Guide de survie : Physique quantique

Guide de survie : Physique quantique
Ce document a pour unique but de r´ecapituler les formules de physique quantique. Pour la compr´ehension, se reporter au guide pour
comprendre.
1 N´ecessit´e d’une nouvelle physique
Du champ aux particules
— Rayonnement du corps noir →´energie quantifi´ee
— Effet photo´electrique →hypoth`ese de l’existence de pho-
tons, particules dans la lumi`ere portant une quantit´e
d’´energie
E=hν
avec h= 6,63.10−34J.s.
— Diffusion Compton →Validation de l’existence des pho-
tons
~p =~~ k
Des particules aux ondes
— De Broglie →Toute particule poss`ede un caract`ere on-
dulatoire
λDB =h
p
— Exp´erience de Davisson et Germer →Les ´electrons sont
diffract´es, confirmation de la dualit´e onde-corpuscule.
2 Physique ondulatoire
Equation de Schr¨ odinger :
i~∂
∂t Ψ(~r, t) = −~2 2m∇2
rΨ(~r, t) + V(~r)Ψ(~r, t)
La fonction d’onde a les propri´et´es suivantes :
— Ψ(~r, t)∈L2:Respace |Ψ(~r, t)|2d3r= 1
— Ψ(~r, t) est continue.
— Les d´eriv´ees spatiales de Ψ(~r, t) sont continues pour une
discontinuit´e finie du potentiel.
— L’ensemble des fonctions d’ondes est un espace de Hil-
bert muni du produit scalaire
< φ|ψ >=Zφ∗ψd3~r
Cas du puits de potentiel infini de largeur a :
kn=nπ
an∈∗
En=n2~2π2
2ma2n∈∗
Ψn(x, t) = r2
asin(nπ ax)e−iEn
~t
Courant de probabilit´e :
~
j(~r, t) = ~
mIm(Ψ∗(~r, t)~
∇rΨ(~r, t)) = i~
2m(Ψ~
∇rΨ∗−Ψ∗~ ∇rΨ)
3 Postulats et formalisme de la phy-
sique quantique
3.1 Postulats
1. L’´etat quantique d’un syst`eme physique `a l’instant t est
d´ecrit par un vecteur d’´etat, not´e |ψi.
2. En physique quantique, toute grandeur mesurable est d´e-
crite par une ”observable” `a laquelle on associe un op´e-
rateur lin´eaire hermitien.
3. La mesure d’une grandeur physique ne peut avoir pour
r´esultat que l’une des valeurs propres de l’op´erateur qui
lui est associ´e.
4. Pour un syst`eme se trouvant dans l’´etat |ψ(t)ila mesure
d’une observable d´ecrite par un op´erateur
∧
Ade spectre
(an)donne le r´esultat particulier anavec une probabilit´e
´egale `a pn=|hφn|ψ(t)i|2.
5. Si le r´esultat de la mesure d’une observable donne la va-
leur propre ande l’op´erateur associ´e
∧
A, alors imm´ediate-
ment apr`es cette mesure, le syst`eme se trouve dans l’´etat
propre correspondant |φni.
6. Pour un syst`eme dont le Hamiltonien est
∧
H(t), l’´evo-
lution temporelle d’un ´etat quantique, repr´esent´e par le
ket d’´etat |ψ(t)>, se trouve en r´esolvant l’´equation de
Schr¨ odinger
3.2 Formalisme
Op´erateur impulsion :
ˆp=~
i∇~r
Op´erateur Hamiltonien (´energie totale) :
ˆ
H=ˆ T+ˆ V=ˆp2
2m+ˆ
V
Relation de fermeture :
X
n|φnihφn|=ˆ
1
Commutateur :
[ˆ A, ˆ B] = ˆ Aˆ B−ˆ Bˆ A
Formules :
[ˆ Aˆ B, ˆ C] = ˆ A[ˆ B, ˆ C]+[ˆ A, ˆ C]ˆ B
[ˆ A, ˆ Bˆ C] = ˆ B[ˆ A, ˆ C]+[ˆ A, ˆ B]ˆ C
1

