj ) +
P(rj ) ,
e
84
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
et pour le hamiltonien transformé
#2
"
1 X
2π
φ̃
P(rj ) .
ĤCP =
pj + eA∗ (rj ) + ea(rj ) +
2m j
e
(6.7)
L’indice CP indique que le hamiltonien est transformé dans une base de
particules composites et qu’en deuxième quantification, on a pour les champs
ψCS (r) = Ua ψCP (r). Notons que la contrainte (6.4) est également affectée par
cette transformation, et elle devient
"
#
2π φ̃
a(q) −
δρ(q) |ϕphys i = 0.
(6.8)
e|q|
Cette contrainte transformée peut s’interpréter physiquement : au lieu de
traiter exactement les fluctuations de la densité (ou celles du potentiel vecteur de Chern-Simons), elles sont encodées dans ce nouveau champ quantique a(q).2 Comme a(q) · P(q0 ) = 0 (rappelons que le champ a(q) est
transverse et P(q) est longitudinal), les deux derniers termes du hamiltonien (6.8) représentent un oscillateur harmonique couplé au secteur des particules chargées dans un champ B ∗ , ce qui est le sens physique des deux
premiers terms. Explicitement, le hamiltonien contient donc trois termes,
ĤCP = ĤB ∗ + Ĥosc + Ĥcoupl : celui de particules chargées dans un champ
magnétique effectif B ∗ (la théorie de Chern-Simons au niveau de l’approximation du champ moyen),
ĤB ∗ =
1 X
[pj + eA∗ (rj )]2 ,
2m j
(6.9)
celui d’un oscillateur harmonique, qui représente les fluctuations de la densité,


!2
X
1
e2 a2 (rj ) + 2π φ̃ P 2 (rj ) ,
Ĥosc =
(6.10)
2m j
e
2
Ce traitement n’est pas inhabituel en physique théorique : dans le contexte des
intégrales de chemin, cela ressemble fortement à une transformation de HubbardStratonovich ; pour les électrons 1D, on se sert de la bosonisation, où les bosons
représentent également les fluctuations de densité (de charge et de spin). En effet, Murthy
et Shankar étaient, selon leurs propres remarques, influencés par un traitement des modes
plasmoniques d’un liquide de Fermi, proposé initialement par Bohm et Pines [47].
Théorie microscopique
85
et un terme de couplage
Ĥcoupl
"
#
1 X
2π
φ̃
=
[pj + eA∗ (rj )] · ea(rj ) +
P(rj ) .
m j
e
(6.11)
Le découplage de ce modèle sera l’objet de la section suivante. On se concentre
pour le moment sur le modèle sans terme de couplage, notamment sur le
terme de l’oscillateur harmonique, qui peut se réécrire, à l’aide de ρ(r) =
δ(r − rj ) = nel + δρ(r),


!2
Z
1
2π φ̃
d2 rρ(r) e2 a2 (r) +
Ĥosc =
P 2 (r)
2m
e


!2
X
nel
e2 a2 (q) + 2π φ̃ P 2 (q) .
'
2m q
e
Dans le dernier pas, on a négligé des termes qui sont d’ordre 3 dans les fluctuations de densité,3 qui sont traitées au niveau de l’approximation harmonique O(δρ(q)2 ). En introduisant les opérateurs d’échelle pour l’oscillateur
harmonique
"
#
1
2π φ̃
A(q) ≡ q
ea(q) + i
P (q) ,
(6.12)
e
4π φ̃
qui satisfont à
A(q), A† (q0 ) = δq,q0 ,
(6.13)
le hamiltonien (6.10) s’écrit
Ĥosc = ω0
X
q
A† (q)A(q),
(6.14)
avec la fréquence caractéristique
nel
= ν φ̃ωC .
(6.15)
2m
L’état fondamental de l’oscillateur est donné par la gaussienne habituelle
!
e2 X 2
a (q) ,
(6.16)
χosc = exp −
4π φ̃ q
ω0 = 4π φ̃
3
Rappelons que a(q) ∼ δρ(q), en raison de la contrainte (6.8).
86
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
à un préfacteur de normalisation près.
En absence de couplage, la fonction d’onde à N particules est le produit
d’une fonction d’onde de l’oscillateur et de celle de N particules chargées
dans un champ B ∗ , ψCP ({rj }) = χosc ({rj })φp ({rj }), où φp ({rj }) est unique
(non dégénérée) pour ν ∗ = p. En raison de la contrainte (6.8), la fonction
d’onde de l’oscillateur s’écrit
#
"
φ̃ X
2π
χosc = exp −
δρ(−q) 2 δρ(q) .
2 q
|q|
Notons que l’exposant peut s’interpréter comme un hamiltonien de particules
chargées qui interagissent par un potentiel de Coulomb 2D, ṽ(q) = 2π/q 2 ↔
v(r) = − ln |r|. On retrouve ici l’image du plasma 2D à une composante,
discutée dans la section 4.2. Cela mène à l’expression dans l’espace réel (avec
lB ≡ 1)
φ̃
χosc ({rj }) = e 2
= C
P
j,k
Y
k<j
R
d2 rd2 r 0 [δ(r−rj )−nel ] ln |r−r0 |[δ(r0 −rk )−nel ]
|rk − rj |φ̃ e−φ̃ν
P
k
|rk |2 /4
,
(6.17)
où C est une constante sans importance, et l’on a utilisé nel = ν/2π. Notons
[voir l’équation (5.12)], que l’on a déjà attaché la singularité dans la phase
par la transformation de Chern-Simons, et la fonction d’onde électronique à
N particules s’écrit donc, en notation complexe,
Y
P
2
(6.18)
ψ({zj }) =
(zk − zj )φ̃ e−φ̃ν k |zk | /4 φp ({zj }).
k<j
Lorsque φ̃ = 2s, i.e. lorsqu’on garde la statistique fermionique, on y trouve la
structure des fonction d’onde de Laughlin (4.20) et de Jain (4.49), à la projection au plus bas NL près. Le dernier pas, pour compléter la comparaison à ces
fonctions d’onde, consiste à obtenir la bonne longueur caractéristique dans
la gaussienne. Pour cela, notons que φp ({zj }) représente la fonction d’onde
de N particules à un facteur de remplissage ν ∗ = p entier dans un champ
magnétique B ∗ = [∇ × A∗ (r)]z . La
p longueur magnétique caractéristique qui
∗
intervient dans φp ({zj }) est lB
= h̄/eB ∗ , et la gaussienne de cette fonction
est donc
!
"
#
X |zk |2
X |zk |2
= exp −(1 − ν φ̃)
,
exp −
∗2
4l
4l
B
B
k
k
Théorie microscopique
87
2
∗2
où l’on a utilisé lB
/lB
= B ∗ /B = (1 − ν φ̃). La gaussienne globale dans la
fonction d’onde électronique (6.18) est alors
!
X |zk |2
,
exp −
2
4l
B
k
comme on s’y attend pour des électrons dans un champ magnétique B.
6.1.2
Transformation de découplage à petit vecteur
d’onde
Il reste maintenant à découpler le hamiltonien des particules (6.9) et celui
des oscillateurs (6.10), qui représente les modes collectifs de la densité. On
ne trace ici que les grandes lignes de la transformation de découplage pour
des petits vecteurs d’onde, |q|lB 1, et l’on réfère le lecteur plus intéressé
à la revue de Murthy et Shankar, notamment à la version 2 du manuscrit
accessible sur l’archive électronique, cond-mat/0205326v2.
De façon concise, le hamiltonien total, en absence d’interactions, s’écrit
ĤCP =
X Πj,+ Πj,−
j
2m
+ ω0
X
q
A† (q)A(q) + θω0
X
c† (q)A(q) + c(q)A† (q) ,
q
(6.19)
q
P
où θ = π φ̃/4πnel , c(q) = j q̂− Πj,+ exp(−iq · rj ) et Πj,± = pj,± + eA∗± (rj ).
Ici, les opérateurs vectoriels sont écrits en notation complexe, V± = Vx ± iVy ,
et q̂± = ek · ex ± iek · ey est le vecteur unité dans la direction de q, en
notation complexe. Aux règles de commutation des oscillateurs harmoniques
(6.13) s’ajoutent
[Πi,− , Πj,+ ] = 2eB ∗ δi,j
(6.20)
et
[c(q), c† (q0 )] = −2eB ∗
X
j
0
e−i(q−q )·rj + O(q) ' −2eB ∗ δq,q0 ,
(6.21)
où la dernière représente une approximation de phase aléatoire. Elle est justifiée de la même manière que celle utilisée pendant le passage à l’espace de
Fourier du hamiltonien de l’oscillateur harmonique – on tient compte des
fluctuations de la densité au niveau gaussien à travers les champs de jauge
a(q), ou A(q), respectivement. Les corrections à l’équation (6.21) seraient
88
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
donc d’ordre plus élevé que O(δρ(q)2 ), ce dont on tient compte au niveau de
l’approximation harmonique.
Dans le hamiltonien (6.19), le couplage entre les particules, décrites par
les opérateurs Πj,± [ou c(q) et c† (q)], et les champs d’oscillateur A(q) et
A† (q) est linéaire. La transformation canonique qui découple le hamiltonien
est de la forme
(
)
X
c† (q)A(q) − c(q)A† (q) ,
U (λ) = eiλS0 = exp λθ
(6.22)
q
où l’on choisit le paramètre « de flot », λ, de manière appropriée – pour le
moment il est un nombre réel arbitraire. Un opérateur transformé par (6.22),
Ω(λ) = exp(−iλS0 )Ω(λ = 0) exp(iλS0 ), peut se calculer à partir de la dérivée
dΩ
= −ie−iλS0 [S0 , Ω] eiλS0 .
dλ
(6.23)
Dans le cas des opérateurs c(q) et A(q), qui interviennent dans le hamiltonien
(6.19), cela mène aux équations de flot
dA(λ, q)
= −θc(λ, q)
et
dλ
µ2
dc(λ, q)
= − A(λ, q),
dλ
θ
avec µ2 ≡ 2eB ∗ nel θ 2 = 1/2ν ∗ , que l’on intègre, à l’aide des conditions initiales
c(q) = c(λ = 0, q) et A(q) = A(λ = 0, q),
A(λ, q) = cos(µλ)A(q) −
et
θ
sin(µλ)c(q),
µ
(6.24)
µ
sin(µλ)A(q) + cos(µλ)c(q).
(6.25)
θ
On remarque que cette transformation peut également s’interpréter comme
une rotation dans l’espace de Hilbert, qui mélange les degrés de liberté c(q)
(particules) et A(q) (oscillateurs). Le hamiltonien transformé s’obtient donc
à partir des équations (6.24) et (6.25), insérées dans le hamiltonien (6.19), et
à partir de la transformation de son premier terme selon la même méthode
[intégration à partir de l’équation différentielle (6.23)]. Le hamiltonien fait
c(λ, q) =
Théorie microscopique
89
intervenir beaucoup de termes même si le calcul est direct, et l’on ne donne
ici que son allure globale,
ĤCP (λ) =
X Πj,+ Πj,−
j
2m
+
X
α(λ)c† (q)c(q)
(6.26)
q
+β(λ)A† (q)A(q) + γ(λ) c† (q)A(q) + c(q)A† (q) .
Bien évidemment, le découplage est obtenu pour une valeur λ = λ0 qui
satisfait à l’équation implicite
γ(λ = λ0 ) = 0
⇒
tan(µλ0 ) = µ.
(6.27)
Le calcul détaillé [45] donne de plus pour les autres paramètres dans le hamiltonien (6.26)
β(λ0 ) = ωC
et
α(λ0 ) = −
1
,
2mnel
et le hamiltonien découplé s’écrit donc, en présence d’interactions V [ρ(λ0 , q)],
qui dépendent de la densité transformée,
ĤCP =
X Πj,+ Πj,−
−
X eB ∗
1 XX
Πj,+ e−iq·(rj −rk ) Πk,− +
2mnel j,k q
2m
j
2m
X
+ωC
A† (q)A(q) + V [ρ(λ0 , q)].
j
(6.28)
q
Quelques remarques :
– La fréquence des oscillateurs est donnée par la séparation entre NL, ωC .
C’est en accord avec le théorème de Kohn qui dit que les excitations
collectives de type densité (modes plasmoniques) dans la limite q →
0 oscillent à cette fréquence, aussi en présence d’interactions qui ne
brisent pas l’invariance par translation. Dans la limite des champs fort,
les oscillateurs représentent donc des excitations de haute énergie, qui
condensent, à T = 0, dans le mode de plus basse énergie, et le quatrième
terme représente donc une constante sans importance que l’on enlève
désormais.
– Le troisième terme indique que les particules composites possèdent d’un
moment magnétique e/2m.
90
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
– La somme
P sur les vecteurs d’onde est limitée par le nombre d’oscillateurs, |q|≤Q = nosc , ce qui introduit une coupure Q à grand vecteur
d’onde. En principe, on n’a pas spécifié ce nombre d’oscillateurs, mais
notons que, lorsqu’on se concentre sur les termes diagonaux j = k dans
la somme du deuxième terme du hamiltonien (6.28), ce choix influence
la masse effective m/m∗ = (1 − nosc /nel ) pour
X Πj,+ Πj,−
2m∗
j
,
qui regroupe le premier et le deuxième terme. Le choix naturel semble
nosc = nel , ce qui annule complètement le terme cinétique du hamiltonien (à part les termes non diagonaux, j 6= k), comme on s’y attendrait
pour la dynamique des électrons projetés à un seul niveau [équation
(4.17)]. Le choix nosc > nel mènerait au résultat non physique d’une
masse effective négative, et nosc < nel ne l’annulerait pas complètement.
Un discutera une autre justification pour le choix nosc = nel (ou Q =
kF ) dans le cadre de la théorie effective (section 6.2).
– Il persistent les termes non diagonaux (j 6= k) dans la partie cinétique.
Avec la coupure fixée à Q = kF , on peut les réécrire à l’aide de
X
X
e−iq·(rj −rk ) = δ(rj − rk ) −
e−iq·(rj −rk ) ,
|q|<Q
|q|>Q
et donc comme une somme d’un terme qui s’annule pour j 6= k et un
terme pertinent seulement à grand vecteur d’onde |q| > Q, que l’on
néglige dans la limite de petits vecteurs d’onde, |q|lB 1. Dans le
cadre de ces approximations, il n’y a donc plus de terme cinétique.
Compte tenu de cette discussion, le hamiltonien (6.28), qui décrit la dynamique à basse énergie, devient
ĤCP (λ) =
X eB ∗
j
2m
+ V [ρ(λ0 , q)].
(6.29)
Ce résultat semble prometteur dans le sens qu’il consiste seulement en le
hamiltonien d’interaction, à part le premier terme qui est une constante sans
importance pour la dynamique des particules. Pour compléter la discussion,
il faut calculer la densité transformée, ρ(λ0 , q), ainsi que la contrainte, qui est
également affectée par la transformation. La densité se calcule de la même
6.2. THÉORIE EFFECTIVE POUR TOUT VECTEUR D’ONDE
91
manière que c(λ, q) et A(λ, q), à partir de l’équation différentielle (6.23) et
son intégration, pendant que la contrainte est donnée par
e|q| ρ(λ, q) = q
A(λ, q) + A† (λ, −q) .
4π φ̃
Cela donne comme résultat final [45] à l’ordre le plus bas en |q|lB
X
c|q| −iq·rj
2 q ∧ Πj
A(q) + A† (−q) , (6.30)
+q
ρ(λ0 , q) =
e
1 − ilB
1+c
j
4π φ̃
où le paramètre c est lié au paramètre de découplage, à ν ∗ = p,
c2 = cos2 (λ0 µ) =
pφ̃
,
pφ̃ + 1
(6.31)
et pour la contrainte
χ(λ0 , q)|ϕphys i = 0,
avec χ(λ0 , q) =
X
e
−iq·rj
j
1+
2
ilB
q ∧ Πj
.
c(1 + c)
(6.32)
Notons que la contrainte ne fait intervenir que les particules et non pas les
oscillateurs A(q), ce qui est une condition nécessaire pour un découplage complet du hamiltonien (6.29). Les opérateurs de densité (6.30) gardent pourtant une contribution des oscillateurs, qui s’annule en moyenne lorsque ils
sont condensés dans l’état fondamental hA(q)i = hA† (q)i = 0, ce que l’on
suppose dans la suite.
6.2
Théorie effective pour tout vecteur d’onde
Le lien avec le modèle (4.17) devient encore plus net lorsqu’on essaie de
construire une théorie à tout vecteur d’onde qui coı̈ncide avec la théorie dans
la limite |q|lB 1. Cette généralisation s’obtient à partir d’un raisonnement
aussi simple que peu justifié : supposons que les expressions (6.30) et (6.32)
représentent les premiers termes du développement d’une exponentielle. On
aurait donc4
X
X
(e)
(v)
ρ̄(q) =
e−iq·Rj
et
χ̄(q) =
e−iq·Rj ,
(6.33)
j
4
j
Les barres sur les expressions indiquent qu’on a des densités généralisées à tout vecteur
d’onde.
92
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
avec
Πx
Πy
,y +
R =
et R = x −
.
c(1 + c)
c(1 + c)
(6.34)
On trouve que les composantes de ces nouveaux opérateurs satisfont aux
règles de commutation
(e)
Πx
Πy
,y −
x+
1+c
1+c
(e) (e) 2
X ,Y
= ilB
,
(v)
et
l2
X (v) , Y (v) = −i B2 .
c
(6.35)
Une comparaison avec l’équation (2.16) nous montre que l’on peut interpréter
R(e) comme le centre de guidage d’un électron, tandis que R(v) semble être
celui d’une deuxième particule avec une charge −c2 , en termes de charge de
l’électron. Les densités associées sont automatiquement projetées au plus bas
NL, et l’on trouve donc comme modèle final5
Ĥ =
1X
v0 (q)ρ̄(−q)ρ̄(q),
2 q
avec les règles de commutations pour les densités
q∧k
[ρ̄(q), ρ̄(k)] = 2i sin
ρ̄(q + k),
2
q∧k
χ̄(q + k),
[χ̄(q), χ̄(k)] = −2i sin
2c2
[χ̄(q), ρ̄(k)] = 0
et
χ̄(q)|ϕphys i = 0.
(6.36)
(6.37)
C’est donc le même modèle que celui discuté dans la section 4.1.2, où l’on a
ajouté la contrainte associée à la densité χ̄(q) et son algèbre quantique.
Essayons de donner un sens physique à ce modèle, au vu de l’image des
FC, en supposant que χ̄(q) décrive la densité d’une deuxième espèce de particules, qu’on appelle le « pseudo-vortex ». Le « pseudo » dans ce nom indique
que cette particule ne vit que dans un espace de Hilbert plus grand et qu’il
faut tenir compte de la projection au sous-espace physique, qui est donné par
les états annihilés par χ̄(q). De plus, il n’y a pas de dynamique associée à
cette densité, qui n’intervient pas dans le hamiltonien.
5
On discute ici le cas du plus bas NL, n = 0. Pour généraliser la théorie hamilitoniennne
à des niveaux arbitraires, il suffit de remplacer le potentiel d’interaction effectif, v 0 (q) →
vn (q).
Théorie effective
93
ez x Π lB2
y
(e)
R
(v)
R
x
Fig. 6.1 – Fermion composite dans la théorie hamiltonienne.
– Les centres de guidage de l’électron et du pseudo-vortex sont séparés
2
par une distance ∼ |Π|lB
∼ lB , ce qui donne lieu à un moment dipolaire
2
d = −eez × ΠlB (figure 6.1).
– Le FC peut se comprendre comme un état composite d’un électron et
d’un pseudo-vortex. Notons que ce dernier a été introduit indirectement
par les degrés de liberté des oscillateurs, a(q) ou A(q). Le choix nosc =
nel , discuté plus haut, peut donc s’interpréter comme une égalité de
nombre d’électrons et de pseudo-vortex. Il en résulte qu’on a autant de
FC que d’électrons. La charge du FC est la somme de celle de l’électron
et celle du pseudo-vortex, i.e. e∗ /e = −(1 − c2 ).
– Le pseudo-vortex est une excitation du gaz d’électrons, qui sont les
véritables particules élémentaires. Cela se voit dans l’équation (6.34) :
les centres de guidage des deux sortes de particules sont décrits seulement par x, y et Πx , Πy . C’est le sens physique de la contrainte
χ̄(q)|ϕphys i = 0.
Notons qu’on aurait directement pu commencer par le modèle d’électrons
restreints à un seul NL (4.17) – au lieu d’ajouter le champ de jauge
(oscillateur) a(q) et son conjugué comme variable supplémentaire dans
une théorie microscopique, on aurait introduit le champ χ̄(q) dans le
modèle effectif (4.17). La théorie microscopique et le traitement discuté
dans la section précédente est pourtant utile parce qu’il a permis de
faire le lien avec les théories de Chern-Simons.
94
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
– La limite p → ∞ ou ν → 1/2 donne une charge c2 = 1 pour le pseudovortex. Les FC à ν = 1/2 sont donc électriquement neutres, mais ils
2
gardent un moment dipolaire de d(ν = 1/2) = −ekF lB
[46, 48].
6.2.1
Traitement approximatif de la contrainte
Malgré la simplicité formelle de la théorie hamiltonienne (6.37), il est difficile de traiter explicitement la contrainte dans les calculs. Pour contourner
ce problème, Murthy et Shankar ont proposé un « raccourci » en remplaçant
la densité projetée par une combinaison « préférentielle »,
ρ̄CF (q) = ρ̄(q) − c2 χ̄(q),
(6.38)
dans le hamiltonien. A priori, toutes les combinaisons ρ̄γ (q) = ρ̄(q) − γ χ̄(q),
avec γ arbitraire, sont équivalentes à cause de la contrainte. L’avantage du
choix γ = c2 est que les éléments de matrice de l’opérateur de densité projeté
satisfont à hN |ρ̄CF (q)|0i ∝ q 2 dans la limite
0. C’est la condition pour
P q →CF
que le facteur de structure S(q, ω) =
(q)|0i|2 δ(ω − EN ) varie
N |hN |ρ̄
comme q 4 pour de petits vecteurs d’onde, ce qu’exige la projection dans le
plus bas NL [30, 31].
Notons que le raccourci de la combinaison preferentielle est une approximation valable seulement dans le cas où l’état fondamental est séparé des
excitations par un gap, comme à ν = p/(2sp + 1). En revanche, il faut explicitement tenir compte de la contrainte si l’on veut étudier le système à
ν = 1/2, où il est décrit par un liquide de Fermi compressible de FC [12].
Un autre problème de la combinaison préférentielle est que le hamiltonien
ne commute plus avec la densité des pseudo-vortex dans un sens strict. Le
modèle reste pourtant faiblement invariant de jauge, car le commutateur
s’annule dans le sous-espace défini par la contrainte.
Une autre raison algébrique peut être évoquée pour le choix de la combinaison préférentielle, i.e. γ = c2 : par ce choix, l’algèbre (6.37) des ρ̄(q) est
réproduite à l’ordre le plus bas en q,
CF
ρ̄ (q), ρ̄CF (k) ' i(q ∧ k)ρ̄CF (q + k)
q∧k
ρ̄CF (q + k) + O(q 3 , k 3 ).
' 2i sin
2
Les ordres plus élevés en q sont supprimés dans le hamiltonien à cause de la
gaussienne dans le potentiel effectif (4.18). L’opérateur ρ̄CF (q) est désormais
Théorie microscopique
95
interprété comme l’opérateur de densité de FC. Physiquement, on néglige
dans cette approximation les modes associés à la structure interne du FC.
La base des FC s’introduit après une transformation des variables R(e) et
R(v) en centre de guidage du FC, R(CF ) , et variable cyclotron, η (CF ) . On exige
de cette transformation que ces nouvelles variables satisfassent aux
√ règles de
∗
commutation en termes de longueur magnétique du FC, lB = 1/ 1 − c2 ,
(CF ) (CF ) (CF ) (CF ) ∗2
∗2
ηx , ηy
= −ilB
et
X
,Y
= ilB
,
(6.39)
en analogie avec les variables électroniques (2.16). La transformation qui
respecte ces règles est donnée par [45]
R(e) − c2 R(v)
et
1 − c2
R(e) = R(CF ) − η (CF ) c
R(CF ) =
⇔
c
(e)
(v)
R
−
R
1 − c2
(v)
R = R(CF ) − η (CF ) /c. (6.40)
η (CF ) =
et
De la même façon que pour la base électronique (section 4.1), l’opérateur de
densité de FC peut s’écrire en deuxième quantification,
X
CF
ρ̄CF (q) =
(6.41)
hm|e−iq·R |m0 ihj|ρ̄p (q)|j 0 ic†j,m cj 0 ,m0 ,
j,j 0 ;m,m0
où les états |ji sont associés à l’opérateur η (CF ) et les états |mi à R(CF ) . Le
premier élément de matrice qui intervient dans cette expression est le même
que celui (4.9) déduit dans la section 4.1.1, en termes de longueur magnétique
de FC, pour m ≥ m0 ,
r
m−m0
∗ 2
∗
m0 ! −iqlB
|qlB |
∗ |2 /4
m−m0
−iq·RCF
0
−|qlB
√
hm|e
|m i = e
L m0
,
m!
2
2
et le deuxième s’écrit, pour j ≥ j 0 ,
(CF ) /c
(CF )
|j 0 i
hj|ρ̄p (q)|j 0 i ≡ hj|eiq·η c − c2 f˜(q)eiq·η
s j−j 0
∗
c
j 0 ! iq̄lB
∗ 2 2
√
=
e−|qlB | c /4
(6.42)
j!
2
∗ 2 ∗ 2
|qlB |
|qlB c|
j−j 0
2(1−j+j 0 ) −|q|2 /2c2 j−j 0
Lj 0
.
−c
e
× Lj 0
2
2c2
La gaussienne f˜(q) = exp(−|q|/2c2 ) dans le deuxième terme tient compte
du fait que la longueur magnétique pour le pseudo-vortex n’est pas la même
96
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
que pour l’électron. Les opérateurs c†j,m et cj,m , avec {cj,m , c†j 0 ,m0 } = δj,j 0 δm,m0
et {cj,m , cj 0 ,m0 } = 0, sont respectivement les opérateurs de création et d’annihilation de FC dans l’état |j, mi = |ji ⊗ |mi.
En raison de la règle de commutation (6.39) pour les composantes du
centre de guidage d’un FC, chaque état occupe une surface minimale 1/nB ∗ =
∗2
2πlB
, en analogie avec le cas électronique. Il existe donc AnB ∗ états par
« niveau de FC » (ou « NL de FC ») j, et le facteur de remplissage des NL de
FC, ν ∗ = nel /nB ∗ est lié au facteur de remplissage électronique par l’équation
(4.51), ν = ν ∗ /(2sν ∗ +1). Quand p niveaux de FC sont complètement remplis,
ν ∗ = p, l’état fondamental peut donc être décrit par la moyenne
hc†j,m cj 0 ,m0 i = δj,j 0 δm,m0 Θ(p − 1 − n),
(6.43)
avec la fonction de Heavyside Θ(x) = 1 pour x ≥ 0 et Θ(x) = 0 pour x < 0.
Aussi anodin que cela puisse paraı̂tre, c’est un grand progrès : dans le modèle
ou, plus précisément, dans la base électronique, on n’a pu définir d’état de
« départ », autour duquel on aurait établi un développement perturbatif,
sauf si ν = n. En revanche, on ne demande que ν ∗ = p, i.e. ν = p/(2sp + 1),
dans le cas du modèle de FC.
6.2.2
Calculs des gaps d’énergie
On peut maintenant se servir de l’état fondamental (6.43) pour calculer
un certain nombre de quantités physiques, comme les gaps de quasi-particule
ou les gaps d’activation [45]. Ces calculs sont très simple à effectuer analytiquement, une fois que le modèle est établi. Comme la quasi-particule consiste
en un FC ajouté dans le niveau p lorsque p NL de FC sont complètement
remplis, son énergie par rapport à celle du fondamental est
∆qp (s, p) = hcp,m Ĥc†p,m i − hĤi
(6.44)
p−1
X
X
1X
p
p
v0 (q)hp|ρ̄ (−q)ρ̄ (q)|pi −
v0 (q)
|hp|ρ̄p (q)|ji|2 ,
=
2 q
q
j=0
où les moyennes, définies par rapport au fondamental, se calculent à l’aide
des contractions de Wick de (6.43). De la même manière, on trouve pour
Théorie effective
97
l’énergie d’un quasi-trou de FC dans p − 1
∆qh (s, p) = hc†p−1,m Ĥcp−1,m i − hĤi
1X
= −
v0 (q)hp − 1|ρ̄p (−q)ρ̄p (q)|p − 1i
2 q
+
X
v0 (q)
p−1
X
j=0
q
(6.45)
|hp − 1|ρ̄p (q)|ji|2
et pour le gap d’activation, qui est l’énergie nécessaire pour créer une paire
quasi-particule/trou sans interaction,
∆a (s, p) = ∆qp (s, p) + ∆qh (s, p).
(6.46)
La figure 6.2 montre des résultats pour les gaps d’activation, en comparaison avec des calculs numériques, en tenant compte de la largeur finie de
l’échantillon dans la direction z. Cette largeur finie modifie le potentiel effectif, v0 (q) → v0 (q)f (q), où plusieures prescriptions ont été proposées pour le
facteur correctif f (q) : Zhang et Das Sarma ont utilisé un potentiel de type
Yukawa, ce qui mène à
f (q) = e−qλ ,
(6.47)
où λ est le paramètre de largeur [49]. Dans cette image, on ne peut approcher
deux particules à une distance plus petite que cette
√ largeur, i.e. on remplace
la distance r dans le potentiel coulombien par r 2 + λ2 . Une alternative est
de considérer la largeur finie par un potentiel de confinement parabolique, ce
qui mène à une gaussienne exp(−z 2 /4λ2 ) qu’on ajoute à la fonction d’onde
[50], et le facteur correctif devient
f (q) = eq
2 λ2
[1 − Erf(qλ)] ,
(6.48)
où Erf(x) est la fonction d’erreur. La tendance générale de ces facteurs, qui
tiennent compte de la largeur finie dans la direction z, est un abaissement
(du module) de l’énergie coulombienne caractéristique. Ceci se manifeste par
un abaissement du gap d’activation (voir figure 6.2), mais aussi des gaps de
quasi-particule ou de quasi-trou. Par rapport aux résultats numériques, la
théorie hamiltonienne surestime les gaps d’activation par un facteur 1, 4 à 2
pour λ = 0, mais l’accord entre les résultats devient meilleur pour de plus
grandes valeurs de λ.
98
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
gaps d’activation
(a)
δ
0.25
'PMJ p=1'
'Hamiltonian Theory p=1'
'PMJ p=2'
'Hamiltonian Theory p=2'
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
gaps d’activation
λ
70x10
-3
'PMJ p=3'
Hamiltonian Theory p=3'
'PMJ p=4'
Hamiltonian Theory p=4'
60
50
40
δ
30
20
10
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
λ
100x10
Activation Gaps
gaps d’activation
(b)
2/5
-3
Exact diag. 2/5
This theory 2/5
Exact diag. 3/7
This theory 3/7
80
60
40
20
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
paramètre
de largeur
Width
parameter
b
Fig. 6.2 – D’après la référence [45]. Gaps d’activation en fonction de la largeur du système
2D dans la direction z, en unités de e2 /lB . (a) comparaison entre la théorie hamiltonienne
et des calculs numérique effectués par Park et al. dans le cadre des fonctions d’onde de
Jain [51]. Un potentiel de type Yukawa a été utilisé pour tenir compte de la largeur finie
[équation (6.47)]. (b) comparaison à des résultats obtenus par diagonalisation exacte [50],
dans l’approximation d’un potentiel de confinement parabolique [équation (6.48)].
