Objets cosimpliciaux, limites homotopiques

Objets cosimpliciaux, limites homotopiques
Notes d’expos´e du groupe de travail
Topologie Alg´ebrique
(Nantes)
Salim RIVIERE
F´evrier 2011
1 Approche constructive
1.1 Objets simpliciaux et cosimpliciaux
1.1.1 D´efinitions
D´efinition 1.1.1 La cat´egorie ∆est celle dont les objets sont les ensembles
ordonn´es n := {0,1,· · · , n}(n∈N), et les morphismes sont les applications
non d´ecroissantes φ:n→m i.e
∀i, j ∈n, i 6j⇒φ(i)6φ(j)
Proposition 1.1.2 Les morphismes de ∆sont engendr´es par les applications
di
n:n-1 →n et si n:n+1 →n d´efinies par
di
n(j) := jsi j < i
j+ 1 sinon
et
si
n(j) := jsi j6i
j−1sinon
pour tous ndans Net 06i6n.
D´efinition 1.1.3 Un objet cosimplicial d’une cat´egorie Cest un foncteur (co-
variant)
X: ∆ → C
Un objet simplicial d’une cat´egorie Cest un foncteur contravariant
X: ∆ → C
c’est `a dire un foncteur covariant X: ∆op → C.
Proposition 1.1.4 Soit Cune cat´egorie. La donn´ee d’un objet simplicial X:
∆→ C est ´equivalente `a la donn´ee
– Pour tout entier n, d’un objet Xnde C.
1

– Pour tous entiers net javec 06i6n, de deux morphismes de C
dn
i:Xn→Xn−1(si n>1) et sn i:Xn→Xn+1
tels que les relations simpliciales suivantes soient v´erifi´ees pour tout
entier nstrictement positif (lorsque cela a du sens) :
dn
idn+1
j=dn
j−1dn+1
isi i<j
sn
isn−1
j=sn
jsn−1
i−1si i>j
dn
isn−1
j=
sn−2
j−1dn−1 isi i < j
id si i=jou i=j+ 1
sn
jdn−1
i−1si i>j+ 1
De mˆeme la donn´ee d’un objet cosimplicial de Cest ´equivalente `a la donn´ee
d’objets Xnde Cpour tout entier n, ainsi que de morphismes di
n:Xn−1→Xn
(pour n>1) et si
n:Xn+1 →Xnpour tout idans [|0, n|], assujettis aux
relations cosimpliciales suivantes :
dj
n+1di
n=di
n+1dj−1
nsi i<j
sj
n−1si
n=si−1
n−1sj
nsi i>j
sj
n−1di
n=
di
n−1sj−1
n−2si i<j
id si i=jou i=j+ 1
di−1
n−1sj
nsi i>j+ 1
On notera un objet tel simplicial ((Xn)n>0,(dn
i),(sn i)).
1.1.2 R´ealisation et Totalisation
D´efinition 1.1.5 Un espace topologique simplicial (resp. espace topologique
cosimplicial) est un objet simplicial (resp. cosimplicial) dans la cat´egorie Top.
Le terme espace simplicial sera ici une abr´eviation du terme espace topologique
simplicial.
D´efinition 1.1.6 Soit X:= ((Xn)n>0,(dn
i),(sn i)) un espace topologique simpli-
cial. Sa r´ealisation, not´ee |X|est l’espace topologique quotient :
a
n>0
Xn×∆[n]/∼
o`u la relation d’´equivalence ∼est celle engendr´ee par les relations suivantes :
(dn+1
ix, y)∼(x, di
n+1y)∀(x, y)∈Xn+1 ×∆[n]
et
(sn−1
ix, y)∼(x, si
n−1y)∀(x, y)∈Xn−1×∆[n]
pour tout entier n>1.
