V - Olivier GRANIER

Equations locales de l’électromagnétisme
I) Densité volumique de courant :
On considère un ensemble de particules de charge q, de densité particulaire n* et ayant un
mouvement d’ensemble à la vitesse v.
On notera dans la suite :
ρ m = n* q la densité de charges mobiles (exprimée en C.m – 3).
Comment définir l’intensité qui traverse une surface dS quelconque ?
r
r
v
θ rv
n
M (q)
dS
r
v dt
Volume dτ = (vdt )(dS ) cos θ
La quantité de charges électriques dq qui traverse la surface élémentaire dS pendant l’intervalle de
temps dt est :
dq = n * dτ q = n * (dS cos θ vdt ) q
rr
Or, v dS cos θ = v .n dS , d’où :
rv
rr
dq = n * (v .n dS ) qdt = j .n dS dt
où l’on a défini :
r
r
r
j = n* q v = ρ m v
le vecteur densité de courant. L’intensité i :
i=
dq r r
= j .n dS
dt
s’interprète comme le flux du vecteur densité de courant à travers la surface dS orientée.
L’intensité qui traverse une surface finie (S) sera alors :
i=
∫∫
rr
j .n dS
(S )
Diverses schématisations d’une distribution de charges :
Distribution
volumique
surfacique
linéique
Charge
dq = ρ dτ
r r
dC = j dτ
dq = σ dS
r r
dC = j S dS
dq = λ dl
r
r
dC = I d l
Courant
∫∫∫
Intégration
∫∫
(V )
Intensité
∫
(S )
rr
di = j .n dS
(C )
r r
di = j S .d l
i = dq / dt
II) Equation locale de conservation de la charge :
On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d’étude).
Soit ρm la densité volumique de charges mobiles dans le milieu. La charge totale Q(t) comprise
dans le volume à l’instant t vaut : Q(t ) = ∫∫∫
(V )
ρ m dτ
r
j
r
n
ρm
dS
Volume V
La conservation de la charge électrique permet d’écrire :
dQ
= −i (t ) à travers S
dt
Par conséquent :
d 

dt 
∫∫∫
(V )


ρ m ( M , t ) dτ  = −
rr
j .n dS
∫∫
(S )
Le volume (V) étant fixe :
d 

dt 
∫∫∫
(V )


ρ m ( M , t ) dτ  =
∂ρ m ( M , t )
dτ
(V )
∂t
∫∫∫
Finalement, le principe de conservation de la charge conduit à
∂ρ m ( M , t )
dτ = −
(V )
∂t
∫∫∫
∫∫
rr
j .n dS
(S )
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky :
∂ρ m ( M , t )
dτ = −
(V )
∂t
∫∫∫
∫∫∫
r
divj dτ
soit
(V )
r
 ∂ρ m ( M , t )
+ divj  dτ = 0