Théorie effective
99
ν = 4/11
ν* = 1+1/3
Fig. 6.3 – Fermions composites de deuxième génération à ν ∗ = 1 + 1/3 (ν = 4/11).
Le FC2 , formé dans le niveau partiellement rempli, consiste en un FC de la première
génération et un vortex de FC portant deux quanta de flux. Les FC dans le plus bas
niveau sont traités comme inertes.
6.2.3
Autosimilarité dans le modèle effectif
Jusqu’à présent, nous nous sommes concentrés sur la physique des électrons
corrélés à ν = p/(2sp + 1), et nous avons vu que la théorie de FC permet
de comprendre l’EHQF à ces facteurs de remplissage en termes de quasiparticules – les FC – dans l’approximation du champ moyen de la théorie
hamiltonienne. En effet, elle nous permet d’écrire un état « fondamental »
non dégénéré à ν ∗ = p qui consiste en p NL de FC complètement remplis, ce
qui n’était pas possible dans le modèle électronique, en raison de l’énorme
dégénérescence dans le plus bas NL. Dans ce sens, on peut interprétér l’EHQ
fractionnaire d’électrons à ν = p/(2sp + 1) comme un EHQ entier de FC à
ν ∗ = p.
Il est naturel de se poser la question de ce qui se passe lorsque les NL
de FC sont, eux-même, partiellement remplis à ν ∗ 6= p – on se trouve de
nouveau face au problème d’une grande dégénérescence dans le modèle de
FC. Comment cette dégénérescence est-elle levée lorsqu’on tient compte des
corrélation, cette fois-ci entre FC ? La motivation de cette question vient
de la découverte d’un EHQF à ν = 4/11, ce qui correspond à un facteur
de remplissage de NL de FC ν ∗ = 1 + 1/3. Supposons, ce qu’indiquent les
100
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
expériences, que l’état soit polarisé de spin :6 dans ce cas, le premier NL
excité de FC est rempli à un tiers, et il est donc tentant d’interpréter cette
état en termes d’EHQ fractionnaire ou liquide de Laughlin de FC. Les FC
dans le niveau p = 1 attraperaient donc un pseudo-vortex (de FC) portant
deux quanta de flux supplémentaires, pour former un FC « de deuxième
génération » (FC2 , voir figure 6.3), en analogie avec la formation de FC sur
la base d’électrons et de pseudo-vortex du liquide électronique.
La théorie hamiltonienne est un cadre parfait pour traiter cette situation
de NL de FC partiellement remplis et de FC en interaction. Formellement,
on peut utiliser les mêmes approximations que dans la déduction du modèle
d’électrons restreints à un seul NL (section 4.1), i.e. on ne tient compte que
des excitations dans le même niveau tandis que les excitations entre NL de FC
font partie d’un secteur de « haute énergie ». Notons que cette approximation
est plus critique, car la seule échelle d’énergie pertinente est e2 /lB , ce qui
domine à la fois la formation de NL de FC et les interactions résiduelles. On
montrera plus loin que cette approximation est pourtant justifiée en raison de
l’émergence d’un « petit paramètre », dû à la renormalisation de la charge.
La restriction au NL de FC p donne alors pour l’opérateur de densité de FC
CF
¯
ρ̄CF
p (q) = Fp (q)ρ̄(q),
(6.49)
où
ρ̄¯(q) =
X
m,m0
hm|e−iq·R
CF
|m0 ic†p,m cp,m0
(6.50)
est l’opérateur de densité de FC projeté, et
FpCF (q) ≡ hp|ρ̄p (q)|pi,
en termes d’élement de matrice (6.42), est le « facteur de forme de FC » du
niveau p. De la même manière que le facteur de forme électronique (4.12), il
peut être absorbé dans un potentiel d’interaction effectif de FC, ce qui donne
2
CF
vs,p
(q) = v0 (q) FpCF (q)
(6.51)
2
∗2
∗2 2
q 2 lB
q 2 lB
c
2πe2 −q2 lB∗2 /2
2
2
e
Lp
− c2 e−q /2c Lp
,
=
q
2
2c2
6
Dans le cas d’un système partiellement polarisé de spin, un EHQF à ν = 4/11 peut
également se comprendre à l’aide de la fonction de Halperin [15].
Théorie effective
101
et l’on trouve pour le hamiltonien de FC en interaction
Ĥ CF =
1 X CF
v (q)ρ̄¯(−q)ρ̄¯(q).
2 q s,p
(6.52)
De même que dans le cas électronique, le commutateur (6.39) entre les
composantes du centre de guidage RCF induit une algèbre pour les opérateurs
ρ̄¯(q),
∗2
(q ∧ k)lB
[ρ̄¯(q), ρ̄¯(k)] = 2i sin
ρ̄¯(q + k),
(6.53)
2
qui, avec le hamiltonien (6.52), définit le modèle de FC en interaction. Ce
modèle a donc la même structure que le modèle d’électrons restreints à un
seul niveau – il suffit de remplacer le potentiel d’interaction effectif par le
CF
∗
potentiel vs,p
(q) et d’utiliser la longueur magnétique des FCs, lB
. Cette autosimilarité au niveau de la structure du modèle peut donner lieu sous certaines
conditions à l’auto-similarité de la courbe de résistance de Hall, qui a été
suggérée initialement par Mani et v. Klitzing dans une analyse basée sur
une transformation d’échelle [53]. Notons que le potentiel d’interaction entre
FCs (6.51) ayant une forme différente de celle de l’interaction électronique
dans le NL n (4.18), cette auto-similarité de la courbe de Hall n’est pas
automatiquement obtenue par l’auto-similarité mathématique du modèle.
En raison de l’auto-similarité, on peut s’attendre à la formation de liquides
quantiques incompressibles, qui seraient analogues au liquide de Laughlin en
termes de FCs. Formellement, de tels liquides peuvent être décrits comme
des FC2 , et la base de FC2 se déduit du modèle (6.52), de la même façon que
celle des FCs du modèle électronique (6.36) et (6.37) : l’espace de Hilbert est
¯(q), qui porte 2s̃
élargi par des degrés de liberté du pseudo-vortex de FC χ̄
2
quanta de flux et qui possède une charge de c̃ = 2p̃s̃/(2p̃s̃ + 1). Cela mène
¯(q)|ϕphys i = 0, pour les états physiques |ϕphys i.
à une nouvelle contrainte, χ̄
Les composantes de l’opérateur de pseudo-vortex satisfont à l’algèbre
q ∧ k ∗2
¯(q + k),
¯(q), χ̄
¯(k)] = −2i sin
l
χ̄
(6.54)
[χ̄
2c̃2 B
induite par la règle de commutation
pour les composantes
du centre de gui
∗2 2
dage du pseudo-vortex Rv−CF , X v−CF , Y v−CF = −ilB
/c̃ . Pour décrire le
FC2 , qui consiste en un FC de la première génération situé au centre de
guidage RCF et en un pseudo-vortex à Rv−CF (voir figure 6.3), on introduit
102
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
2
¯(q). La charge
une nouvelle combinaison préférentielle, ρ̄C F (q) = ρ̄¯(q) − c̃2 χ̄
2
2 ∗
2
2
globale du FC est donc ẽ = (1 − c̃ )e = (1 − c̃ )(1 − c ), en unités de la
charge de l’électron −e. La variable relative et la variable du centre de gui2
2
dage du FC2 , respectivement η C F et RC F , se déduisent à partir des centres
de guidage du FC et du pseudo-vortex de la même manière que pour les FCs
[voir Eq. (6.40)]. La nouvelle combinaison préférentielle, qui est interprétée
comme la densité de FC2 , s’écrit donc en deuxième quantification
X
2
C2 F
ρ̄C F (q) =
hm|e−iq·R |m0 ihj|ρ̃p (q)|j 0 id†j,m dj 0 ,m0 ,
(6.55)
j,j 0 ;m,m0
où les opérateurs d†j,m et dj,m , avec {dj,m , d†j 0 ,m0 } = δj,j 0 δm,m0 et {dj,m , dj 0 ,m0 } =
0, sont respectivement les opérateurs de création et d’annihilation d’un FC2
dans l’état |j, mi. Les éléments de matrice dans l’équation (6.55) sont les
∗
mêmes
les FCs [Eqs. (6.41) et (6.42)] si l’on remplace lB
→ ˜lB =
√ que pourp
2
∗
lB / 1 − c̃2 = 1/ (1 − c̃2 )(1 − c2 ), la longueur magnétique de FC , et c2 →
c̃2 . Un effet Hall quantique serait donc attendu pour quelques facteurs de
remplissage de FC ν ∗ = p + p̃/(2s̃p̃ + 1), où l’entier p̃ est le nombre de
niveaux de FC2 s complètement remplis. Un tel effet Hall quantique peut être
interprété à la fois comme un EHQF de FCs [52] ou comme un EHQE de FC2 s
[54]. Les remplissages ν ∗ sont reliés aux facteurs de remplissage électronique
par la relation (4.51), et ν ∗ = 1 + 1/3 correspond donc à ν = 4/11.
Le formalisme décrit est générique et peut être utilisé pour des générations
de FCs suivantes. On trouve donc une hiérarchie d’états, qui est différente
des hiérarchies de Haldane et Halperin [32, 38], à des remplissages qui sont
déterminés par la formule de récurrence
νj = p j +
νj+1
,
2sj+1 νj+1 + 1
(6.56)
où sj+1 désigne le nombre de paires de quanta de flux portés par le pseudovortex dans le FC de la (j + 1)-ième géneration (FCj+1 ), et pj est le nombre
de niveaux de FCj s complètement remplis. L’EHQE de FCj s est déterminé
par νj = pj . Formellement, le facteur de remplissage électronique correspond
à j = 0, et donc ν0 = ν et ν1 = ν ∗ . L’équation (6.56) est une généralisation
de la relation entre les facteurs de remplissage électroniques et de FCs [Eq.
(4.51)].
Même si la formule de récurrence (6.56) pour des états hiérarchiques de
FC suggère un grand nombre d’EHQF, on n’en trouve pas à toutes les valeurs
Théorie effective
103
Pseudo−potentiels m
V
0.4
0.40
0.30
0.3
0.03
électrons
0.02
0.2
0.004
0.01
0.1
0.002
FC
FC2
1
23
5
47
9
m
11
6
13 15
8
17
19
10
Fig. 6.4 – Pseudo-potentiels pour l’interaction électronique (courbe noire), de FC
(courbe grise foncée) et de FC2 (courbe grise claire), en unités de e2 /lB . On note la
différence d’échelle sur l’axe z.
du facteur de remplissage. En effet, l’EHQF dû à la formation de FC de
première génération est restreint au deux plus bas NL, n = 0 et 1, tandis
que dans des NL plus élevés, ces phases liquides sont en compétition avec
des solides électroniques, ce qui sera l’objet du chapitre suivant. Mise à part
cette compétition avec d’autres phases, on peut, de manière générale, évoquer
certains critères de stabilité pour des FC de génération élevée (FCj+1 ). Le
premier est certainement la stabilité du FC « parent » (FCj ), ce qui est une
condition nécessaire. Dans n = 2, par exemple, le liquide de Laughlin n’est
pas stable à ν̄ = 1/3, et des FC2 ne sont donc pas formés à ν̄ = 4/11. Une
condition encore plus restrictive pour la formation de FCj+1 est donnée par
la forme du potentiel d’interaction effectif de FCj ,
(j)
v{si ,pi } (q)
j
i2
2πe2 −q2 /2 Y h C i F
Fsi ,pi (qli ) ,
=
e
q
i=1
(6.57)
p
en termes de longueur magnétique de FCj , lj = 2sj pj + 1lj−1 . Développée
en pseudo-potentiels de Haldane [voir équation (4.37)],
X (j)
2 2
Vmj =
v{si ,pi } (q)Lm (q 2 lj2 )e−q lj /2 ,
q
> 1, 2,
il faut que l’interaction soit de suffisamment courte portée, i.e. V1 /V3 ∼
pour qu’un état de Laughlin soit stabilisé.
104
Théorie hamiltonienne de l’EHQF
Les pseudo-potentiels d’indice impair7 sont tracés dans la figure 6.4 pour
des électrons dans le NL n = 0, FC avec s = p = 1 et FC2 avec s = p =
s̃ = p̃ = 1. On remarque d’abord la différence d’échelle dans l’axe d’énergie :
l’interaction entre FC est à peu près un ordre de grandeur plus petite que
celle entre électrons. Cela peut se comprendre sur la base de la forme du
potentiel d’interaction effectif de FC (6.51), qui est globalement réduit par le
facteur de forme de FC, [FpCF (q)]2 ' (1−c2 )2 , à l’ordre O(q 0 ), par rapport au
potentiel entre électrons. Comme deux facteurs de cette sorte interviennent
dans l’expression pour le potentiel effectif entre FC2 [voir l’équation (6.57)],
ce dernier est à nouveau un ordre de grandeur plus petit que celui entre FC.
Dans ce sens, (1 − c2 )2 ≤ 1/9 peut s’interpréter comme le petit paramètre
de la théorie hiérarchique de FC – comme on l’a indiqué plus haut, c’est
une indication a posteriori de la stabilité des NL de FC face aux interactions
résiduelles entre FC.
Une deuxième remarque porte sur la forme spécifique de l’interaction entre
FC (et FC2 ). Contrairement au cas électronique, leurs pseudo-potentiels ne
varient pas de façon monotone mais montrent un minimum à m = 3. Une
origine possible de cette particularité est la forme dipolaire des FC, due à
leur structure interne, comme on l’a déjà indiqué au début de la section 6.2.
Comme la fonction de corrélation de paires du liquide de Laughlin (avec
s = 1) a son poids maximal à cette valeur du moment cinétique relatif,
on peut s’attendre à ce que cette forme des pseudo-potentiels a tendance à
stabiliser des liquides de Laughlin de FC.
7
Rappelons que seuls les pseudo-potentiels d’indice impair importent dans le cas
d’électrons polarisés de spin, en raison de leur statistique fermionique (voir section 4.2).
Chapitre 7
Les phases quantiques dans les
niveaux de Landau élevés
Nous examinerons, dans ce chapitre, les différentes phases quantiques
dans le cadre du modèle d’électrons restreints à un seul NL (4.17), pour un
niveau élevé n ≥ 1. Naı̈vement, on peut s’attendre à ce que le système se
comporte de plus en plus classiquement dans la limite n 1. Il n’en est
pas ainsi : pour atteindre la limite classique, il faut permettre au système
de former un état superposé avec un certain poids dans plusieurs NL, pour
former un état cohérent (2.38), comme il a été décrit dans la section 2.2.2.
Cela n’est pas le cas lorsqu’on considère le modèle d’électrons restreint à un
seul NL, i.e. lorsqu’on néglige un mélange entre niveaux – le système reste
ainsi intrinsèquement quantique, même dans la limite n 1.
Après quelques remarques qualitatifs sur la formation de phases de densité
inhomogène dans la section suivante, un traitement quantitatif sera proposé
qui permet de calculer les énergies des phases en comptétition. Pour traiter
les phases solides, on se servira de l’approximation de Hartree-Fock, dont le
formalisme sera présenté dans la section 7.2. L’énergie des phases liquides,
qui sont à l’origine de l’EHQF dans les NL n 6= 0, sera calculée à l’aide des
fonctions d’onde de Laughlin discutées dans la section 4.2. Cela nous permet
de discuter en détail la physique des NL n = 1 et n = 2, en comparaison avec
des résultats expérimentaux.
105
106
Phases quantiques dans les NL élevés
(a)
(b)
1000
Cristal d’îlots avec M=3
électrons par site
V
V
I
ρxx (Ω)
750
9/2
T=25mK
I
11/2
500
13/2
7/2
5/2
250
0
Phase de rubans
0
...
1
3
2
2
3
B (Tesla)
N=1
4
5
Fig. 7.1 – (a) Esquisse de la phase d’ı̂lots avec M électrons par site (ici : M = 3) et de la
phase de rubans. (b) Anisotropie de la résistance longitudinale mesurée par Eisenstein et al.
[55]. A ν = 9/2, 11/2, 13/2, ..., la résistance longitudinale montre une forte anisotropie par
rapport à deux axes cristallographiques équivalents. Cela constitue une preuve indirecte
de la formation de rubans : un électron est facilement transporté d’un bord à l’autre s’ils
sont connectés par un ruban, ce qui donnerait lieu à une résistance faible (ligne continue).
Perpendiculairement aux rubans, un électron ne peut être transporté que par effet tunnel,
et l’on trouve une grande résistance (ligne en pointillé).
7.1
Raisonnements qualitatifs
Dans la section 4.1.3, nous avons déjà vu que la forme particulière du
potentiel effectif (4.18),
2 2
2πe2
q
2πe2
2
2
vn (q) =
[Fn (q)] =
Ln
e−q /2 ,
q
q
2
fait introduit une √
nouvelle échelle de longueur, en plus de la distance moyenne
√
d = 1/ n̄el ∝ 1/ ν̄ entre particules dans le NL partiellement rempli,
√ avec
une densité n̄el = ν̄nB = ν̄/2π. Il s’agit du rayon cyclotron RC = lB 2n + 1
qui est donné par le premier zéro du polynôme de Laguerre et qui détermine
la portée du palier caractéristique dans le potentiel effectif dans l’espace réel
(voir figure 4.2). Même s’il n’y a qu’une échelle d’énergie – celle des interactions de Coulomb e2 /lB – nous avons donc deux échelles de longueur à notre
disposition qui classifient trois régimes qualitativement différents : d 2RC ,
d 2RC et d ∼ 2RC . Le premier régime, d 2RC ou ν̄ 1/(2n + 1), est la
limite de densité diluée : les électrons du n-ième niveau sont éloignés l’un de
l’autre et peuvent être considérés comme des objets classiques parce que le
recouvrement de leurs fonctions d’onde devient négligeable. Ils interagissent
Raisonnements qualitatifs
107
par la queue coulombienne du potentiel effectif et ne ressentent pas sa struc< 2RC . On s’attend donc à la formation d’un cristal
ture à courte distance, r ∼
de Wigner, qui a déjà été évoqué dans la section 4.2, dans le cas du plus
bas NL. Classiquement, un cristal triangulaire est énergétiquement favorisé.
Dans la limite de haute densité, d 2RC ou ν̄ 1/(2n + 1), les électrons interagissent surtout par le palier dans le potentiel effectif (4.18). Cette limite
constitue un régime dans lequel l’approximation du champ moyen devient
fiable : une particule arbitrairement choisie voit un grand nombre
Nn.n. ∼ π(2RC )2 n̄el = 2(2n + 1)ν̄
(7.1)
de particules voisines dans son rayon d’interaction forte. Ces particules voisines créent le champ moyen tandis que leurs mouvements individuels n’influencent guère celui de la particule choisie. Dans cette limite, il suffit donc
de tenir compte des corrélations quantiques au niveau de l’approximation
du champ moyen, comme par exemple dans l’approximation de Hartree-Fock
[56, 57]. Ce régime n’existe pas dans le plus bas NL où le rayon cyclotron
coı̈ncide avec la longueur magnétique, en-dessous de laquelle deux électrons
ne peuvent pas être approchés. Dans le régime d 2RC , on observe des cristaux électroniques différents du cristal de Wigner, comme les phases d’ı̂lots
(un cristal avec plusieurs électrons par site) et de rubans [voir figure 7.1(a)].
Notons que la prédiction théorique de formation de rubans [56, 57] a trouvé
une vérification expérimentale avec l’observation d’une forte anisotropie dans
la résistance longitudinale à ν = 9/1, 11/2, 13/2, ... [55], dont les résultats
sont montrés dans la figure 7.1(b). Qualitativement, on peut comprendre
cette formation d’amas malgré la répulsion entre électrons à partir de la
forme du potentiel effectif (voir figure 7.2) : une configuration dans laquelle
les électrons sont répartis de façon homogène [configuration (I) dans la figure
7.2] est énergétiquement moins favorable qu’une configuration (II) où deux
électrons sont rapprochés. En raison du palier dans le potentiel effectif, un tel
rapprochement ne coûte pas une grande énergie. Si en revanche cet amas est
séparé d’un autre par une distance r 2RC , le gain d’énergie est de l’ordre
de la hauteur du palier (∆).
L’approximation du champ moyen cesse d’être valable dans le régime
quantique d ∼ 2RC ou ν̄ ∼ 1/(2n + 1), dans lequel on trouve des liquides
quantiques qui sont à l’origine de l’EHQF (liquides de Laughlin, FC). Dans
la suite de ce chapitre, nous compléterons ces raisonnements qualitatives par
des calculs d’énergie des différentes phases évoquées plus haut.
108
Phases quantiques dans les NL élevés
(I)
Potentiel effectif
2 RC
d’
d
(II)
∆
d
d
d’
2d − d’
2d − d’
r
Fig. 7.2 – Formation d’amas. En raison de la forme particulière du potentiel effectif,
la configuration (II) est énergétiquement plus favorable que la configuration (I). Même si
l’électron décrit par le cercle noir est rapproché d’un de ces voisins, ce rapprochement coûte
seulement une petite quantité d’énergie à cause du palier dans le potentiel. En revanche,
cet électron est séparé par une grande distance de son deuxième voisin. Le gain d’énergie
est de l’ordre de ∆.
7.2
Solides électroniques dans l’approximation de Hartree-Fock
Afin d’écrire le hamiltonien (4.17) dans l’approximation de Hartree-Fock,
on utilise la base de fonctions d’onde dans la jauge de Landau, AL = (−y, 0)B,
pour représenter les opérateurs de densité projetés comme
ρ̄(q) =
X
y0
e−iqy y0 e†y0 +qx /2 ey0 −qx /2 ,
où les indices n, désignant le NL, ont été omis des opérateurs électroniques
e†y0 et ey0 pour une meilleure lisibilité. Dans la jauge de Landau, les états à
une particule |n, y0 i sont localisés autour de y0 = klB dans la direction y et
étendus (ondes planes de vecteur d’onde k) dans la direction x. Nous mettons
désormais lB ≡ 1.
En termes d’opérateurs électroniques, le hamiltonien (4.17) s’écrit donc
Ĥ =
X
1X
0
eiqy (y0 −y0 ) e†y0 −qx /2 ey0 +qx /2 e†y0 +qx /2 ey00 −qx /2 ,
vn (q)
0
2 q
0
y0 ,y0
(7.2)
Solides électroniques dans l’approximation de Hartree-Fock
109
et dans l’approximation de Hartree-Fock, il devient
h
X
1X
iqy (y0 −y00 )
=
e
vn (q)
he†y0 −qx /2 ey0 +qx /2 ie†y0 +qx /2 ey00 −qx /2
0
2 q
y0 ,y00
i
†
†
−hey0 −qx /2 ey00 −qx /2 iey0 +qx /2 ey0 +qx /2
ĤHF
0
= ĤH − ĤF .
Le terme de Hartree s’écrit directement en termes d’opérateur de densité
ĤH =
1X H
u (q)hρ̄(−q)iρ̄(q),
2 q n
avec le potentiel de Hartree uH
n (q) = vn (q). Afin d’écrire le terme de Fock,
ĤF de la même façon, on peut introduire une transformation de variables,
px = y 0 −
et ensuite
y± = R ±
qx
,
2
y0 + y00
R=
2
y00 ,
1 X ipy (y+ −y− −qx )
e
= 1,
nB y ,p
+
y
où nB = 1/2π est le nombre d’états par NL. On obtient donc
ĤF =
X
1X
0
eiqy (y0 −y0 ) he†y0 −qx /2 ey00 −qx /2 ie†y0 +qx /2 ey0 +qx /2
vn (q)
0
2 q
0
y0 ,y0
=
1X
2
q
vn (q)
X
R,px
eiqy px he†R−qx /2+px /2 eR−qx /2−px /2 ie†R+qx /2−px /2 eR+qx /2+px /2
X
1 X
ei(qy px −qx py )
vn (q)
=
2nB q
py ,px
X
eipy (y+ −y− ) he†y− +px /2 ey− −px /2 ie†y+ −px /2 ey+ +px /2 .
×
y+ ,y−
Finalement, on obtient
ĤF =
1X F
u (p)hρ̄(−p)iρ̄(p),
2 p n
110
Phases quantiques dans les NL élevés
et l’on trouve que le potentiel de Fock est la transformée de Fourier, accompagnée d’un échange entre les axes x et y
uFn (p) =
1 X
vn (q)e−i(px qy −py qx ) .
nB q
Les potentiels de Hartree et de Fock sont reliés par une transformation de
Fourier dans le cas d’une interaction isotrope [56, 57]. Si elle est anisotrope,
il faut pourtant tenir compte de cette rotation de π/2 du référentiel.1 Le
hamiltonien de Hartree-Fock peut donc s’écrire de manière simple,
ĤHF =
1 X HF
u (q)hρ̄(−q)iρ̄(q),
2 q n
(7.3)
avec le potentiel effectif de Hartree-Fock
H
F
uHF
n (q) = un (q) − un (q) = vn (q) −
1 X
vn (p)ei(px qy −py qx ) .
nB p
(7.4)
Pour n → ∞, le potentiel de Fock peut être approché de la même façon
que le potentiel effectif dans l’espace réel (4.19) par
"
2
4e
uFn (q) ' 2
Re K
π nB q
1−
!#2
p
1 − 4(2n + 1)/q 2
2
(7.5)
En revanche, il se calcule de façon précise pour n = 1 et 2,
r
2
2 2
q
q
π e2 e−q /4
F
2
4
4
un=1 (q) =
6 − 2q + q I0
− q I1
,
2 nB 8
4
4
r
2
2
π e2 e−q /4
q
F
2
4
6
8
un=2 (q) =
82 − 52q + 44q − 10q + q I0
2 nB 128
4
2 q
−q 4 30 − 8q 2 + q 4 I1
,
(7.6)
4
en termes de fonctions de Bessel modifiées I0 (x) et I1 (x).
1
L’interaction entre électrons restreints à un seul niveau devient par exemple anisotrope
dans des gaz d’électrons d’une largeur finie en présence d’un champ magnétique dans le
plan.
Solides électroniques dans l’approximation de Hartree-Fock
111
Paramètre d’ordre
Notons la simplicité du hamiltonien (7.3) dans l’approximation de HartreeFock : il est linéaire en ρ̄(q) et diagonal dans l’espace de Fourier, en raison
de ce lien inhabituel entre les potentiels de Hartree et de Fock par transformation de Fourier. Au lieu de préciser la fonction d’onde à N particules qui
minimise le hamiltonien de Hartree-Fock, les états quantiques peuvent donc
être déterminés par le paramètre d’ordre
∆(q) =
hρ̄(q)i
,
nB
(7.7)
qui est la transformée de Fourier d’un remplissage local ν̄(r) du n-ième niveau,
Z 2
dr
∆(q) =
ν̄(r)eiq·r .
(7.8)
A
R
Ce dernier est lié au facteur de remplissage partiel ν̄ par ν̄ = d2 rν̄(r)/A.
L’énergie par particule est donc une fonctionnelle du paramètre d’ordre et
s’écrit
nB X HF
hĤ HF i
un (q)|∆(q)|2 .
(7.9)
=
E solides (n; ν̄) =
2ν̄ q
N̄el
A partir de cette expression, on peut comprendre que la forme spécifique
du potentiel effectif favorise la formation des phases de densité de charge
modulée. Le potentiel vn (q) s’annule à des valeurs finies du vecteur d’onde,
q0 (n) ∼ 1/RC , où le facteur de forme Fn (q) dans l’expression (4.18) a des
zéros et où le potentiel de Hartree-Fock uHF
n (q) est donc déterminé par l’attraction d’échange. Par conséquent, il est énergétiquement favorable que le
paramètre d’ordre ait un maximum précisément à ces vecteurs d’onde. En
raison de la relation (7.8), cela se traduit par une modulation de la densité de
charge dans l’espace réel, avec une périodicité caractéristique Λ, déterminée
par ces valeurs du vecteur d’onde, Λ ∼ 1/q0 (n) ∼ RC . Cet argument pour
la formation de phases de densité modulée et celui donné dans la section
précédente sont complémentaires, car la largeur du palier du potentiel effectif est essentiellement déterminée par le premier zéro du facteur de forme.
On peut traiter des phases solides avec une grande variété de symétries
différentes, mais la discussion est limitée à des phases de rubans et à des
phases d’ı̂lots, avec des amas de M électrons qui forment un réseau triangulaire. Tandis que la symétrie triangulaire s’impose naturellement à partir des
112
Phases quantiques dans les NL élevés
analyses classiques [58], des calculs dans l’approximation de Hartree-Fock indiquent que la phase de rubans, qui consiste en une modulation de la densité
de charge unidirectionnelle, est énergétiquement favorable autour de ν̄ = 1/2
[56, 57]. Ceci est lié au fait qu’à ν̄ = 1/2, la symétrie particule-trou devient
pertinente.
7.2.1
Energie des phases d’ı̂lots
Pour décrire les cristaux d’ı̂lots avec M électrons par amas, on peut utiliser l’ansatz proposé par Fogler, Koulakov et Shklovskii [56]
X
ν̄(r) =
Θ(rB − |r − Rk,l |)
(7.10)
j
pour le facteur de remplissage local, où rB est le rayon de chaque amas, et
Rk,l = ka1 + la2 , avec les entiers k et l, est un vecteur√du réseau.
Pour le
réseau triangulaire, on a a1 = ΛB ex et a2 = ΛB ex /2 + 3ey /2 , où ΛB est
la longueur du pas de √réseau. La taille de la cellule élémentaire du réseau
triangulaire est Ac = 3Λ2B /2. Les paramètres ΛB et rB sont reliés par le
2
facteur de remplissage
ν̄ = AB /Ac , où AB = πrB
est la taille d’un ı̂lot, et l’on
√
2
2
a donc rB /ΛB = 3ν̄/2π. Parce que chaque électron occupe une surface 2π,
en unités du carré de la longueur magnétique, la taille de l’ı̂lot est déterminée
2
= 2πM , et le pas du réseau est donc
par le nombre d’électrons M , AB = πrB
défini par les paramètres M et ν̄,
s
4πM
√ .
ΛB =
(7.11)
3ν̄
Le paramètre d’ordre pour la phase d’ı̂lots se calcule à partir des équations
(7.8) et (7.10),
√
X
2π 2M √
B
(7.12)
eiq·Rk,l ,
J1 q 2M
∆M (q) =
q
k,l
où J1 (x) est la fonction de Bessel de premier ordre. A l’aide de la formule de
Laplace
X
(2π)2 X
e−iq·Rk,l =
δ(q − Gµ,ν ),
(7.13)
Ac µ,ν
k,l
Solides électroniques dans l’approximation de Hartree-Fock
113
√ √
où Gµ,ν = µg1 + νg2 , avec g1 = 2π ex − ey / 3 /ΛB et g2 = 4πey / 3ΛB ,
sont les vecteurs du réseau réciproque, on trouve pour l’énergie par particule
√
2
X
n
ν̄
J
(
2M |Gµ,ν |)
B
1
E ı̂lots (n; M, ν̄) =
uHF
.
(7.14)
n (Gµ,ν )
M G
|Gµ,ν |2
µ,ν
L’énergie se calcule donc par une simple somme sur les vecteurs du réseau
réciproque. Il n’y a pas de contribution à G = 0, qui est annulée par la
densité homogène de l’arrière-plan, et on a ainsi également omis l’énergie
d’échange de l’état non corrélé. Notons que, même si l’on limite la discussion
au cristaux de symétrie triangulaire, l’expression (7.14) pour l’énergie d’un
cristal d’ı̂lots reste valable aussi pour d’autres symétries du réseau. Il suffit
d’utiliser les vecteurs Gµ,ν du réseau réciproque correspondant.
