TRIGONOMÉTRIE : FORMULAIRE Angles associés Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes : p cos æç + x ö÷ = -sin(x) è2 ø p sin æç + x ö÷ = cos(x) è2 ø p cos æç - x ö÷ = sin(x) è2 ø p sin æç - x ö÷ = cos(x) è2 ø p -x 2 p +x 2 cos(p – x) = –cos(x) sin(p – x) = sin(x) p–x x cos(p + x) = –cos(x) sin(p + x) = –sin(x) p+x –x cos(–x) = cos(x) sin(–x) = –sin(x) Relations entre cos, sin et tan cos2(x) + sin2(x) = 1 1 + tan2(x) = 1 cos 2 ( x) Formules d'addition cos(a – b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b) sin(a – b) = sin(a) cos(b) – cos(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) tan(a) - tan(b) 1 + tan(a ) tan(b) tan(a - b) = tan(a + b) = tan(a) + tan(b) 1 - tan(a) tan(b) Formules de duplication cos(2a) = cos2(a) – sin2(a) = 2 cos2(a) - 1 = 1 - 2 sin2(a) Extensions : cos(3a) = 4cos3(a) - 3cos(a) sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) sin(3a) = 3sin(a) - 4sin3(a) tan(3a) = tan(2a) = 2 tan(a) 1 - tan 2 (a) 3tan( a ) - tan 3 ( a ) 1- 3tan 2 ( a ) Au delà, utiliser la formule de Moivre. Formules de linéarisation cos2(a) = Extensions : 1 + cos(2a) 2 cos3(a) = sin2(a) = cos( 3a ) + 3 cos( a ) 1 - cos(2a) 2 sin3(a) = 4 tan2(a) = - sin(3a ) + 3 sin( a ) 1 - cos(2a) 1 + cos(2a) tan3(a) = - sin(3a ) + 3 sin( a ) 4 cos(3a ) + 3 cos( a ) Au delà, utiliser les formules d'Euler. Les formules d'Euler permettent également de montrer que : cos(a) cos(b) = 1 [cos(a - b) + cos(a + b)] 2 cos(a) sin(b) = 1 [sin(a + b) - sin(a - b)] 2 æ p+qö æ p-qö ÷ cos ç ÷ è 2 ø è 2 ø æ p+qö æ p-qö sin(p) + sin(q) = 2 sin ç ÷ cos ç ÷ è 2 ø è 2 ø sin(a) sin(b) = æ è æ p-qö ÷ sin ç ÷ ø è 2 ø æ p-qö æ p+qö sin(p) - sin(q) = 2 sin ç ÷ cos ç ÷ è 2 ø è 2 ø cos(p) + cos(q) = 2 cos ç cos(p) - cos(q) = -2 sin ç p+qö 2 Résolution d'équations trigonométriques U = p -V V 1 [cos(a - b) - cos(a + b)] 2 U cos(U) = cos(V) Û (U = V [2p] ou U = -V [2p]) sin(U) = sin(V) Û (U = V [2p] ou U = p -V [2p]) V tan(U) = tan(V) Û U = V [p] Expression du cosinus, sinus et tangente en fonction de la tangente de l'angle moitié æaö Si t = tan ç ÷ , on a : è2ø Formulaire de trigonométrie cos(a) = 2t 2t 1- t2 ; sin(a) = ; tan(a) = 1+ t2 1+ t2 1- t2 Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/