Quelques éléments d`algèbre homotopique

QUELQUES ´ EL ´ EMENTS D’ALG ` EBRE HOMOTOPIQUE
GEOFFREY POWELL
TABLE DES MATI ` ERES
1. Introduction 1
2. Espaces topologiques 2
2.1. (Co)limites et homotopie 3
2.2. L’∞-cat´ egorie des espaces topologiques 4
3. Ensembles simpliciaux 5
3.1. Ingr´ edients de la th´ eorie d’homotopie des ensembles simpliciaux 6
3.2. L’∞-cat´ egorie des espaces (encore) 8
4. Complexes de chaˆ ıne 8
4.1. L’∞-cat´ egorie ChA11
Annexe A. Cat´ egories de mod` ele 11
R´ ef´ erences 13
1. INTRODUCTION
Notre objectif est d’introduire quelques ´ el´ ements d’alg`ebre homotopique qui sont
essentiels pour la compr´ ehension de la g´eom´etrie alg´ebrique d´eriv´ee (d’apr` es To¨ en et
Vezzosi [TV05, TV08]), le cadre utilis´ e dans l’´ etude des structures symplectiques
d´ eriv´ ees [PTVV13] (et des structures de Poisson d´ ecal´ ees [CPT+15]).
Remarque 1.1.L’approche de To¨ en et Vezzosi ` a la g´ eom´ etrie alg´ ebrique d´ eriv´ ee
utilise les cat´egories de mod`ele, introduites par Quillen [Qui67] ; ces structures four-
nissent un cadre dans laquelle on peut faire de la th´ eorie d’homotopie abstraite.
L’approche de Lurie [Lur09] ` a la g´ eom´ etrie alg´ ebrique d´ eriv´ ee favorise l’utilisa-
tion des ∞-cat´ egories, des cat´ egories sup´ erieures (plus pr´ ecis´ ement des (∞,1)-
cat´ egories).
Le lecteur est pr´
evenu qu’il existe plusieurs mod` eles possibles pour les (∞,1)-
cat´ egories ; par exemple Lurie utilise les quasi-cat´egories, tandis que To¨ en et Vezzosi
utilise les cat´egories de Segal. Le mod` ele le plus simple conceptuellement est celle des
cat´egories topologiques ; ce mod` ele est tr` es proche ` a celui des cat´egories simpliciaux
(voir [Lur09, Chapter 1]).
Cet expos´ e illustra les id´ees essentielles de l’alg` ebre homotopique ` a l’aide de
quelques exemples fondamentaux, le but principal n’´ etant pas de donner les d´ efinitions
pr´ ecises ou de d´ evelopper la th´ eorie g´ en´ erale. Toutefois, la d´ efinition d’une cat´ egorie
de mod` eles est donn´ ee dans l’appendice. Le lecteur pourra ´ egalement consulter les
r´ ef´ erences standards, par exemple :
— pour les cat´ egories de mod` ele, [DS95], [Qui67], [Hov99], [GJ09], [Rie14], . . .
— pour se faire quelques id´ ees sur les ∞-cat´ egories (et plus g´ en´ eralement les
cat´ egories sup´ erieures) : [Lur09, Chapter 1], [Rie14, Part IV], [Sim12], . . .
Date: Version : 21 d´ ecembre 2015.
1

2 GEOFFREY POWELL
L’article survol de To¨ en [To¨ e14, Section 2] pourrait ´ egalement servir pour se
donner une id´ ee du contexte.
2. ESPACES TOPOLOGIQUES
Soit Top la cat´ egorie des espaces topologiques (compactement engendr´ es et
Hausdorff) et des applications continues. La notion d’homotopie (ou d´ eformation
continue) est fondamentale.
D´efinition 2.1. Soient f, g :X⇒Ydeux morphismes de Top. Une homotopie (de
f` ag) est une famille continue Ht:X→Y,t∈I:= [0,1], telle que H0=fet
H1=g.
La continuit´ e est ´ equivalente au fait que Hd´ efinit un morphisme IX := I×
X→Yet les conditions de bord correspondent au diagramme commutatif
XqX
(f,g)$$
////IX
H
Y.
La relation d’homotopie est une relation d’´ equivalence ∼sur Hom(X, Y )qui est
compatible avec la composition. On ´ ecrit
[X, Y ] := Hom(X, Y )/∼
pour l’ensemble des classes d’homotopie.
Remarque 2.2.On obtient la notion d’´ equivalence d’homotopie : une application
continue f:X→Yest une ´ equivalence d’homotopie s’il existe g:Y→Xtel que
g◦f∼1Xet f◦g∼1Y.
D´efinition 2.3.
(1) Soient (X, x)un espace topologie point´e et n∈N; le n-i` eme groupe d’homo-
topie (ensemble pour n= 0) est
πn(X, x) := [Sn, X]•
(classes d’homotopie point´ee).
(2) Une application continue f:X→Yest une ´equivalence faible si, ∀x∈X, n ∈
N,
πn(f) : πn(X, x)→πn(Y, f(x))
est un isomorphisme. La classe des ´ equivalences faibles est d´ enot´ ee W.
(3) La cat´ egorie homotopique des espaces topologiques est la cat´ egorie loca-
lis´ ee :
H:= Top[W−1]
(on inverse ‘formellement’ les ´ equivalences faibles).
Propri´et´es 2.4.
(1) Toute ´ equivalence d’homotopie est une ´ equivalence faible (exercice !). La
r´ eciproque est fausse.
(2) La classe Wcontient les morphismes identit´ e.
(3) La classe Wsatisfait la propri´ et´ e2 sur 3 : si deux entre {f, g, g ◦f}appar-
tiennent ` aW, le troisi` eme aussi.
Remarque 2.5.La cat´ egorie H, d´ efinie comme ci-dessus, est extrˆ emement difficile
`
a manipuler. La solution est d’utiliser des r´esolutions par des espaces qui ont un
bon comportement par rapport ` a l’homotopie, ` a savoir les CW-complexes (plus
g´ en´ eralement, les espaces ayant le type d’homotopie d’un CW-complexe).

