électrostatique - mpsi1-fenelon-sainte

électrostatique
Table des matières
1 charge électrique 3
1.1 définitionetpropriétés.............................. 3
1.2 description de la charge électrique à l’échelle macroscopique . . . . . . . . . 3
1.2.1 densité volumique de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 densité surfacique de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 densité linéique de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 champ électrostatique 4
2.1 loideCoulomb .................................. 4
2.2 champ créé par une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 champ créé par une distribution de charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . 6
2.4 champ créé par une distribution "continue" de charges . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Lignesdechamp ................................. 7
3 Invariances et symétries 8
3.1 Invariances des distributions de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Plan de symétrie et plan d’antisymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Conséquences pour le champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 exemples de calculs de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4.1 champ dans le plan médiateur d’un segment uniformément chargé . . 10
3.4.2 champ sur l’axe d’un disque uniformément chargé . . . . . . . . . . . 11
4 aspects énergétiques : circulation du champ électrostatique, potentiel
électrostatique 11
4.1 circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 circulation du champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 exemple : potentiel créé par un circonférence uniformément chargée . . . . . 13
4.5 surfaces équipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.6 propriétés de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 énergie potentielle électrostatique 15
5.1 énergie potentielle d’une charge placé dans un champ . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 énergie potentielle d’interaction entre deux charges . . . . . . . . . . . . . . 15
6 flux du champ électrostatique, théorème de Gauss 15
6.1 vecteur élément de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 flux d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.3 flux du champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.4 applications : calculs de champs et de potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.4.1 boule uniformément chargée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.4.2 fil infini uniformément chargé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.4.3 plan infini uniformément chargé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4.4 récapitulatif................................ 18
1

7 analogie avec le champ de gravitation 20
7.1 l’interaction gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.2 champgravitationnel............................... 20
7.3 symétries ..................................... 20
7.4 potentiel, énergie potentielle de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.5 théorèmedeGauss ................................ 20
7.6 exemple : champ de gravitation créé par une distribution sphérique de masse 21
7.7 résultats non transposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8 le dipôle électrostatique 21
8.1 définitions..................................... 21
8.2 potentiel électrostatique créé par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.3 champ électrostatique créé par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.4 lignes de champ ; surfaces équipotentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.5 action d’un champ électrique sur un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.5.1 champuniforme ............................. 24
8.5.2 champ non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2

1 charge électrique
1.1 définition et propriétés
Les expériences d’électrisation, par frottement, par contact ou par influence, sont connues
depuis l’Antiquité, notamment grâce à l’étude de l’ambre ("elektron" en grec). Au niveau
microscopique, la charge électrique est une caractéristique que l’on peut attribuer à toute
particule élémentaire qui participe à l’interaction électromagnétique.
- Il existe deux types de charges électriques : positives et négatives, les interactions élec-
triques pouvant être attractives ou répulsives.
- La charge électrique d’une espèce chimique observable à l’état libre est quantifiée : q=ne
avec n ∈Zet e = 1,6.10−19C. Ceci est prouvé par l’expérience de Millikan (voir exercices
de mécanique).
- La charge électrique est invariante par changement de référentiel.
- La charge électrique d’un système isolé électriquement se conserve.
Remarques :
- il existe des particules non chargées.
- A toute particule chargée, correspond une antiparticule de charge opposée.
- Les quarks ont une charge inférieure à e en valeur absolue, mais ils ne sont pas observables
isolément.
1.2 description de la charge électrique à l’échelle macroscopique
Attribuer une charge électrique à chaque atome (ou ion) alors que l’on s’intéresse à une
quantité de matière d’ordre macroscopique, revient à envisager une fonction de répartition
de la charge électrique qui est nulle pratiquement en tout point de l’espace, sauf en un
nombre fini (néanmoins extrêmement important) de points, pour lesquels elle est multiple
de e.
Cette fonction présente donc un nombre considérable de discontinuités. Le problème est
exactement le même concernant la description de la masse vue en thermodynamique : celle-
ci est répartie de façon discrète au niveau microscopique, mais nous avons l’impression
d’une répartition continue (ou en tout cas présentant un nombre limité de discontinuités)
au niveau macroscopique. Il est donc impossible à traiter tel quel mathématiquement.
Si on considère un volume V contenant une charge totale q, on ne peut se contenter de
dire qu’il contient une charge q/V par unité de volume : la charge n’est pas nécessairement
répartie uniformément.
1.2.1 densité volumique de charges
Il faut donc envisager de subdiviser l’espace en volumes élémentaires dτ(échelle mésosco-
pique), petits à l’échelle macroscopique mais grands par rapport au volume d’une charge
élémentaire, donc contenant un grand nombre d’entités chargées.
Si dq =Pqiest la charge contenue dans le volume dτ autour du point M, on peut alors
écrire
dq =ρ(M)dτ
3