7.2.2
Energie des phases de rubans
L’énergie des phases de rubans se calcule de façon analogue à celle des
ı̂lots, à partir de l’ansatz
X
ν̄(r) =
Θ(a/2 − |x − xj |),
(7.15)
j
où a est la largeur d’un ruban, aligné dans la direction y, et xj = jΛS , avec
l’entier j. La périodicité des rubans ΛS est reliée à la largeur par ν̄ = a/ΛS . Le
paramètre d’ordre de la phase de rubans est obtenu après une tranformation
de Fourier,
sin (qx ΛS ν̄/2) X iqx jΛS
∆S (q) = 2δqy ,0
e
,
(7.16)
qx
j
P
A l’aide
de
la
relation
de
Laplace
(7.13)
dans
une
dimension,
n exp(inx) =
P
0
2π n0 δ(x − 2πn ), on trouve l’énergie par particule de la phase de rubans
2
2π
sin (πν̄l)
nB X HF
rubans
un
q=
l
.
(7.17)
E
(n; ΛS , ν̄) = 2
2π ν̄ l6=0
ΛS
l2
Contrairement au cas des ı̂lots, la périodicité n’est pas fixée par les autres
paramètres à travers des raisonnements géométriques. C’est un paramètre
variationnel, qui est déterminé par la minimisation de l’énergie (7.17),
∂E rubans /∂ΛS = 0. Autour de ν̄ = 1/2, on trouve ΛS = 2, 84RC pour n = 1,
114
Phases quantiques dans les NL élevés
ΛS = 2, 76RC pour n = 2 et ΛS = 2, 74RC pour n = 3. Dans la limite n → ∞,
la périodicité converge vers ΛS = 2, 7RC , en accord avec des résultats de
Fogler et al. [56].
7.3
7.3.1
Liquides quantiques
Energie des liquides de Laughlin à ν̄ = 1/(2s + 1)
Aux remplissages « magiques », ν̄s = 1/(2s + 1), l’énergie du liquide de
Laughlin dans un NL arbitraire peut se calculer à l’aide des pseudopotentiels
n
de Haldane (4.38), V2m+1
,
E
Laughlin
∞
ν̄ X s
n
(n; s) =
c2m+1 V2m+1
,
π m=0
(7.18)
où les coefficients c2m+1 caractérisent les propriétés physiques de ces liquides,
comme on l’a déjà vu dans la section 4.2.2. Par rapport à l’expression (4.36)
pour l’énergie des liquides de Laughlin, on a omis le deuxième terme qui tient
compte de l’énergie d’échange de l’état non corrélé, pour une comparaison
correcte avec l’énergie des phases solides (7.14) et (7.17).
Avec les valeurs pour les coefficients de développement données dans la
section 1.2.2, on trouve pour les énergies des liquides de Laughlin E Laughlin (n; s)
ν̄
n=0
n=1
n=2
s=1
s=2
s=3
s=4
1/3
1/5
1/7
1/9
−0, 1998 −0, 2012 −0, 1907 −0, 1799
−0, 1678 −0, 2002 −0, 1950 −0, 1854
−0, 1306 −0, 1695 −0, 1837 −0, 1798
en unités de e2 /lB . Dans les niveaux n = 0, 1 et 2, les résultats pour s = 1
et 2 peuvent être comparés aux résultats numériques, déduits des calculs de
Monte Carlo des Refs. [30, 59]. La différence est de moins de 0, 5% dans n = 0
et 1 et de l’ordre de 1% dans n = 2. Cette précision est suffisante pour la
comparaison des énergies des différentes phases liquides et solides, dont la
différence est typiquement de l’ordre de 10%.
7.4. COMPARAISON DES ÉNERGIES DANS N = 1 ET 2
7.3.2
115
Energie des liquides à ν̄ 6= 1/(2s + 1) : excitations
de quasi-particules et de quasi-trous
Pour calculer l’énergie des phases liquides quantiques à des remplissages
différents des valeurs magiques, ν̄ 6= ν̄s , il faut tenir compte des quasiparticules, excitées à ν̄ > ν̄s , et des quasi-trous à ν̄ < ν̄s . Ces excitations
élémentaires sont séparées de l’état de Laughlin par un gap d’énergie, qui se
calcule dans la théorie hamiltonienne (voir section 6.2.2). Dans cette image,
une quasi-particule de charge 1/(2s + 1), en unités de la charge de l’électron,
est considérée comme un FC ajouté dans le prochain niveau de FC supérieur
à celui complètement rempli. De même, un quasi-trou de charge −1/(2s + 1)
est interprété comme des trous de FC. Tenant compte de leurs énergies
∆nqp/qh (s), dont les expressions sont données par (6.45) et (6.46) en remplaçant v0 (q) → vn (q), l’énergie du liquide quantique s’écrit
E liquides (n; s, ν̄) = E Laughlin (n; s) + [ν̄(2s + 1) − 1]∆nqp/qh (s; p = 1).
(7.19)
On trouve dans les NL n = 1 et n = 2 pour les énergies des quasi-particules
∆nqp (s; p = 1)
n=1
n=2
s=1 s=2 s=3 s=4
0,2267 0,1868 0,1550 0,1316
0,1903 0,1728 0,1543 0,1376
et pour celles des quasi-trous
∆nqh (s; p = 1)
n=1
n=2
s=1
s=2
s=3
s=4
-0,07172 -0,07032 -0,05887 -0,04959
-0,07876 -0,07853 -0,06728 -0,05765
en unités de e2 /lB .
7.4
Comparaison des énergies dans n = 1 et 2
Dans cette section, il s’agit de discuter les énergies des différentes phases
et leur lien avec des expériences de transport dans les niveaux n = 1 et n = 2,
notamment celles qui ont révélé une réentrance de l’EHQE [60, 61, 62] : au
lieu d’un comportement monotone de la résistance de Hall à l’endroit d’un
saut d’un palier au palier voisin, comme il est montré dans la figure 1.2, on
trouve que la résistance, quantifiée autour de 4T, saute d’abord, lorsqu’on
116
Phases quantiques dans les NL élevés
réentrance de l’EHQE
a)
h/3e
EHQE
2
2
Rxy (h/e )
0.35
7/2
0.30
3+1/5
3+4/5
h/4e
0.25
3.2
b)
2
(EHQF)
3.4
3.6
3.8
4.0
Champ magnétique (Tesla)
Rxx (Ohms)
Fig. 7.3 800
– Réentrance de l’EHQE, mesurée par Eisenstein et al. [61].
abaisse le champ magnétique, sur un palier d’EHQF autour de ν = 3 + 1/5,
avant de retrouver sa valeur initiale à des valeurs du champ légèrement plus
basses (Fig. 7.3).400
Ce comportement se répète autour de ν = 3 + 1/3 et est
symétrique autour de ν = 3 + 1/2.
L’effet de réentrance indique une alternance de phases électroniques liquides, présentes autour de ν = 3+1/5 et 3+1/3, et isolantes, qui donneraient
lieu à l’EHQE. On0 a3.2
déjà vu 3.4
dans la section
3.23.8
que la simple
localisation
3.6
4.0
suffit pour avoir des électrons Magnetic
isolants dans
le
dernier
NL
partiellement
remField (Tesla)
pli. Or, dans le cas de la réentrance de l’EHQE, les phases isolantes ont une
densité comparable à celles où l’on trouve l’EHQF, qui les entourent même.
Cela indique donc que les interactions entre électrons sont plus pertinentes
que leur localisation par des impuretés. Les cristaux électroniques (cristal de
Wigner et ı̂lots) semblent être une alternative raisonnable : leur formation
aussi donnerait lieu à une réponse isolante des électrons condensés dans la
structure cristalline, en raison de leur accrochage par les impuretés. En effet, le mode de glissement, qui a priori pourrait contribuer à un transport
électronique du cristal, est supprimé à cause de cet accrochage. Une autre
contribution possible serait celle des défauts cristallins. Or leur nombre étant
donné par le poids de Boltzmann e−∆/kB T , avec l’énergie ∆ d’un défaut,
leur conductivité σxx ∝ e−∆/kB T est exponentiellement supprimée à T = 0. A
Comparaison des énergies dans n = 1, 2 et 3
117
cause de la relation (1.2) entre les matrices de conductance et de résistance, la
résistance longitudinale est également supprimée, Rxx ∝ e−∆/kB T . Le transport électronique du système à effet Hall quantique est donc entièrement
effectué par les électrons dans les plus bas NL complètement remplis, comme
pour le cas de la localisation individuelle des électrons dans le niveau partiellement peuplé, discutée dans la section 3.2. Notons que le comportement
isolant d’un cristal de Wigner se manifeste de façon différente dans la branche
de spin inférieure du plus bas NL : il n’y pas de niveau complètement rempli,
qui peut contribuer au transport électronique, et la résistance longitudinale
0
diverge donc comme Rxx ∝ e∆ /kB T lorsque T → 0 [64].
Si, en revanche, les électrons dans le dernier NL partiellement rempli
forment un liquide quantique, le système exhibe l’EHQF avec une quantification de la résistance de Hall2 RH = h/e2 [N + (2s + 1)−1 ] : chaque branche
de spin complètement remplie de chaque NL contribue au transport avec un
quantum de conductance, et le niveau partiellement peuplé y contribue avec
une fraction du quantum de conductance e2 /h(2s + 1), à cause de la charge
fractionnaire des quasi-particules. Dans ce scénario, la réentrance de l’EHQE
peut être expliquée comme une alternance de phases d’ı̂lots et de liquides en
fonction du champ magnétique. Cette alternance peut se comprendre qualitativement à partir de la forme en zig-zag de la courbe d’énergie des liquides
quantiques. Lorsqu’on s’éloigne des valeurs magiques ν̄s , l’énergie de la phase
liquide quantique, à cause de l’excitation de quasi-particules ou quasi-trous,
devient supérieure à celle des solides électroniques. La courbe d’énergie des
liquides étant non monotone, il y a plusieurs points de croisement avec la
courbe des solides électroniques. On notera que les interactions entre quasiparticules sont négligées, et la courbe d’énergie des liquides quantiques augmente donc linéairement lorsqu’on s’éloigne des remplissages magiques. L’incompressibilité des liquides quantiques à νs se manifeste exactement à ces
remplissages par des points anguleux de leur courbe d’énergie, qui donnent
lieu à une discontinuité dans la première dérivée.
Le cas des rubans est particulier à cause de l’existence d’une direction
privilégiée de transport : le transport est facile parallèlement aux rubans dont
les bords servent de canaux, tandis qu’il est supprimé perpendiculairement à
l’orientation des rubans. Cela cause l’anisotropie mesurée dans la résistance
2
Pour la notation : N est la partie intégrale du facteur de remplissage, en tenant compte
des deux branches de spin par NL n. On a donc N = 2n + 1 si la branche de spin inférieure
du niveau n est complètement remplie et N = 2n + 2 pour le cas du remplissage complet
des deux branches.
118
Phases quantiques dans les NL élevés
longitudinale pour n ≥ 2 [55].
Les courbes d’énergie sont tracées dans l’intervalle 0 ≤ ν̄ ≤ 0, 5, car le
régime de remplissage 0, 5 ≤ ν̄ ≤ 1 est relié au premier par la symétrie
particule-trou, qui est pertinente dans le cas d’électrons polarisés de spin
étudié ici.
7.4.1
Phases quantiques dans n = 1
La figure 7.4 montre les résultats pour le niveau n = 1, en comparaison
avec les expériences d’Eisenstein et al. [61]. On remarque que les liquides
< ν̄ ∼
< 0, 37
quantiques sont énergétiquement favorisés dans l’intervalle 0, 3 ∼
<
et à plus basse densité ν̄ ∼ 0, 23. La phase d’ı̂lots avec un électron par site
(M = 1) a une énergie plus basse que celle des liquides quantiques dans
< ν̄ ∼
< 0, 3, tandis que pour 0, 37 ∼
< ν̄ ∼
< 0, 5, une phase
l’intervalle 0, 23 ∼
d’ı̂lots avec M = 2 est favorisée par rapport aux liquides. Elle est pourtant
en compétition directe avec la phase de rubans, qui a une énergie encore plus
basse lorsqu’on approche ν̄ = 1/2. En effet, on trouve dans les expériences un
EHQF autour de ν̄ = 1/3 et ν̄ = 1/5 [Fig 7.4(b)], ce qui indique l’existence
< ν̄ ∼
< 0, 3, une phase
d’une phase liquide quantique. Dans l’intervalle 0, 23 ∼
isolante d’électrons dans le dernier niveau est observée, ce qui se traduit par la
quantification entière de la résistance de Hall. Elle est associée à l’existence du
cristal de Wigner, trouvé dans les calculs d’énergie [Fig 7.4(a)] dans ce régime
de remplissage. Autour de ν̄ = 0, 42, un deuxième point de réentrance, moins
marqué que le premier, est observé, qui peut être associé à la phase d’ı̂lots
< 0, 15), les mesures
avec M = 2. Pour des densités électroniques basses (ν̄ ∼
indiquent une phase isolante, tandis que les calculs théoriques montrent que
des liquides quantiques ont une énergie plus basse que celle du cristal de
Wigner. Notons que les résultats tracés dans la figure 7.4(a) ont été obtenus
pour le cas sans impuretés. Si l’on en tient compte, ce désaccord disparaı̂t, car
le cristal étant plus facilement déformable à basse densité peut ainsi gagner
plus d’énergie en profitant des minima du potentiel d’impuretés [63]
Un autre effet remarquable se produit si l’on analyse les transitions entre
phases d’ı̂lots avec différents M : à cause des points anguleux entre les courbes
d’énergie à ν̄ ' 0, 31, on s’attendrait à une discontinuité dans la première
dérivée de l’énergie. C’est précisément une propriété caractéristique d’une
transition de phase de premier ordre. Cette transition est quantique car elle
se produit à T = 0, en variant un paramètre différent de la température (ici :
le remplissage partiel ou le champ magnétique). Une conséquence d’une telle
Comparaison des énergies dans n = 1, 2 et 3
5
Energie
−0.05
-0.05
10
1/9 1/7
−0.15
-0.15
20
25
(a)
1/3
n=1
M=2
M=1
rubans
−0.20
-0.2
liquide quantique
0.1
0.1
15
1/5
−0.10
-0.1
119
0.2
0.3
0.4
facteur de remplissage partiel
0.2
0.3
0.5
0.4
0.5
facteur de remplissage partiel
(b)
2
1/3
R xy(h/e 2)
3+1/5
e3/h
)a
3+1/3
27/2/7
5/1+3
1/3.5
4.0
3.8
3.6
champ magnétique (Tesla)
5/4+3
Fig. 7.4 – (a) Energies par particule des phases d’ı̂lots à M électrons et de la phase de
rubans en comparaison avec celle du liquide quantique dans n = 1, en unités de e2 /lB .
La tangente (tirets) indique l’énergie d’une phase mixte d’ı̂lots à un et deux électrons. (b)
Réentrance de l’EHQE dans la branche de spin supérieure du niveau n = 1, mesurée par
Eisenstein et al. [61].
2
e4/h
)b
120
Phases quantiques dans les NL élevés
transition est la possibilité d’une coexistence de phase entre phases d’ı̂lots
de différents M .3 L’énergie d’une telle phase mixte est représentée par la
tangente aux courbes M = 1 et M = 2 [ligne pointillée dans la figure 7.4(a)].
A ν̄ = 1/2, on observe un EHQF, mais avec un dénominateur pair. Il s’agit
de l’état 7/2, équivalent à l’état 5/2 dans la branche inférieure de spin,4 et
qui a été trouvé par Willet et al. [66]. Cet état est resté mystérieux pendant
longtemps. Tandis que Haldane et Rezayi ont proposé comme origine de cet
état un appariement de type onde s [67], décrit par une fonction de Halperin
[15], Moore et Read l’ont décrit comme un état pfaffien [69]. Greiter et al. ont
montré que cet état pfaffien peut être interprété comme un appariement de
type onde p [70]. La différence entre les deux scénarii est que l’appariement
de type onde s est associé à un état singulet de spin, tandis que l’appariement
de type onde p nécessite un état triplet.
En principe, cette question pourrait être tranchée par des expériences
déterminant la polarisation de spin. Or les mesures existantes semblent contradictoires. Dans un premier temps, Eisenstein et al. ont examiné le comportement de l’état 5/2 en présence d’un champ magnétique dans le plan [71].
Cette technique est largement utilisée pour déterminer si un état fractionnaire
est polarisé de spin ou non, car un état non polarisé est possible uniquement
si l’effet Zeeman est faible. Contrairement aux effets orbitaux, qui ne sont
susceptibles qu’à la composante du champ perpendiculaire au plan, l’effet
Zeeman est déterminé par le champ total. En augmentant le champ dans le
plan, l’effet Zeeman devient donc plus important, et si un état fractionnaire
disparaı̂t, il est interprété comme non polarisé. Les expériences d’Eisenstein
et al. ont montré précisément la disparition de l’état 5/2, ce qui favoriserait un appariement de type onde s [71]. En revanche, des expériences plus
récentes de Pan et al. ont montré que l’état 5/2 n’est pas sensible à l’effet
Zeeman [72] : contrairement aux expériences d’Eisenstein, ils n’ont pas augmenté le gap de Zeeman par une composante du champ dans le plan, mais
ils ont augmenté la composante perpendiculaire tout en variant la densité
électronique par une tension de grille pour fixer le remplissage à ν = 5/2.
Dans ce cas, l’état ne disparaı̂t plus, et il devrait donc être vu comme un
état polarisé de spin, résultant d’un appariement de type onde p.
Le désaccord entre les expériences est probablement dû au fait que la
3
En fait, la possibilité d’une coexistence de phases d’ı̂lots de différents M , ainsi que
d’une coexistence entre ı̂lots et rubans, a déjà été évoquée par Fogler [65].
4
Les mesures de la réentrance pour la branche inférieure, qui ne sont pas présentées ici,
donnent des résultats semblables à ceux de la branche supérieure [61].
Comparaison des énergies dans n = 1, 2 et 3
121
composante du champ magnétique dans le plan n’affecte pas seulement l’effet Zeeman mais aussi les degrés de liberté orbitaux de l’électron. En fait, à
cause de l’épaisseur finie du système, les fonctions d’onde des électrons sont
modifiées par cette composante du champ [73, 74]. Cela peut se comprendre
par une image semi-classique : le mouvement cyclotron de l’électron est perpendiculaire à la direction du champ. Une inclinaison du champ par rapport au plan a donc pour effet une inclinaison de la trajectoire électronique,
représentée par sa fonction d’onde. Cette inclinaison est impossible dans le
cas d’un système parfaitement bi-dimensionnel, mais elle est partiellement
permise dans un système de largeur finie. Le recouvrement entre deux particules voisines dépend donc de la direction de la composante du champ dans
le plan. Cela affecte le facteur de forme électronique Fn (q) et par conséquent
le potentiel d’interaction effectif (4.18), qui devient anisotrope.
Expérimentalement, cet effet se traduit par une anisotropie dans la résistance
longitudinale induite par le champ dans le plan [75]. Cette anisotropie apparaı̂t à une valeur du champ comparable à celle de la disparition de l’état
5/2. Il est donc probable que le système a une transition de phase entre l’état
5/2 et une phase de rubans, qui devient énergétiquement favorable à des valeurs plus grandes du champ magnétique dans le plan, même si les électrons
du niveau n = 1 restent polarisés de spin dans les deux phases. Ce scénario,
qui favoriserait un état 5/2 résultant d’un appariement de type onde p, a
également trouvé un soutien par des calculs de diagonalisation exacte de
Morf, qui ont montré que l’état pfaffien a un grand recouvrement avec l’état
fondamental obtenu numériquement [76].
7.4.2
Phases quantiques dans n = 2
La figure 7.5 représente les résultats pour les différentes phases dans le
niveau n = 2, en comparaison avec les mesures de transport électronique
de Cooper et al. [60]. Contrairement au NL n = 1, l’état de Laughlin cesse
d’être l’état de plus basse énergie à ν̄ = 1/3, où une phase d’ı̂lots avec
deux électrons est favorisée. Un EHQF à ν̄ = 1/3 n’a pas été observé dans
n = 2 [voir Fig. 7.5(b)]. Autour de ν̄ = 1/2, la phase de rubans a la plus
basse énergie, en accord avec les expériences qui indiquent l’anisotropie de la
résistance longitudinale à ν = 9/2 [55]. Cette anisotropie est bien visible dans
la figure 7.5(b) autour de 2, 45T, où l’on trouve une grande résistance dans la
direction x (ligne continue) et une résistance faible dans la direction y (ligne
cassée). Selon les calculs, un liquide quantique est énergétiquement favorable
122
Phases quantiques dans les NL élevés
-0.025
5
10
1/9 1/7
1/5
15
20
1/3
-0.05
−0.05
25
(a)
n=2
Energie
-0.075
-0.1
−0.10
M=1
-0.125
M=3
M=2
-0.15
−0.15
rubans
-0.175
liquide quantique
−0.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
facteur de remplissage partiel
2
0.25 h/e
(a)
(b)
(c)
(b)
0.250
Rxy
Rxy
0.249
Rxx and Ryy
0.2 h/e
(c)
(d)
2
20
Rxx
≈
and
ν=9/2
Ryy
100 Ω
ν=5
2.2
RIQHE
2.4
RIQHE
2.6
ν=4
0
2.6
2.7
magnetic
field (T)
champ
magnétique
2.8
magnetic
field (T)(Tesla)
champ
magnétique
Fig. 7.5 – (a) Energies par particule des différentes phases dans n = 2, en unités
de e2 /lB . La tangente (tirets) indique l’énergie d’une phase mixte d’ı̂lots à un et deux
électrons. (b) Réentrance de l’EHQE dans la branche de spin inférieure du niveau n = 2,
mesurée par Cooper et al. [60] ; (c) et (d) sont des agrandissements respectivement de
la résistance de Hall et de la résistance longitudinale au deuxième point de réentrance
(RIQHE, indiqué par des flèches).
Comparaison des énergies dans n = 1, 2 et 3
123
< ν̄ ∼
< 0, 21) même si l’écart
dans une région étroite autour de ν̄ = 1/5 (0, 19 ∼
en énergie avec la phase mixte d’ı̂lots à un et deux électrons est très petit. En
absence d’impuretés, les liquides quantiques seraient également les phases de
< 0, 16, où l’on observe pourtant l’EHQE.
plus basse énergie pour ν̄ ∼
Dans la figure 7.5(b), on remarque une faible réentrance à 2, 36T et 2, 6T
[agrandissements (c) et (d)]. Ces valeurs de champ magnétique correspondent
respectivement à ν̄ = 1/4 et ν̄ = 3/4. Selon les calculs d’énergie [Fig.
7.5(a)], ce comportement isolant est dû à l’existence d’un cristal d’ı̂lots à
deux électrons par site. En effet, des mesures de transport sous irradiation
micro-onde indiquent une résonance dans la conductivité longitudinale, qui
est associée au mode d’accrochage du cristal électronique [77]. Ces régions de
quantification entière de la résistance de Hall sont séparées du plateau voisin
de même quantification par un petit minimum à B ∼ 2, 32T et 2, 65T [Fig.
7.5(c)], accompagné d’un petit maximum dans la résistance longitudinale
[Fig. 7.5(d)]. En termes de facteur de remplissage, il s’agit respectivement de
ν̄ = 4/5 et 1/5. Comme à ces valeurs le liquide quantique est énergétiquement
favorable, ces anomalies peuvent être associées à un début de fusion de la
phase cristalline [60, 78].
7.4.3
Diagramme de phase – comparaison aux arguments d’échelle
Dans la section 7.1, nous avons argumenté que les phases quantiques
peuvent se classifier sur la base de raisonnements qualitatifs concernant les
échelles de longueur. Ces arguments sont en effet corroborés par le diagramme
que l’on déduit des calculs d’énergie (figure 7.6) : pour de plus grandes valeurs
de n, i.e. dans des NL élevés, les liquides quantiques sont stables à plus basse
densité, ainsi que le cristal de Wigner. Tandis qu’un liquide quantique, et
donc l’EHQF, est stable autour de ν̄ = 1/3 et 1/5 dans n = 1, il cesse d’être
l’état de plus basse énergie à 1/3 dans n = 2 et également à 1/5 dans n = 3,
où des cristaux d’ı̂lots ont une énergie plus basse. De plus, on trouve que
des ı̂lots avec un plus grand nombre d’électrons M par site sont réalisés si
n augmente. En effet, les calculs d’énergie confirment la loi Mmax = n + 1
[79], pour la plus grande taille d’ı̂lots réalisée dans le niveau n. Cette phase,
trouvée autour de ν̄ = 1/2, est pourtant supprimée par la phase de rubans
qui y est énergétiquement plus favorable.
Notons enfin que tous les calculs présentés dans ce chapitre trouvent une
124
Phases quantiques dans les NL élevés
n=1
n=0
0.0
)
1 ()
(
1 *
*
1
1
0.1
-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,-,,
+
,
+
2
3 +,+,-,+,+,-,+,+,-,+,+,-,+,+,-,+,+,-,+,+,-,+,+,-,+,+,-,+,+,-,+,+,- ++
+,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-- +
+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+
' +,+,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-- ++
2
' +,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,- +
+,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-,-,+,-- +
+,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,-,+,- +
1
+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+
+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+
+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+
liquides quantiques
+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+
rubans
rubans
n=2
accrochage fort
n=3
(localisation individuelle)
n
0.2
0.3
0.4
0.5
ν
Fig. 7.6 – Diagramme de phase résultant des calculs d’énergie des différentes phases. Les
phases dans n = 0 n’ont pas été déduites des calculs, mais des mesures expérimentales. Les
liquides quantiques sont représentés par des barres blanches. La phase liquide autour de
ν̄ = 1/2 dans n = 1 n’est pas décrite dans les calculs ; il s’agit de l’état fractionnaire 5/2 (et
7/2) discuté dans la section 3.3.1. Autour de ν̄ = 1/2, on trouve la phase de rubans, tandis
< ν̄ ∼
< 0, 4 (traits noirs, les chiffres indiquent le
que les phases d’ı̂lots sont situées entre 0, 1 ∼
nombre M d’électrons par ı̂lot). Le régime de l’accrochage fort, qui est interprété comme
< 0, 1. Cette valeur pour
celui de la localisation individuelle d’électrons, se trouve à ν̄ ∼
ν̄ n’est pas universelle, mais dépend de la force du potentiel d’impuretés. De plus, les
transitions entre phases d’ı̂lots de différents M sont couvertes par une phase mixte, comme
il est décrit dans le texte. Les lignes pointillées séparent les régions déterminées par les
arguments d’échelle, d RC , d ∼ RC et d RC .
Comparaison des énergies dans n = 1, 2 et 3
125
application également dans le cas du modèle de FC polarisés de spin en
interaction (6.52), en raison de l’auto-similarité discutée dans la section 6.2.3
∗
– il suffit de tenir compte de la longueur magnétique de FC, lB → lB
, et
CF
de remplacer l’interaction effective par celle entre FC, vn (q) → vs,p (q), pour
décrire les phases quantiques de FC entre ν = p/(2sp + 1) et ν = (p +
1)/[2s(p+1)+1], à l’aide du facteur de remplissage partiel ν̄ ∗ de NL de FC. On
peut ainsi décrire des cristaux et des rubans de FC et leur compétition avec
des liquides incompressibles, interprétés en termes de deuxième génération
de FC [80].
126
Phases quantiques dans les NL élevés
Chapitre 8
Spin et effet Hall quantique –
ferromagnétisme à ν = 1
Jusqu’à présent, nous avons négligé toutes les questions liées au spin des
électrons, et nous nous sommes contentés de constater que l’effet Zeeman
sépare chaque NL en deux branches de spin, avec un gap ∆z (voir figure
4.1). Dans cette image, il n’y aurait donc pas de différence entre l’EHQE à
ν = 2n (toutes les deux branches remplis) et celui à ν = 2n + 1 (seulement
la branche de spin inférieure remplie) – dans les deux cas, l’effet serait dû
à la localisation des électrons supplémentaires, avec la seule différence que
le gap n’est pas le même. En effet, comme ∆z ' h̄ωC /70, les deux branches
de spin ne sont pas résolues dans le cas de champs magnétiques faibles, où
l’on n’observe que l’EHQE à ν = 2n. Dans ce cas, le système se comporte
donc comme si chaque état |n, mi était doublement dégénéré, avec |n, m; σi
(σ =↑, ↓). Même cette image s’avère incorrecte parce qu’il faut également
tenir compte des interactions entre électrons à ν = 2n + 1, ce qui donne lieu
à une nouvelle forme de magnétisme quantique, qui est le sujet de ce chapitre.
8.1
Pertinence des interactions à ν = 1
On commence par une discussion des différentes échelles d’énergie. Notons
d’abord que, comme la quantification en NL concerne les degrés de liberté
orbitaux, la masse qui intervient dans la séparation entre NL h̄eB/mb est
la masse de bande, mb = 0, 068m pour GaAs en termes de masse nue m de
l’électron. Cette dernière détermine le gap de Zeeman ∆z = gh̄eB/m, car
127
128
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
l’effet Zeeman concerne le spin des électrons, un degré de liberté interne. De
plus la facteur g effectif pour GaAs est g = −0, 4, ce qui fait que le gap
de Zeeman est d’un facteur 70 environ plus petit que la séparation entre
NL, comme on l’a indiqué plus haut. En température, le gap Zeeman est
∆z = 0, 33B[T]K, tandis que la séparation entre NL est h̄ωC = 24B[T]K,
en fonction du champ magnétique en unités de Tesla. En revanche,
l’énergie
p
2
caractérstique de l’interaction coulombienne est e /lB = 50 B[T]K. Pour
un champ de 6T, ce qui correspond à peu près au remplissage ν = 1, on trouve
donc ∆z ' 2K e2 /lB ' 120K < h̄ωC ' 140K. On remarque donc que
les interactions, qui sont du même ordre de grandeur que la séparation entre
NL, sont plus pertinentes que le gap de Zeeman. Il faut donc en tenir compte
lorsqu’on discute les phénomènes liés au spin des électrons, notamment à
ν = 1, ce qui nous intéressera plus particulièrement dans la suite de ce
chapitre.
En première instance, il faut comprendre pourquoi on observe un EHQE
à ce remplissage – comme le gap de Zeeman est tellement petit, chaque
état est presque dégénéré, et l’on s’attendrait donc à une dégénérescence
macroscopique à ν = 1, au niveau du hamiltonien cinétique. De la même
manière que dans le cas de l’EHQF, les interactions sont à l’origine de cette
levée de dégénérescence, et l’on se trouve donc face à la situation peu intuitive
que l’EHQE à ν = 1 devrait plutôt être vu comme un EHQF particulier.
8.1.1
Fonctions d’onde
Commençons par une fonction d’onde à deux particules avec un spin 1/2
à ν = 1. Pour la partie oritale, nous avons à notre disposition les fonctions
d’onde à une particule, mis à part la gaussienne et le facteur de normalisation,
φm (z) = z m , avec m = 0, 1 dans la jauge symétrique (2.28). Quant à la partie
de spin de la fonction d’onde, le couplage de deux√spin 1/2 donne un singulet
anti-symétrique, |S = 0, M = 0i = (| ↑↓i−| ↓↑)/ 2, et un triplet symétrique
√
|S = 1, M i, avec |S = 1, M = 1i = | ↑↑i, |S = 1, M = 0i = (| ↑↓i+| ↓↑i)/ 2
et |S = 1, M = −1i = | ↓↓i. Pour une interaction invariante sous SU(2),
comme c’est le cas pour l’interaction coulombienne, le spin total est un bon
nombre quantique. Comme la fonction d’onde à deux particules doit être
anti-symétrique, nous avons
ψS=0 (z1 , z2 ) = φs (z1 , z2 ) ⊗ |S = 0, M = 0i
ψS=1 (z1 , z2 ) = φa (z1 , z2 ) ⊗ |S = 1, M i,
et
Pertinence des interactions à ν = 1
129
avec φs (z1 , z2 ) = z10 z21 + z20 z11 = z1 + z2 et φa (z1 , z2 ) = z10 z21 − z20 z11 =
z1 − z2 . On remarque que le deuxième choix avec une fonction d’onde orbitale anti-symétrique est favorable pour une interaction répulsive de suffisamment courte portée, comme c’est le cas pour l’interaction coulombienne.