QUELQUES ´ EL ´ EMENTS D’ALG ` EBRE HOMOTOPIQUE 3
On n’a pas besoin ici de la d´ efinition explicite d’un CW-complexe ; ce sont les
propri´ et´ es suivantes qui nous int´ eressent :
Propri´et´es 2.6.
(1) (Le th´eor`eme de Whitehead.) Toute ´ equivalence faible entre deux CW-complexes
est une ´ equivalence d’homotopie.
(2) (R´esolutions cellulaires.) Tout espace topologique Xadmet une r´ esolution
ΓX' →X, c’est ` a dire une ´ equivalence faible ` a partir d’un CW-complexe.
(Plus g´ en´ eralement, tout morphisme f:X→Yse rel` eve en Γf: ΓX→
ΓY.)
Th´eor`eme 2.7. La cat´egorie Hest ´equivalente `a la cat´egorie TopCW /∼, dont les objets
sont les CW-complexes et les morphismes les classes d’homotopie d’applications continues.
Exemple 2.8. Soit X⊂Rle sous-espace X:= {0} ∪ { 1
n|n∈N+}et consid´
erer N
comme espace topologique discret. Il existe une bijection f:N→Xd’ensembles,
(n´ ecessairement continue, mais pas un hom´ eomorphisme). fest une ´ equivalence
faible mais pas une ´ equivalence d’homotopie.
Tandis que Nest un CW-complexe, Xn’a pas le type d’homotopie d’un CW-
complexe ; le morphisme ffournit une r´esolution.
Remarque 2.9.Tout espace topologique est fibrant : on n’a pas besoin de former une
r´ esolution X' →RX ∗` a droite, o` uRX est fibrant.
2.1. (Co)limites et homotopie. Un point embˆ etant lorsqu’on travaille avec la th´ eorie
d’homotopie est que plusieurs foncteurs fondamentaux ne pr´eservent pas les ´equivalences
faibles. Ceci nous oblige de consid´ erer les foncteurs d´eriv´es (lorsqu’ils existent !).
Pour quelques aspects de la th´ eorie g´ en´ erale, voir [Rie14, Chapter 2] et [DS95,
Section 9]. Ici on illustre le ph´ enom` ene par les produits fibr´ es et les sommes amal-
gam´ ees.
Exemple 2.10. Soient Xun espace topologique et x, y ∈X. Le produit fibr´ e de
∗
x
∗y//X
est {x} ×X{y}, donc vide si x6=yet ∗si x=y.
La construction du produit fibr´ e n’est pas invariante par ´ equivalence faible en
g´ en´ eral ; par exemple, il existe une factorisation
∗∼//
x!!
PxX
p
X
o` uPxX:= {x} ×XXIest l’espace des chemins γ:I→Xtels que γ(0) = xet
p(γ) = γ(1). Le morphisme d´ ecor´ e∼est une ´ equivalence d’homotopie, puisque
PxXest contractile, en particulier il est une ´ equivalence faible. (La fl` eche indique
une fibration, mais nous n’en avons pas besoin ici.)
Le produit fibr´ e de
PxX
p
∗y//X
(1)

