Guide de survie : Physique quantique

Guide de survie : Physique quantique
Ce document a pour unique but de récapituler les formules de physique quantique. Pour la compréhension, se reporter au guide pour
comprendre.
1
3
Nécessité d’une nouvelle physique
Du champ aux particules
— Rayonnement du corps noir → énergie quantifiée
— Effet photoélectrique → hypothèse de l’existence de photons, particules dans la lumière portant une quantité
d’énergie
E = hν
3.1
Postulats
1. L’état quantique d’un système physique à l’instant t est
décrit par un vecteur d’état, noté |ψi.
2. En physique quantique, toute grandeur mesurable est décrite par une ”observable” à laquelle on associe un opérateur linéaire hermitien.
avec h = 6, 63.10−34 J.s.
— Diffusion Compton → Validation de l’existence des photons
p~ = ~~k
3. La mesure d’une grandeur physique ne peut avoir pour
résultat que l’une des valeurs propres de l’opérateur qui
lui est associé.
Des particules aux ondes
— De Broglie → Toute particule possède un caractère ondulatoire
h
λDB =
p
4. Pour un système se trouvant dans l’état |ψ(t)i la mesure
∧
d’une observable décrite par un opérateur A de spectre
(an ) donne le résultat particulier an avec une probabilité
égale à pn = |hφn |ψ(t)i|2 .
— Expérience de Davisson et Germer → Les électrons sont
diffractés, confirmation de la dualité onde-corpuscule.
2
Postulats et formalisme de la physique quantique
5. Si le résultat de la mesure d’une observable donne la va∧
leur propre an de l’opérateur associé A, alors immédiatement après cette mesure, le système se trouve dans l’état
propre correspondant |φn i.
Physique ondulatoire
∧
Equation de Schrödinger :
6. Pour un système dont le Hamiltonien est H(t), l’évolution temporelle d’un état quantique, représenté par le
ket d’état |ψ(t) >, se trouve en résolvant l’équation de
Schrödinger
∂
~2 2
Ψ(~r, t) = −
∇ Ψ(~r, t) + V (~r)Ψ(~r, t)
∂t
2m r
La fonction d’onde a Rles propriétés suivantes :
— Ψ(~r, t) ∈ L2 : espace |Ψ(~r, t)|2 d3 r = 1
3.2 Formalisme
— Ψ(~r, t) est continue.
— Les dérivées spatiales de Ψ(~r, t) sont continues pour une Opérateur impulsion :
discontinuité finie du potentiel.
~
— L’ensemble des fonctions d’ondes est un espace de Hilp̂ = ∇~r
i
bert muni du produit scalaire
Opérateur
Hamiltonien
(énergie
totale) :
Z
∗
3
< φ|ψ >= φ ψd ~r
p̂2
Ĥ = T̂ + V̂ =
+ V̂
2m
Cas du puits de potentiel infini de largeur a :
Relation de fermeture :
π
∗
X
kn = n
n∈N
a
|φn ihφn | = 1̂
2 2
n
~ π
En = n2
n ∈ N∗
Commutateur :
2ma2
r
En
2
π
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â
Ψn (x, t) =
sin(n x)e−i ~ t
a
a
Formules :
Courant de probabilité :
i~
[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂
~ r Ψ(~r, t)) = i~ (Ψ∇
~ r Ψ∗ − Ψ∗ ∇
~ r Ψ)
~j(~r, t) = ~ Im(Ψ∗ (~r, t)∇
m
2m
[Â, B̂ Ĉ] = B̂[Â, Ĉ] + [Â, B̂]Ĉ
1
r
1 †n
â |0i
n!
Energies possibles pour l’oscillateur harmonique 1D :
Commutateur impulsion/position :
|ni =
[p̂x , x̂] = −i~
Inégalité de Heisenberg :
4(px )4(x) ≥
1
En = (n + )~ω n ∈ N
2
Energies possibles pour l’oscillateur harmonique 3D :
~
2
3
Enx ,ny ,nz = (nx + ny + nz + )~ω
2
Valeur moyenne :
< A >= hΨ|Â|Ψi
6
4
4.1
Le moment cinétique : l’orbital et
l’intrinsèque
Dynamique spontanée d’un système
quantique et retour vers la physique 6.1 Moment cinétique orbital
classique
Moment cinétique :
Description quantique ou classique
~ = ~r ∧ p~
L


L̂x = ŷ p̂z − ẑ p̂y
L̂y = ẑ p̂x − x̂p̂z


L̂z = x̂p̂y − ŷ p̂x
Le passage de la quantique au classique se fait en faisant ~ → 0.
Plus précisément si toute action (grandeur caractéristique du
système ayant la dimension de h c’est à dire J.s) est grande
devant ~. Si une action est comparable à ~ alors le recours aux
Commutateurs des composantes :
règles quantiques s’impose.