ρ(M) = dq
dτ est la densité volumique de charge au voisinage de M, exprimée en C.m−3.
Remarque : Plus dτsera petit devant les dimensions du système, meilleure sera la pré-
cision. En revanche, il faut que dτreste grand devant les dimensions microscopiques afin
de ne pas laisser apparaître l’aspect discret de la répartition de la matière.
1.2.2 densité surfacique de charges
La répartition de matière peut être telle que l’une des dimensions soit négligeable devant
les deux autres. La charge dq portée par le volume mésoscopique dτsitué autour du point
M peut toujours s’écrire : dq =ρ(M)dτ. Par ailleurs, dτ= e(M)dS où e(M) est l’épaisseur
du volume au voisinage de M et dS sa section. On a alors dq =ρ(M)dτ =ρ(M)e(M)dS.
Quand e(M)tend vers 0, le produit ρ(M)e(M)reste non nul.
dq =ρ(M)edS =σ(M)dS
σ(M)est la densité surfacique de charge au point M, exprimée en C.m−2.
1.2.3 densité linéique de charges
Si deux des 3 dimensions sont négligeables par rapport à la troisième, on peut définir
comme précédemment une densité linéique de charge ou charge linéique
dq =λ(M)dl
avec λ=ρ(M)dS, densité linéique de charge, exprimée en C.m−1.
Remarque : la modélisation par une distribution volumique est toujours valable, au contraire
des disributions surfaciques et linéiques.
2 champ électrostatique
2.1 loi de Coulomb
S’inspirant de la loi de la gravitation énoncée par Newton, Coulomb monte une expérience
utilisant une balance de torsion qu’il a préalablement étudiée pour mesurer de façon très
sensible la force d’interaction entre deux conducteurs chargés.
4

Un conducteur est solidaire d’une tige horizontale suspendue à un fil métallique fixé à son
extrémité supérieure. On introduit un deuxième conducteur à l’intérieur de la balance. Les
deux conducteurs initialement en contact sont électrisé par contact avec un troisième.
Ils acquièrent des charges de même signe et se repoussent. La force exercée par 1 sur 2 est
donc dirigée suivant M1M2et de M1vers M2.
Pour réduire la distance entre les deux conducteurs, il faut exercer une certaine torsion
sur le fil. L’angle de torsion du fil est proportionnel à la force entre les deux charges et
on constate expérimentalement qu’il est inversement proportionnel au carré de la distance
séparant les deux charges.
L’expression actuelle de la loi de Coulomb est la suivante :
Soient deux charges ponctuelles q1et q2, respectivement situées en deux points
M1et M2; la force exercée par M1sur M2dans le vide s’écrit :
−→
F1→2=1
4π0
q1q2
M1M2
2
−−−−→
M1M2
M1M2
=−−→ F2→1
avec 1
4π0
= 9.109SI permittivité diélectrique du vide.
Remarque 1 : Dans un milieu isolant (diélectrique) caractérisé par sa permittivité rela-
tive εr, elle devient : −→ F1→2=1
4π0r
q1q2
M1M2
2
−−−−→
M1M2
M1M2
. Ainsi, pour l’eau εr≈80 car les
charges électriques sont écrantés par les molécules d’eau qui solvatent l’entité chargée.
C’est ce qui confère à l’eau son carctère dissociant.
Remarque 2 : Cette expression n’est valable que dans le cadre de l’électrostatique, c’est-à-
dire pour deux charges fixes dans le référentiel d’étude. (Sinon, il faut travailler avec des
forces électromagnétiques. Cela reste néanmoins une bonne approximation si les vitesses
des particules sont faibles devant c.)
Remarque 3 : L’intensité des forces électrostatiques explique la neutralité de la matière.
2.2 champ créé par une charge ponctuelle
Une charge ponctuelle q en Oexerce sur une charge ponctuelle q’ placée en un point M
une force
−→
Fq→q0=1
4π0
qq0
OM2
−−→
OM
OM =q0q 4π0
−−→
OM
OM3
Le rapport
−→
F
q0est indépendant de la charge q’. Il ne dépend que de q et des coordonnées
du point M. On peut donc considérer que la présence de la charge q au point O modifie les
propriétés de l’espace autour d’elle. La charge q crée un champ électrostatique, exprimé en
5