8) Addition de moments cinétiques

M´ecanique Quantique PHYS-F-302 Titulaire : Prof. Frank Ferrari
Suppl´eant : Antonin Rovai
8) Addition de moments cin´ etiques
Exercice 1 Calculer les coefficients de Clebsch-Gordan par un calcul direct pour les
produits tensoriels d’une repr´esentation de spin jquelconque avec la repr´esentation
de spin 1/2 d’une part, et pour le produit tensoriel de la repr´esentation de spin 1 avec
elle-mˆeme d’autre part. Vous pr´eciserez les conventions utilis´ees, et vous comparerez
vos r´esultats `a la table de coefficients distribu´ee en cours.
Exercice 2 Le but de l’exercice est d’´etudier certains aspects de la structure hy-
perfine et l’effet Zeeman d’une mol´ecule diatomique paramagn´etique.
On consid`ere l’´electron c´elibataire de spin ~ Sainsi que les deux noyaux de spins
~
I1et ~ I2d’une mol´ecule homonucl´eaire diatomique paramagn´etique. On suppose que
les trois spins valent 1/2. L’espace produit tensoriel des trois spins est rapport´e `a
une base orthonorm´ee form´ee des kets |;1, 2i=|i⊗|1, 2i,=±1, i=±1,
vecteurs propres des op´erateurs Sz,I1zet I2zde valeurs propres ~/2, 1~/2 et 2~/2
respectivement.
L’hamiltonien du syst`eme plong´e dans un champ magn´etique Bparall`ele `a l’axe
(Oz) est de la forme
H=HZ+HH,(1)
o`u les hamiltoniens hyperfins et Zeeman sont donn´es par les formules
HH=a~ S·~ I1+a~ S·~ I2, HZ= ΩSz+ωI1z+ωI2z.(2)
Le couplage aest une constante positive, a~/(2π)'1 GHz, et on a n´eglig´e le couplage
direct entre les spins nucl´eaires. Les pulsations Ω et ωsont positives et proportion-
nelles `a |B|.
1) On se place tout d’abord en champ magn´etique nul.
a) Soit ~ I=~ I1+~ I2le spin nucl´eaire total. Quelles sont les valeurs propres de
~
I2et leur degr´e de d´eg´en´erescence ? Exprimer les vecteurs propres de ~ I2et
Iz, not´es |i, izi, en fonction des kets |1, 2i.
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b) Soit ~ J=~ S+~ Ile spin total. Quelles sont les valeurs propres de ~ J2et leur
degr´e de d´eg´en´erescence ? Exprimer les vecteurs propres de ~ I2,~ J2et Jz,
not´es |i, j, jzi, en fonction des kets |;1, 2i.
c) Exprimer l’hamiltonien HHen fonction de ~ J2,~ S2et ~ I2et en d´eduire le
spectre ´energ´etique du syst`eme en champ nul.
2) On ´etudie maintenant l’effet du champ magn´etique sur les niveaux pr´ec´edents.
Quel est l’ordre de grandeur de Ω/(2π) et de ω/(2π) pour un champ de un tesla ?
Dans quelles conditions les deux termes HHet HZdu hamiltonien pourront-ils
ˆetre trait´es comme une perturbation l’un de l’autre ?
3) On se place d’abord dans le domaine des champs magn´etiques forts.
a) Quels sont les vecteurs propres et les ´energies propres de HZ? Tracer le
diagramme des niveaux d’´energie en fonction de |B|dans ce domaine de
champ en pr´ecisant le degr´e de d´eg´en´erescence de chaque niveau.
b) Quels sont, au premier ordre en perturbation, les vecteurs propres et les
´energies propres de H? Tracer le diagramme d’´energie. (On pourra intro-
duire les op´erateurs S±=Sx±iSyetc...).
4) Dans le cas des champs faibles, c’est HZqui peut ˆetre trait´e comme une per-
turbation devant HH. Trouver le diagramme d’´energie du syst`eme en fonction
de |B|au premier ordre de la th´eorie des perturbations.
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