C’est l’origine du couplage ferromagnétique que l’on rencontre également
dans les métaux.
La généralisation à N particules à ν = 1 donne (lB ≡ 1)
ψ({zi }) = φν=1 ({zi }) ⊗ ψs ({θm , ϕm }),
(8.1)
avec la fonction d’onde de Laughlin (4.20) à ν = 1 pour la partie orbitale,
Y
P
2
φν=1 ({zi }) =
(zi − zj )e− k |zk | /4
(8.2)
i<j
et la fonction d’onde de spin
Y
θm −iϕm /2 †
θm iϕm /2 †
|ψs ({θm , ϕm })i =
cos e
em,↑ + sin e
em,↓ |0i,
2
2
m
(8.3)
où e†m,σ crée un électron dans l’état |n = 0, m; σi. Nous avons choisi la paramétrisation en termes de deux angles θm et ϕm , qui respecte la normalisation |σi = u| ↑i + v| ↓i avec |u|2 + |v|2 = 1, pour faire le lien entre la
description SU(2) et O(3) du groupe des rotations et pour pouvoir introduire
immédiatement le champ d’aimentation


sin θm cos ϕm
n(m) =  sin θm sin ϕm  ,
(8.4)
cos θm
qui nous servira à décrire les degrés de liberté de basse énergie dans le cadre
du modèle effectif (section 8.3).
Notons que θm = 0 pour tout m donne un état complètement polarisé de
spin | ↑, ↑, ... ↑i, avec un nombre quantique M = N/2 décrivant la projection
du spin total S sur l’axe de quantification. Cela nécessite que le nombre
quantique du spin total doit être maximal, S = N/2, car M ≤ S. Les autres
états, avec −N/2 ≤ M ≤ N/2 [ψs ({θm , ϕm }), avec θm et ϕm arbitraires],
sont obtenus à partir de celui-ci à l’aide du groupe des rotations dans sa
réprésentation SU(2), ce qui est le sens de l’équation (8.3).
130
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
EF
EF
EF
t
Fig. 8.1 – Ferromagnétisme caractéristique des métaux. La branche de spin ↑ est remplie
jusqu’à un niveaux de Fermi EF↑ qui ne coı̈ncide pas avec celui, EF↓ , de la branche de spin
↓. Il y a par conséquent une aimentation m = (N↑ − N↓ )/(N↑ + N↓ ) par particule. Le
paramètre t caractérise la largeur de bande.
8.1.2
Comparaison avec le ferromagnétisme dans les
métaux
Avant de discuter les particularités de ce ferromagnétisme quantique à
ν = 1, on rappelle brièvement celui des métaux. Schématiquement, les deux
branches de spin de la bande de conduction (de largeur t) ne sont pas remplies de la même manière : le niveaux de Fermi EF↑ de la branche ↑ est, e.g.,
supérieure à celui, EF↓ , de la branche ↓ (figure 8.1). L’aimentation par particule est donc m = (N↑ − N↓ )/(N↑ + N↓ ), où Nσ est le nombre de particules de
spin σ. De la même manière que dans le cas du ferromagnétisme à ν = 1 dans
les systèmes à effet Hall quantique, on s’attend à ce que le ferromagnétisme
se manifeste dans les métaux, car l’antisymétrie de la fonction d’onde orbitale à N particules abaisse l’énergie pour une répulsion coulombienne. Or
un développement limité montre que la polarisation de spin est associée à
un coût en énergie cinétique qui est proportionnel au carré de la différence
entre les énergies de Fermi, ∆Ecin ∝ (EF↑ − EF↓ )2 > 0. Cette énergie contrebalance le gain en énergie dû à l’abaissement de la répulsion coulmbienne, et
la polarisation de spin n’est donc pas complète dans les métaux.
La situation du ferromagnétisme quantique à ν = 1, sous fort champ
8.2. STRUCTURE ALGÉBRIQUE DU MODÈLE AVEC SPIN
131
magnétique, est différente : dû à la quantification en NL de l’énergie cinétique,
toutes les excitations dans le même niveau couplent des états de même énergie
cinétique et la polarisation de spin ne s’accompagne pas d’un coût en cette
énergie. Le système cherche donc l’état qui minimise la répulsion coulombienne, ce qui est le cas lorsque la fonction d’onde orbitale est parfaitement
antisymétrique, et les spins sont donc complètement polarisés. Comparé au
cas des métaux, ce serait la limite où la largeur de bande devient infiniement
petite, t → ∞.
8.2
Structure algébrique du modèle avec spin
Dans cette section, nous généralisons le modèle d’électrons restreints à un
seul NL, introduit dans la section 4.1, au cas avec un degré de liberté interne
SU(2). Dans le cas du spin physique, l’interaction est invariante sous une
transformation SU(2), mais on considère pour le moment une interaction plus
0
générale (dans le plus bas NL)1 v0σσ (q). Dans le cas d’une symétrie de rotation
globale, on a v0↑↑ (q) = v0↓↓ (q) et v0↑↓ (q) = v0↓↑ (q). Cette forme de l’interaction,
qui brise la symétrie SU(2), nous sera utile dans le chapitre suivant, où l’indice
de couche dans le cas d’un système à bicouche est représenté par un isospin
s = 1/2, avec | ↑i pour un état dans la couche supérieure et | ↓i pour la
couche inférieure. Le hamiltonien d’interaction s’écrit ainsi
H=
1 X X σ,σ0
v (q)ρ̄σ (−q)ρ̄σ0 (q),
2 0 q 0
(8.5)
σ,σ
où2
ρ̄σ (q) =
X
fm,m0 (q)e†m,σ em0 ,σ
(8.6)
m,m0
est la densité d’électrons de spin σ projetée au plus bas NL, avec fm,m0 (q) =
hm|f (q)|m0 i étant l’élément de matrice de l’opérateur de densité projetée à
une particule f (q) = exp(−iq·R), en première quantification [voir l’équation
1
Comme on l’a vu à plusieurs reprises, le potentiel d’interaction dans un NL n arbitraire s’obtient en remplaçant la gaussienne par le facteur de forme (4.12), exp(−q 2 /2) →
[Fn (q)]2 , dans l’expression du potentiel effectif.
2
Nous omettons l’indice n = 0 pour le plus bas NL dans les opérateurs électroniques,
pour aléger la notation.
132
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
(4.7)]. La densité totale d’électrons s’écrit donc
ρ̄(q) = ρ̄↑ (q) + ρ̄↓ (q)
XX
=
fm,m0 (q)δσ,σ0 e†m,σ em0 ,σ0 ,
(8.7)
σ,σ 0 m,m0
où δσ,σ0 représente l’identité & 2×2 . Par rapport au cas sans degré de liberté
interne, on a donc obtenu la densité électronique en remplaçant
f (q) → f (q) ⊗
&
2×2
∼ fm,m0 (q) ⊗ δσ,σ0 ,
où la partie à droite est la représentation matricielle qui intervient en deuxième
quantification. De la même manière, on trouve les densités de spin en remplaçant l’identité par les générateurs de SU(2), S µ = τ µ /2, où τ µ est une
matrice de Pauli habituelle,3 avec [τ µ , τ ν ] = 2iµνσ τ σ et (τ µ )2 = & . On définit
f µ (q) = f (q) ⊗ S µ ,
(8.8)
et les densités de spin s’écrivent donc, en deuxième quantification,
XX
†
µ
S̄ µ (q) =
fm,m0 (q) ⊗ Sσ,σ
0 em,σ em0 ,σ 0
(8.9)
σ,σ 0 m,m0
Rappelons que, dans le cas sans degré de liberté interne, la structure algébrique
s’obtient à l’aide de l’équation (4.13) sur la base des règles de commutation
en première quantification
0
[f (q), f (q )] = 2i sin
q ∧ q0
2
0
0
f (q+q ) → [ρ̄(q), ρ̄(q )] = 2i sin
q ∧ q0
2
ρ̄(q+q0 ),
et de la même façon, on a à calculer [S̄ µ , ρ̄(q0 )] et [S̄ µ (q), S̄ ν (q)], à l’aide de
[f µ (q), f ν (q0 )] = f (q)f (q0 ) ⊗ S µ S ν − f (q0 )f (q) ⊗ S ν S µ
(8.10)
1
=
([f (q), f (q0 )] ⊗ {S µ , S ν } + {f (q), f (q0 )} ⊗ [S µ , S ν ])
2
3
Les indices grecs signifient les trois orientations de l’espace 3D x, y et z. Comme l’espace est euclidien, on ne distingue pas entre vecteurs co- et contravariants, et la sommation
d’Einstein sur des indices répétés est sousentendu. Le symbole µνσ est le tenseur antisymétrique, qui vaut 1 pour {µ, ν, σ} = {x, y, z} et toute permutation cyclique, −1 pour
les autres permutations, et 0 si un indice intervient plus d’une fois.
Structure algébrique du modèle avec spin
133
et
[f µ (q), f (q0 )] = [f (q), f (q0 )] ⊗ S µ .
On a ici
(8.11)
q ∧ q0
[f (q), f (q )] = 2i sin
f (q + q0 ),
2
q ∧ q0
0
{f (q), f (q )} = 2 cos
f (q + q0 )
2
0
et
[S µ , S ν ] = iµνσ S σ ,
1 µν
δ ,
{S µ , S ν } =
2
ce qui donne
q ∧ q0
[ρ̄(q), ρ̄(q )] = 2i sin
ρ̄(q + q0 ),
(8.12)
2
q ∧ q0
µ
0
[S̄ (q), ρ̄(q )] = 2i sin
S̄ µ (q + q0 )
et
(8.13)
2
q ∧ q0
q ∧ q0
δ µν
0
µνσ
µ
ν
0
sin
ρ̄(q + q ) + i cos
S̄ σ (q + q0 ).
[S̄ (q), S̄ (q )] = i
2
2
2
(8.14)
0
Les équations (8.12)-(8.14) sont l’extension SU(2) de l’algèbre des translations magnétiques (4.16) et complètent le hamiltonien (8.5), qui s’écrit sous
la forme
X
1X
H=
vSU (2) (q)ρ̄(−q)ρ̄(q) + 2
vsb (q)S̄ z (−q)S̄ z (q),
(8.15)
2 q
q
avec les potentiels
i
1 h ↑↑
vSU (2) (q) =
v0 (q) + v0↑↓ (q)
2
i
1 h ↑↑
v0 (q) − v0↑↓ (q) .
2
(8.16)
Le premier terme du hamiltonien (8.15) est invariant sous une transformation
de SU(2) tandis que le deuxième représente une brisure explicite de SU(2), qui
n’est pertinente que dans le cas v0↑↑ (q) 6= v0↑↓ (q). Dans la suite de ce chapitre,
et
vsb (q) =
134
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
on traite le ferromagnétisme du spin physique, et comme l’interaction ne
distingue pas entre électrons de spin différent, on préserve la symétrie SU(2),
mis à part le terme de Zeeman
gh̄eB z
S̄ (q = 0),
m
qui est petit comme on l’a vu dans la section 8.1.
Notons une propriété remarquable de l’équation (8.13) : en raison de la
non commutativité entre la densité de spin et la densité de charge, leurs
dynamiques sont nécessairement intriquées. Cette propriété inhabituelle est
due à la projection de la dynamique des particules à un seul NL, ce qui a
pour conséquence que les opérateurs de densité de charge ne commutent pas à
des vecteurs d’onde non parallels [équation (8.12)]. L’intrication spin-charge
dans le cas du ferromagnétisme dans les NL sera étudiée plus en détail dans
la section suivante.
HZ =
8.3
Modèle effectif
Nous distingons deux excitations de spin d’un état ferromagnétique quantique O(3) : (a) les ondes de spin (magnons) [figure 8.2(a)] et (b) les textures
de spin avec une charge topologique non nulle (skyrmions) [figure 8.2(b)].
Tandis que les ondes de spin sont un mode de Goldstone, dont l’énergie
tend vers zéro dans la limite de grandes longueurs d’onde, les skyrmions ne
peuvent être localement déformés afin de relier leur texture au secteur de
l’état fondamental – ce sont des objets topologiquement stables, classifiés
par un entier que l’on appelle la charge topologique. Pour des raisons de
plus grande simplicité, considérons le cas d’une excitation topologique dans
un ferromagnétique 2D dont les spins sont contraints au plan xy (modèle
xy). Dans ce cas, une excitation topologique est un défaut de type vortex du
champ de spin qui est caractérisé par le nombre de fois que le spin tourne
par 2π lorsqu’on considère un chemin fermé autour de la position du défaut
(figure 8.3). Ce nombre est précisément la charge topologique, qui ne dépend
pas de la forme du chemin mais seulement de sa classe d’homotopie. Il s’agit
des applications du cercle S 1 , qui représente le chemin dans le plan 2D autour
du défaut à caractériser, sur le cercle S 1 , qui représente l’orientation du spin.
Les classes d’homotopie – les applications que l’on peut déformer continuement entre elles – sont classifiées par le groupe fondamental, π1 (S 1 ) = . , et
la charge topologique est exactement un élément Q ∈ . .
Modèle effectif
(a)
135
z
y
x
(b)
z
y
x
Fig. 8.2 – Excitations de l’état ferromagnétique O(3). (a) Ondes de spin (magnons).
Une telle excitation se déforme continuement en l’état fondamental ferromagnétique (spin
gras), comme on le voit sur la sphère de Bloch (à gauche) représentant les orientation des
spin – le chemin gris se déforme ainsi en un point. (b) Skyrmion avec charge topologique
non nulle. L’excitation consiste en un spin retourné à l’origine du défaut, r = 0, et regagne
l’état ferromagnétique lorsque |r| → ∞. Contrairement aux ondes de spin, les spin dans
cette excitation explorent toute la surface de Fermi et ne se transforment pas en le spin
« majoritaire » (spin gras) par une transformation continue.
136
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
Q = −1
Q=1
Fig. 8.3 – Excitation topologique dans le modèle xy. La charge topologique Q est donnée
par le nombre de fois que tourne un spin par 2π lors d’un tour sur un chemin (courbe grise)
autour du défaut (point noir). Gauche : excitation topologique de charge Q = 1 – les spin
tournent dans le même sens que le chemin (indiqué par la flèche grise). Droite : excitation
topologique de charge Q = −1.
Le ferromagnétisme 2D, avec des spin orientés dans toutes les directions de
l’espace 3D, est un peu plus compliqué, car le tour sur un chemin très éloigné
du défaut ne passe éventuellement que par des spins alignés dans la même
direction – le skyrmion ne serait donc pas « visible » sur ce chemin. Dans ce
cas, il faut plutôt étudier les applciations de la sphère S 2 , qui représente par
projection stéréographique le plan xy dans lequel se trouvent les chemins, à la
sphère de Bloch S 2 pour les orientations du spin en 3D. De la même manière
que pour les applications S 1 → S 1 , les applications S 2 → S 2 que l’on peut
déformer de façon continue sont classifiées par un groupe d’homotopie,
π2 (S 2 ) = . ,
et les secteurs topologiques sont à nouveau caractérisés par une charge topologique, Q ∈ . , qui est un entier. Les ondes de spin se déforment de manière
continue en l’état fondamental ferromagnétique et font donc partie du secteur
topologique de charge Q = 0, tandis que les skyrmions portent une charge
topologique Q 6= 0 (figure 8.2).
De manière générale, un état de texture de spin |ψ[n(r)]i peut s’obtenir
à partir du champ d’aimentation O(3) n(r) à l’aide des générateurs (8.9)
de l’algèbre des translations magnétiques avec un degré SU(2) interne, i.e. à
l’aide des opérateurs de densité de spin S̄ µ (q) [81],
"
#
X µ
|ψ[n(r)]i = exp −i
Ω−q S̄ µ (q) |ψF M i,
(8.17)
q
Modèle effectif
137
où |ψF M i est l’état ferromagnétique (8.1), avec une aimentation uniforme
que l’on choisit selon l’axe z (axe de quantification). Les fonctions Ωµq qui
interviennent dans l’expression (8.17) sont, à un échange de l’axe x et y près,
les transformées de Fouriers de n(r),
X
Ω(r) =
Ωq e−ir·q = ez × n(r).
(8.18)
q
Cet état ressemble à un état cohérent [voir section 2.2.2, notamment l’équation
(2.34)]. Un développement en série de Hausdorff [équation (5.17)] de l’opérateur
S̄ µ (q) transformé donne
eiŌ S̄ µ (k)e−iŌ = S̄ µ (k) + δSkµ ,
où l’on a défini Ō =
P
q
(8.19)
Ωµ−q S̄ µ (q) et
1 δSkµ = i Ō, S̄ µ (k) − Ō Ō, S̄ µ (k) + ...
2
(8.20)
Cette série fournit, en raison des règles de commutation (8.13) et (8.14),
des opérateurs au lieu d’une grandeur scalaire, comme c’est le cas pour un
état cohérent discuté dans la section 2.2.2. Le déplacement de l’aimentation est approximatif lorsqu’on prend des valeurs moyennes sur l’état ferromagnétique hS x (r)i = hS y (r)i = 0, hS z (r)i = nel /2, et l’on ne tient compte
du développement en série de Hausdorff qu’à l’ordre deux. On trouve ainsi
pour l’aimentation d’un état de texture de spin (8.17)
S µ [n(r)] = hS µ (r)i + hδS µ (r)i =
nel µ
n (r),
2
comme on s’y attend pour un champ d’aimentation O(3). Cela explique aussi
le choix des fonction Ω(r) [équation (8.18)]. Le calcul qui aboutit à cette
expression pour l’aimentation moyenne n’est pas donné explicitement ici,
mais il s’effectue de la même manière que celui pour la densité de charge
induite par la texture de spin, qui sera présenté en détail dans la section
suivante.
8.3.1
Intrication spin-charge
Pour mieux comprendre l’intrication spin-charge, que l’on a déjà introduite dans la discussion de la structure algébrique du modèle (section 8.2),
138
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
on calcule la modification de la densité de charge dans l’état de texture de
spin (8.17) par rapport à l’état ferromagnétique de densité homogène,
δρq ≡ heiŌ ρ̄(q)e−iŌ i − hρ̄(q)i ' i
Ō, ρ̄(q)
−
1 Ō, Ō, ρ̄(q) , (8.21)
2
où les moyennes sont défini par rapport à l’état fondamental ferromagnétique
|ψF M i avec une aimentation orientée dans la direction z. Les moyennes se
calculent à l’aide des règles de commutation (8.12)-(8.14) et
hρ̄(q)i = nel δq,0
et
n
el
hS̄ µ (q)i = δ µz δq,0 .
2
(8.22)
(8.23)
On trouve donc
X µ Ō, ρ̄(q) =
Ω−k S̄ µ (k), ρ̄(q)
k
= 2i
X
sin
k
⇒
Ō, ρ̄(q)
= 0,
k∧q
2
Ωµ−k S̄ µ (q + k)
car l’argument du sinus s’annule pour q k k, et
X
Ō Ō, ρ̄(q)
= 2i
sin
k,k0
k∧q
2
h 0
i
0
Ωµ−k0 Ωµ−k S̄ µ (k0 ), S̄ µ (q + k)
0
k∧q
k ∧ (q + k)
µ0
µ
µµ0
Ω−k0 Ω−k δ sin
ρ̄(q + k + k0 )
= −
sin
2
2
k,k0
0
k ∧ (q + k)
µ0 µν
ν
0
+ 2
cos
S̄ (q + k + k ) ,
2
X
et pour la moyenne
X
0
Ō Ō, ρ̄(q)
= −nel µ µz
sin
k
k∧q
2
0
Ωµk+q Ωµ−k .
Modèle effectif
139
On obtient donc, avec ν = 2πnel , pour la modification de la densité de charge
(8.21)
0
ν X µ0 µz
k∧q
δρq =
sin
Ωµk+q Ωµ−k
4π k
2
0
−ν X µ0 µz
(q ∧ k)Ωµk+q Ωµ−k
'
8π
k
0
−ν X µ0 µz
=
[i(k + q)] Ωµk+q ∧ (−ik)Ωµ−k ,
(8.24)
8π k
où l’on a développé le sinus dans la deuxième ligne, ce qui signifie une approximation de grande longueur d’onde, i.e. une modulation de la densité de
spin qui varie lentement dans l’espace. La transformation de Fourier dans
l’espace réel donne le résultat plus compact
−ν µ0 µz (2) µ0
∇ Ω (r) ∧ ∇(2) Ωµ (r)
8π
−ν ij
n(r) · [∂i n(r) × ∂j n(r)] ,
(8.25)
=
8π
où les indices romains, {i, j} = {x, y}, indiquent les coordonnées de l’espace
2D – à ne pas confondre avec les trois composantes du vecteur n(r) qui
explore l’espace 3D du spin. Quand on compare le résultat (8.25) à la densité
de charge topologique (indice de Pontryaguine)
δρ(r) =
1 ij
n(r) · [∂i n(r) × ∂j n(r)] ,
(8.26)
8π
on s’aperçoit que la densité de charge électrique est proportionnelle à la
dernière, δρ(r) = −νδρtop (r). La charge topologique s’obtient par intégration
sur le plan de la densité
Z
(8.27)
d2 r δρtop (r) = Q ∈ . ,
δρtop (r) =
et la charge électrique d’une excitation topologique est donc
e∗ = eνQ.
(8.28)
Notons que, de la même manière que pour la quasi-particule de Laughlin
(section 4.2.1), une excitation de type skyrmion à ν = 1/(2s + 1) porte une
charge électrique fractionnaire, e∗ = ±e/(2s + 1), pour |Q| = 1. Le lien avec
la phase de Berry sera discuté dans la section 8.4.
140
8.3.2
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
Energie dans le modèle effectif
Pour obtenir un modèle effectif en termes de champ d’aimentation O(3)
n(r), il reste à calculer l’énergie de l’état (8.17), qui s’obtient de la même
façon que sa modulation de charge, à l’aide d’un développement à grande
longueur d’onde,
1 Ō, H −
Ō, H
+ ...
2
0
1 X
v0 (k)Ωµ−k0 Ωµ−k hCi,
' −
4 0
δE = i
(8.29)
q,q ,k
où nous avons défini
h 0
i
h 0
n
io
C = 2 S̄ µ (q0 ), ρ̄(−k) S̄ µ (q), ρ̄(k) + ρ̄(−k), S̄ µ (q0 ), S̄ µ (q), ρ̄(k)
0
q ∧k
q∧k
0
= 8 sin
sin
S̄ µ (q0 − k)S̄ µ (q + k)
2
2
0
q∧k
q ∧ (q + k) µµ0
−δ sin
ρ̄(−k), ρ̄(q0 + q + k)
sin
2
2
0
q
∧
k
q
∧
(q + k) 0
µ µσ
ρ̄(−k), S̄ σ (q0 + q + k) .
−2
sin
cos
2
2
La moyenne de cette expression se calcule à l’aide du facteur de structure
et de
et
1
hρ̄(−q)ρ̄(q0 )i = δq,q0 s̄(q)
nel
(8.30)
δ µz
1
µ
0
hρ̄(−q)S̄ (q )i =
δq,q0 s̄(q)
nel
2
(8.31)
0
1 µ
δ µµ δ µz
0
hS̄ (−q)S̄ µ (q0 )i =
δq,q0 s̄(q),
nel
4
(8.32)
ce qui donne
hCi = 2nel δµ,µ0 δq,−q0 sin
2
q0 ∧ k
2
[s̄(q) − δ µz s̄(q + k)] .
On trouve donc pour l’énergie (8.29)
0
nel X
q ∧k
2
δE = −
v0 (k)s̄(k) sin
Ωµ−q Ωµq ,
2 q,k
2
(8.33)
8.4. PHASE DE BERRY ET TRANSPORT ADIABATIQUE
141
et dans la limite de grande longueur d’onde, où l’on peut linéariser le sinus,
on obtient le modèle sigma non linéaire O(3)
Z
ρS X
ρS
µ
µ
δE =
(−iq)Ω−q (iq)Ωq =
d2 r[∇n(r)]2 ,
(8.34)
2 q
2
avec la raideur de spin
ν
ρS = −
32π 2
qui vaut
ρS =
Z
∞
dkk 3 v0 (k)s̄(k),
(8.35)
0
1
e2
√
16 2π lB
(8.36)
à ν = 1, car s̄(k) = −1. On remarque donc que chaque variation de l’aimantation monte l’énergie par rapport à celle de l’état fondamental, qui est
bien décrit par ∇n(r) = 0, i.e. un état ferromagnétique sans modulation de
l’aimentation. La dispersion d’énergie à petit vecteur d’onde
ω(q) '
ρS 2
q
2
(8.37)
révèle le mode de Goldstone (onde de spin). Notons que la dispersion complète
des ondes de spin peut se calculer à l’aide de l’approximation de phase
aléatoire [82] ou par une technique de bosonisation adaptée aux ferromagnétisme
dans les NL [83], ce qui donne
r
2 q
π e2
−q 2 /4
ω(q) =
1−e
I0
,
(8.38)
2 lB
4
en termes de fonction de Bessel modifiée I0 (x), et ce qui coı̈ncide avec l’expression (8.37) dans la limite q 1.
8.4
Phase de Berry et transport adiabatique
On a décrit plus haut les défauts topologiques (skyrmions) de la phase
ferromagnétique de Hall quantique en utilisant la théorie hamiltonienne et
l’algèbre des commutateurs de densité projetée. A une texture de spin est
associée une densité topologique de charge (la densité de Pontryaguine).
142
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
Les propriétés du groupe d’homotopie π2 (S 2 ) = . indiquent que la charge
électrique associée à un défaut topologique de spin est un entier, en terme de
la charge de l’électron.
Nous allons voir dans ce chapitre que ce résultat est étroitement associé
à la notion de phase de Berry [84] et de transport adiabatique en mécanique
quantique.
Soit un système quantique, décrit par un Hamiltonien HR qui dépend
d’un ensemble de paramètres extérieurs contrôlables représentés par un le
vecteur R. Par hypothèse, il existe un domaine de R ou le fondamental est
partout séparé du premier état excité par une énergie finie. Quel est l’effet
d’une variation lente des paramètres R(t) le long d’une boucle fermée dans
l’espace des paramètres, pendant un intervalle de temps T ? On a
R(0) = R(T )
(8.39)
Si le parcours le long du circuit est suffisamment lent, de façon que h/T <<
∆min o‘u ∆min est la valeur minimum de l’energie entre le fondamental et
le premier état excité, l’état évolue adiabatiquement. Ceci signifie qu’à tout
instant, le système reste dans l’état fondamental de l’Hamiltonien HR(t) .
A chaque point R dans l’espace des paramètres est associé un ensemble
complet de fonctions propres,
(j)
(j)
(j)
HR Ψ R = R Ψ R
(8.40)
La solution de léquation de Schrödinger dépendant du temps
ih̄
∂Φ(r, t)
= HR(t) Φ(r, t)
∂t
(8.41)
est alors
(0)
Φ(r, t) = ΨR(t) (r)eiγ(t) e
− h̄i
Rt
0
dt0 0R(t0 )
+
X
(j)
aj (t)ΨR(t) .
(8.42)
j6=0
Faire l’approximation adiabatique, c’est négliger la contribution des états
excités représentés par le deuxième terme. A la limite d’une variation très
lente de R(t) cela devient exact tant que l’énergie d’excitation reste finie.
A ce stade, la seule inconnue est la « phase de Berry ». A première vue,
cette dernière devrait être nulle puisque l’on revient adiabatiquement au
point de départ. En fait, ce n’est pas toujours le cas. On trouve γ(t) en
Phase de Berry et transport adiabatique
143
imposant à Φ(r, t) de vérifier l’équation de Schrodinger. Le membre de gauche
de l’équation (8.41), si nous négligeons les aj (t) lorsque j > 0, devient
i
R t 0 (0)
i
∂
∂Φ(r, t) h
(0)
(0)
µ
iγ(t) − h̄ 0 dt R(t0 )
= −h̄γ̇(t) + R(t) Φ(r, t)+ih̄Ṙ
Ψ
(r)
e
e
ih̄
.
∂t
∂Rµ R(t)
(8.43)
Le membre de droite de l’équation (8.41), avec la même approximation
est
(0)
HR(t) Φ(r, t) = R(t) Φ(r, t) .
(8.44)
Nous utilisons la relation de complétude,
X
∞ E
∂
∂
(j)
(0)
(0)
(j)
ΨR(t) µ ΨR(t) .
ΨR(t)
∂Rµ ΨR =
∂r
j=0
(8.45)
et l’équation (8.44) est vérifiée si
(0) ∂
(0)R(t)
µ
.
γ̇(t) = iṘ ΨR(t) µ Ψ
∂R
(8.47)
Là encore, l’approximation adiabatique permet de négliger la contribution
des états excités si bien que l’équation (8.43) devient
∂Φ
(j) ∂
(0)
(0)
µ
= −h̄γ̇(t) + ih̄Ṙ ΨR(t) µ ΨR(t) + r(t) Φ ,
ih̄
(8.46)
∂t
∂R
(0)
(0)
Grâce à la contrainte hΨR |ΨR i, on est assuré que γ̇ est réelle.
Il est souvent possible de choisir γ̇(t) = 0. En fait, pour chaque R on a
un ensemble différent de fonctions propres, et on peut choisir la phase du
fondamental de façon arbitraire. Il s’agit d’une sorte de choix de jauge dans
l’espace des paramètres : γ̇ et γ ne sont pas, dans ce sens, invariantes de
jauge. Choisir γ̇ = 0 est alors un choix de jauge. L’apport de Berry a été de
montrer que ce n’est pas toujours possible. Dans certains cas impliquant un
circuit fermé dans l’espace des paramètres, la phase de Berry n’est pas nulle,
et elle ne dépend pas du choix de jauge : elle est « invariante de jauge »,
I
Z T
(0) ∂
(0)
µ
.
(8.48)
γ̇dt = i dR ΨR µ ΨR
γBerry ≡
∂R
0
Γ
Cette quantité est invariante de jauge parce que le système retourne au point
de départ dans l’espace des paramètres, si bien que le choix arbitraire de la
144
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
phase est sans conséquence. C’est analogue au résultat de l’électrodynamique
lorsque la circulation du potentiel vecteur sur une boucle fermée, égale au
flux du champ magnétique, qui est invariant de jauge. En fait, il est utile de
définir la connexion de Berry A dans l’espace des paramètres,
(0) ∂
(0)R
µ
,
(8.49)
A (R) ≡ i ΨR µ Ψ
∂R
d’où
γBerry =
I
Γ
dR · A(R) .
(8.50)
La phase de Berry est un objet purement géométrique, qui ne dépend pas
de la vitesse Ṙµ (t). Elle ne dépend que du chemin décrit dans l’espace des
paramètres. Il est souvent plus facile d’évaluer cette expression en utilisant
le théorême de Stokes, puisque le rotationnel de A est invariant de jauge.
Il n’est pas difficile de vérifier que dans le cas de l’électromagnétisme, A
est le potentiel vecteur électromagnétique A, à un facteur multiplicatif près,
q/h̄ (où q est la charge de la particule),
q
Aµ (R) = + Aµ (R) .
h̄
(8.51)
La phase de Berry pour un circuit traversé par un flux magnétique φb est
I
φb
,
(8.52)
γBerry = dRµ Aµ = 2π
φ0
où φ0 est le quantum de flux.
Un deuxième exemple nous intéresse directement dans le cas du ferromagnétisme de Hall quantique. C’est le cas d’un spin quantique couplé à un
champ magnétique, avec l’hamiltonien [36]
H = −∆(t) · S .
(8.53)
L’intervalle d’énergie entre le fondamental et le premier état excité est h̄|∆|.
Le circuit dans l’espace des paramètres doit donc éviter l’origine ∆ = 0 ou
le spectre est dégénéré. Pendant l’évolution adiabatique du fondamental, on
a
E
D
∆
(0) (0)
.