(V ) 
∂t

∫∫∫
Ce résultat étant vrai pour tout volume (V), il vient :
r
∂ρ m ( M , t )
+ divj = 0
∂t
C’est l’équation locale de conservation de la charge électrique.
* Remarque : une telle forme d’équation se retrouve couramment lorsque l’on fait le bilan d’une
grandeur scalaire extensive qui, en l’absence de sources, obéit à un principe de conservation :
2
•
Conservation de l’énergie EM (vecteur de Poynting)
•
Conservation de la masse (en mécanique des fluides)
•
Equations de la diffusion et de la chaleur (phénomènes de transport).
* Densité de courant et intensité en régime permanent :
On a alors
∂ρ m ( M , t )
=0
∂t
r
et donc div j = 0 .
On en déduit :
•
L’intensité totale qui sort d’une surface fermée (S) quelconque est nulle en régime
permanent :
i=
∫∫
rr
j .n dS =
(S )
•
r
div j .dτ = 0
∫∫∫
(V )
En régime permanent, l’intensité a même valeur à travers toutes les sections d’un même
tube de champ.
r
On considère une surface fermée (S) constituée par un tube de champ (T) du champ j
(appelé tube de courant) et deux surfaces (S1) et (S2) s’appuyant sur deux contours de même
r
orientation tracés sur (T) et soient I1 et I2 les intensités, flux de j respectivement à travers
(S1) et (S2).
(T)
I1
(C1)
I2
(C2)
(S1)
(S2)
∫∫
(S )
rr
j .n dS = 0 = − I1 + I 2 +
∫∫
(T )
rr
j .n dS = − I1 + I 2
Soit :
I1 = I 2 = I
En régime permanent, l’intensité du courant électrique prend la même valeur dans toute
section d’une branche de circuit. On peut également en déduire la loi des nœuds
(conservation du flux du vecteur densité de courant).
III) Equations de Maxwell :
3
Dans la théorie de Maxwell, l’interaction entre deux particules est transmise par l’intermédiaire de
modifications de proche en proche du champ EM. Cette propagation de l’interaction par
l’intermédiaire du champ EM se fait précisément sous forme d’ondes EM avec la célérité c.
Pour se représenter l’interaction de deux particules dans le cadre d’une théorie de champ, une
image possible est celle de deux bouchons A et B flottant sur l’eau et initialement immobiles. Une
oscillation verticale de A engendre des oscillations de l’eau qui se transmettent de proche en
proche dans toutes les directions jusqu’à ce qu’elles atteignent B qui est alors mis en mouvement.
Les équations de Maxwell sont des équations locales qui expriment des relations entre le champ
r r
r
EM ( E , B) et ses sources ( ρ , j ) :
r
div B = 0
r ρ
div E =
( Equation du flux magnétique − Flux)
( Equation de Maxwell − Gauss − MG )
ε0
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
r
r
∂E
rot B = µ 0 j + ε 0 µ 0
∂t
( Equation de Maxwell − Faraday − MF )
( Equation de Maxwell − Ampère − MA)
* Les équations de Maxwell et la conservation de la charge :
•
Les équations de Maxwell contiennent le principe de conservation de la charge. En effet,
si l’on prend la divergence de l’équation de MA :
r
r
r
r
r
r ∂ρ 
∂E
∂

div (rot B) = 0 = µ 0 div j + ε 0 µ 0 div
= µ 0 div j + ε 0 µ 0
divE = µ 0  div j +

∂t
∂t
∂t 

(
)
Soit :
r ∂ρ
div j +
=0
∂t
Ainsi, il n’est pas nécessaire d’ajouter la conservation de la charge aux postulats de l’EM dans la
mesure où celle-ci découle des équations de Maxwell.
•
Nécessité du courant de
En régime quelconque, on pose
r
r
∂E
déplacement j D = ε 0
:
∂t
r
r r
rot B = µ 0 ( j + j D ) . Alors :
r
r
r
r
1
div j =
div(rot B) − div j D = −div j D
µ0
Soit encore, si l’on veut respecter le principe de conservation de la charge :
r
r
∂ρ
div j = −div j D = −
∂t
En utilisant l’équation de MG :
r
r
∂ρ
∂
− div j D = −
= − ε 0 div E
∂t
∂t
(
)
4
soit
r
r
∂E 
div j D − ε 0
=0
∂t 