[L̂x , L̂y ] = i~L̂z
4.2 Evolution temporelle
[L̂y , L̂z ] = i~L̂x


Théorème d’Ehrenfest :
[L̂z , L̂x ] = i~L̂y
Valeurs propres de L̂2 et L̂z :
i~∂t <  >=< [Â, Ĥ] > +i~ < ∂t  >
L̂2 |l, mi = l(l + 1)~2 |l, mi
Inégalité d’Heisenberg énergie-temps :
L̂z |l, mi = m~|l, mi
4(E)4(t) ≥ ~
5
−l ≤ m ≤ l
Oscillateur harmonique
6.2
Moment cinétique intrinsèque : spin
Moment cinétique et moment magnétique :
Potentiel harmonique :
~
µ
~ = γL
1
mω 2 x̂2
2
Opérateurs annihilation, création et N :
V̂ =
Energie associée à la présence d’un moment magnétique dans
un champ magnétique :
N̂ = ↠â
x̃ + ip̃
annihilation
â = √
2
↠=
x̃ − ip̃
√
2
~
E = −~
µ·B
Spin et matrices de Pauli :
~
µ
~ = γe S
~
~ 0 1
Ŝx = σ̂x =
2
2 1 0 (|+i,|−i)
~
~ 0 −i
Ŝy = σ̂y =
2
2 i 0 (|+i,|−i)
~
~ 1 0
Ŝz = σ̂z =
2
2 0 −1 (|+i,|−i)
création
1
Ĥ = (N̂ + )~ω
2
Utilité des opérateurs annihilation et création :
↠|ni =
√
n + 1|n + 1i
√
â|ni = n|n − 1i
Bosons et fermions
2
— Les bosons sont des particules de spin entier. La fonc−l ≤ ml ≤ l
tion d’onde de bosons identiques est totalement syméoù n nombre quantique principal, l nombre quantique orbital et
trique.
— Les fermions sont des particules de spin demi-entier. La m nombre quantique magnétique.
fonction d’onde de fermions identiques est totalement
anti-symétrique. Cela implique qu’il est impossible de
Approximations
trouver deux fermions identiques, dans le même état de 8
spin, au même point de l’espace. (principe de Pauli)
8.1
7
— Si le niveau d’énergie initial n’est pas dégénéré
alors
— La correction de l’énergie, au premier ordre, est la valeur moyenne du potentiel pertubatif pris dans l’état
non perturbé.
Des hydrogénoı̈des aux atomes
Hamiltonien exact :
Ĥ =
Méthode des perturbations stationnaires
pˆe 2
Ze2
pˆZ 2
+
−
2MZ
2me
~ˆ Z |
4π0 |~rˆe − R
(1)
Ei
Hamiltonien approché :
(2)
Ei
=
X |hψ (0) |V̂ |ψ (0) i|2
i
(0)
k6=i
Ei
k
(0)
− Ek
—
(1)
|ψi i =
X hψ (0) |V̂ |ψ (0) i
k
(0)
E
k6=i
i
−
i
(0)
Ek
(0)
|ψk i
L’effet de la perturbation étant faible, ce sont les
états qui ont l’énergie la plus proche de l’état initial
qui ont la plus grosse contribution.
— Si le niveau d’énergie initial est dégénéré alors
— Les corrections à l’énergie au premier ordre en perturbation sont les valeurs propres de la matrice de
perturbation exprimée dans le sous-espace de dégénérescence.
 (0) 

  (0) 
a
a1
V1,1 V1,2 ... V1,g
 1(0) 
(0) 
V2,1 V2,2 ... V2,g  



(1)
a

  2  = E a2 

i
 ...
... ... ...   ... 
 ... 
(0)
(0)
Vg,1 Vg,2 ... Vg,g
ag
ag
Fonction d’onde :
ψe (~r) = Rn,l (r)Yl,m (θ, φ)
Pour l’état fondamental, cela donne explicitement :
1 Z 3 rZ
ψ1,0,0 (~r) = √ ( ) 2 e− a0
π a0
La quantité r2 |Rn,l (r)|2 est la densité radiale de probabilité,
c’est à dire la probabilité que l’électron soit mesuré à une distance comprise entre r et r + dr quelle que soit sa position
angulaire.
Energies possibles de l’électron :
Ee,n = −
(0)
La correction de l’énergie, au deuxième ordre est,
P̂ 2
p̂2
Ze2
Ĥ =
+
−
2M
2m 4π0~rˆ
1
1
1
1
=
+
'
m
me
MZ
me
~
~ = me~re + MZ RZ
R
me + MZ
M = m e + MZ = MZ
~ Z ' ~re − R
~
~r = ~re − R
2
(0)
= hψi |V̂ |ψi i
8.2
2
e
Z
Z
= −( )2 × 13, 6eV
2
4π0 a0 2n
n
Méthode variationnelle
Théorème variationnel :
◦
hφt |Ĥ|φt i
≥ E0
où a0 = 0, 529A le rayon de Bohr
hφt |φt i
L’énergie est dégénérée, chaque niveau possède une dégénérescence de 2n2 . (la multiplication par 2 provient des deux valeurs La valeur moyenne de l’énergie prise dans un état représenté
possibles pour le spin)
par une fonction d’essai quelconque est toujours supérieure à
l’énergie exacte de l’état fondamental.
Inégalités entre n,l et m :
On suppose que cette fonction d’essai sera d’autant meilleure
0≤l ≤n−1
que l’énergie moyenne à laquelle elle conduit sera basse.
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