(8.54)
Ψ S Ψ
= h̄S
∆
∆
|∆|
Phase de Berry et transport adiabatique
145
Ainsi, si l’orientation de ∆ est définie par l’angle polaire θ et l’angle azimuthal
φ, il en est de même pour hSi. Pour un spin S = 1/2, une base d’états pour
décrire cela est
cos 2θ
|Φθ,φ i =
.
(8.55)
sin θ2 eiφ
En effet, on a bien
θ
θ
hΦθ,φ |S |Φθ,φ i = h̄S cos − sin2
2
2
z
2
= h̄S cos θ
(8.56)
hΦθ,φ |S x + iS y |Φθ,φ i = Φθ,φ S + Φθ,φ = h̄S sin θeiφ .
(8.57)
et
Quelle est la phase de Berry dans le cas d’une rotation lente de ∆ autour
de l’axe ẑ , Ã θ constant ?
Z 2/pi ∂
γBerry = i
dφ Φθ,φ Φθ,φ
∂φ
0
Z 2π
0
θ
θ
dφ cos 2 sin 2
= i
(8.58)
i sin 2θ eiφ
0
Z 2π
Z 2π X
1
= −S
dφ(1 − cos θ) = −S
dφ
d cos θ 0 = −SΩ ,
0
0
cos θ
où Ω est l’angle solide sous-tendu par le chemin vu de l’origine de l’espace des
paramètres. C’est exactement la phase de Aharonov-Bohm que l’on attend
pour une particule de charge −S se déplaçant sur la surface de la sphère unité
au centre de laquelle se trouverait un monopôle magnétique. C’est justement
la dégénérescence du spectre à l’origine qui produit ce monopole [84].
La définition de la connexion A implique l’existence d’une singularité au
pôle sud, θ = π. Une corde de Dirac (un solénoı̈de transportant un quantum
de flux) est attaché au monopole. La singularité aurait été atachée au pôle
Nord si nous avions choisi la base
e−iφ |Φθ,φ i .
(8.59)
Pour reproduire correctement la phase de Berry dans une intégrale de chemin
pour le spin dont le hamiltonien est donné par l’équation (8.53), le lagrangien
doit être de la forme
L = h̄S −ṁµ Aµ + ∆µ mµ + λ(mµ mµ − 1) ,
(8.60)
146
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
où m est la coordonnée du spin sur la sphère unité, λ est un multiplicateur
de Lagrange qui impose le respect de la contrainte, et la connexion de Berry
A vérifie
∇×A=m .
(8.61)
Ce lagrangien reproduit correctement les équations de la dynamique du spin
qui décrivent sa précession.
8.4.1
Applications au magnétisme quantique – Dynamique de spin dans un champ magnétique
Montrons qu’avec le Lagrangien trouvé ci dessus, on retrouve bien la
dynamique quantique de spin dans un champ effectif.
Écrivons les équations du mouvement,
δL
d δL
=
dt δ ṁµ
δmµ
(8.62)
δL
= −Aµ
δ ṁµ
(8.63)
δL
= −ṁν ∂µ Aν + ∆µ + 2λmµ ,
δmµ
(8.64)
∆µ + 2λmµ = Fµν ṁν ,
(8.65)
Using (8.60) we have
et
d’où
et on a posé Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
La section précédente sur la phase de Berry indique qu’il faut choisir
Fµν = αµν mα ,
(8.66)
ce qui équivaut à ∇m × A[m] = m. Les équations du mouvement deviennent
alors
∆µ + 2λmµ = αµν mα ṁν .
(8.67)
En multipliant les deux membres de l’équation (8.67) par γβµ mβ , puis en
appliquant aux deux membres de cette équation l’identité ναβ νλη = δαλ δβη −
δαη δβλ , on obtient
(∆ × m)γ = ṁγ − mγ (ṁβ mβ ) .
(8.68)
Phase de Berry et transport adiabatique
147
Le dernier terme est nul, à cause de la contrainte de longueur de m. On retrouve bien, à partir des équations de Euler-Lagrange, l’équation de précession
du spin dans un champ magnétique.
Il est instructif de comparer l’expression (8.60) au lagrangien d’une particule de masse m et de charge −e dans un champ magnétique de potentiel
vecteur A,
1
(8.69)
L = mẋµ ẋµ − eẋµ Aµ .
2
On voit ainsi que le lagrangien (8.60) équivaut à un lagrangien d’un objet de
masse nulle et de charge −S, situé en m, se d’eplaçant sur la sphère unité
contenant un monopole magnétique. Le terme Zeeman équivaut à un champ
electrique constant −∆, qui soumet la particule à une force S∆. La force de
Lorentz due au champ du monopole en traı̂ne la particule sur une orbite de
latitude constante sur la sphère unité. L’absence de terme cinétique en ṁµ ṁµ
dans le Lagrangien indique que la particule est de masse nulle, et occupe le
plus bas niveau de Landau du champ monopolaire.
8.4.2
Application aux textures de spin
Considérons un ferromagnétique avec une orientation locale statique du
champ de spin m(r). lorsqu’un électron se déplace, on peut faire l’hypothèse
que le fort champ d’échange force le spin électronique à suivre l’orientation
locale m(r). Si l’électron a une vitesse ẋµ , le taux de variation locale de
l’orientation locale de spin vu par l’électron est ṁν = ẋµ ∂x∂ µ mν . Ceci induit
une phase de Berry non triviale en présence d’une texture de spin. En effet
le lagrangien à une particule contient un terme supplémentaire de dérivé
temporelle du 1er ordre, en plus de celui qui provient du couplage minimal
champ-matière
L0 = −eẋµ Aµ − h̄S ṁν Aν [m] .
(8.70)
Le premier terme est le couplage champ/matière, le deuxième est le terme qui
donne naissance à la phase de Berry. On a pour ce dernier terme ∇m ×A = m.
On peut ré-écrire ce terme en utilisant ṁν = ẋµ ∂x∂ µ mν , et on trouve alors
L0 = −eẋµ (Aµ + aµ ),
avec
µ
a = φ0 S
∂
∂xµ
Aν [m] ,
(8.71)
(8.72)
148
Spin et effet Hall quantique – ferromagnétisme à ν = 1
où a est la connection de Berry, un potentiel vecteur qui ici s’ajoute au
potentiel vecteur du champ magnétique. Le rotationnel de a ajoute donc un
flux « de Berry » au flux du champ magnétique,
b = αβ
∂aβ
∂xα
= φ0 S
αβ
= φ0 Sαβ
∂
∂xα
∂
ν
m Aν [m]
(8.73)
β
∂x
∂
∂mγ ∂Aν
∂ ∂
ν
ν
ν
m A [m] +
m
.
∂xα ∂xβ
∂xβ
∂xα ∂mγ
Le premier terme de la dernière équation est nul par symétrie, ce qui laisse
∂mν ∂mγ F νγ
,
(8.74)
∂xβ ∂xα 2
avec F µν = αµν mα . On a utilisé la symétrie ν ↔ γ dans le terme qui survit.
En posant S = 1/2, on obtient
b = φ0 Sαβ
b = φ0 ρ̃,
(8.75)
avec
1 αβ abc a
m ∂ α mb ∂ β mc
8π
1 αβ
=
m · (∂α m × ∂β m) .
(8.76)
8π
On reconnaı̂t dans l’expression (8.76) la densité topologique de Pontryaguine.
Si maintenant, partant d’une aimantation uniforme, on déforme adiabatiquement l’aimantation uniforme du fondamental en une texture de spin, tout
se passe du point de vue des degrés de liberté orbitaux comme si l’on injectait
adiabatiquement un flux b(r). On sait que dans un état de Hall quantique
est caractérisé par ρxx = ρyy = 0 et par ρxy = νh/e2 [voir l’équation (3.5)],
cela associe (loi de Fraday) à la texture de spin une densité de charge −ν ρ̃.
Comme la charge topologique du skyrmion est entière,
Z
Qtop = d2 rρ̃(r) ∈ . ,
ρ̃ ≡
la charge associée à un skyrmion de l’EHQ est δρ = −νe × (entier).
Nous avons ainsi retrouvé, par le biais de la phase de Berry, le résultat obtenu plus haut par la méthode hamiltonienne et la manipulation de l’algèbre
des commutateurs de densité (de spin ou de charge) projetés.
Chapitre 9
Les bicouches d’effet Hall
quantique
9.1
Introduction
Nous avons vu dans les chapitres précédents l’importance des interactions coulombiennes, y compris pour le cas du remplissage ν = 1 du plus bas
NL : même en l’absence de couplage Zeeman, les interactions coulombiennes
stabilisent un ordre ferromagnétique, ce qui bouleverse le spectre des excitations. Au lieu d’un métal dégénéré de spin à ν = 1/2, on obtient un état de
Hall quantique avec un gap. C’est un effet analogue qui se produit pour un
système de bicouches couplées, chacune à ν = 1/2. Dans ce cas, le rôle du
spin est joué par l’indice de bicouche [81, 86, 87]. Nous allons utiliser cette
analogie avec les systèmes ferromagnétiques monocouche dans l’étude de la
physique des systèmes de bicouches.
Les techniques modernes d’Épitaxie par Jet Moléculaire (EJM) permettent
depuis quelques années de fabriquer des gaz 2D électroniques avec un potentiel de désordre faible, et une très grande mobilité dans des structures de bicouches ou de multicouches[88]. Comme le montre la figure 9.1 une bi-couche
est un sytème de deux gaz électroniques 2D organisés en plans parallèles
éloignés d’une distance d comparable à la distance moyenne entre électrons
d’une même couche (soit d ∼ 10nm ). Nous savons (voir le chapitre 8) que
les corrélations sont particulièrement importantes à fort champ, lorsque tous
les électrons sont dans le plus bas NL, car aucun effet cinétique ne s’oppose
à la polarisation ferromagnétique. L’EHQF résulte de la formation d’une
149
150
Les bicouches d’effet Hall quantique
W
W
2t
d
Fig. 9.1 – Profil schématique du bord de la bande de conduction pour un sytème de
bicouche d’électrons bi-dimensionnels. L’ordre de grandeur caractéristique des largeurs des
puı̂ts quantiques est W ∼ d ∼ 10nm. Un présence d’un terme tunnel t, la bande se sépare
en une branche liante et anti-liante, avec une séparation de ∆SAS = 2t.
bande d’énergie interdite entre le fondamental et les excitations chargées de
plus basse énergie, produisant un état incompressible. La théorie prédit que
pour certains remplissages du plus bas NL, ces bandes interdites apparaissent
lorsque les interactions inter-couches sont suffisantes [15, 89]. Ces prédictions
ont été vérifiées par l’expérience [90]. Plus récemment, [91], la théorie a prédit
que les corrélations intercouches pouvaient induire des états à symétrie brisée
inhabituels, avec une cohérence de phase inter-couches d’un type nouveau.
Cette cohérence de phase apparaı̂t alors que les deux couches sont isolées
l’une de l’autre, sauf par leurs interactions coulombiennes. Il s’agit là d’une
superfluidité excitonique, qui est la réalisation inattendue, dans le contexte
des bi-couches, de la superfluidité excitonique prédite dans les semiconducteurs 3D depuis 1962, poursuivie depuis sans succès expérimental indiscutable
[92, 93], et finalement observée de manière spectaculaire dans les bi-couches
d’effet Hall quantique [81, 86, 87, 94, 95, 96, 97, 98].
9.2. ANALOGIE DE PSEUDO-SPIN
9.2
151
Analogie de pseudo-spin
On va supposer que l’effet Zeeman est suffisant pour saturer complètement
le « vrai » spin, si bien que ce dernier ne joue plus aucun rôle. On attribue à
chaque couche un indice de « pseudo-spin », ↑ ou + pour la couche supérieure
et ↓ ou − pour la couche inférieure. Dans la situation qui nous intéresse, on
a ν↑ + ν↓ = 1.
Un état possédant une cohérence de phase entre couches, avec un alignement ferromagnétique de pseudo-spin, dans une direction définie par l’angle
polaire θ, et l’angle azimuthal φ, s’écrit, dans la jauge de Landau, [voir aussi
l’équation (8.3)]
Y
θ †
θ iφ †
|ψi =
cos ck↑ + sin e ck↓ |0i .
(9.1)
2
2
k
Dans l’état décrit par cette fonction d’onde, chaque état k est occupé par
un électron, avec une amplitude cos(θ/2) pour être dans la couche ↑ [et une
amplitude sin(θ/2) exp(iφ) pour la couche ↓]. Physiquement, le rapport des
amplitudes tan(θ/2) peut être modifié en appliquant une tension entre les
couches, pour en charger une au détriment de l’autre, l’occupation totale
de chaque état restant égale à 1. Rappelons qu’un état k, dans la jauge de
2
. Nous distinguons les
Landau, appartient à un centre de guidage Xk ≡ klB
cas suivants :
Spins suivant l’axe z. Pour θ = 0 cette fonction d’onde décrit un alignement
des pseudo-spins suivant l’axe ẑ,
|ψz i = Πk c†k,↑ |0i = Πi<j (zi − zj ) |↑, ↑, ... ↑i .
Le choix θ = 0 décrit donc une situation où toutes les particules de la bicouche sont sur la couche supérieure ↑.
Spins suivant l’axe x̂. On a θ = π/2, φ = 0, ce qui donne l’état
( †
)
ck↑ + c†k↓
√
|ψx i = Πk
|0i .
2
Manifestement cette fonction d’onde, qui décrit une superposition symétrique
d’états électroniques dans les deux couches, doit abaisser l’énergie de la bicouche, par rapport au cas θ = 0, dès lors que l’interaction coulombienne
152
Les bicouches d’effet Hall quantique
inter-couches est prise en compte, comme nous le verrons plus bas, et que les
deux couches sont au même potentiel.
Spins alignés suivant un axe quelconque dans le plan xy. Dans ce cas, nous
avons θ = π/2, φ 6= 0 et donc
( †
)
ck↑ + eiφ c†k↓
√
|ψxy i = Πk
|0i .
2
Cet état, comme l’état précédent, décrit une superposition symétrique d’états
d’amplitude égale dans chaque couche, mais la direction de l’aimantation
résultante a subi une rotation d’un angle φ par rapport à l’axe x.
Dans tous les cas, l’occupation totale de chaque état k est 1, mais l’indice
de couche pour chaque électron est indéterminé, sauf lorsque θ = 0. L’amplitude pour qu’un électron soit dans la couche ↑ est cos θ/2, et l’amplitude
pour qu’il soit dans la couche ↓ est eiφ sin θ/2. Un choix plus général consiste
à prendre θ 6= π/2 ou 0. Le poids total reste, bien évidemment, égal à 1, en
raison de sin2 (θ/2) + cos2 (θ/2) = 1. L’état avec θ 6= π/2 peut décrire une
différence de densité électronique entre les deux couches, dûe, par exemple,
à l’application d’une tension entre couches.
Même en l’absence de processus tunnel entre couches, la mécanique quantique (le principe de superposition) permet de décrire la possibilité d’une
amplitude simultanée de présence dans les deux couches.
Dans le cas des vrais spins d’une monocouche à ν = 1, on a vu dans le
chapitre précédent que, l’interaction coulombienne ne dépendant pas explicitement du spin, le couplage ferromagnétique, dû à l’échange, ne brise pas la
symétrie SU(2) de l’Hamiltonien lorsque le couplage Zeeman est nul. Il n’en
est plus de même dans le cas de la bicouche.
9.3
Différences avec le cas de la monocouche
ferromagnétique
Quelles sont les différences principales entre la physique des bi-couches à
ν↓ = ν↑ = 1/2 et celle de la monocouche à ν = 1 ?
Lorsque les deux couches sont éloignées l’une de l’autre (d/lB 1) les interactions entre les électrons d’une couche et ceux de l’autre sont négligeables.
Dans ce cas, chaque couche a une occupation ν = 1/2, et on a deux quanta
Différences avec le cas de la monocouche ferromagnétique
153
de flux par électron. Une construction de FC (voir les chapitres 4 à 6 et
la référence [12]), attachant deux vortex à chaque électron, aboutit à un
problème de fermions dans un champ effectif B ? = 0. On a donc un métal,
ou les FC s’organisent en un liquide de Fermi étrange, à surface de Fermi
circulaire, où chaque fermion porte un dipôle [46]. Ce n’est pas l’objet de ce
cours, mais c’est un objet très intéressant. En tous cas il y a un continuum
d’excitations trou-particules autour du niveau de Fermi, et donc pas d’EHQ.
A une distance comparable à la longueur magnétique, soit d ∼ lB , les
interactions coulombiennes intra-couches et inter-couches sont différentes,
quoique comparables, notamment si d → 0, où elles ne sont plus différentes.
En utilisant l’analogie de pseudo-spin, le hamiltonien d’interaction s’écrit
[voir l’équation (8.5) du chapitre précédent]
Hcoul =
1 X X σ,σ0
v (q)ρ̄σ (q)ρ̄σ0 (−q).
2 0 q 0
(9.2)
σ,σ
On a donc
v0↑↑ (q) = v0↓↓ (q) ≡ v A (q)
v0↑↓ (q) = v0↓↑ (q) ≡ v E (q)
où v A (q) [v E (q)] est la transformée de Fourier par rapport aux coordonnées
planaires de l’interaction intra-couche [inter-couches] entre deux électrons.
En négligeant l’épaisseur des couches, on a v A (q) = (2πe2 /q) exp(−q 2 /2) et
v E (q) = e−qd v A (q).
En posant vSU (2) (q) = [v A (q) + v E (q)]/2 et vsb (q) = [v A (q) − v E (q)]/2,
on peut séparer l’Hamiltonien d’interaction en une partie indépendante du
pseudo spin, avec v0 (q), et une partie qui en dépend, comme on l’a vu dans
les équations (8.15) et (8.16) du chapitre précédent. On trouve alors
H=
X
1X
vSU (2) (q)ρ̄(−q)ρ̄(q) + 2
vsb (q)S̄ z (−q)S̄ z (q),
2 q
q
(9.3)
avec S̄ z (q) = [ρ̄↑ (q) − ρ̄↓ (q)]/2. Noter que H, S̄ µ 6= 0 pour µ = x, y, en
raison du deuxième terme qui brise la symétrie SU(2).
Comme, à séparation finie entre les couches, on a v A (q) > v E (q), pour
tout vecteur d’onde, le deuxième terme dans l’équation (9.3) crée un plan
de facile aimantation perpendiculaire à ẑ, dans le plan de la bicouche. La
symétrie de pseudo-spin est réduite de SU(2) à U(1).
154
Les bicouches d’effet Hall quantique
Une troisième différence avec la monocouche à ν = 1 provient du terme
tunnel inter-couches. Ce terme est de la forme
t X †
T = −
ck,↑ ck,↓ + c†k,↓ ck,↑
(9.4)
2
k
X
= −t
S̄kx
(9.5)
k
et agit comme un pseudo-champ magnétique suivant l’axe x. Il stabilise
l’orientation du pseudo-spin dans la direction x. En effet la combinaison
symétrique √
des états de chaque puits de potentiel correspond au spineur
ψl = (1, 1)/ 2 (états √
liants). La direction −x correspondrait à un état antiliant, ψa−l = (1, −1)/ 2
Physiquement on sait faire varier t dans d’assez grandes proportions, entre
−3
10 et 10−1 × e2 /lB . Notons que le terme tunnel, en créant une direction
privilégiée dans le plan xy, brise la symétrie U(1).
Appliquons de plus une tension entre les couches, ce qui donne lieu à un
terme, −e(N↑ − N↓ )V = −2eS z V . Il est l’analogue d’un champ magnétique,
appliqué suivant l’axe z de quantifcation de pseudo-spin. En minimisant
le terme d’anisotropie ajouté au terme électrique, on voit que V crée un
déséquilibre de charge entre les deux couches, ce qui – dans le langage de
pseudo-spin – est une valeur non nulle pour S z = (N↑ − N↓ )/2
Enfin, on peut appliquer un champ magnétique Bk parallèllement au plan
de la bi-couche. Cet effet n’existe pas dans le cas de la monocouche d’épaisseur
nulle. On peut s’attendre à des effets nouveaux dans le cas de la bicouche,
qui ne seront pas des effets de spin, uniquement des effets orbitaux (le vrai
spin est supposé saturé). La présence d’un champ Bk peut se décrire par le
choix de la jauge pour le potentiel vecteur associé,


Axk = 0
y
A|| =  Ak = 0  ,
(9.6)
z
Ak = Bx
où z est la direction perpendiculaire aux couches. Dans cette jauge, le paramètre tunnel est modifié pour rester invariant de jauge,
t → te
2π
iφ
0
R d/2
−d/2
dzAzk
= te
i2π Bxd
φ
avec Q = 2πBd/φ0 = 2π/Lk , ce qui implique
0
≡ teiQx ,
9.4. DONNÉES EXPÉRIMENTALES
155
φ0
.
Bd
En présence de Bk , le terme tunnel total devient ainsi
X
T = t
eiQx c†k,↑ ck,↓ + e−iQx c†k,↓ ck,↑
Lk =
k
= −t eiQx (S x + iS y ) + e−iQx (S x − iS y )
= 2tS cos(φ − Qx)
(9.7)
Ce terme est donc équivalent à un champ tournant autour de l’axe x,
uniforme suivant y, qui fait osciller l’aimantation de pseudo-spin suivant x.
En fait ce terme est en compétition avec l’énergie d’échange, comme on le
verra plus tard.
En présence d’un champ Bk , le courant tunnel entre couches devient
X
eiQx c†k,↑ ck,↓ − e−iQx c†k,↓ ck,↑
(9.8)
J↑↓ = it
kiQx x
= it e (S + iS y ) − e−iQx (S x − iS y ) = 2tS sin(φ − Qx).
9.4
9.4.1
Données expérimentales
Diagramme de phase
On l’a vu plus haut, la différence d’énergie ∆SAS = 2t entre combinaisons
symétriques et antisymétriques des états de chaque puits quantique peut
varier, suivant les échantillons, de pratiquement zéro à plusieurs centaines
de K. L’énergie ∆SAS peut ainsi être bien plus petit (ou bien plus grand)
que l’énergie caractéristique d’interaction intercouches Ec ≡ e2 /d. On peut
ainsi balayer expérimentalement le régime des corrélations électroniques du
couplage faible au couplage fort.
Lorsque les couches sont très éloignées, il n’y aura pas de corrélations
intercouches, et l’on ne doit pas avoir d’effet Hall quantique puisque ν =
1/2 dans chaque couche. Lorsque la séparation entre couches diminue, on
observe en revanche l’apparition d’un gap d’excitation et un plateau de Hall
quantifié avec σxy = e2 /h [87, 94]. Il y a à cela une explication triviale
lorsque ∆SAS est grand, car tout se passe alors comme si les deux couches
156
Les bicouches d’effet Hall quantique
Fig. 9.2 – Diagramme de phase pour la bicouche d’EHQ (d’après Murphy et coll.
[87]). Les échantillons dont les paramètres se situent sous la ligne en pointillé ont une
quantification de l’effet Hall et un gap d’excitation.
étaient quasi confondues, avec un facteur de remplissage total ν = 1. Tous
les états symétriques sont alors occupés, on a l’effet Hall quantique ordinaire.
La situation est beaucoup plus intéressante lorsque l’effet Hall quantique à
ν = 1 se manifeste dans la limite ∆SAS → 0.
Dans cette limite, le gap d’excitation est clairement un effet collectif puisqu’il peut atteindre 20 K alors que ∆SAS < 1K. Le gap d’excitation survit
dans cette limite parce qu’il y a brisure spontanée de la symétrie XY [ou bien
U(1)] associé au dégré de liberté de la phase – l’angle azimuthal φ dans l’expression (9.1) [81, 91]. C’est ce qu’on voit sur la figure expérimentale 9.2 qui
montre le domaine d’existence de l’EHQ au dessous de la ligne en pointillés.
Ce passage d’un régime à une particule, à un régime collectif est analogue à
ce qui se passe pour le ferromagnétisme d’une monocouche. Dans ce dernier
cas, le gap d’excitation reste fini même lorsque le couplage Zeeman s’annule,
grâce à l’interaction coulombienne.
Ce qui est remarquable, c’est que le domaine EHQ avec ν = 1 survit
lorsque ∆SAS → 0 pourvu que la distance entre couches soit inférieure à une
valeur critique d/lB ∼ 2. Dans ce cas, le gap est uniquement un effet collectif,
dû aux interactions. Nous verrons qu’il est associé au ferromagnétisme de
Données expérimentales
157
Fig. 9.3 – Expérience de Murphy et coll. [87]. Le gap d’excitation thermique ∆ est tracé
en fonction de l’angle d’inclinaison du champ magnétique dans une bi-couche avec terme
tunnel faible (∆SAS = 0.8K). Les points noirs correspondent au facteur de remplissage
ν = 1, les triangles à ν = 2/3. La flèche indique l’angle critique θc . La ligne continue est
un guide pour les yeux. La ligne pointillée est une estimation à la louche de la renormalisation de l’amplitude tunnel par le champ magnétique parallèle. Cet effet à une particule
donne une décroissance lente, en comparaison avec l’effet observé. La figure insérée est
un diagramme d’Arrhenius de la dissipation, qui est mesurée à l’aide de la résistance longitudinale. L’énergie d’activation à basse température est ∆ = 8.66K ; pourtant le gap
s’effondre à une température bien plus basse d’environ 0.4K.
pseudo-spin de Hall quantique, qui possède une cohérence spontanée intercouches.
9.4.2
Gap d’excitation
Une indication supplémentaire de la nature collective des excitations provient de la variation du gap d’excitation avec la température, reproduit par
la figure 9.3. L’énergie d’activation ∆ à basse température est nettement
supérieure à ∆SAS . Si néanmoins ∆ était un gap à une particule, on s’attendrait à une loi d’Arrhenius jusqu’à des températures de l’ordre de ∆/kB . Au
lieu de cela, la courbe s’infléchit fortement dès que T ∼ 0, 5K. Ceci suggère
la destruction de l’ordre qui a produit le gap d’excitation collective.
158
Les bicouches d’effet Hall quantique
A
d
B
B
φ0
L ||
Fig. 9.4 – Exemple de processus dans une bicouche de gaz électroniques 2D qui met en
jeu un flux de Bk . Dans ce processus, un électron saute par effet tunnel au point A de la
couche supérieure à la couche inférieure. La paire électron trou ainsi créée se déplace de
façon cohérente et s’annihile ensuite au point B par un processus tunnel dans la direction
opposée. L’amplitude tunnel pour un tel processus dépend de Bk
.
9.4.3
Effet d’un champ magnétique parallèle
Un autre fait expérimental suggère fortement un phénomène d’ordre collectif : la forte sensibilité du système à un champ magnétique Bk relativement faible, appliqué parallèlement aux couches. On voit sur la figure
9.3 que le gap d’activation diminue rapidement lorsque le champ s’incline
dans la direction du plan des couches – la composante perpendiculaire B⊥
du champ magnétique reste constante. Supposons le gaz électronique dans
chaque couche strictement 2D (autrement dit, négligeons l’épaisseur individuelle des couches). Alors l’effet de Bk ne peut provenir que de processus
électroniques sur des boucles fermées contenant un flux du champ Bk , c’est
à dire des boucles décrivant des aller-retours entre couches, sur des distances
où il y a cohérence de phase. Un exemple d’un tel processus est montré par
la figure 9.4.
Un électron effectue un processus tunnel d’une couche à l’autre au point
A, se déplace jusqu’au point B, puis effectue un deuxième saut tunnel et
retourne au point de départ. La composante parallèle du champ magnétique,
Bk , contribue à l’amplitude de ce processus un facteur de phase AharonovBohm, invariant de jauge, exp(2πiφ/φ0 ), où φ est le flux de Bk à travers ce
circuit.
De tels parcours en boucle contribuent de manière significative aux corré-
Données expérimentales
(a)
159
B
couche supérieure
J
J
couche inférieure
(b)
B
couche supérieure
J
J
couche inférieure
Fig. 9.5 – (a) Dans une expérience standard, le courant de Hall est transporté simultanément dans les deux couches, sans processus tunnel entre couches. (b) Il est possible
d’injecter du courant dans une des couches et de l’extraire de l’autre. Le courant tunnel a
alors un comportement de courant superfluide.
lations dans ce système, puisque l’on observe une décroissance rapide du gap
d’activation en fonction de Bk : la décroissance est d’un facteur supérieur à 2
jusqu’à un champ critique Bk∗ ∼ 0.8T , au-delà duquel le gap reste à peu près
constant. Cette valeur de Bk∗ est remarquablement faible. En effet, soit Lk la
longueur telle que le flux à travers la boucle électronique égale un quantum
de flux : Lk Bk∗ d = φ0 ⇔ Lk [Å] = 4, 14 × 105 /d[Å]Bk [T]). Avec Bk∗ = 0, 8T et
d = 150Å, on a Lk = 2700Å, soit environ vingt fois la distance moyenne entre
électrons dans une couche et trente fois la longueur magnétique associée à
B⊥ . On observe déja une diminution significative du gap d’excitation dans un
champ parallèle de 0, 1T, ce qui implique des longueurs de cohérence énormes.
Ceci indique derechef la nature fortement collective de l’ordre observé dans
le système de bicouche.
9.4.4
L’effet quasi-Josephson
Une expérience spectaculaire, réalisée par Spielman et coll. [95], a confirmé
de manière éclatante les idées de superfluidité excitonique dans les bicouches.
Dans les expériences standard de transport sur les bicouches, on injecte un
courant JHQ simultanément dans les deux couches, et on l’extraie aussi si-
160
Les bicouches d’effet Hall quantique
multanément. Dans l’expérience de Spielman et coll., un courant JHQ est
injecté dans une couche, et extrait de l’autre (Fig. 9.5). Dans ce cas, une
différence qualitative de la conductance tunnel se produit lorsqu’on varie le
rapport d/lB , par exemple en faisant varier la densité électronique à remplissage constant du plus bas NL. En-dessous d’une valeur critique pour ce
rapport (la valeur critique qui correspond à la traversée de la ligne de transition pour l’apparition de l’ effet Hall quantique ν = 1), une anomalie géante
de conductance apparaı̂t à tension nulle, ainsi qu’on le voit sur la fig. 9.6. La
compréhension qualitative de cette expérience est la suivante : pour d/lB 1,
les liquides électroniques dans des couches différentes ne sont pas corrélés. A
tension nulle, la répulsion coulombienne entre les électrons d’une couche et
un électron candidat à un processus tunnel inhibe ce dernier : la conductance
à tension nulle est très faible. Lorsque d/lB ' 1 un état cohérent s’établit
entre les deux couches de telle manière qu’à un électron d’une couche sur un
site de Landau est associé un trou dans l’autre couche sur le même site. La
répulsion coulombienne est alors fortement supprimée par cet arrangement
collectif, et la conductance tunnel à tension nulle augmente de deux ordres
de grandeur.
Signalons tout de suite qu’à l’heure où ces lignes sont écrites, le consensus
théorique ne règne pas sur le caractère intrinsèque, ou non, de la finitude de
la conductance à tension nulle : s’agit-il d’une limitation expérimentale, liée
aux défauts topologiques du paramètre d’ordre, ou aux impuretés, etc., ou
bien est-il illusoire, pour des raisons fondamentales, de chercher à observer la
divergence de la conductance tunnel à tension nulle, qui signerait l’analogie
parfaite avec la jonction Josephson de la supraconductivité BCS de singulet ?
Nous y reviendrons plus loin.
9.4.5
Expérience de courants antiparallèles
Pour vérifier les idées de condensation bosonique d’excitons dans une
bicouche à ν = 1, il faut une preuve expérimentale du transport de paires
électrons-trous. Mais comment accéder à et détecter des objets électriquement
neutres ? La solution est de remarquer que le transport de paires électronstrous équivaut à la circulation de deux courants de directions opposées dans
les deux couches.
