PRIMITIVES d` une FONCTION

PRIMITIVES d’ une FONCTION
DEFINITION 1 : ( Primitive d’une fonction )
Soit I un intervalle quelconque de IR.
Soit f une fonction définie sur I.
Une fonction F est une primitive de f sur I si les 2 points suivants sont vérifiés :
(1) F est dérivable sur I
(2) F ’(x) = f(x) pour tout x ∈ I ( la dérivée de F est f ).
Remarques :
Pour vérifier que « F est une primitive de f » il suffit de vérifier que F ’ = f ( la dérivée de F est f ).
Exemple :
1 Soit f définie sur IR par f(x) = 5.
Soit F
1
définie sur IR par F
1
(x) = 5x.
F
1
est dérivable sur IR donc (1) est vérifié
F
1
’(x) = 5 = f(x) pour tout x ∈ IR donc (2) est vérifié donc F
1
est une primitive de f sur IR.
De même, pour F
2
(x) = 5x + k où k est un nombre réel quelconque, on a F
2
’(x) = 5 = f(x) , F
2
est
aussi une primitive de f sur IR, f admet une infinité de primitives ( autant qu’il y a de valeurs de k ).
THEOREME 1 : ( ensemble des primitives d’une fonction )
Soit f une fonction définie sur un intervalle de I de IR.
Soit F une primitive de f.
Si G est une ( autre )primitive de f sur I.
Alors G(x) = F(x) + k avec k ∈ IR
Autrement dit : Toute primitive de f est de la forme F(x) + k avec k ∈ IR.
Application :
Soit f définie sur IR par f(x) = 3x² + 4x + 10.
Déterminons l’unique primitive de f valant 2 pour x = 1.
F définie par F(x) = x
3
+ 2x² + 10x est une primitive de f car F’(x) = 3x² + 4x +10 = f(x).
donc toute primitive de f est de la forme F(x) = x
3
+ 2x² + 10x + k ( k ∈ IR )
or F(1) = 2 donc 1
3
+ 2×1² + 10×1 + k = 2 donc 13 + k = 2 donc k = 2 – 13 = – 11.
Conclusion : F(x) = x
3
+ 2x² + 10x – 11 est l’unique primitive de f valant 2 pour x = 1.
PROPRIETE 1 : ( somme de 2 fonctions et produit d’ un nombre par une fonction )
Soient f et g deux fonction définies sur un intervalle I de IR et a un nombre réel.
1
11
1 Addition : Si F et G sont des primitives de respectivement f et g
Alors F + G est une primitive de la fonction f + g .
2
22
2 Proportionnalité : Si F est une primitive de f
Alors aF est une primitive de af
Exemples :
1 h(x) = 2x + 5 : f(x) = 2x a pour primitive F(x) = x² et g(x) = 5 a pour primitive G(x) = 5x
donc h(x) = 2x + 5 a pour primitive H(x) = x² + 5x. (on additionne les primitives des fonctions )

2 h(x) = 10x : f(x) = x a pour primitive F(x) = x²
2 donc h(x) = 10x donne H(x) = 10× x² 2 = 5x².
( on multiplie la primitive de la fonction par le nombre 10)
Remarque : Il n’y a pas de règle générale pour la multiplication et la division de fonctions.
1 une primitive de f × g n’est pas F × G
2 une primitive de f
g n’est pas F G . 3 une primitive de 1
f n’est pas 1
F .
PROPRIETE 2 : ( TABLEAU des PRIMITIVES des FONCTIONS USUELLES ) :
F(x) f(x)
k ∈ IR 0
x 1
2x 2
–3x –3
ax a ( a ∈ IR )
x²
2 x
x
3
3 x²
x
4
4 x
3
x
n +1
n + 1 x
n
( n ∈ IN* )
x
α + 1
α + 1 x
α
( α ∈ IR* -{–1} )
2
3 x
3/2
x = x
½
2 x 1x
ln x 1
x
–1
x 1 x²
–1
2x² 1 x
3
–1
3x
3
1
x
4
–1
( n – 1 )x
n – 1
1
x
n
( n ∈ IN* et n ≠ 1 )
e
x
e
x

Exemples : 1 f(x) = 2x
3
– x² + 5x + 2 donc F(x) = 2× x
4
4 – x
3
3 + 5× x² 2 + 2x = x
4
2 – x
3
3 + 5x² 2 + 2x.
2 f(x) = 2
x – 3 x² = 2× 1 x – 3× 1 x² donc F(x) = 2 lnx –3×( –1 x) = 2lnx + 3
x.
PROPRIETE 3 : ( PRIMITIVES pour les FONCTIONS COMPOSEES ) :
Exemples :
1 f(x) = 2(2x + 5)
4
on remarque que f est de la forme f = u
4
u’ donc F = u
5
5 avec
u(x) = 2x + 5
u’(x) = 2
d’où : F(x) = (2x + 5)
5
5
.
2 f(x) = 3
3x + 5
,on remarque que f est de la forme f = u’
u donc F = lnu avec
u(x) = 3x + 5
u’(x) = 3
d’où : F(x) = ln(3x +5).
3 f(x) = 2x +5
( x² + 5x – 10 )
5
, on remarque que f est de la forme f = u’
u
5
donc F = –1
4u
4
avec u(x) = x² + 5x – 10
u’(x) = 2x +5 d’où F(x) = –1
4(x² +5x –10)
4
.
Alors F(x) est de la forme Si f(x) est de la forme
u
2
2 u.u’
u
3
3 u². u’
u
4
4 u
3
. u’
u
n + 1
n + 1 u
n
.u’ ( n ∈ IN* )
u
α + 1
α + 1 u
α
.u’ ( α ∈ IR*- {–1} )
2 u u’
u
ln u u'
u
–1
u u’ u²
–1
2u² u’ u
3
–1
(n – 1)u
n –1
u’
u
n
( n ∈ IN* et n ≠ 1 )
e
u(x)
u’(x)e
u(x)

4 f(x) = (2x + 5)
4
on remarque que f est presque de la forme f = u
4
u’ , on écrit alors
f(x) = 1
2 × 2 (2x + 5)
4
, f est alors de la forme f = 1
2u
4
u’ donc F = 1
2 × u
5
5 avec
u(x) = 2x + 5
u’(x) = 2
d’ou F(x) = (2x + 5)
5
10 .
(3) f(x) = e
– 5x + 12
donne F(x) = –1
5 e
– 5x + 12
+ k ( k ∈ IR ).
(4) f(x) = (2x +5)( x² + 5x – 10 )
5
donne f(x) = u’(x)[u(x)]
5
avec
donc F(x) = 1
6 ( x² + 5x – 10 )
6
+ k ( k ∈ IR ).
(6) f(x) = (2x +5)e
x² + 5x – 10
donne f(x) = u’(x) e
u(x)
avec u(x) = x² + 5x – 10
u’(x) = 2x +5
donc F(x) = e
x² + 5x – 10
+ k ( k ∈ IR ).
(7) f(x) = 2x +5
x² + 5x – 10
pour x² + 5x – 10 > 0 donne f(x) = u’(x)
u(x) avec
u(x) = x² + 5x – 10
u’(x) = 2x +5
donc F(x) = ln (x² + 5x – 10) + k ( k ∈ IR ).