Mécanique Quantique PHYS-F-302 Titulaire : Prof. Frank Ferrari Suppléant : Antonin Rovai 8) Addition de moments cinétiques Exercice 1 Calculer les coefficients de Clebsch-Gordan par un calcul direct pour les produits tensoriels d’une représentation de spin j quelconque avec la représentation de spin 1/2 d’une part, et pour le produit tensoriel de la représentation de spin 1 avec elle-même d’autre part. Vous préciserez les conventions utilisées, et vous comparerez vos résultats à la table de coefficients distribuée en cours. Exercice 2 Le but de l’exercice est d’étudier certains aspects de la structure hyperfine et l’effet Zeeman d’une molécule diatomique paramagnétique. ~ ainsi que les deux noyaux de spins On considère l’électron célibataire de spin S I~1 et I~2 d’une molécule homonucléaire diatomique paramagnétique. On suppose que les trois spins valent 1/2. L’espace produit tensoriel des trois spins est rapporté à une base orthonormée formée des kets |; 1 , 2 i = |i ⊗ |1 , 2 i, = ±1, i = ±1, vecteurs propres des opérateurs Sz , I1z et I2z de valeurs propres ~/2, 1 ~/2 et 2 ~/2 respectivement. L’hamiltonien du système plongé dans un champ magnétique B parallèle à l’axe (Oz) est de la forme H = HZ + HH , (1) où les hamiltoniens hyperfins et Zeeman sont donnés par les formules ~ · I~1 + a S ~ · I~2 , HH = a S HZ = ΩSz + ωI1z + ωI2z . (2) Le couplage a est une constante positive, a~/(2π) ' 1 GHz, et on a négligé le couplage direct entre les spins nucléaires. Les pulsations Ω et ω sont positives et proportionnelles à |B|. 1) On se place tout d’abord en champ magnétique nul. a) Soit I~ = I~1 + I~2 le spin nucléaire total. Quelles sont les valeurs propres de I~2 et leur degré de dégénérescence ? Exprimer les vecteurs propres de I~2 et Iz , notés |i, iz i, en fonction des kets |1 , 2 i. 1 ~ + I~ le spin total. Quelles sont les valeurs propres de J~2 et leur b) Soit J~ = S degré de dégénérescence ? Exprimer les vecteurs propres de I~2 , J~2 et Jz , notés |i, j, jz i, en fonction des kets |; 1 , 2 i. ~ 2 et I~2 et en déduire le c) Exprimer l’hamiltonien HH en fonction de J~2 , S spectre énergétique du système en champ nul. 2) On étudie maintenant l’effet du champ magnétique sur les niveaux précédents. Quel est l’ordre de grandeur de Ω/(2π) et de ω/(2π) pour un champ de un tesla ? Dans quelles conditions les deux termes HH et HZ du hamiltonien pourront-ils être traités comme une perturbation l’un de l’autre ? 3) On se place d’abord dans le domaine des champs magnétiques forts. a) Quels sont les vecteurs propres et les énergies propres de HZ ? Tracer le diagramme des niveaux d’énergie en fonction de |B| dans ce domaine de champ en précisant le degré de dégénérescence de chaque niveau. b) Quels sont, au premier ordre en perturbation, les vecteurs propres et les énergies propres de H ? Tracer le diagramme d’énergie. (On pourra introduire les opérateurs S± = Sx ± iSy etc...). 4) Dans le cas des champs faibles, c’est HZ qui peut être traité comme une perturbation devant HH . Trouver le diagramme d’énergie du système en fonction de |B| au premier ordre de la théorie des perturbations. 2