Il est possible de d´efinir la r´ealisation d’un espace simplicial comme le co´egalisateur
d’une paire d’applications continues :
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Proposition 1.1.7 Soit X:= ((Xn)n>0,(dn
i),(sn i)) un espace topologique sim-
plicial. D´efinissions deux applications continues fet f0
f, f0:a
φ:m→n
Xn×∆[m]→a
n>0
Xn×∆[n]
o`u les φ:m→n parcourent toutes applications croissantes (des morphismes
de ∆) de m dans n pour toutes les paires d’entiers (m, n)possibles. Ainsi, pour
tout φ:m→n et pour tout (x, ¯ t)dans Xn×∆[m], posons
f((x, ¯ t)) := (x, φ∗(¯ t)) ∈Xn×∆[n]
et
f0((x, ¯ t)) := (φ∗(x),¯ t)∈Xm×∆[m]
o`u φ∗:= ∆(φ)et φ∗:= X(φ) : Xn→Xmest l’application induite par φvia
le foncteur X. La r´ealisation de Xest alors l’´egaliseur de la paire de fl`eches
(f, f0)ainsi d´efinie :
a
φ:m→n
Xn×∆[m]f//
f0
//a
n>0
Xn×∆[n]//|X|
Cette d´efinition de la r´ealisation d’un espace simplicial en terme de co´egaliseur
se “dualise” pour donner une d´efinition de totalisation d’un espace cosimplicial
en terme d’´egaliseur :
D´efinition 1.1.8 Soit X:= ((Xn)n>0,(di
n),(si n)) un espace cosimplicial. D´efinissons
deux applications continues get g0
g, g0:Y
n>0
Hom(∆[n], Xn)→Y
φ:m→n
Hom(∆[m], Xn)
par leur composantes dans chacun des Hom(∆[m], Xn)lorsque φ:m→n
d´ecrit les morphismes de ∆. Ainsi pour un tel φ, et pour tout f= (fn)n>0dans
Qn>0Hom(∆[n], Xn)la composante de g(f)dans le facteur correspondant `a φ
est g(f)φ:= X(φ)◦fmet celle de g0(f), not´ee g0(f)φest fn◦∆(φ).
La totalisation de X, not´ee totXest alors l’´egaliseur de la paire de fl`eches
parall`eles (g, g0):
totX//Y
n>0
Hom(∆[n], Xn)g//
g0
//Y
φ:m→n
Hom(∆[m], Xn)
C’est l’ensemble des familles d’applications continues {fn: ∆[n]→Xn}n>0
telles que le diagramme
∆[m]∆(φ)//
fm
∆[n]
fn
Xm
X(φ)
//Xn
commute pour tout morphisme φ:m→n de la cat´egorie ∆.
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1.2 Limites et colimites homotopiques dans Top
Nous allons maintenant associer `a chaque diagramme de Top un espace
simplicial dont la r´ealisation sera la colimite homotopique du diagramme de
d´epart.
1.2.1 D´efinitions de hocolim et holim
D´efinition 1.2.1 Soient Cune cat´egorie et Dune petite cat´egorie. Un dia-
gramme de forme Ddans Cest un foncteur F:D → C.
D´efinition 1.2.2 Soit Dune petite cat´egorie. Le nerf de D, not´e N(D) =
((N(D)n)n>0,(dn
i),(sn i)) est l’ensemble simplicial d´efini par
– Pour tout entier n,
N(D)n:= nc0
α1
→c1
α1
→ · · · αn →cn/ ci∈Ob(D), αi∈HomD(ci, ci+1)o
c’est `a dire que les n-simplexes de N(D)sont les chaˆınes de nfl`eches
composables de D.