L’ingéniosité expérimentale permet depuis quelques années de connecter
électriquement chaque couche de la bicouche de manière indépendante [99].
Avec de tels contacts, il a été possible d’injecter des courants d’intensités
161
(a)
A)
NT=10.9 D)
(d)
B)
(b)
NT=6.9
NT=5.4
z
-7
-1
Tunneling
=1 /dV
(10 W )
Conductance
at nTdJ
Conductance
tunnel
Données expérimentales
0.5
(c)
C)
-5
NT=6.4
0
5
-5
0
Tension
intercouches V (mV)
Interlayer Voltage (mV)
5
Fig. 9.6 – Expérience de Spielman et coll [95]. La conductance tunnel dJz /dV est
tracée en fonction de la différence de potentiel V entre les deux couches, pour différentes
densités électroniques, NT en unités de 1010 cm−2 . Dans les échantillons [de (a) à (c)] à
forte densité électronique, le système n’a pas d’EHQ, les processus tunnel sont supprimés
à tension nulle. Dans l’échantillon (d) de basse densité, il y a un pic fini de conductance
tunnel à tension nulle. Le courant est strictement nul à tension nulle, contrairement au
courant d’une jonction Josephson. C’est pourquoi on parle de jonction « quasi-Josephson ».
162
Les bicouches d’effet Hall quantique
tension de Hall
10
+ − + − + − +
− + − + − + −
+ − − + − + −
0
−10
+ + − − + + −
ν=1
5
10
champ magnétique
Fig. 9.7 – Une mesure de tension de Hall détecte la condensation d’excitons (d’après
la Ref. [98]). Les deux traces montrent schématiquement la tension de Hall dans chacune
des deux couches lorsque les courants circulent dans des sens opposés dans chacune des
couches. Tous les effets quantiques autres que la condensation excitonique sont ignorés sur
cette figure. Lorsque les courants sont transportés de manière non corrélée dans les deux
couches, on doit observer des tensions de Hall finies, qui équilibrent les forces de Lorentz
dans chaque couche. Comme les courants sont anti-parallèles, les tensions de Hall doivent
être de signe opposé dans les deux couches. Mais si la condensation d’excitons se produit,
pour un certain intervalle de valeurs du champ magnétique, les courants opposés dans
les deux couches sont transportés par un courant uniforme d’excitons dans une direction.
Comme les excitons sont électriquement neutres, ils ne sont pas soumis aux forces de
Lorentz, et la tension de Hall doit s’annuler dans chaque couche. C’est ce qui a été observé
expérimentalement par Kellogg et coll. [97].
9.5. SUPERFLUIDITÉ EXCITONIQUE
163
égales et de sens opposés dans les deux couches, pour tester si les excitons
participaient au transport de particules [98].
La figure 9.7 est une version schématique de ce que l’on attend d’une
telle expérience de contre-courants (courants antiparallèles). Les deux traces
représentent la tension de Hall prévue dans chaque couche, en négligeant tous
les effets quantiques sauf la condensation excitonique. A cause de la force de
Lorentz sur une charge en mouvement sous champ magnétique, la tension de
Hall est en général proportionnelle au champ magnétique. Dans un système
de bicouches parcouru par des courants antiparallèles, la tension de Hall aura
des signes opposés dans chaque couche. Si les deux couches sont suffisament
proches, et si le champ magnétique a la valeur adéquate, les paires électrontrou inter-couches qui se forment transportent les courants antiparallèles. La
tension de Hall dans chaque couche doit alors s’annuler, comme le suggère la
figure 9.7.
Deux groupes expérimentaux ont confirmé ces prédictions [97].
9.5
Superfluidité excitonique
Dans l’analogie de pseudo-spin (section 9.2), nous avons vu que le terme
d’interaction coulombienne entre les deux couches favorise un état ferromagnétique avec un plan de facile aimantation lorsque la distance entre
couche est assez petite pour stabiliser un état corrélé. La fonction d’onde
du fondamental est alors de la forme [voir l’équation (9.1)]
(
)
Y c†k↑ + eiφ c†k↓
√
|ψφ i =
|0i .
(9.9)
2
k
Autrement dit, θ/2 = π/4, l’aimantation est dans le plan de la bicouche,
et l’on a hSz i = 0. L’amplitude égale pour les états de pseudo-spin opposés
signifie qu’il n’y a pas, pour l’instant de tension appliquée entre les couches.
Lorsque le terme tunnel t est nul, la valeur de φ est quelconque, du moment qu’elle est la même en chaque point du plan de la bicouche. Lorsque
le système choisit une valeur particulière de φ, parmi l’infinité de possibilités
équivalentes, il y a symétrie brisée, puisque le hamiltonien ne dépend pas
de φ. En présence du terme d’anisotropie de pseudo-spin, la symétrie du hamiltonien est U(1). C’est cette symétrie continue qui est brisée par le choix
d’une phase dans le fondamental.
164
Les bicouches d’effet Hall quantique
Dans la limite du terme tunnel nul, nous avons ainsi une famille à un
paramètre de fondamentaux équivalents, paramétrisés par la phase φ. Cette
phase est une variable quantique conjuguée de la différence du nombre de
particules entre les deux couches. Dans l’équation (9.9), la phase est bien
définie, mais le nombre de particules de chaque pseudo-spin (le nombre de
particules dans chaque couche) est complètement indéterminé. De même, on
peut construire un état où la phase est complètement indéterminée, mais où
le nombre de particules dans chaque couche est spécifié exactement. Pour
cela, intégrons 9.9 sur la phase, ce qui donne
Z
dφ −i(N↑ −N↓ )φ
z
|ψS i =
e
|ψφ i .
(9.10)
2π
Nous obtenons une fonction d’onde avec exactement N↑ particules dans la
couche ↑ et N↓ = N − N↑ dans la couche ↓, N étant le nombre total de
centres de guidage à ν = 1. L’angle φ et S z sont des variables canoniques
conjuguées,
[φ, Sz = N↑ − N↓ ] = 1,
(9.11)
d’où découle la relation d’incertitude δ(N↑ − N↓ ) × δφ > 1.
Comme pour toute symétrie continue brisée, il doit exister un mode de
Goldstone dont l’énergie s’annule lorsque la longueur d’onde devient infinie.
Un état où la phase fluctue dans le temps et l’espace peut s’écrire :
i
Yh †
(9.12)
|ψφ i =
ck↑ + eiφ(Xk ,t) c†k↓ |0i ,
k
où φ est la phase superfluide du système, le mode superfluide de grand longueur d’onde correspondant à des courants égaux et de signes opposés se
propageant dans les deux couches.
Pour mieux comprendre en quoi l’état décrit par la fonction d’onde (9.9)
brise la symétrie de jauge associée à la conservation de la différence de charge
entre les deux couches, considérons la transformation de jauge induite par
θ
l’opérateur unitaire U− (θ) = ei 2 (N↑ −N↓ ) . L’effet de cette transformation sur
les opérateurs de champ est
θ
U−† (θ)c†k↑ U− (θ) = e−i 2 c†k↑
θ
U−† (θ)c†k↓ U− (θ) = ei 2 c†k↓ .
(9.13)
(9.14)
Le hamiltonien est invariant sous cette transformation,
U−† (θ)HU− (θ) = H,
(9.15)
Superfluidité excitonique
165
puisque [H, (N↑ − N↓ )] = 0, en l’absence de terme tunnel entre couches.
Pourtant, l’examen de l’expression (9.9) montre que l’état cohérent de
phase est caractérisé par un paramètre d’ordre non trivial,
E D
nel iφ
e ,
S x (Xk ) ≡ c†k↑ ck↓ = S̄ x (Xk ) =
2
2
avec la densité totale nel = 1/2πlB
.
Ce paramètre d’ordre n’est pas invariant de jauge,
D
E
†
†
x
S (Xk ) → U− (θ)ck↑ ck↓ U− (θ) = eiθ S x (Xk ) .
(9.16)
C’est une manière plus formelle de montrer que l’état, moins symétrique
que le hamiltonien, brise la symétrie U(1) associée à la conservation de la
différence de charge, 1 N↑ − N↓ .
Nous pouvons écrire une expression pour l’opérateur du courant tunnel
entre les couches en fonction de la position,
J↑↓,Xk = −it c†k↑ ck↓ − c†k↓ ck↑ ,
(9.17)
dont la moyenne est
hJ↑↓,Xk i = −it [S x (Xk )∗ − S x (Xk )] = t sin [φ(Xk )] .
Cette expression est semblable à celle du courant Josephson : elle ne
dépend que de la phase du paramètre d’ordre, et pas de la tension appliquée
entre les deux couches.
Le langage de pseudo-spin exprime la conjugaison de la phase et de la
différence de charge entre couches à travers les relations de commutation de
la densité de spin. Avec le paramètre d’ordre aligné suivant x,
[S y , S z ] = iS x ' i.
Comme S z ∝ sin φ ≈ φ, cela entraı̂ne [φ, S z ] = i. En conséquence, le courant
associé au gradient de la phase
Jzz =
2ρE
∇φ
h̄
Dans un supraconducteur, le paramètre d’ordre χ(r) = hc†↑ (r)c†↓ (r)i se transforme de
façon non triviale sous la transformation de jauge associée à la conservation de la charge
totale, Ũ+ (θ) = exp[iθ(N↑ + N↓ )/2]. En revanche, le paramètre d’ordre de la bicouche est
invariant sous cette transformation.
1
166
Les bicouches d’effet Hall quantique
est bien la différence de courants électriques dans les deux couches.
Une difficulté conceptuelle apparente est que la fonction d’onde (9.9)
décrit un état où la différence de densité électronique entre couches fluctue,
alors que dans la limite t = 0 cette différence est conservée. C’est analogue
à ce qui se passe pour la fonction d’onde BCS, qui décrit un état où le
nombre total de particules fluctue, alors qu’il est strictement conservé pour
un échantillon isolé. La solution de cet apparent paradoxe est que chaque morceau macroscpique d’un échantillon peut être subdivisé en morceaux macroscopiques plus petits, entre lesquels les échanges de particules sont rapides
et nombreux, de telle façon que la cohérence de phase peut s’établir dans
chaque région macroscopique de l’échantillon, alors que le nombre total de
particules reste constant.
Un raisonnement semblable peut être tenu dans le cas de la bi-couche.
Examinons un objet un peu plus compliqué que le paramètre d’ordre,
D
E
†
†
GXk ,Xk0 = ck↑ ck↓ ck0 ↓ ck0 ↑ .
(9.18)
Cet objet conserve le nombre de particules dans chaque couche. Il est égal à
hS̄ x (Xk )S̄ x (Xk0 )i, et il est non nul dans la fonction d’onde (9.9).
Une remarque : la fonction d’onde (9.9) est bien une fonction d’onde d’un
condensat d’excitons. En effet, définissons l’état |f erro
Q †↑i comme l’état où
tous les électrons sont dans la couche ↑, |f erro ↑i = k ck↑ |0i. Alors on peut
ré-écrire l’état (9.9) comme
!
Y 1 + eiφ c†k↓ ck↑
√
|f erro ↑i .
(9.19)
|ψφ i ≡
2
k
On peut encore ré-écrire cela sous une forme qui rappelle un état cohérent
de bosons,
Y
iφ †
(9.20)
|ψφ i ≡
exp e bk |f erro ↑i ,
k
b†k
c†k↑ ck↓
où
=
est le boson excitonique. C’est pourquoi l’on peut parler
d’un « état cohérent » (voir la section 2.2.2). On parle parfois aussi de
« cohérence de phase spontanée », dans le cas où le terme tunnel est nul.
En effet dans ce cas l’état cohérent est purementdû aux interactions coulombiennes. En revanche, en présence d’un terme tunnel fini, la superposition symétrique d’états est la plus stable, même en l’absence d’interactions.
L’analogie magnétique est l’aimantation en présence d’un champ extérieur.
Superfluidité excitonique
9.5.1
167
Mode collectif – dynamique du condensat excitonique
On a mentionné plus haut l’existence, comme conséquence de la symétrie
continue brisée par la cohérence de phase, d’un mode d’excitation collective
dont l’énergie s’annule dans la limite de petit vecteur d’onde, q → 0. On peut
utiliser la méthode hamiltonienne pour étudier la dynamique du condensat.
Ici nous utiliserons la méthode lagrangienne, avec l’inclusion du terme provenant de la connexion de Berry, étudié au chapı̂tre précédent. Le lagrangien
qui décrit la physique de grande longueur d’onde, en l’absence de tension
appliquée entre couches, et à terme tunnel nul, s’écrit
Z
ν
d2 r ṁ · A[m]
(9.21)
L =
2
4πlB
Z
n
o
ρA
ρE − d2 r β(mz )2 +
.
|∇mx |2 + |∇my |2
|∇mz |2 +
2
2
Les coefficients β, ρA et ρE peuvent être évalués à partir d’une théorie microscopique des fonctions de corrélation, de la même façon qu’on a vu dans la
section 8.3.2 Écrivons les équations du mouvement (Euler-Lagrange),
δL
d δL
=
.
(9.22)
µ
dt δ ṁ
δmµ
Pour de petites variations du paramètre d’ordre autour de l’axe z, on linéarise
m = [1 − O(m2y + m2z ), my , mz ], et on prend A = (0, −mz /2, my /2), ce qui
donne
ν
ν mz
δL
=
,
Ay [m] = − 2
2
δ ṁy
4πlB
4πlb 2
ν ṁz
δL
=
+ ρE ∆my ,
(9.23)
2
δmy
4πlB
2
et
δL
δ ṁz
δL
δmz
2
ν my
ν
Az [m] = − 2
,
2
4πlB
4πlb 2
ν ṁy
=
+ ρA ∆my − 2βmz ,
2
4πlB
2
=
(9.24)
Le développement en gradients de mz n’est pas strictement correct, car la partie longue
portée des interactions de Coulomb donne naissance à un terme d’interaction non local
qui n’est pas inclus ici. Ce terme est moins important que les termes pris en compte ici.
168
Les bicouches d’effet Hall quantique
où ∆ = ∇ · ∇ est le laplacien. Dans l’espace de Fourier, on trouve le système
d’équations linéaires
4π
iω
(2β + q 2 ρA )
my
ν
=0
(9.25)
4π 2
q ρE
−iω
mz
ν
et alors la dispersion d’énergie du mode collectif
2
4π
2
(2β + q 2 ρ2A )q 2 ρE .
ω (q) =
ν
(9.26)
Lorsque d = β = 0, et ρA = ρE = ρ0 on retrouve le mode collectif (onde de
pseudo-spin) du ferromagnétisme,
ω(q)|B=0 =
4π 0 2
ρ q
ν
. Le terme de masse β 6= 0 change qualitativement la dispersion du mode
collectif, qui devient linéaire en q à grande longueur d’onde,
lim ω(q)|β6=0 =
q→0
4π p
2βρE q .
ν
C’est l’analogue du mode collectif d’un superfluide bosonique avec interactions répulsives faibles. Mais le paramètre d’ordre représente la condensation
de bosons neutres, qui ne transportent pas de charge.
9.5.2
Excitations topologiques chargées
Pour un système dont la classe d’universalité est celle du modèle XY 2D,
on doit avoir une transition Kosterlitz-Thouless (KT) à TKT = (π/2)ρS /kB .
L’essence de cette transition est l’ionisation (dissociation) des paires de vortex. Dans notre cas, le groupe de symétrie du paramètre d’ordre est U(1),
mais la direction du pseudo-spin nest pas confinée au plan xy si bien que le
vortex de pseudo-spin est un « méron », qui peut être considéré comme un
demi-skyrmion (voir chap. 8, et la figure 9.8.
Le paramètre d’ordre du système en présence d’un vortex à l’origine a la
forme approximative
n p
o
p
m = ± 1 − m2z cos θ, 1 − m2z sin θ, mz (r) ,
(9.27)
Superfluidité excitonique
169
Q=+1/2
v=+1
Q=+1/2
v=−1
Q=−1/2
v=+1
Q=−1/2
v=−1
Fig. 9.8 – Avec deux possibilités pour le choix de vorticité v = ±1, et deux possibilités
pour l’orientation du pseudo-spin au cœur du vortex (charge topologique Q = ±1/2), les
mérons ont quatre « saveurs » possible.
où le signe ± se réfère au sens de la vorticité, droite ou gauche, respectivement, et θ est l’angle azimuthal du vecteur position r. A grande distance du
centre du méron, mz (r) tend vers zéro, pour minimiser l’énergie capacitive.
Cependant, au cœur du vortex, il faut que mz = ±1, mx = my = 0, pour
éviter une sigularité, coûteuse en énergie d’échange.
La charge topologique locale est calculée à partir de la densité de Pontriaguine [voir l’équation (8.26)]
δρ = −
1 ij
(∂i m × ∂j m) · m.
8π
Avec l’expression (9.27), cette densité s’écrit
δρ(r) =
1 dmz
.
4πr dr
R
La charge totale est Q = d2 rδρ(r) = [mz (∞) − mz (0)]. Pour un méron,
le spin au cœur pointe vers le haut ou vers le bas, et se rabat sur le plan
lorsqu’il s’en éloigne. A grande distance, les spins sont dans le plan xy. La
charge topologique est donc ±1/2 suivant la polarité du spin au cœur.
Le résultat général pour la charge topologique est
Q=
1
[mz (∞) − mz (0)] nv
2
(9.28)
170
Les bicouches d’effet Hall quantique
où nv est le nombre d’enroulement du vortex. La charge électrique est ±νe/2,
la moitié de celle d’un skyrmion, ce qui corrobore l’image qu’un méron en
termes de demi-skyrmion, evoquée plus haut.
On peut écrire des fonctions d’onde variationnelles pour les mérons. La
plus simple est
!
M
Y
c†m,↑ + c†m+1,↓
ψnv =+1,−1/2 =
√
|0i .
(9.29)
2
m=0
Dans cette expression, c†m,↑(↓) crée un électron dans la couche ↑ (↓), dans
l’état de moment angulaire m dans le plus bas NL, et M est le moment
correspondant au bord de l’échantillon. La vorticité est +1, car loin du cœur
le spineur est
iθ √
e
,
χ(θ) = (1/ 2)
1
où θ est l’angle polaire du vecteur r. La charge est −1/2 parce qu’on a créé
un trou au centre, dans la couche ↓ : tous les états ont une occupation 1/2,
sauf m = 0 qui est vide. On peut changer la charge du méron sans changer
la vorticité, comme on le voit sur la fonctions d’onde
!
†
†
M
Y
c
+
c
m,↑
ψnv =+1,+1/2 = c†
√ m+1,↓ |0i .
0,↓
2
m=0
Cet état a une charge +1/2, car nous avons créé un électron dans l’état m = 0
dans la couche ↓.
Il est instructif d’examiner une fonction d’onde de paire de mérons, pour
vérifier qu’un méron est un demi-skyrmion. Examinons le cas d’une paire de
mérons de vorticités opposées, mais de même charge, situés aux points z̄1 et
z̄2 . La fonction d’onde suivante semble répondre à notre demande,
Y 1 eiφ (zj − z̄1 ) √
Φf erro ,
(9.30)
ψλ =
(zj − z̄2 )
2
j
j
où φ est ici un angle arbitraire et ()j est un spineur pour la particule j.
À grande distance de z̄1 et z̄2 , le spineur pour chaque particule devient
iφ e
,
(9.31)
zj
1
Superfluidité excitonique
171
ce qui correspond à une orientation de spin fixe dans le plan xy, avec un
angle φ avec l’axe x. La vorticité de la paire de méron est donc nulle. Par
construction, l’orientation du spin est purement ↑ pour un électron en z̄2
, et purement ↓ pour un électron en z̄1 . De plus, la charge nette doit être
νe puisque, asymptotiquement, le facteur zj est le même que pour la quasi
particule de Laughlin dans un état polarisé de spin. Par symétrie, on pourrait
penser qu’il y a une charge moitié, νe/2, associée à chacun des objets localisés
près de z̄1 ou z̄2 .
En fait la fonction d’onde (9.30) n’est qu’une autre représentation d’un
skyrmion ! Choisissons z̄1 = λ et z̄2 = −λ, et supposons, pour faire simple,
que l’orientation asymptotique des spins est dans la direction x si bien que
φ = 0. Maintenant effectuons une rotation globale de tous les spins, autour
de l’axe ŷ, d’un angle −π/2. En utilisant
π 1 zj − λ
y
,
exp i σ √
4
2 zj + λ
on trouve la fonction d’onde variationnelle d’un skyrmion. La fonction précédente est adaptée à la symétrie U(1) puisqu’elle décrit des spins orientés
principalement dans le plan xy.
9.5.3
Transition de Kosterlitz-Thouless
La présence de défauts topologiques de type vortex peut détruire la cohérence
de phase XY du fondamental. Ceci peut se produire à température nulle, à
cause des fluctuations quantiques, si la distance entre couches excède une
distance critique d∗ . Ici, on va s’intéresser aux effets thermiques.
Le modèle effectif à température finie est donné par l’expression
Z
ρS
E=
d2 r |∇φ|2 .
2
Pour les valeurs expérimentales typiques des paramètres ans les bicouches
d’AsGa, l’estimation Hartree-Fock de ρS est de 0, 1 à 0, 5K.
La transition de Kosterlitz-Thouless est due à l’ionisation des vortex dans
le modèle XY , à une température TKT approximativement donnée par la
raideur d’échange ρS . Les vortex libres entraı̂nent la renormalisation brusque,
discontinue, à zéro, de la raideur déchange à TKT . L’action classique mène à
une interaction logarithmique entre vortex.
172
Les bicouches d’effet Hall quantique
Un gaz de mérons a une énergie de la forme
E = M Ecœur − 2πρS
M
X
i<j
ni nj ln
Rij
Rcœur
+
M
X
i<j
qi qj
e2
,
4Rij
(9.32)
où Ecœur est l’énergie de cœur d’un méron, Rcœur sa taille, et Rij est la
séparation entre le i-ème et le j-ème méron. Le dernier terme est nouveau.
Il est spécifique de la physique des bicouches d’EHQ. Il est dû aux interactions coulombiennes entre les charges fractionnaires des mérons. qi = ±1 est
le signe de la charge électrique (±e/2) du i-ème méron. L’origine du terme
logarithmique n’est pas, comme pour la supraconductivité l’énergie cinétique
stockée dans les supercourants. Elle provient de l’énergie d’échange perdue
par les gradients de la phase associés aux vortex. Comme l’interaction de
Coulomb décroı̂t plus vite que les interactions logarithmiques, elle est non
pertinente à TKT . Elle peut entraı̂ner un déplacement de TKT , mais la transition n’est pas qualitativement affectée. Cependant, le diagramme de phase
devient très riche, avec l’apparition de phase chirales, avec un paramètre
d’ordre hni qi i où vorticité et charge électrique ne sont plus indépendantes
[100].
9.5.4
Effet du terme tunnel inter-couches
On l’a vu, un terme tunnel fini t entre les couches brise la symétrie U(1)
du hamiltonien,
Z
ρ t
s
2
Hef f = d r
|∇φ|2 −
cos φ .
(9.33)
2
2πρ2
Pour une valeur de t finie, le mode collectif acquiert une masse (comme le
gap Zeeman pour les ondes de spin en présence d’un champ magnétique
extérieur). Les fluctuations quantiques en sont atténuées, ce qui explique la
courbure vers le haut de la ligne de transition du diagramme de phase.
Le terme tunnel, parce qu’il brise la symétrie U(1), et parce qu’il rend
les configurations de paires de vortex coûteuses énergétiquement, détruit la
transition TKT . Pour abaisser l’énergie, le système distord les déviations de
spin en parois de domaines, ou cordes, qui connectent les cœur de vortex,
comme sur la figure 9.9. Les spins sont orientés dans la direction x imposée
par le terme tunnel, partout, sauf dans la région de la paroi, où ils tournent
rapidement de 2π. La paroi a une énergie proportionnelle à sa longueur Λ,
Superfluidité excitonique
173
v=−1
ξ
Λ
v=+1
Fig. 9.9 – En présence d’un terme tunnel inter-couches, les paires de mérons, de vorticité
opposée, sont liées par des parois, ou cordes de longueur Λ et d’une largeur caractéristique
ξ. Le potentiel de confinement des mérons est linéaire en Λ.
174
Les bicouches d’effet Hall quantique
si bien que les vortex sont confinés par une énergie de ligne (linéaire en
distance), plutôt que logarithmique. Cela ressemble, en physique des hautes
énergies, au confinement des quarks dans les particules élémentaires comme
les hadrons est les mesons. On peut estimer la tension de ligne en examinant
l’énergie d’une paroi de domaine de longueur infinie. La forme optimale pour
une paroi de domaine parallèle à l’axe y est donnée par
x
φ(r) = 2 arcsin tanh
,
(9.34)
ξ
2
où la largeur caractéristique de la paroi est ξ = (2πlB
ρS /t)
ligne est donc (voir [101])
tρS
T0 = 8
2
2πlB
1/2
=
8ρS
.
ξ
1/2
. La tension de
(9.35)
Si la paroi est assez longue (R ξ), l’énergie totale du segment de longueur
R sera approximativement
Epaire
e2
+ T0 R.
= 2Ecœur +
4R
(9.36)
En minimisant, on conclut que Epaire est optimale pour R = R00 = (e2 /4T0 )1/2 ,
d’où
2 1/2
e T0
0
Epaire = 2Ecœur +
.
Ainsi, à part les énergies de cœur des mérons, le gap de charge à d fixée (donc
1/2
1/4
à ρS fixé), est proportionnel à T0 ∝ t1/4 ∼ ∆SAS . Ceci contraste avec le
cas des électrons libres. L’exposant 1/4 est petit : il y a augmentation rapide
du gap de charge dès que l’effet tunnel n’est pas négligeable. Le régime de
passage entre la texture de pseudo-spin de paires de mérons et la texture de
parois de domaines s’établit autour d’une valeur finie de t.
9.5.5
Effets combinés d’un terme tunnel entre couches
et d’un champ Bk
Nous avons vu qu’en présence d’un champ Bk , on a un potentiel vecteur A = (0, 0, Az|| = Bx), où z est la direction perpendiculaire au plan
Superfluidité excitonique
175
des couches. L’équation (9.7) montre que le terme tunnel est affecté par ce
champ : à la place d’une phase constante φ = 0 (allignement le long l’axe x,
comme on l’a vu dans la section 9.3), on trouve une phase qui varie spatialement, φ → φ − Qx. Le terme tunnel entre donc en conflit avec le terme de
raideur d’échange, puisque ce dernier veut maintenir une aimantation uniforme, tandis que le terme tunnel veut faire tourner l’aimantation, lorsque
Bk 6= 0,
Z St
2
H=
ρS |∇φ| −
cos(φ − Qx) d2 r .
(9.37)
2
2πlB
Ce hamiltonien, connu dans la physique des transitions commensurableincommensurable à 2D (hamiltonien de Pokrovski-Talapov) décrit deux phases
différentes suivant les valeurs relatives de ρS et Q.
Si Q → 0, l’énergie est minimisée par une phase φ = Qx, la perte d’énergie
d’échange étant ρS Q2 . On a alors un état commensurable : pour tout x, la
phase du paramètre d’ordre se cale au minimum du potentiel périodique.
Lorsque Q augmente, il n’est plus possible de minimiser le terme périodique
par une variation linéaire de la phase, qui coûte trop chère en énergie d’échange.
Le conflit entre les deux termes se résout par l’apparition de défauts de
phase, des solitons, qui concrétisent le compromis entre l’énergie « élastique »
(terme d’échange) et l’énergie potentielle (terme tunnel sinusoı̈dal. A la li~ ∼ 0 et la valeur moyenne de cos(φ−Qx) s’annule. Avec l’apparition
mite, ∇φ
de défauts topologiques, pour une valeur critique Bkc du champ, il y a une
transition commensurable-incommensurable, dans un environnement 2D avec
anisotropie uniaxiale.
A température nulle, la valeur critique est
Bkc = B⊥
2lB 2t 1/2
.
πd πρS
Avec ∆SAS = 0, 45K, on trouve Bkc ≈ 1, 3T, ce qui est légèrement supérieur
à la valeur observée de 0, 8T, mais toujours pour une valeur grande de Lk .
Dans la phase commensurable, le paramètre d’ordre tourne de plus en
plus rapidement lorsque Bk augmente, puisque φ = Qx. Dans la phase incommensurable, l’état du système devient à peu près indépendant de Bk ,
ce qui fait que le gap d’excitation sature à une valeur fixe. En présence du
terme tunnel, les excitations chargées de plus basse énergie sont des paires
de mérons de vorticités opposées et de charges égales (soit ±1/2), connectées
par une paroi de domaine avec une tension de ligne constante. Pour Bk = 0,
176
Les bicouches d’effet Hall quantique
l’énergie est indépendante de l’orientation de la paroi. L’effet de Bk se voit
plus clairement en changeant de variable. Posons ϕ(r) = φ(r) − Qx. Cette
variable est une constante dans la phase commensurable, mais pas dans la
phase incommensurable. En termes de cette nouvelle variable, le hamiltonien
devient
Z
ρS t
2
2
2
cos ϕ .
(9.38)
H= dr
(∂x ϕ + Q) + (∂y ϕ) −
2
2
2πlB
Ainsi Bk définit une direction préférée du problème. Les parois de domaine
vont s’aligner dans cette direction et contiennent un déphasage, en terme de
ϕ, avec un signe préféré (négatif pour Q > O).
On peut montrer que l’énergie par unité de longueur du soliton (de la
paroi), c’est à dire la tension de ligne, décroı̂t linéairement avec Q, donc avec
Bk , soit
!
Bk
T = T0 1 − ∗ ,
Bk
où T0 est donnée par l’équation (9.35). Il y a transition lorsque T devient
négative. On a vu dans la section 9.5.5 que le gap d’excitation de charge est
donnéppar l’énergie d’une paire de vortex séparée par la distance optimale
R = e2 /4T . L’équation (9.36) pour l’énergie d’une paire de mérons est
également affectée par la renormalisation de T0 , ce qui donne
Epaire ' 2Ecœur +
r
"
#1/2
Bk
e 2 T0
1− ∗
.
Bk
On voit donc que, lorsque Bk augmente, la tension de ligne diminue et la
ligne s’étire donc ce qui est à l’origine d’un abiassement de l’énergi. Loin
du côté de la phase incommensurable, le terme tunnel entre couches devient
négligeable. On en déduit que le rapport entre le gap de charge à Bk = 0 et
celui lorsque Bk → ∞ devrait être à peu près
t 1/4 (e2 /lB )1/2 t1/4
∆0
.
'
=
3/4
∆∞
tcr
8ρS
En utilisant les valeurs typiques de t et ρS , l’expression précédente donne des
rapports variant entre 1, 5 et 7, en accord qualitatif avec les expériences.
Superfluidité excitonique
9.5.6
177
Effet d’une différence de potentiel entre couches
Examinons le courant tunnel en présence d’une différence de potentiel
entre couches. Le courant tunnel total est
Z
It ∝ et d2 r ei[φ(r)+iQx] − e−i[φ(r)+Qx]
(9.39)
= F eiφ(r) qy =0,qx =Q − F e−iφ(r) qy =0,qx =−Q
(9.40)
où F {f (r)}|q est la transformé de Fourier 2D de f (r) au vecteur d’onde q.
Les résultats expérimentaux montrent qu’en présence d’une tension entre
couches, le courant tunnel est nul à tension nulle. On peut donc calculer le
courant de façon perturbative. Au deuxième ordre en terme tunnel t, on a
It (V ) =
2πet2 L2
[S(Q, eV ) − S(−Q, −eV )] .
h̄
(9.41)
où S(q, h̄ω) est la densité spectrale des fluctuations de l’opérateur eiφ au vecteur d’onde q et à la fréquence ω, c’est à dire la transformée de heiφ(r,t) e−iφ(0,0) i.