La solution la plus simple de cette équation correspond bien au choix du courant de déplacement
r
r
∂E
jD = ε 0
∂t
.
* Les équations de propagation du champ EM :
Soit une distribution (D) de charges localisées autour d’un point O, dont les densités sont
fonction du temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et
r
r
de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source de champs E et B variables dans le
temps qui vont s’établir dans tout le voisinage de O. Un point M de ce voisinage, bien que situé
r
r
en dehors de (D), est lui-même source de champs en raison des termes en ∂B / ∂t et ∂E / ∂t
« provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de
Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des
sources de champs variables dans le temps …
On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de
proche en proche à la surface de l’eau.
« Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées
r
r
partielles par rapport au temps ∂B / ∂t et ∂E / ∂t est à l’origine du phénomène de propagation du
champ EM. »
Obtention des équations de propagation du champ EM :
On calcule le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday :
r
r
∂
rot rot E = −
rot B
∂t
(
)
(
)
Or :
r
r
r
rot rot E = grad div E − ∆E
(
)
(
)
r
r ρ
r
r
∂E
et rot B = µ 0 j + ε 0 µ 0
Avec div E =
, il vient :
ε0
∂t
 ρ
grad 
 ε0
r
r

∂  r
∂E 
 − ∆E = −
µ0 j + ε 0 µ0

∂t 
∂t 

Soit, finalement :
r
r
r
∂2E
∂j
1
∆E − ε 0 µ 0 2 =
grad ρ + µ 0
∂t
ε0
∂t
De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA :
r
r
r
r
r
∂
rot rot B = grad div B − ∆B = µ 0 rot j + ε 0 µ 0
rot E
∂t
(
)
(
(
)
Soit :
r
r
r
∂  ∂B 
grad (0) − ∆B = µ 0 rot j + ε 0 µ 0  −
∂t  ∂t 
Finalement :
r
r
r
∂2B
∆B − ε 0 µ 0 2 = − µ 0 rot j
∂t
5
)
r
r
Dans une région sans charges ni courants ( ρ = 0 et j = 0 ) :
r
r
∂2E r
∆E − ε 0 µ 0 2 = 0
∂t
r
r
∂2B r
∆B − ε 0 µ 0 2 = 0
∂t
et
Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l’on note s(t) l’une des six
coordonnées des champ EM (Ex,…., Bx,…), alors :
∆s − ε 0 µ 0
∂2s
∂t
2
=0
∆s −
soit
1 ∂2s
v 2 ∂t 2
=0
(
1
v2
= ε 0 µ0 )
C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée
équation des cordes vibrantes) établie au XVIIIème siècle pour modéliser les vibrations d’une
corde tendue. Comme le montre le paragraphe suivant, les solutions de cette équation traduisent
un phénomène de propagation de célérité v.
* Résolution de l’équation de d’Alembert : (voir cours sur les ondes mécaniques)
On se propose de résoudre l’équation de d’Alembert unidimensionnelle :
∂2s
∂x 2
−
1 ∂2s
v 2 ∂t 2
=0
De manière symbolique, cette équation peut s’écrire :
∂  ∂
∂
 ∂
− s=0
 v + . v
 ∂x ∂t   ∂x ∂t 
On pose :
p=t+
x
v
et
q=t−
x
v
et, en considérant x et t comme des fonctions de p et de q :
∂
∂p ∂ ∂q ∂
1 ∂
∂ 
=
+
= 
− 
∂x ∂x ∂p ∂x ∂q v  ∂p ∂q 
∂ ∂p ∂ ∂q ∂
∂
∂
=
+
=
+
∂t ∂t ∂p ∂t ∂q ∂p ∂q
On en déduit :
v
∂
∂
∂
+
=2
∂x ∂t
∂p
et
v
∂
∂
∂
− = −2
∂x ∂t
∂q
L’équation de d’Alembert prend alors la forme :
∂2s
∂  ∂s 
 =0
=
∂p∂q ∂p  ∂q 
Par conséquent,
∂s
= ϕ (q)
∂q
et, si f(q) désigne une primitive de ϕ(q), alors :
x
x
s = f (q ) + g ( p) = f (t − ) + g (t + )
v
v
Interprétation physique : on considère une fonction de la forme :
6
x
s + ( x, t ) = f (t − )
v
On constate que :
x
x + ∆x
f (t − ) = f (t + ∆t −
)
v
v
pour tout couple ∆x et ∆t vérifiant : ∆x = v∆t . Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propage
sans déformation à la vitesse v le long de l’axe (Ox) dans le sens positif.
x
s+ ( x , t ) = f (t − )
v
∆x = v∆ t
O
Instant
t+∆
∆t
Instant
t
x
x
La solution s − ( x, t ) = f (t + ) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse
v
v le long de l’axe (Ox) dans le sens négatif.
On se propose maintenant de résoudre l’équation de d’Alembert tridimensionnelle :
∆s −
1 ∂2s
2
v ∂t
2
=0
r
avec s (r , t ) = s ( x, y, z , t )
On vérifie que des fonctions de la forme :
x
y
z
s x, ± ( x, y, z , t ) = f (t m ) ; s y ,± ( x, y , z , t ) = f (t m ) ; s z ,± ( x, y, z , t ) = f (t m )
v
v
v
sont solution de l’équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes de
r r
r