– pour tous net ientiers tels que 06i6n, et pour tout n-simplexe
σ:= c0
α0
→c1
α1
→ · · · αn−1 →cndans N(D)n,
dn
i(σ) := 
c0
α0
→c1
α1
→ · · · → ci−1
αiαi+1
→ci+1 → · · · αn →cnsi 0< i < n
c1
α2
→c2→ · · · → cn−1
αn
→cnsi i= 0
c0
α1
→c1→ · · · → cn−2
αn−1
→cn−1si i=n
et
sn
i(σ) := c0
α1
→c1→ · · · αi →ci
Id
→ci→ · · · → cn−1
αn
→cn
Ceci va nous permettre d’associer un espace simplicial `a tout diagramme
dans Top :
D´efinition 1.2.3 Soient Dune petite cat´egorie et F:D → Top un diagramme
de forme Ddans Top. Le remplacement simplicial de Fest l’espace simpli-
cial qF= (((qF)n)n>0,(dn
i),(sn i)) d´efini par
– Pour tout entier n,
(qF)n:= a
c0
α1
→c1···
αn
→cn
∈N(D)n
F(c0)
– pour tous entiers net itels que 06i6n, et pour tout n-simplexe (du nerf
N(D)n)σ:= c0
α1
→c1· · · αn →cn,dn
irestreinte au facteur F(c0)σassoci´e `a
σest
– l’identit´e de F(c0)σdans F(c0)diσ⊂(q∗ F)n−1si i > 0
– l’application F(α1) : F(c0)σ→F(c1)d0σ⊂(q∗ F)n−1si i= 0.
et l’application sn
irestreinte au facteur F(c0)σ⊂(q∗
F)nassoci´e `a σest
l’identit´e de F(c0)dans F(c0)sn
iσ.
Ce qui nous conduit `a d´efinir la colimite homotopique d’un diagramme de
forme D
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D´efinition 1.2.4 Sous les hypoth`eses de la d´efinition pr´ec´edente, la colimite
homotopique du diagramme F, not´ee hocolimF, est d´efinie par
hocolimF:= | q∗F|
Une construction analogue permet de d´efinir la limite homotopique d’un
diagramme dans Top :
D´efinition 1.2.5 Soient Dune petite cat´egorie et F:D → Top un dia-
gramme. Le remplacement cosimplicial de Fest l’espace cosimplicial Π∗ F=
(((Π∗ F)n)n>0,(di
n),(si n)) d´efini par :
– Pour tout entier n,
(Π∗ F)n:= Y
c0
α1
→c1···
αn
→cn
∈N(D)n
F(cn)
– Pour tous net ientiers tels que 06i6n, et pour tout n-simplexe σ:=
c0
α1
→c1· · · αn →cnde N(D)n, la composante de di
n: (Π∗
F)n−1→(Π∗ F)n
dans le facteur F(cn)σde (Π∗ F)nassoci´e `a σest
– la compos´ee de la projection pdiσ(Π∗ F)n−1→F(cn)diσsur le facteur
F(cn)diσassoci´e `a diσet de l’identit´e de F(cn)diσdans F(cn)σlorsque
i<n,
– la compos´ee de la projection pi,σ (Π∗ F)n−1→F(cn−1)diσsur le facteur
F(cn−1)diσassoci´e `a diσsuivie de l’application identit´e de F(cn−1)diσ
dans F(cn−1)σpostcompos´ee enfin avec l’application F(αn) : F(cn−1)σ→
F(cn)σlorsque i=n.
Et la composante de si
n: (Π∗
F)n+1 →(Π∗ F)ndans le facteur F(cn)σde
(Π∗ F)nassoci´e `a σest la compos´ee de la projection psiσsur le facteur
F(cn)siσassoci´e au n+ 1 simplexe siσ, et de l’identit´e de F(cn)siσdans
F(cn)σ.
ce qui conduit `a
D´efinition 1.2.6 Sous les hypoth`eses pr´ecedentes, la limite homotopique du
diagramme Fest l’espace topologique not´e holimFd´efini par
holimF:= totΠ∗ F
1.2.2 Deux exemples : Le push-out et le pull-back homotopiques
Une colimite homotopique : le push-out homotopique :
Notons Dla cat´egorie `a trois objets a,bet cet deux morphismes f,gqui
ne sont pas des identit´es, repr´esent´ee par le diagramme
a//
b
c
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