Commutateur impulsion/position :
[ˆpx,ˆx] = −i~
In´egalit´e de Heisenberg :
4(px)4(x)≥~
2
Valeur moyenne :
<A>=hΨ|ˆ A|Ψi
4 Dynamique spontan´ee d’un syst`eme
quantique et retour vers la physique
classique
4.1 Description quantique ou classique
Le passage de la quantique au classique se fait en faisant ~→0.
Plus pr´ecis´ement si toute action (grandeur caract´eristique du
syst`eme ayant la dimension de h c’est `a dire J.s) est grande
devant ~. Si une action est comparable `a ~alors le recours aux
r`egles quantiques s’impose.
4.2 Evolution temporelle
Th´eor`eme d’Ehrenfest :
i~∂t<ˆ A >=<[ˆ A, ˆ H]>+i~< ∂tˆ A >
In´egalit´e d’Heisenberg ´energie-temps :
4(E)4(t)≥~
5 Oscillateur harmonique
Potentiel harmonique :
ˆ
V=1
2mω2ˆx2
Op´erateurs annihilation, cr´eation et N :
ˆ
N= ˆa†ˆa
ˆa=˜x+i˜p
√2annihilation
ˆa†=˜x−i˜p
√2cr´eation
ˆ
H= ( ˆ N+1
2)~ω
Utilit´e des op´erateurs annihilation et cr´eation :
ˆa†|ni=√n+ 1|n+ 1i
ˆa|ni=√n|n−1i
|ni=r1
n!ˆa†n|0i
Energies possibles pour l’oscillateur harmonique 1D :
En= (n+1
2)~ω n ∈
Energies possibles pour l’oscillateur harmonique 3D :
Enx,ny,nz= (nx+ny+nz+3
2)~ω
6 Le moment cin´etique : l’orbital et
l’intrins`eque
6.1 Moment cin´etique orbital
Moment cin´etique :
~
L=~r ∧~p
ˆ
Lx= ˆyˆpz−ˆzˆpy
ˆ
Ly= ˆzˆpx−ˆxˆpz
ˆ
Lz= ˆxˆpy−ˆyˆpx
Commutateurs des composantes :
[ˆ Lx,ˆ Ly] = i~ˆ Lz
[ˆ Ly,ˆ Lz] = i~ˆ Lx
[ˆ Lz,ˆ Lx] = i~ˆ Ly
Valeurs propres de ˆ L2et ˆ Lz:
ˆ
L2|l, mi=l(l+ 1)~2|l, mi
ˆ
Lz|l, mi=m~|l, mi
−l≤m≤l
6.2 Moment cin´etique intrins`eque : spin
Moment cin´etique et moment magn´etique :
~µ =γ~ L
Energie associ´ee `a la pr´esence d’un moment magn´etique dans
un champ magn´etique :
E=−~µ ·~ B
Spin et matrices de Pauli :
~µ =γe~ S
ˆ
Sx=~
2ˆσx=~ 20 1
1 0(|+i,|−i)
ˆ
Sy=~
2ˆσy=~ 20−i
i0(|+i,|−i)
ˆ
Sz=~
2ˆσz=~ 21 0
0−1(|+i,|−i)
Bosons et fermions
2

— Les bosons sont des particules de spin entier. La fonc-
tion d’onde de bosons identiques est totalement sym´e-
trique.
— Les fermions sont des particules de spin demi-entier. La
fonction d’onde de fermions identiques est totalement
anti-sym´etrique. Cela implique qu’il est impossible de
trouver deux fermions identiques, dans le mˆeme ´etat de
spin, au mˆeme point de l’espace. (principe de Pauli)
7 Des hydrog´eno
¨
ıdes aux atomes
Hamiltonien exact :
ˆ
H=ˆpZ2
2MZ
+ˆpe2
2me−Ze2
4π0|ˆ ~re−ˆ
~
RZ|
Hamiltonien approch´e :
ˆ
H=ˆ
P2
2M+ˆp2 2m−Ze2
4π0ˆ ~r
1
m=1 me
+1
MZ'1 me
~
R=me~re+MZ~
RZ
me+MZ
M=me+MZ=MZ
~r =~re−~ RZ'~re−~ R
Fonction d’onde :
ψe(~r) = Rn,l(r)Yl,m(θ, φ)
Pour l’´etat fondamental, cela donne explicitement :
ψ1,0,0(~r) = 1
√π(Z
a0
)3
2e−rZ
a0
La quantit´e r2|Rn,l(r)|2est la densit´e radiale de probabilit´e,
c’est `a dire la probabilit´e que l’´electron soit mesur´e `a une dis-
tance comprise entre r et r+dr quelle que soit sa position
angulaire.
Energies possibles de l’´electron :
Ee,n =−e2
4π0a0
Z2
2n2=−(Z n)2×13,6eV
o`u a0= 0,529 ◦ Ale rayon de Bohr
L’´energie est d´eg´en´er´ee, chaque niveau poss`ede une d´eg´en´eres-
cence de 2n2. (la multiplication par 2 provient des deux valeurs
possibles pour le spin)
In´egalit´es entre n,l et m :
0≤l≤n−1
−l≤ml≤l
o`u n nombre quantique principal, l nombre quantique orbital et
m nombre quantique magn´etique.
8 Approximations
8.1 M´ethode des perturbations stationnaires
—Si le niveau d’´energie initial n’est pas d´eg´en´er´e
alors
— La correction de l’´energie, au premier ordre, est la va-
leur moyenne du potentiel pertubatif pris dans l’´etat
non perturb´e.
E(1)
i=hψ(0) i|ˆ
V|ψ(0)
ii
La correction de l’´energie, au deuxi`eme ordre est,
E(2)
i=X
k6=i
|hψ(0)
i|ˆ
V|ψ(0)
ki|2
E(0)
i−E(0)
k
—
|ψ(1)
ii=X
k6=i
hψ(0)
k|ˆ
V|ψ(0)
ii
E(0)
i−E(0)
k|ψ(0)
ki
L’effet de la perturbation ´etant faible, ce sont les
´etats qui ont l’´energie la plus proche de l’´etat initial
qui ont la plus grosse contribution.
—Si le niveau d’´energie initial est d´eg´en´er´e alors
— Les corrections `a l’´energie au premier ordre en per-
turbation sont les valeurs propres de la matrice de
perturbation exprim´ee dans le sous-espace de d´eg´e-
n´erescence.
V1,1V1,2... V1,g
V2,1V2,2... V2,g
... ... ... ...
Vg,1Vg,2... Vg,g
a(0)
1
a(0)
2
...
a(0)
g
=E(1)
i
a(0)
1
a(0)
2
...
a(0)
g
8.2 M´ethode variationnelle
Th´eor`eme variationnel :
hφt|ˆ H|φti
hφt|φti≥E0
La valeur moyenne de l’´energie prise dans un ´etat repr´esent´e
par une fonction d’essai quelconque est toujours sup´erieure `a
l’´energie exacte de l’´etat fondamental.
On suppose que cette fonction d’essai sera d’autant meilleure
que l’´energie moyenne `a laquelle elle conduit sera basse.
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