directions de propagations respectives u x , u y et u z , dans le sens positif ou négatif).
Des ondes sphériques sont également solution de l’équation de d’Alembert tridimensionnelle : on
cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t). En utilisant la forme du laplacien
en coordonnées sphériques, il vient :
1 ∂2
1 ∂2s
(
rs
)
−
=0
r ∂r 2
v 2 ∂t 2
Soit encore :
∂2
∂r 2
(rs ) −
1 ∂2
v 2 ∂t 2
(rs ) = 0
On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l’équation unidimensionnelle de
d’Alembert. Par conséquent :
x
x
rs (r , t ) = f (t − ) + g (t + )
v
v
7
Soit :
s(r , t ) =
1
1
x
x
f (t − ) + g (t + )
r
v
r
v
Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente et
convergente. On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de
l’affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.
* Changement de référentiel :
Soit, dans le référentiel du laboratoire (R), un faisceau de protons de densité particulaire n
homogène, d’axe (Oz) et de rayon a. Le faisceau est dit homocinétique lorsque toutes les
r
r
particules ont la même vitesse v = v u z .
Une étude de symétries conduit à (dans le référentiel du laboratoire) :
r
r
E = E (r ) u r
r
r
B = B ( r ) uθ
et
On se place maintenant dans le référentiel (R’) lié aux charges, c’est-à-dire se déplaçant en
r
r
translation rectiligne par rapport à (R) à la vitesse v = v u z . Les charges, immobiles, ne créent pas
r r
r
de champ magnétique ( B' = 0) et ne subsiste donc q’un champ électrique E ' .
Cet exemple simple illustre le fait que le champ EM dépend du référentiel considéré.
Formule de changement de référentiel :
r
r
Soit v la vitesse d’une particule de charge q dans un référentiel (R) et soit v ' sa vitesse dans un
r
référentiel (R’) animé de la vitesse v e par rapport à (R).
La force de Lorentz doit être identique dans les deux référentiels (principe d’invariance de la
force en mécanique newtonienne), par conséquent :
r
r r r
r r r
f = q E + v ∧ B = q E '+v '∧ B '
r r r
composition des vitesses v = v '+v e :
r r r
r r r r
E + (v '+ ve ) ∧ B = E '+v '∧ B'
(
On utilise la relation de
) (
)
Soit :
r r
r r r r r r
E + v e ∧ B + v '∧ B = E '+v '∧ B '
On est donc amené à poser : (expressions de changement de référentiels galiléens du champ EM)
r r r
r
E ' = E + ve ∧ B
et
r r
B = B'
Remarque : ces expressions sont en contradiction avec l’exemple du faisceau de protons
r
r r
homocinétiques, puisque B est non nul alors que B' = 0 . Pour éviter ce paradoxe, il faut utiliser
les formules relativistes de transformations du champ (EM).
IV) Contenus physiques des équations de Maxwell :
Ce paragraphe permet de montrer que les équations « locales » de Maxwell donnent, par
intégration, des lois et théorèmes connus qui peuvent être vérifiés expérimentalement.
•
Equation de Maxwell-Gauss et théorème de Gauss :
8
r
On part de l’équation de MG, div E =
ρ
, afin de calculer le flux sortant du champ électrique à
ε0
travers une surface fermée (S) :
∫∫
(S )
rr
E.n dS = ∫∫∫
(V )
r
1
div E.dτ =
ε0
∫∫∫
(V )
ρ .dτ =
Qint
ε0
Le théorème de Gauss apparaît ainsi encore valable en EM, même si les charges électriques
peuvent être en mouvement.
En régime permanent, les sources du champ électrique sont les charges caractérisées par la
densité ρ. Les lignes de champ divergent à partir des charges positives à la manière d’un fluide
sortant d’une véritable source et disparaissent sur les charges négatives comme un fluide dans un
puits.
Tel est encore le cas en régime non permanent, à la différence près que (voir conséquence de
l’équation de Maxwell-Faraday), ρ n’est plus la seule source du champ électrique, de telle sorte
que les cartes de champ électrique n’ont plus nécessairement la même allure.
•
Equation de Maxwell-Ampère et théorème d’Ampère « généralisé » :
On calcule la circulation à un instant donné du champ magnétique le long d’un contour (C) sur
lequel s’appuie une surface (S) et on utilise l’équation de MA :
r
r
r
∂E
rot B = µ 0 j + ε 0 µ 0
∂t
Il vient :
∫
(C )
r r
B.d l =
∫∫
rr
rot B.n dS =
(S )
r
 r
∂E  r
 µ0 j + ε 0 µ0
.n dS