Il s’ensuit une prédiction frappante : lorsque le désordre est faible, la densité
spectrale et donc It (V ) exhibent un pic centré sur
eV = h̄ωQ .
Ainsi lorsqu’on fait varier le champ parallèle Bk , le pic de la conductance tunnel se déplace en reflétant la dispersion du mode collectif à basse énergie. Le
champ parallèle ne permet de processus tunnel qu’entre des états qui diffèrent
par l’impulsion Q. La conservation de l’énergie impose que les énergies de
ces états diffèrent de eV . C’est ce qu’a confirmé l’expérience [102]. Voir les
figures 9.10,et 9.11. Une expérience de transport permet ainsi de mesurer
directement la relation de dispersion, trouvée linéaire en qcomme le prédit la
théorie.
178
Les bicouches d’effet Hall quantique
2.5
1.5
-7
-1
10 Ω
-6
-1
dI/dV (10 Ω )
2.0
-200
0
200
V (µV)
1.0
B|| = 0
0.5
B|| = 0.6T
0.0
-200
0
200
V (µV)
Fig. 9.10 – Expérience de Spielman et coll. [102]. Le courant tunnel en présence d’un
champ parallèle Bk présente un pic qui mesure la relation de dispersion du mode collectif
de la phase superfluide. La figure montre la conductance tunnel à T = 25mK et pour un
densité électronique de 5, 2 × 1010 cm−2 , pour une série des valeurs du champ magnétique
parallèle variant entre Bk = 0 et 0, 6T. La figure insérée est un agrandissement des courbes
pour des valeurs de Bk entre 0, 07 et 0, 35T. Les points indiquent la position des résonances
satellites pour dI/dV .
Superfluidité excitonique
179
eV* (meV)
0.2
0.1
0
0
10
20
6
30
-1
q (10 m )
Fig. 9.11 – Expérience de Spielman et coll. [102]. Energie eV ∗ , des pics de résonance
en fonction du vecteur d’onde q = eBk d/h̄ observés en présence d’un champ magnétique
parallèle, pour des densités électroniques différentes (croix : nel = 6, 4×1010cm−2 ; carrés :
nel = 6, 0 × 1010 cm−2 ; points noirs : nel = 5, 2 × 1010 cm−2 . La ligne en pointillé est une
estimation théorique de Girvin pour la relation de dispersion du mode de Goldstone pour
q petit [81]. La ligne continue est un support pour l’œil, et correspond à une vitesse du
mode collectif de 1, 4 × 104 m/s.
180
Les bicouches d’effet Hall quantique
Chapitre 10
Le graphène et l’effet Hall
quantique relativiste
Depuis quelques années, les composés à base de carbone sont devenus
un enjeu majeur, à la fois pour la technologie électronique et pour la recherche fondamentale : au-delà de ses formes 3D (graphite ou diamant),
largement étudiées depuis le début du traitement quantique des solides, il
existe également sous forme 1D, avec les nanotubes de carbone, ou 0D – les
fularènes. Ainsi, les nanotubes sont aujourd’hui un système modèle pour tester expérimentalement l’électrodynamique et le transport électronique 1D,
dont l’étude était pendant très longtemps confiné à la physique théorique.
Ce n’est que depuis 2004 qu’on a à disposition également sa forme 2D, le
graphène, et qu’on réussit à fabriquer de bons contacts électriques à une ou
quelques feuilles de graphène. C’est d’autant plus surprenant que le graphite même est un système en couches, où les feuilles de graphène empilées sont faiblement liées, alors qu’une feuille de graphène était considérée
mécaniquement instable : on s’attend à ce qu’elle se distorde afin de former un nanotube de carbone. Néanmoins, il est aujourd’hui techniquement
possible d’extraire par la technique d’exfoliation quelques monocouches de
graphène à partir d’un cristal de graphite pyrolithique, de les déposer sur un
substrat (semiconducteur) comme le silicium et de les contacter soit par des
contacts ohmiques ou même supraconducteurs.
Dans l’étude du graphène, l’effet Hall quantique joue également un rôle
central, notamment pour la mise en évidence du caractère relativiste des
électrons dans le graphène. En effet, dû à la structure de bande particulière,
les électrons peuvent être considérés comme des fermions sans masse, avec
181
182
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
une dispersion linéaire, se propageant à la vitesse de Fermi, qui peut ici être
considérée comme la vitesse de la lumière. Cet effet Hall quantique relativiste
– une particularité de l’électrodynamique quantique à deux dimensions [103]
– est le sujet de ce chapitre. Sa découverte très récente en 2005 [104, 105], anticipée par dans des travaux théoriques [106, 107], a déclenché une avalanche
d’intérêt pour ce composé, et le sujet ne semble, à l’heure actuelle, pas clos.
Nous courons donc un risque d’inclure ce chapitre dans le présent cours,
en abordant un sujet de recherche aussi jeune dont les connaissances changent
rapidement. En revanche, ne pas arborder la problématique passionnante du
graphène et de l’effet Hall quantique relativiste nous semblerait un oubli
d’autant plus critiquable. Nous nous excusons donc d’avance pour le caractère elliptique de ce chaptitre – beaucoup de sujets intéressants resterons
à l’écart, comme les questions plutôt « mésoscopique » des états de bord
dans le graphène (sans ou avec champ magnétique), du bruit quantique et
de la localisation. On se limitera à une introduction au sujet, commençant
par le calcul de bande des électrons sans champ magnétique et leur limite
continue (de basse énergie), avant de les traiter sous l’influence d’un champ.
Nous terminerons ce chapitre avec une brève discussion du modèle d’électrons
en interaction lorsque leur dynamique est restreinte à un NL relativiste, en
comparaison avec le cas non relativiste présenté dans la section 4.1.
10.1
Modèle de liaisons fortes – sans champ
Dans le graphène, la forme 2D du graphite, les atomes de carbone sont
arrangés dans un réseau de nid d’abeille, qui consiste en deux sous-réseaux
triangulaires qui s’interpénètrent (figure 10.1). Les trois plus proches voisins
d’un site choisi sur le sous-réseau A sont tous sur le sous-réseaux B, et leurs
coordinations sont données par les trois vecteurs
a √
e1 =
3ex + ey ,
2
a √
e2 =
− 3ex + ey
2
et
e3 = −aey ,
(10.1)
où a ∼ 0, 14nm est la distance entre les plus proches voisins. Les vecteurs de
base du réseaux de Bravais triangulaire sont
√ √
√ 3a
τ 1 = 3aex
et
τ2 =
ex + 3ey .
(10.2)
2
Modèle de liaisons fortes – sans champ
183
τ2
τ1
e2
e1
e3
: sous−réseau A
: sous−réseau B
Fig. 10.1 – Le réseau de nid d’abeille a deux sous-réseaux triangulaires, A et B. Les
vecteurs τ i (flèches noires) forment la maille élémentaire du réseau triangulaire, et les
vecteurs ej (flèches grises) sont les coordinations des plus proches voisins d’un site sur le
sous-réseau B.
Son réseau réciproque est à nouveau un réseau triangulaire avec les vecteurs
4π
ey
2π
g1 = √ e y
ex − √ .
(10.3)
et
g2 = √
3a
3a
3
La première zone de Brillouin (1BZ) a une forme hexagonale, avec deux
points, K et K 0 , inéquivalents au bord, qui ne sont pas liés par des vecteurs√du
réseau réciproque (figure 10.2). On associe les vecteurs K± = ±4πex /3 3a
respectivement aux points K et K 0 . Ces considérations géométriques nous
servirons pour la discussion de la structure de bande des électrons dans le
graphène.
En l’absence d’un champ magnétique, les principales propriétés électroniques
peuvent se comprendre dans le cadre du modèle de liaisons fortes,
H = −t
(†)
3 XX
i∈A j=1
a†Ri bRi +ej + b†Ri +ej aRi ,
(10.4)
(†)
où aRi annihile (crée) un électron au vecteur Ri du sous-réseau A et bRi +ej
en annihile (crée) un au vecteur Ri + ej du sous-réseau B. Le paramètre de
saut t ∼ 2, 7eV est dû au recouvrement entre fonctions d’onde sur des sites
voisins. Notons que ce modèle est déjà une approximation de la structure de
184
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
g1
K’
K
g2
Fig. 10.2 – La première zone de Brillouin est un hexagone, dont les points K et K 0 au
bord sont inéquivalents. Les autres points équivalents s’obtiennent à partir de K et K 0
par une translation s’un vecteur du réseau réciproque, G = γ1 g1 + γ2 g2 , avec les entiers
γ1 , γ2 .
bande – le recouvrement entre deuxièmes plus proches voisins donne lieu à
un paramètre t0 ∼ 0, 1t qui n’est pas négligeable par rapport à t. Il n’affecte
pourtant la dispersion d’énergie qu’à « haute » énergie (∼ 102 meV) et ne
figure donc pas dans le modèle à basse énergie qui nous intéressera dans la
suite [107].
La dispersion d’énergie du modèle (10.4) s’obtient par la transformation
de Fourier discrète
X
X
e−iq·Ri aq
et
bRi +ej =
e−iq·(Ri +ej ) bq ,
a Ri =
q
q
à l’aide de laquelle le modèle s’écrit
X
aq
†
†
a q , b q Hq
H=
,
bq
(10.5)
q
où la matrice hamiltonienne est donnée par
X
0
h(q)
Hq =
,
avec
h(q)
≡
−t
eiq·ej .
h(q)∗
0
j
(10.6)
Modèle de liaisons fortes – sans champ
185
En termes de matrices de Pauli,
0 −i
0 1
y
x
,
τ =
τ =
i 0
1 0
et
z
τ =
1 0
0 −1
la matrice hamiltonienne se ré-écrit sous la forme compacte
X
Hq = −t
[cos(q · ej )τ x + sin(q · ej )τ y ] .
,
(10.7)
j
Sa diagonalisation fournit les valeurs propres, la dispersion d’énergie,
v"
#2 "
#2
u
u X
X
εq = ± t
cos(q · ej ) +
sin(q · ej ) ,
(10.8)
j
j
où le signe + désigne la branche positive (« d’électrons ») et − la branche
négative (« de trous ») de la dispersion. La figure 10.3(a) montre l’allure de
la dispersion d’énergie. Les vecteurs propres associés sont
1
±e−iϕ(q)
,
(10.9)
ψ± (q) = √
1
2
où l’angle ϕ est donné par l’équation
P
j sin(q · ej )
tan ϕ(q) = P
.
j cos(q · ej )
La forme (10.6) de la matrice hamiltonienne est particulièrement bien
adaptée pour analyser la symétrie particule-trou dans le modèle, révélée par
la transformation unitaire à l’aide de la matrice τ z . Comme τ z τ µ τ z = −τ µ ,
pour µ = x, y, on a également
τ z Hq τ z = −Hq
⇒
Hq (τ z ψ± (q)) = ∓εq (τ z ψ± (q)) .
(10.10)
Le dernier pas indique que τ z ψ± (q) est un état propre de Hq si ψ± (q) en est
un, avec une énergie de signe opposé, et alors
τ z ψ± (q) = −ψ∓ (q).
(10.11)
On obtient donc un état d’énergie négative (un trou) à l’aide de l’application
de τ z sur un état d’énergie positive (un électron), au même vecteur d’onde q,
186
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
2
0
-2
2
énergie
électrons
K
K’
0
K
K’
K’
-2
kx
K
ky
trous
2
0
ky
(a)
-2
kx
i
i
α=+
α=−
(b)
Fig. 10.3 – (a) Dispersion d’énergie (10.8) du modèle de liaisons fortes. Les bandes
de conduction et de valence se touchent aux points K et K 0 . (b) Etats d’énergie nulle.
Lorsqu’on tourne autour d’un site i, en explorant les sites voisins situés sur l’autre sousréseau, les phases (representées par des spin XY ) sont déterminées par une chiralité α = ±.
et vice versa. Le modèle perd cette symétrie lorsqu’on y ajoute un terme proportionnel à τ z , qui signifierait par exemple un potentiel chimique différent
sur les sites des deux sous-réseaux différents, comme cela peut être le cas
pour une distortion spontanée du réseau [108]. Parce que sous la transformation unitaire on a τ z τ z τ z = τ z , l’équation (10.10) n’est plus satisfaite, et
chaque état propre aurait des composantes à la fois de la branche positive et
négative.
Une particularité du modèle (10.4) est la présence d’états d’énergie nulle.
Il y a deux façons de les mettre en évidence :
(1) pour un tel état |ψ0 i, on a P
H|ψ0 i = 0 par définition. Cette condition est
satisfaite par exemple lorsque 3j=1 bRi +ej |ψ0 ii = 0, pour tout site i, où la
10.2. LIMITE CONTINUE – MODÈLE DE BASSE ÉNERGIE
187
somme porte sur les sites voisins de i.1 Si l’on suppose la même amplitude
|b|, et donc bRi +ej = |b| exp(iφj ), pour les sites voisins de i, cet état peut être
caractérisé par la condition
3
X
j=1
e
iφj
=0⇔
3
X
φj = 0 mod 2π.
j=1
Ce n’est autre chose qu’un spin XY qui ne peut étre orienté dans trois
directions différentes, φ = 0, ±2π/3, et la condition impose une chiralité,
α = ± à ces spin lorsqu’on tourne autour du site i [voir figure 10.3(b)].
Cela implique de plus une double dégénérescence, caractérisée par le nombre
quantique α = ±, de l’état d’énergie nulle.
(2) Cette double dégénérescence s’obtient également lorsqu’on regarde la dispersion d’énergie
les états d’énergie nulle, on a évidemment
P (10.8). Pour P
εq = 0 ⇒
sin(q
·
e
)
=
j
j
j cos(q · ej ) = 0, ce qui a pour solution
√
q = K± = 4πez /3 3a, c’est à dire la dispersion s’annule exactement aux
deux points inéquivalents K et K 0 du bord de la 1ZB [voir la figure 10.3(b)],
d’où la double dégénérescence.
10.2
Limite continue – modèle de basse énergie
Lorsqu’on s’intéresse à une théorie des excitations de basse énergie, avec
des échelles d’énergie pertinentes E nettement inférieures à t ∼ 2, 7eV, on
peut faire un développement de la dispersion d’énergie (10.8) autour des
points K et K 0 . C’est le cas par exemple en l’absence d’un dopage important (un potentiel chimique qui ne satisfassent pas la condition µ t), le
potentiel chimique se trouve au voisinage de l’énergie nulle, et la surface de
Fermi se rétrécit aux points K et K 0 quand µ → 0. En même temps, la densité d’états s’annule linéairement en première approximation, et les électrons
dans le graphene ressemblent donc à un semi-métal. Pour obtenir la limite
continue du modèle, qui décrit la physique de basse énergie, on développe
donc les vecteurs d’onde autour de K± , q = K± + κ, ce qui est une bonne
approximation si |κ| 1/a. Nous vérifierons cette condition plus tard pour
tester la cohérence du modèle de basse énergie.2
1
On aurait évidemment pu faire le même raisonnement pour un site de l’autre sousréseau.
2
Notons que la condition de la limite continue |κ| 1/a n’équivaut pas nécessairement
à la condition E t pour le modèle de basse énergie si la structure de bande a des
188
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
Dans cette limite, on peut développer l’exponentielle dans l’expression
(10.6),
X
X ±
h(q) = −t
eiq·ej ' −t
eiK ·ej (1 + iκ · ej )
j
= −it
=
j
X
e
iK± ·e
j
j
κ · ej
3
ta (±κx + iκy ) + O(a2 ),
2
(10.12)
P
où nous avons utilisé la condition d’énergie nulle, j exp(iK± · ej ) = 0 dans
la deuxième ligne, et nous négligeons des termes d’ordre O(a2 ). Cela mène à
la matrice hamiltonienne effective
3
3
0
ακx + iκy
ef f
= ta(ακx τ x − κy τ y ). (10.13)
Hα=± (κ) = ta
ακ
−
iκ
2
2
x
y
Notons que, contrairement au modèle de départ, l’indice α peut être interprété comme un degré de liberté interne, ce qui est dû au fait qu’on a
deux points cristallographiquement inéquivalents, K et K 0 , autour desquels
on a développé le hamiltonien. On se retrouve donc strictu sensu avec deux
hamiltoniens effectivs. Aussi le caractère chiral devient plus évident dans
l’équation (10.13) lorsqu’on représente les vecteurs d’onde κ dans le plan
complexe.
La diagonalisation de la matrice hamiltonienne (10.13) donne la dispersion d’énergie autour des points K et K 0 ,
3
α=±
ε±
(κ) = ± ta|κ| = ±h̄vF |κ|,
2
(10.14)
en termes de la vitesse de Fermi
vF =
3ta
.
2h̄
(10.15)
Cette dispersion d’énergie est dégénérée par rapport à la chiralité α, et nous
insistons sur le fait que l’indice d’en bas ± n’est pas liée à cette chiralité – il
désigne les deux branches d’énergie, positive et négative, qu’on obtient pour
les deux chiralités. La forme (10.13) révèle de plus le caractére relativiste des
pathologies. Heureusement, ce n’est pas le cas ici, comme on le verra plus tard.
10.3. LIMITE CONTINUE AVEC CHAMP MAGNÉTIQUE
189
excitations de basse énergie : c’est en effet le hamiltonien de Weil pour des
particules relativistes sans masse, et l’on peut même l’écrire de façon plus
concise, pour les deux chiralités à la fois, à l’aide des matrices 4 × 4, γ µ ,
connues dans le cadre de la mécanique quantique relativiste et de la théorie
quantique des champs [109]. Dans cette analogie, la vitesse de Fermi vF joue
le rôle de la vitesse de la lumière, et les points K et K 0 sont aussi appelés
« points de Dirac ».
Comme on l’a indiqué plus haut, le modèle effectif décrit correctement les
propriétés électroniques du système à basse énergie lorsque toutes les échelles
d’énergie pertinentes E – comme la température, le niveau d’impuretés, les
interactions et le potentiel chimique dû au dopage (modifié par exemple par
une tension de grille) – restent petites devant le paramètre t qui décrit la
largeur de bande. Dans le cas d’un potentiel chimique uniforme µ, on peut
y associer un vecteur d’onde de Fermi kF = µ/h̄vF . A l’aide de l’expression
(10.15), on trouve que la condition µ t équivaut à akF 1, ce qui
est précisément le domaine de validité de la limite continue qui justifie le
développement des vecteurs d’onde autour des points K et K 0 . Notons enfin
qu’on définit la densité des porteurs nel , induits par le potentiel chimique,
par rapport aux points de Dirac, c’est à dire le cas de la bande demi-rempli
correspond à nel = 0. C’est important pour la section suivante où l’on discute
les électrons dans le graphène sous champ magnétique fort.
10.3
Limite continue avec champ magnétique
La limite continue discutée dans la section précédente nous sert également
pour le cas des électrons exposés à un champ magnétique. De façon heuristique, on peut s’attendre à ce que le développement de la dispersion d’énergie
et la limite continue restent valables lorsque la longueur magnétique lB , induit par le champ magnétique, est grande devant la distance interatomique
a. C’est le cas dans toute situation expérimentale, comme on l’a déjà vu dans
l’introduction.
Pour inclure le champ magnétique dans le modèle effectif, on peut utiliser
la substitution de Peierls qui consiste à remplacer le vecteur d’onde κ par
l’opérateur p/h̄.3 Le deuxième pas consiste à introduire le champ magnétique
3
Cette substitution n’est pas anodine, car l’opérateur p est le moment conjugué d’un
opérateur position. La limite continue traite cette position comme une variable continue,
et les électrons « oublient » ainsi le fait qu’il sont en principe restreints à des sites du
190
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
via le couplage minimal, p → p + eA, discuté dans le chapitre 2. Ce pas est
problématique car il viole automatiquement la condition de la limite continue
– même si B/φ0 est petit devant 1/a2 (ce qui équivaut à lB a), le potentiel
vecteur qui intervient dans le couplage minimal ne l’est pas. Il dépend de la
position dans le plan – rappelons qu’on a A = B(−y, x, 0)/2 dans la jauge
symétrique – et la taille du système L reste l’échelle de longueur la plus
grande, L lB a. A la place de la procédure exquissée (substitution de
Peierls et couplage minimal), il faut, en principe, inclure le champ magnétique
dans le modèle originelle, le modèle de liaisons forte (10.4). C’est possible :
le paramètre de saut t acquiert une phase
Z
2πe Ri +ej
iφ(Ri ,ej )
t → te
,
avec
φ(Ri , ej ) =
A(r) · dr ,
h̄ Ri
lors du saut de Ri à Ri +ej . Ce modèle a été étudié dans le cadre du « papillon
de Hofstadter », ce qui désigne la jolie forme du spectre d’énergie, qui est
auto-similaire, en fonction du rapport entre le pas du réseau et la longueur
magnétique. La limite continue s’obtient pour les petites valeurs du champ
magnétique. Ici, nous ne discutons pas les détails de cette approche, mais
nous nous contentons du résultat qui coı̈ncide avec celui de l’approche plus
simple, qui consiste à introduire le couplage minimal après la substitution de
Peierls.
10.3.1
Niveaux de Landau relativistes
En utilisant les mêmes quantités (2.11) que dans la section 2.1,
Πx = px + eAx = −eBηy
et
Πy = py + eAy = eBηx ,
la matrice hamiltonienne en présence d’un champ magnétique s’écrit
HαB = vF (αΠx τ x − Πy τ y )
= vF eB (−αηy τ x − ηx τ y ) .
(10.16)
Comme on l’a vu dans la section 2.1, la quantification canonique impose des
règles de commutation aux variables cyclotrons ηx et ηy ,
[x, px ] = [y, py ] = ih̄
réseau.
⇒
2
[ηx , ηy ] = −ilB
,
Limite continue avec champ magnétique
191
ce qui permet
opérateurs
d’échelle (2.17), a et a† , avec ηx =
√ d’introduire les
√
†
†
lB (a + a)/ 2 et ηy = lB (a − a)/ 2i. En termes d’opérateurs d’échelle, la
matrice hamiltonienne s’écrit
h̄vF αi a† − a τ x − a† + a τ y
HαB = √
2lB
ih̄vF
0
α a† − a + a† + a
,
= √
†
†
0
2lB α a − a − a + a
d’où, de manière concise,
B
Hα=+
et
B
Hα=−
√ vF
0
= ih̄ 2
−a
lB
√ vF
0
= ih̄ 2
†
−a
lB
a†
0
a
0
(10.17)
.
(10.18)
√
La quantité 2vF /lB joue ici le rôle de la fréquence cyclotron ωC . Notons
qu’elle ne peut s’écrire sous la forme ωC = eB/m, comme pour le cas non
relativiste, parce que la masse des électrons a disparu des expressions.4
Ces matrices se diagonalisent de façon standard, et nous limitons la discussion au cas des électrons au point K (α = +) – celui des électrons à K 0
s’obtient par l’échange des opérateurs d’échelle a ↔ a† . Nous cherchons les
états propres de la matrice (10.17) sous la forme
un
ψn =
,
vn
B
à l’aide de l’équation aux valeurs propres, Hα=+
ψn = εn ψn , et donc
√ vF
ih̄ 2 a† vn = εn un
lB
√ vF
(10.19)
−ih̄ 2 a un = εn vn ,
lB
ce qui donne l’équation
h̄vF
2
lB
2
a† a un = ε2n un .
Certains
auteurs définissent parfois une « masse cyclotron » m∗ à l’aide de l’identifi√
cation 2vF /lB = eB/m∗ . Nous nous gardons d’utiliser cette quantité formelle qui n’a pas
de justification au vu du caractère relativiste des électrons sans masse dans le graphène.
4
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
énergie
(a)
0
n=4
n=3
n=2
n=1
n=0
champ magnétique B
(b)
énergie
192
2
1
0
densité d’états
n=−1
−1
n=−2
n=−3
n=−4
−2
Fig. 10.4 – Niveaux de Landau relativistes.√(a) En faisant varier le champ magnétique,
l’énergie des NL montre une dépendance de B. Le niveau n√
= 0√
reste√à l’énergie zéro,
tandis que l’espacement entre deux niveaux n et n0 varie comme B( n− n0 ). (b) Densité
d’états à B 6= 0. Chaque NL relativiste a la même dégénérescence, donnée par N B =
2
A/2πlB
pour celle associée aux centres de guidage, en plus de la quadruple dégénérescence
par état due aux degrés de libertés internes (chiralité et spin).
Cette dernière équation nous indique que un est un état propre de l’opérateur
n̂ = a† a, et l’on peut donc identifier un à l’état |ni habituel dans le cadre
des électrons non relativistes sous champ magnétique, un ∼ |ni. Cela nous
permet de trouver les niveaux d’énergie, les NL relativistes,
√ vF √
3ta √
n = ±√
eBn,
(10.20)
εn = ± 2h̄
lB
2h̄
où n est bien évidemment la valeur propre de n̂.
Les NL relativistes, contrairement au cas non relativiste, ne dépendent
donc pas linéairement
du champ magnétique et du nombre quantique n, mais
√
on a εn ∝ Bn (figure 10.4). Comme pour les électrons sans champ B, les
niveaux énergies se séparent en deux branches, une négative et une positive,
ce qui n’est pas lié au nombre quantique α de chiralité. La diagonalisation
B
de Hα=−
donne exactement le même spectre d’énergie (10.20).
√
On peut comprendre la dépendance inhabituelle εn ∝ Bn des NL relativistes à l’aide d’un argument portant sur la densité d’états. Supposons
que la densité d’états dépende de l’énergie de façon
ρ(ε) ∼ εκ .
R ε algébrique,
Dans ce cas, le nombre de porteurs s’écrit Nel = 0 dε0 ρ(ε0 ) ∼ εκ+1 . D’un
autre côté, nous savons que ce nombre, si ν = n, équivaut à Nel = nNB =
2
nA/2πlB
∝ nB, d’où
ε ∼ (nB)1/(κ+1) .
Limite continue avec champ magnétique
193
Pour les électrons non relativistes 2D, on a une densité d’états constante, i.
e. κ = 0, et l’on trouve donc le comportement habituel des NL, εnonrel ∼ nB.
Dans le cas relativiste, la densité d’états s’annule linéairement au voisinage
des points de Dirac, et κ = 1 nous fournit donc le spectre d’énergie εrel ∼
(nB)1/2 (10.20).
On peut calculer les états propres à l’aide des équations (10.19) et (10.20)
– on trouve (pour n > 0)
a
vn = ∓i √ un ∼ ∓i|n − 1i,
n
et alors pour α = +
α=+
ψ±n
1
=√
2
i|ni
±|n − 1i
,
(10.21)
où l’on a tenu compte de la normalisation du vecteur d’état. De la même
manière, on trouve pour la chiralité α = −
1
±|n − 1i
α=−
ψ±n = √
.
(10.22)
i|ni
2
Comme on l’a indiqué plus haut, cet état s’obtient également par un simple
échange des opérateurs d’échelle, ce qui révient à échanger les composantes
un ↔ v n .
Notons que les états (10.21) et (10.22) respectent automatiquement la
symétrie particule-trou (10.11), car
α
α
τ z ψ±n
= −ψ∓n
.
Le cas n = 0 est particulier – comme pour le cas sans champ magnétique,
il représente un mode d’énergie nulle, ce que l’on voit immédiatement dans
l’expression (10.20). C’est différent du cas non relativiste, où le NL n = 0
a l’énergie h̄ωC /2 6= 0, due au mouvement quantique inévitable de l’oscillateur harmonique « au repos ». L’équation aux valeurs propres s’écrit donc
α
HαB ψn=0
= 0, ce qui devient, pour α = +,
a un=0 = 0
et
a† vn=0 = 0.
(10.23)
A l’aide de la représentation des opérateurs d’échelle dans le plan complexe
(2.22),
∗
√
√
z
z
†
¯
+ lB ∂
et
a = 2
− lB ∂ ,
a= 2
2
4lB
4lB
194
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
les équations (10.23) deviennent des équations différentielles
2 ¯
2
z + 4lB
∂ un=0 (z, z ∗ ) = 0
et
z ∗ − 4lB
∂ vn=0 (z, z ∗ ) = 0,
qui ont les solutions
un=0 (z, z ∗ ) = f (z)e−|z|
et
vn=0 (z, z ∗ ) = g(z ∗ )e|z|
2 /4l2
B
2 /4l2
B
,
où f (z) est une fonction analytique et g(z ∗ ) une fonction anti-analytique.
Notons que vn=0 (z, z ∗ ) n’est normalisable que si g(z ∗ ) = 0. On a donc, pour
le niveau d’énergie nulle n = 0,
|n = 0i
0
α=+
α=−
ψn=0 =
et
ψn=0 =
,
0
|n = 0i
où la deuxième expression s’obtient aisement à l’aide de a ↔ a† , pour changer
entre les points K et K 0 .
10.3.2
Dégénérescences des niveaux relativistes
De la même manière que pour les électrons non relativistes dans un champ
magnétique, les NL relativistes sont hautement dégénérés. C’est lié au fait
que les composantes du centre de guidage, X = x − ηx et Y = y − ηy ,
commutent avec la matrice hamiltonienne,
X, HαB = Y, HαB = 0,
2
mais elle ne commutent pas entre elles, [X, Y ] = ilB
(voir la section 2.2).
Cela donne alors la même dégénérescence par NL relativiste, NB = AnB =
2
, que pour les électrons non relativistes, et la définition du facteur de
A/2πlB
α
remplissage reste inchangée, ν = nel /nB . Les états quantiques ψ±n
sont donc
à compléter par le nombre quantique m associé au centre de guidage,
α
α
ψ±n,m
≡ ψ±n
⊗ |mi,
ou, de manière explicite,
1
i|n, mi
α=+
,
ψ±n,m = √
2 ±|n − 1, mi
α=−
ψ±n,m
1
=√
2
±|n − 1, mi
i|n, mi
(10.24)
Limite continue avec champ magnétique
195
pour n > 0 et
α=+
ψn=0,m
=
|n = 0, mi
0
,
α=−
ψn=0,m
=
0
|n = 0, mi
(10.25)
pour n = 0. Nous rappelons que m varie entre 0 et NB − 1.
A part cette dégénérescence, les états sont dégénérés en raison des deux
degrés de liberté internes, le spin σ =↑, ↓ et l’indice de chiralité α = ±,
α,σ
ce qui donne une quadruple dégénérescence interne par état, ψ±n,m
, décrite
par une symétrie interne SU(4). La densité d’états par NL relativiste est
esquissée dans la figure 10.4(b). Notons que cette dégénérescence peut être
levée par différents mécanismes, le plus commun étant l’effet Zeeman qui lève
la dégénérescence de spin. Dans le cas de la chiralité, elle peut être levée par
des mécanismes affectant le réseau, comme par exemple des distortions [108].
Nous verrons plus loin (section 10.5) à quel point la symétrie SU(2) de la
chiralité reste préservée en tenant compte des interactions électroniques.
10.3.3
Vérification expérimentale
Les NL relativistes dans le graphène sous champ magnétique ont récemment
été mis en évidence dans des mesures de spectroscopie de transmission par
Sadowski et coll. [110]. L’échantillon consiste ici en quelques couches de
graphène déposées sur un substrat à base de silicium. Lorsque l’échantillon
est exposé à une irradiation monochromatique de fréquence ω, une partie de
la lumière est absorbée si sa fréquence coı̈ncide avec la différence d’énergie
des paires de NL relativistes, h̄ω = εn − εn0 = ∆εn,n0 , ce qui se traduit par
un abaissement local de la transmission relative en fonction de la fréquence.
La figure 10.5(a) montre un tel spectre à température T = 1, 9K pour un
champ magnétique de 0, 4T. On y remarque des résonances correspondant à
des transitions entre NL relativistes (transitions A, B, C et D).
Lorsqu’on fait varier le champ magnétique, les résonances se déplacent de
façon monotone [figure 10.5(b)], ce qui montre la dépendance des transitions
du champ B. La figure 10.5(c), où les énergies des résonances sont tracées
en fonction de B, montre la cette dépendance de façon quantitative. On y
voit
√ bien, pour les transitions B et C au moins, la dépendance ∆εn,n0 ∝
B, comme on s’y attend pour des NL relativistes [voir l’équation (10.20)].