4 GEOFFREY POWELL
est l’espace Px,yXdes chemins de x` ay. Si x=y, ceci est l’espace des lacets ΩxX
bas´ es ` ax; si Xest connexe par arcs Px,yXest non-vide. En g´ en´ eral ces espaces sont
hautement non-triviaux.
Remarque 2.11.
(1) Le fait que psoit une fibration entraˆ ıne que le produit fibr´ e de (1) donne la
correcte construction du point de vue de la th´ eorie d’homotopie : il s’agit de
la limite homotopique.
(2) Il est int´ eressant de comparer cette construction avec le produit fibr´ ehomo-
topique d’un diagramme de groupo¨ ıdes
G1
f1
→G3
f2
←G2.
Le produit fibr´ e homotopique G1×h
G3
G2a pour objets les triplets (X1, X2, γ),
ou Xiest un objet de Giet γ:f1X1→f2X2un morphisme de G3.
On peut ´ egalement consid´ erer les colimites homotopiques :
Exemple 2.12. Soit X6=∅un espace topologique ; alors la somme amalgam´ ee de
X//
∗
∗
est ∗.
Cette construction n’est pas invariant par ´ equivalence faible ; par exemple, consid´ erons
la factorisation ` a travers le cˆ one sur X:
X////
""
CX
'
∗
(o ` uindique une cofibration, fait dont nous n’avons pas besoin).
La colimite de
X//// CX
∗
(2)
est ΣX, la suspension (non-r´ eduite) de X, en g´ en´ eral 6' ∗.
Remarque 2.13.Le fait que XCX soit une cofibration entraˆ ıne que la colimite
de (2) est la bonne construction homotopique,` a savoir la colimite homotopique ou
hocolim.
2.2. L’∞-cat´egorie des espaces topologiques. En th´ eorie d’homotopie, on peut
consid´ erer que l’objet d’int´ erˆ et principal est
H:= Top[W−1],
qui admet un mod` ele plus maniable, ` a savoir TopCW /∼.
Cependant, on souhaite retenir des renseignements sur les constructions telles
que les limites et colimites homotopiques. Ceci m` ene in´ eluctablement ` a la th´ eorie
des ∞-cat´ egories : on ´ etudie la cat´ egorie topologique des CW-complexes.
D´efinition 2.14. Soit C W la cat´ egorie dont les objets sont les CW-complexes et
l’espace des morphismes de X` aYest l’espace fonctionnel
Map(X, Y )
(topologie compacte ouverte).

QUELQUES ´ EL ´ EMENTS D’ALG ` EBRE HOMOTOPIQUE 5
Remarque 2.15.
(1) Les cat´ egories topologiques fournissent un mod` ele de la th´ eorie des (∞,1)-
cat´ egories (voir [Lur09, Chapter 1]).
(2) La cat´ egorie homotopique hCd’une cat´ egorie topologique Cs’obtient en
passant aux composantes connexes. Explicitement :
HomhC(X, Y ) := π0Map(X, Y ).
Par exemple, la cat´ egorie homotopique hC W est pr´ ecis´ ement H.
Remarque 2.16.Rappelons en passant qu’on associe ` a un espace topologique Xson
groupo¨ ıde fondamental ΠX. On peut consid´ erer les espaces topologiques comme
mod` ele des ∞-groupo¨ıdes.
3. ENSEMBLES SIMPLICIAUX
D´efinition 3.1.
(1) Soit ∆la cat´ egorie des ordinaux finis, ayant pour objets {n|n∈N}et Hom∆(m, n)
l’ensemble des applications (0,1, . . . , m)→(0,1, . . . , n)pr´ eservant l’ordre
≤.
(2) Pour Cune cat´ egorie,
(a) la cat´ egorie ∆opCdes objets simpliciaux de Cest la cat´ egorie des foncteurs
∆op →Cet des transformations naturelles ;
(b) la cat´ egorie ∆Cdes objets cosimpliciaux ∆Cest la cat´ egorie des foncteurs
∆→Cet des transformations naturelles.
En particulier, la cat´ egorie des ensembles simpliciaux est ∆opEns, ou Ens
est la cat´ egorie des ensembles.
Exemple 3.2. On peut consid´ erer l’ensemble totalement ordonn´ e{0,1, . . . , n}comme
une petite cat´ egorie, donc n7→ {0,1, . . . , n}d´ efinit un foncteur ∆→CAT, ou CAT
est la cat´ egorie des petites cat´ egories. Autrement dit, ceci d´ efinit une cat´ egorie co-
simpliciale (un objet de ∆CAT).
Par cons´ equent, pour toute petite cat´ egorie C, on dispose d’un ensemble sim-
plicial NC∈∆opEns, d´ efini par :
(NC)n:= HomCAT(n, C),
le nerf de C. Cette construction d´ efinit un foncteur pleinement fid` ele :
N: CAT →∆opEns.
Ceci ´ etablit la relation entre les petites cat´ egories et les ensembles simpliciaux et
sert comme motivation pour la d´efinition des quasi-cat´ egories (voir [Lur09, Chapter
1]).
D´efinition 3.3. Pour n∈N, soit ∆n∈∆opEns l’ensemble simplicial repr´ esentable
Hom∆(−, n).
Proposition 3.4. Soient X∈∆opEns et n∈N. Par le lemme de Yoneda, il existe un
isomorphisme naturel
Hom∆opEns(∆n, X)∼
=Xn.
Les ensembles simpliciaux fournissent un mod` ele combinatoire pour les es-
paces topologiques ; pour expliquer ce fait, on rappel la r´ ealisation g´ eom´ etrique.
D´efinition 3.5. Pour n∈N, soit ∆n
top ⊂Rn+1 le simplexe topologique enveloppe
convexe de {ei|1≤i≤n+ 1}(la base standard).