(S ) 
∂
t


∫∫
On reconnaît :
i=
rr
j .n dS
∫∫
(S )
l’intensité qui traverse (S). On peut noter que, en régime non permanent, cette grandeur ne
r
dépend pas seulement de (C) mais de la surface (S) car j n’est plus à flux conservatif.
Alors : (théorème d’Ampère généralisé)
∫
(C )
r r

B.d l = µ 0 i +

r
∂E r 
ε 0 .n dS 
(S )
∂t

∫∫
où le terme :
iD =
r
∂E r
ε 0 .n dS
(S )
∂t
∫∫
s’interprète comme le flux du courant de déplacement à travers la surface (S). Ainsi, en régime
non permanent, les sources du champ magnétique sont de deux natures : les courants « réels » et
le courant de déplacement qui provient de la dépendance temporelle du champ électrique.
En régime permanent, on retrouve bien évidemment le théorème d’Ampère classique :
9
∫
(C )
•
r r
B.d l = µ 0 i
Equation du flux magnétique et champ magnétique à flux conservatif :
r
L’équation locale div B = 0 permet de montrer que :
rr
B.n dS =
∫∫
r
div B.dτ = 0
∫∫∫
(5)
rr
B.n dS == 0
∫∫
soit
(V )
(5)
Le champ magnétique est à flux conservatif. Par conséquent :
* Le flux magnétique se conserve à chaque instant à travers toute section d’un tube de champ
magnétique : Φ1 = Φ 2 .
* Il est possible de définir le flux magnétique Φ qui traverse un contour (C) sans avoir à préciser
la surface (S) qui s’appuie sur celui-ci.
En comparant avec l’expression du théorème de Gauss, on constate que le champ magnétique n’a
pas de sources qui joueraient pour B le rôle que les charges jouent pour E. Autrement dit, il
n’existe pas de charges magnétiques (de monopôles magnétiques).
•
Equation de Maxwell-Faraday et loi de Faraday :
On évalue la circulation e du champ électrique le long d’un contour (C)
fermé sur lequel s’appuie
r
r
une surface (S) et on utilise l’équation de Maxwell-Faraday rot E = −
∫
r r
E.d l =
(C )
rr
rot E.n dS =
∫∫
(S )
r
 ∂B  r
d
−
.n dS = − 