Une comparaison avec les valeurs théoriques (10.20) permet d’identifier les
résonances aux transitions suivantes : la raie A correspond à la transition
ε1 → ε2 , B à ε0 → ε1 (ou ε−1 → ε0 qui a la même énergie), C à ε−1 → ε2
196
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
(a)
transition C
énergie [meV]
énergie de transmission [meV]
(c)
transmission relative
transmission relative
(b)
transition B
1/2
B
énergie [meV]
Fig. 10.5 – Expériences de Sadowski et coll. [110]. (a) Pour un champ magnétique fixe
de 0, 4T, on trouve des résonances dans le spectre de transmission en fonction de l’énergie
de l’irradiation. Les résonances sont associées à des transitions entre NL relativistes [transitions A, B (rouge), C (bleu) et D]. (b) Ces résonances se déplacent en variant le champ
magnétique.
(c) Lorsqu’on trace l’énergie des résonances en fonction de la racine du champ,
√
B, on observe une dépendance linéaire attendue pour les NL relativistes.
10.4. L’EFFET HALL QUANTIQUE RELATIVISTE
197
(ε−2 → ε1 ) et D à ε−3 → ε2 (ε−2 → ε3 ). La raie A pourrait, en principe,
également être due à la transition ε−2 → ε−1 , mais le potentiel chimique se
trouve, pour cette situation expérimentale au voisinage du niveau n = 0 et
1. Dans ce cas, les niveaux n < 0 sont pleins, et cette transition est ainsi
interdite.
10.4
L’effet Hall quantique relativiste
Avant les expériences de spectroscopie de Sadowski et coll. [110], la nature
relativiste des NL dans le graphène a été mise en evidence de manière indirecte avec l’observation d’un EHQE inhabituel, en 2005, par deux groupes
différents [104, 105]. La figure 10.6 montre les mesures de Zhang et coll.
[105]. On y observe la signature habituelle d’un EHQE, avec des paliers dans
la résistance de Hall accompagnés d’une résistance longitudinale nulle, lorsqu’on fait varier le champ magnétique [figure 10.6(a)]. Une tension de grille
est appliquée à l’échantillon afin d’obtenir une densité de porteurs finie. On
a vu dans le chapitre 3 qu’on peut comprendre l’effet dans le cadre de la localisation des électrons dans des NL partiellement remplis. Comme on peut,
dans le graphène, faire varier la densité des porteurs sur une large gamme à
l’aide d’une tension de grille, on peut également changer le facteur de remplissage entre −30 < ν < 30 environ, à un champ magnétique constant [figure
10.6(c)].
Ce qui est inhabituel dans ces résultats expérimentaux est la série des facteurs de remplissage pour lesquels on observe des plataux : au lieu d’obtenir
un EHQE à ν = 4n – le préfacteur 4 tient compte de la double dégénérescence
de chiralité ainsi que celle du spin qui n’est pas levée ici en raison d’un faible
effet Zeeman – on le trouve pour des facteurs de remplissage ν = ±2(2n + 1).
C’est précisément la signature d’un EHQE relativiste.
Cela se comprend à l’aide de la densité d’états dans le graphène [voir les
figures 10.4(b) et 10.6(b)] : contrairement au cas non relativiste, le plus bas
NL est demi-rempli en absence de porteurs, nel = 0 ou ν = 0. Ce n’est qu’à
ν = 2 qu’il est complètement rempli et qu’on est dans la situation typique
de l’EHQE, et l’on observe donc un palier. Comme la dégénérescence, en
l’absence d’un effet Zeeman, est 4NB pour tous les NL relativistes, les sauts
se font par des différences de remplissage de ∆ν = 4, et les autres paliers se
trouvent donc à ν = 2 + n∆ν = 2 + 4n = 2(2n + 1). Le même raisonnement
en termes de trous, nel < 0 donne la série ν = −2(2n + 1), et l’on trouve
198
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
densité d’états
Vg =15V
T=30mK
B=9T
T=1,6K
Fig. 10.6 – Expérience de Zhang et coll. [105]. (a) A une tension de grille constante
(Vg = 15V), la résistance de Hall mesurée dans une feuille de graphène montre la signature caractéristique de l’effet Hall quantique – des plateaux à certaines valeurs du champ
magnétique accompagnés d’une résistance longitudinale nulle. L’encadré montre le même
effet pour un gaz de trous, à une tension de grille Vg = −4V. (b) Esquisse de la densité
d’états. (c) Courbes de résistance, transverse et longitudinale, en fonction de la tension
de grille qui contrôle la densité des porteurs dans l’échantillon, à un champ magnétique
constant de 9T. Pour Vg > 0, on a un EHQE d’électrons et pour Vg < 0 un EHQE de
trous. L’encadré montre un aggrandissement de la résistance de Hall entre 20 et 80V.
10.5. MODÈLE D’ÉLECTRONS EN INTERACTION
199
alors l’EHQE relativiste à ν = ±2(2n + 1) = ±2, ±6, ±10, ..., comme il a été
observé dans les expériences [104, 105].
Une expérience à plus fort champ magnétique montre l’apparition de nouveaux plateaux dans la résistance de Hall à ν = 0, ±4 et ν = ±1 [111]. Tandis
que les EHQE à ν = 0, ±4 se comprennent facilement dans le cadre d’une
levée de dégénérescence de spin, celui à ν = ±1 est intriguant : il révèle
une levée de dégénérescence de la symétrie SU(2) associée à la chiralité α.
Une possible explication de cette levée de dégénérescence est la distortion du
réseau par un couplage au substrat : le potentiel chimique est ainsi différent
sur les deux sous-réseaux, et il est donc énergétiquement favorable pour les
électrons de n’en occuper qu’un seul. Comme, pour n = 0, les électrons au
point K (α = +) vivent seulement sur le sous-réseau A et ceux au point K 0
(α = −) seulement sur B [voir l’équation (10.25)], le potentiel chimique est
différent pour les deux chiralités, ce qui ouvre un gap d’énergie [108]. Cet
effet est absent dans les NL n 6= 0 où les états (10.24) sont repartis sur les
deux sous-réseaux avec un poids égal. Une autre explication possible est la
mise en place d’une cohérence de phase à ν = ±1, comme pour le cas du
ferromagnétisme (chapitre 8) ou le condensat d’excitons dans les bicouches
(chapitre 9), maintenant en termes de chiralité, ce qui est dû aux interactions,
objet de la section suivante.
10.5
Modèle d’électrons en interaction
Comme on l’a vu dans le chapitre 4, on peut restreindre la dynamique
des électrons de basse énergie à un seul niveau si ν 6= gn, où g est la
dégénérescence de chaque état |n, mi due aux degrés de libertés internes.
C’est aussi le cas pour le graphène si la séparation entre les NL relativistes voisins reste grande devant les autres échelles pertinentes. C’est le
cas comme l’indique le tableau suivant qui regroupe les échelles d’énergie
caractéristiques :
largeur de bande
effets du réseau
NL relativistes
effet Zeeman
interactions
t = 2, 7eV
p
a/lB = 0, 005
p B[T]
h̄vF /lB = 20 nB[T]meV
∆Z = gµB B = 0,p
1B[T]meV
2
e /lB = 2, 4...12 B[T]meV
200
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
où l’incertitude dans la dernière ligne vient de l’incertitude dans la constante
diélectrique , qui peut varier selon le substrat (1 ≤ ≤ 5).5 On voit donc que
l’énergie caractéristique des interactions est inférieure à l’espacement entre
NL relativistes si n ne devient pas trop grand. L’effet Zeeman reste également
inférieur à l’échelle d’énergie des interactions, pour des valeurs réalistes du
champ magnétique, même si la différence n’est pas aussi grande que dans le
cas de l’AsGa.
Ces raisonnements d’ordre de grandeur indiquent que le modèle d’électrons
restreints à un seul NL, discuté dans la section 4.1, est pertinent aussi dans
le cas relativiste du graphène, et on a donc pour le hamiltonien d’interaction
(4.4)
1X
Hint =
v(q)ρn (−q)ρn (q),
(10.26)
2 q
où l’opérateur de densité dans n est la somme des densités sur les deux
B
sous-réseaux, ρn (q) = ρA
n (q) + ρn (q). Dans la suivante discussion du modèle
d’interaction, nous omettons l’indice de spin, et nous nous concentrons sur
la symétrie SU(2) associée à la chiralité. Les densités électroniques sur les
sous-réseaux A et B sont données par6
ρA
n (r) =
X
Ψ†α,n;A (r)Ψα0 ,n;A (r)
et
ρB
n (r) =
α,α0
X
Ψ†α,n;B (r)Ψα0 ,n;B (r),
α,α0
(10.27)
où Ψα,n;A(B) (r) est le champ fermionique de chiralité α sur le sous-réseau
A(B), projeté au NL n. Contrairement à la description continue de la section
10.3, ces champs fermioniques sont définis sur le réseau et se factorisent
donc en√une partie d’oscillation rapide aux vecteur d’onde K± = ±K =
±4πex / 33a et une partie décrite par la limite continue,
Ψα,n (r) = e
iαK·r
Φα,n (r) = e
iαK·r
Φα,n;A (r)
Φα,n;B (r)
,
avec
Φα,n (r) =
X
α
ψn,m
(r)cn,m;α ,
m
5
La valeur = 5 semble adaptée pour un substrat à base de silicium.
Nous choisissons n ≥ 0 ici pour pouvoir omettre le signe devant n et ainsi alléger la
notation. Le raisonnement pour n < 0 est le même.
6
Modèle d’électrons en interaction
201
(†)
où cn,m;α est l’opérateur de deuxième quantification qui annihile (crée) un
α
α
fermion dans l’état ψn,m
à la position r. Les spineurs ψn,m
(r) sont alors les
représentations des états (10.24) et (10.25) dans l’espace directe.
La densité (10.27) sur le sous-réseau A, celle sur le sous-réseau B s’obtenant par un simple échange d’indice A ↔ B, s’écrit alors
†
−2iK·R †
ρA
Φ+,n;A (r)Φ−,n;A (r)
n (r) = Φ+,n;A (r)Φ+,n;A (r) + e
+e2iK·R Φ†−,n;A (r)Φ+,n;A (r) + Φ†−,n;A (r)Φ−,n;A (r)
1 X
=
hn, m|rihr|n, m0 ic†n,m;+ cn,m0 ;+
2
0
m,m
−ie−2iK·R hn, m|rihr|n − 1, m0 ic†n,m;+ cn,m0 ;−
+ie2iK·R hn − 1, m|rihr|n, m0ic†n,m;− cn,m0 ;+
0 †
+hn − 1, m|rihr|n − 1, m icn,m;− cn,m0 ;− ,
ou, dans l’espace de Fourier, de manière plus compacte
ρA
n (q)
1X
1 − α0 0 †
1 − α −i[q+(α−α0 )K]·r =
, m e
n−
n − 2 , m cn,m;α cn,m0 ;α0 .
2
2
0
m,m
α,α0
(10.28)
s’obtient en changeant K ↔ −K dans l’expression précédente,
La densité
et la densité totale peut s’écrire sous la forme
ρB
n (q)
ρn (q) =
X
0
0
Fnαα (q)ρ̄αα (q),
(10.29)
α,α0
avec les densités projetées, dépendant des combinaisons des chiralités,
0
ρ̄αα (q) =
X
m,m0
hm|e−i[q+(α−α)K]·R |m0 ic†n,m;α cn,m0 ;α0 ,
(10.30)
202
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
où R = (X, Y ) est l’opérateur centre de guidage, et les facteurs de formes7
[112]
2
2 1
|q|
|q|
2
++
Fn (q) =
L|n|
+ L|n|−1
e−|q| /4 = Fn−− (q) ≡ Fn (q)
2
2
2
!
−(q + q ∗ − K − K ∗ )
|q − K|2 −|q−K|2 /4
+−
1
p
Fn (q) =
L|n|−1
e
2
2 2|n|
∗
Fn−+ (q) = Fn+− (−q) ,
(10.31)
en termes de vecteurs d’onde dans le plan complexe, q = qx + iqy et K =
Kx + iKy .
A l’aide des opérateurs de densité projetée, le hamiltonien d’interaction
s’écrit [112]
Hint =
1 X X α1 ,...,α4
v
(q)ρ̄α1 α3 (−q)ρ̄α2 α4 (q),
2 α ,...,α q n
1
(10.32)
4
avec le vertex
vnα1 ,...,α4 (q) =
2πe2 α1 α3
F
(−q)Fnα2 α4 (q).
|q| n
(10.33)
Dû au réseau sous-jacent, la somme sur le vecteur d’onde q est restreinte à la
1BZ. Le modèle d’électrons en interaction est donc plus complexe que celui
des électrons non relativistes [équations (4.7), (4.17) et (4.18)], mais garde
la même structure. En retrouve le modèle non relativiste si Fnα,−α (q) = 0, à
une modification du potentiel effectif près, et c’est précisément la condition
pour une symétrie SU(2) de la chiralité. Evidemment, la forme (10.32) n’a
pas cette symétrie, comme les facteurs de forme Fnα,−α (q) 6= 0.
Pour mieux analyser la symétrie du hamiltonien (10.32), nous analysons
les différents vertex qu’on peut représenter par les diagrammes dans la figure
10.7.
0
0
– Les vertex de la forme Fnα,α (∓q)Fnα ,−α (±q) [figure 10.7(a)] ne respectent pas la conservation de l’impulsion – il faut fournir une quantité
de ±K. Le vertex n’est pourtant pas identiquement nul parce que l’impulsion, pour des électrons sous champ magnétique, n’est pas un bon
nombre quantique. La conservation de l’impulsion se manifeste par une
suppression exponentielle en lB /a du vertex, car il contient un terme
7
Comme avant, on met lB ≡ 1.
Modèle d’électrons en interaction
(a)
ν3 , α 1
ν1 , α 1
(c)
ν3 , −α
ν1 , α
ν4 , −α2
203
(b)
ν1 , α
ν2 , α 2
ν4 , α
ν2 , −α
ν3 , −α
(d)
ν3 , α 1
ν1 , α 1
ν4 , −α
ν2 , α
ν4 , α 2
ν2 , α 2
Fig. 10.7 – Représentation
diagrammatique des vertex d’interaction ; (a) vertex associé
0
0
au terme Fnα,α (∓q)Fnα ,−α (±q), (b) vertex de type « umklapp » [Fnα,−α (−q)Fnα,−α (q)],
(c) vertex de type « rétro-diffusion » [Fnα,−α (−q)Fn−α,α (q)] et (d) vertex respectant la
0
0
symétrie SU(2) [Fnα,α (−q)Fnα ,α (q) = Fn (q)2 ].
exp [−(q 2 + |q ± K|2 )/4] = exp [−(|q0 |2 + |K|2 /4)/2] ∼ exp(−|K|2 /8) ∼
exp(−lB /a).
– Le vertex de type « umklapp » [Fnα,−α (−q)Fnα,−α (q), figure 10.7(b)]
ne respecte pas non plus la conservation de l’impulsion. Il est donc
également supprimé exponentiellement en lB /a, en raison de l’exponentielle exp [−(|q + K|2 + |q − K|2 )/4] = exp(−|q|2 /2) exp(−|K|2 /2).
– Le vertex de type « rétro-diffusion » [Fnα,−α (−q)Fn−α,α (q), figure 10.7(c)]
ne viole pas la conservation de l’impulsion. Dans ce cas, on obtient,
après un changement de variable, une énergie potentielle de l’ordre de
vn+− (q) ∼ exp(−|q|2 /2)/|q ± K| ∼ exp(−|q|2 /2)/|K|. Par rapport à
l’énergie caractéristique e2 /lB , le terme reste petit, vn+− /(e2 /lB ) ∼
a/lB , mais seulement algébriquement en a/lB .
– Le vertex dans la figure 10.7(d) est invariant sous une transformation SU(2) de la chiralité. Il a l’énergie vn (q) = (2π/|q|)[Fn (|q|)]2
qui représente l’échelle la plus pertinente, vn /(e2 /lB ) ∼ 1.
Ce raisonnement nous montre que, même si le modèle d’électrons en interaction dans le gaphène n’a pas une symétrie de chiralité SU(2) parfaite, il
204
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
est approximativement invariant,
1 X X 2πe2
0
n
[Fn (q)]2 ρ̄α (−q)ρ̄α (q) + O(a/lB ) ,
HSU
=
(2)
2 0 q |q|
(10.34)
α,α
où ρ̄α (q) ≡ ρ̄α,α (q). Le terme de correction le plus pertinent est celui associé
à la rétro-diffusion
1 X X α,−α
Hbs =
v
(q)ρ̄α,−α (−q)ρ̄−α,α (q),
(10.35)
2 α q n
où nous avons défini vnα,−α (q) ≡ vnα,−α,−α,α (q).
Notons enfin que le modèle du NL n = 0 est beaucoup moins complexe :
comme les spineurs, représentant les vecteurs d’état, n’ont qu’une seule composante, on trouve
X
ρA
(q)
=
hm|e−iq·r |m0 ic†n=0,m;+ cn=0,m0 ;+
n=0
m,m0
et
ρB
n=0 (q) =
X
m,m0
hm|e−iq·r |m0 ic†n=0,m;− cn=0,m0 ;− ,
au lieu de l’expression (10.28). La densité totale s’écrit alors
ρn=0 (q) = Fn=0 (q) ρ̄+ (q) + ρ̄− (q) ,
et on retrouve le modèle (10.34) sans terme correctif avec le facteur de forme
habituel du plus bas NL (voir la section 4.1)
Fn=0 (q) = Fn=0 (q) = e−q
2 /4
.
On voit donc qu’il n’y a pas de différence, dans le plus bas NL n = 0, entre
les électrons relativistes et non relativistes, à part le degré de liberté interne
de la chiralité qui est absent dans le cas non relativiste.
10.5.1
Le potentiel d’interaction effective dans le graphène
et l’EHQF
Il est instructif d’étudier plus en détail le modèle symétrique (10.34) de
la même manière que on l’a fait dans le chapitre 4. Le facteur de forme du
graphène peut également être absorbé dans un potentiel effectif
vnG (q) =
2πe2
[Fn (q)]2 ,
q
(10.36)
Modèle d’électrons en interaction
205
(a)
(b)
n=0 (relativiste et non relativiste)
n=1 (relativiste)
8
n=1 (non relativiste)
6
n=5 (relativiste)
5
4
2
n=5 (non relativiste)
2
44
r/l B
66
88
10
10
n
10
10
pseudo−potentiels V m
potentiel d’interaction effectif
12
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
1
0
n=0
n=1 (rel.)
n=1 (non rel.)
2
1
4
3
2
m
3
5
4
6
5
Fig. 10.8 – (a) Potentiels d’interaction effectifs dans l’espace réel : comparaison entre
les potentiels relativistes (courbes noires) et non relativistes (courbes grises) pour les NL
n = 0, 1 et 5. La courbe en pointillé montre le potentiel dans n = 0, qui est le même
pour les deux cas, relativiste et non relativiste. (b) Pseudo-potentiels pour n = 0 (cercles
noirs), n = 1 relativiste (ligne bleu) et n = 1 non relativiste (ligne verte). Les cercles
ouverts montrent les pseudo-potentiels pour des moments angulaires relatifs pairs, qui ne
jouent pas de rôle physique dans le cas de fermions complètement polarisés de spin et de
chiralité. Les énergies sont données en unités de e2 /lB .
comme pour le cas des électrons non relativistes. La figure 10.8(a) montre
les potentiels effectifs pour n = 0, 1 et 5 dans l’espace réel, en comparaison
avec le cas non relativiste. A grande distance, les potentiels gardent leur
comportement coulombien en 1/r. La plus grande différence entre le cas
relativiste et non relativiste est obtenue pour n = 1 – en effet le potentiel
relativiste dans n = 1 ressemble plus au potentiel pour n = 0 (qui est le même
pour des électrons relativistes et non relativiste comme il fait intervenir le
même facteur de forme) qu’au potentiel non relativiste dans n = 1. Dans les
deux cas, la décroissance du potentiel en fonction de r est monotone.
Pour des NL plus élevés, on s’attend à ce que la différence entre les potentiels relativistes et non relativistes disparaisse : comme l’énergie de Fermi EF
se trouve dans n 1, on aurait pu linéariser la dispersion d’énergie des particules libres non relativistes autour de EF , ce qui donnerait le même spectre
d’énergie que dans le cas relativiste. On peut prouver cette affirmation à l’aide
de la√forme asymptotique des polynômes de Laguerre, Ln (q 2 /2) exp(−q 2 /4) '
J0 (q 2n + 1), où J0 (x) est la fonction de Bessel d’ordre zéro. Cela donne pour
206
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
le facteur de forme du graphène
i
√
√
√
1h
Fn (q) =
J0 (q 2n − 1) + J0 (q 2n + 1) ' J0 (q 2n) + O(1/n)
2 q 2 −q2 /4
' Ln
e
+ O(1/n) = Fn (q),
2
et l’on trouve ainsi le facteur de forme habituel du NL n non relativiste, Fn (q),
à part une correction d’ordre O(1/n). La figure 10.8(a) montre en effet que
la différence entre le potentiel relativiste et non relativiste est très faible
déjà pour n = 5. La différence principale consiste en des petites oscillations
autour du palier caractéristique du potentiel dans le NL n qui sont moins
prononcées dans le cas relativiste comme le facteur de forme fait intervenir
deux polynômes de Laguerre voisins (n et n − 1).
Il est également instructif d’analyser les pseudo-potentiels (voir la section
4.2.2) associés au potentiel effectif dans le graphène [112],
X
2
V`n = 2π
vnG (q)L` (q 2 )e−q /2 ,
(10.37)
q
qui sont tracés pour n = 0 et 1 dans la figure 10.8(b). On y voit, comme pour
les potentiels effectifs dans l’espace réel, que les pseudo-potentiels pour des
électrons relativistes dans n = 1 ressemblent fortement à ceux dans n = 0.
Le fait que le potentiel est de plus courte portée dans n = 0 est révélé par
V0n=0 > V0n=1 tandis qu’on a V`n=0 < V`n=1 pour les autres valeurs ` du
moment angulaire relatif. Rappelons que seuls les pseudo-potentiels avec `
impair joue un rôle physique dans le cas des électrons polarisés en raison
de leur statistique fermionique. Sans faire de calcul, on peut donc déjà faire
quelques affirmations concernant les phases possibles dues aux corrélations
entre électrons.
– De manière générale, on s’attend à ce que les phases observables dans
le NL n = 1 relativiste ressemblent aux phases habituelles qu’on trouve
dans le NL n = 0 dans les hétérostructures semiconductrice d’AsGa.
– Contrairement aux électrons avec spin dans n = 0, il est plus facile de
former des états d’EHQF non polarisés de chiralité qui sont affectés
par le pseudo-potentiel V0n=1 < V0n=1 , qui est plus petit dans n = 1.
– Pour les états d’EHQF polarisés de chiralité, on s’attend à ce qu’ils
soient plus stables dans n = 1 que dans le plus bas NL n = 0, à champ
magnétique constant, comme V`n=1 > V`n=0 , de même que les rapports
10.6. LE FERROMAGNÉTISME DE CHIRALITÉ
207
n=1
n=1
n=0
n=0
des pseudo-potentiels successifs, V2m+1
/V2m+3
> V2m+1
/V2m+3
. Les gaps
d’activation des états correspondants seront ainsi plus grand dans n =
1. C’est inhabituel comparé au cas non relativiste où les états sont les
plus stables dans n = 0. Cette affirmation est confirmée par des calculs
de diagonalisation exacte [113].
– Le NL relativiste n = 2 ressemblant déjà au même niveau non relativiste, la riche physique du NL n = 1 non relativiste, avec ses
phases réentrantes (section 7.4.1) et l’énigmatique état d’EHQF à demiremplissage, semble absente dans le cas du graphène. La formation de
cristaux d’ı̂lots et de phases rubans est attendue pour des NL relativistes n ≥ 2.
10.6
Le ferromagnétisme de chiralité
Pour terminer la discussion des interactions entre électrons dans le graphène,
nous étudions le remplissage ν = 1. Comme on l’a vu dans le cas des électrons
avec spin dans le capitre 8 et pour les bicouches à ν = 1 (chapitre 9), on s’attend à ce que les électrons forment un état collectif cohérent de phase, où le
degré de liberté interne SU(2) est ici donné par la chiralité. L’argument reste
le même : le ferromagnétisme de chiralité permet d’avoir une fonction d’onde
spatiale totalement anti-symétrique ce qui abaisse la répulsion coulombienne,
sans affecter l’énergie cinétique qui est gelée en raison de la quantification de
Landau.
Pour analyser un tel état, on peut se servir de la fonction d’essai (8.3) ou
(9.1), introduite respectivement dans le cadre du ferromagnétisme de spin ou
de pseudo-spin de bicouche. Pour un NL n quelconque, on a
Y
(10.38)
|ψn ({θm , ϕm })i =
um c†n,m;+ + vm c†n,m;− |0i,
m
avec um = cos(θm /2) exp(−iϕm /2) et vm = sin(θm /2) exp(iϕm /2), et le
modèle O(3) associé s’écrit en termes de champ d’aimentation de chiralité


sin θm cos ϕm
n(m) =  sin θm sin ϕm  .
cos θm
Le modèle symétrique (10.34) donne bien évidemment le modèle effectif
208
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
(8.34), pour des variations lentes,
ρG
δE = n
2
Z
d2 r[∇n(r)]2 ,
à une modification de la raideur de spin près,
Z ∞
ν
G
dkk 3 vnG (k)s̄(k).
ρn = −
32π 2 0
(10.39)
(10.40)
Le terme correctif le plus pertinent en a/lB (10.35) pour n ≥ 1 donne
lieu à un terme de masse qui brise la symétrie SU(2). Dans l’approximation
de Hartree-Fock sur l’état (10.38), on trouve, en omettons l’indice n aux
opérateurs fermioniques,
1X X
Vm±1 ,...,m4 hc†m1 ;σ cm3 ;−σ ihc†m2 ;−σ cm4 ;σ i
hHbs i =
2 σ m ,...,m
1
4
†
−hcm1 ;σ cm4 ;σ ihc†m2 ;−σ cm3 ;−σ i ,
avec le vertex
Vm±1 ,...,m4 ≡
X 2πe2
q
|q|
Fn+− (−q)Fn−+ (q)hm1 |ei(q+K)·R |m3 ihm2 |e−i(q+K)·R |m4 i
2
2
|q|
πe2 X |q|2
1
−|q|2 /4
L
e
'
|K| q 2|n| |n|−1
2
×hm1 |eiq·R |m3 ihm2 |e−iq·R |m4 i,
(10.41)
où nous avons utilisé un changement de variable dans la deuxième ligne,
q + K → q, et nous omettons des corrections d’ordre a/lB à ce terme, qui
est déjà de l’ordre de O(a/lB ). A l’aide des moyennes
hc†m;+ cm0 ;+ i ≡ hψn ({θm , ϕm })|c†m;σ cm0 ;σ |ψn ({θm , ϕm })i = δm,m0 |um |2 ,
hc†m;− cm0 ;− i = δm,m0 |vm |2
et
hc†m;+ cm0 ;− i = δm,m0 u∗m vm ,
on trouve pour le terme correctif, à part une constante d’énergie C sans
intérêt,
hHbs i =
1 X ±
±
0
Dm,m0 [nx (m)nx (m0 ) + ny (m)ny (m0 )] + Em,m
0 nz (m)nz (m ) +C,
4 m,m0
Modèle d’électrons en interaction
209
±
±
±
±
où Dm,m
0 = Vm,m0 ,m,m0 représente un terme direct et Em,m0 = Vm,m0 ,m0 ,m un
terme d’échange. Afin d’écrire hHbs i de la même façon que le modèle effectif
O(3) (10.39), on utilise le développement en gradient
∂ 2 nµ (m)
1
(m − m0 )2 ...
nµ (m)nµ (m0 ) ' [nµ (m)]2 + nµ (m)
2
∂m2
Notons que ce développement n’a un sens que lorsqu’on remplace le nombre
quantique m par une variable locale, m → R. Cela implique un changement
de base, où l’on construit des états cohérents à partir de m, comme on l’a vu
dans la section 2.2.2, et R est ici le centre de guidage classique. A l’ordre le
plus bas, on trouve ainsi le terme de masse
X
hHbs i(0) =
∆z [nz (m)]2 ,
(10.42)
m
qui donne lieu à un plan facile d’aimentation XY , comme dans le cas des
bicouches, avec un gap d’énergie de
1X ±
1 e2
∆z =
.
(10.43)
Em,m0 =
4 0
16π 2 |K|
m
En comparaison avec la physique des bicouches, il y a pourtant des différences
importantes : dans le cas des bicouches, le gap d’énergie pour des excitations
de l’aimentation hors du plan XY trouve son origine dans une pénalisation
due à une énergie capacitive lorsqu’on a un déséquilibre de charge entre les
couches. C’est donc un effet direct, avec une énergie caractéristique de l’ordre
de (e2 /lB ) × d/lB , qui est à l’origine de ce plan facile d’aimentation. Ce n’est
pas le cas dans le graphène où l’expression (10.43) indique clairement que
le plan facile d’aimentation est généré par un effet d’échange, de l’ordre de
(e2 /lB ) × a/lB . Notons enfin que la brisure de symétrie SU(2) est beaucoup
plus faible dans le graphène (a/lB ∼ 10−2 ) que dans le cas des bicouches où
d/lB ∼ 1. Il est donc peu probable qu’on puisse observer cette brisure de
symétrie, en raison du désordre qui reste élevé dans les feuilles de graphène
– l’élargissement des NL relativiste dans un échantillon de bonne qualité à
l’heure actuelle est estimé à Γ ∼ 1, 7meV [111] alors que ∆z ∼ 0, 05meV
[112], ce qui est presque deux ordres de grandeur plus petit.
Comparaison avec l’expérience
Comme on l’a indiqué plus haut, une levée de dégénérescence de la chiralité à été mise en évidence à ν = 1 pour des champs magnétiques forts,
210
Le graphène et l’effet Hall quantique relativiste
B > 17T [111]. Alors que d’autre mécanismes pour lever cette dégénérescence
dans n = 0 sont possibles [108, 114], nous essayons de comprendre cette observation, ainsi que l’absence d’un plateau à ν = ±5, dans le cadre du ferromagnétisme de chiralité, le critère d’observabilité étant que le gap associé à
cet état soit plus grand que le niveau d’impureté Γ ∼ 1, 7meV [111]. Le gap
d’énergie pour un ferromagnétique dans un NL est donné par l’énergie d’un
skyrmion Esk = 4πρG
n , en termes de raideur de spin [13, 81]. On trouve pour
ν=±1
le plus bas NL n = 0 une valeur de Esk
= 14 E0 ∼ 4meV, pour un champ
p
de seuil de B ∼ 17T, où E0 = π/2e2 /lB est l’énergie nécessaire pour créer
une paire électron-trou dans le plus bas NL. Notons que, pour avoir des excitations de type skyrmion, il faut que 2Esk < E0 , ce qui est le cas ici.8 Le
gap pour un ferromagnétique de chiralité est donc bien au-dessus de l’énergie
de l’élargissement Γ, ce qui n’est pas le cas pour celui
le NL relativiste
p dans
ν=±5
7
π/2e2 /lB ∼ 1, 8meV, à
n = 1 (par exemple à ν = ±5), où Esk
= 64
B = 17T, est du même ordre que Γ. Notons que l’énergie d’un skyrmion dans
n = 1 n’atteint pas la valeur de 4meV en-dessous des champs d’environ 80T,
ce qui n’est pas accessible actuellement.
8
Ce n’est pas le cas dans des NL non relativistes n ≥ 1.
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