(S ) 
dt 
 ∂t 
∫∫
∂B
:
∂t
∫∫
(S )
rr 
B.n dS 

Soit :
e=
r r
E.d l
∫
Φ=
;
(C )
∫∫
rr
B.n dS
(S )
dΦ
e=−
dt
En régime permanent :
e=
∫
r r
E.d l = 0
r r
(et rot E = 0)
(C )
Le champ électrique permanent est à circulation conservative. On peut définir un potentiel
scalaire tel que :
r
E = − grad V
En régime non permanent : la circulation e du champ s’identifie à la fém qui est induite sur (C).
On démontre ainsi la loi de Faraday :
e=−
dégagée expérimentalement par Faraday en 1831.
10
dΦ
dt
La circulation du champ E n’est plus nulle : un champ magnétique variable dans le temps est
source d’un champ électrique à circulation non conservative.
r
V) Existence de potentiels ( A ,V), jauge de Lorentz, cas de l’ARQS :
1 – Rappels mathématiques :
Un champ égal à un gradient a un rotationnel nul et un champ égal à un rotationnel a une
divergence nulle :
r
e = grad ϕ
r
r
b = rot a
r r
rot e = 0
r r
div b = 0
⇒
⇒
Réciproquement, on peut montrer que :
•
Si un champ vectoriel a un rotationnel nul, il existe au moins un champ scalaire dont il est
le gradient.
•
Si un champ vectoriel a une divergence nulle, il existe au moins un champ vectoriel dont
il est le rotationnel.
r
2 – Définition des potentiels ( A ,V) :
L’équation de Maxwell-flux :
r
div B = 0
r
et la propriété précisée ci-dessus permettent de définir un champ vectoriel A (appelé potentiel
vecteur) tel que :
r
r
B = rot A
Si l’on introduit cette relation dans l’équation de Maxwell-Faraday, il vient :
r
r
r
∂B
∂
rot E = −
= − (rot A)
∂t
∂t
soit
r
 r ∂A  r
=0
rot  E +
∂t 

Il existe donc au moins un champ scalaire que l’on notera – V (V est appelé potentiel scalaire) tel
que :
r
r
r ∂A
r
∂A
E+
= grad (−V ) = − grad V
soit
E = − grad V −
∂t
∂t
r
r
∂A r
Dans le cas du régime permanent
= 0 , on retrouve l’expression classique E = − grad V .
∂t
Non unicité du couple de potentiels :
r
r
On suppose que, pour un champ EM donné, on dispose de deux couples ( A0 ,V0) et ( A ,V) de
potentiels. Alors :
r
r
r r
r
r
B = rot A0 = rot A
soit
rot ( A − A0 ) = 0
r
Par conséquent, en notant ϕ (r , t ) un champ scalaire quelconque :
r r
A − A0 = grad ϕ
soit
11
r r
A = A0 + grad ϕ
r
r
r
Le potentiel vecteur A = A0 + grad ϕ (où ϕ (r , t ) désigne un champ scalaire quelconque) convient
également : le potentiel vecteur est défini à un gradient près.
De même, pour le potentiel scalaire :
r
r
r
∂A0
∂A
E = − grad V0 −
= − grad V −
∂t
∂t
r r
∂ ( A − A0 )
grad (V − V0 ) = −
∂t
soit
Soit :
grad (V − V0 +
∂ϕ
)=0
∂t
Après intégration, la fonction additive du temps qui s’introduit est mise sous forme d’une dérivée
par rapport au temps :
V − V0 +
r
∂ϕ
dF (t )
= f (t ) =
∂t
dt
r
Finalement, en posant ψ (r , t ) = ϕ (r , t ) − F (t ) :
r r
r r
r
A(r , t ) = A0 (r , t ) + grad ψ (r , t )
r
r
r
∂ψ (r , t )
V ( r , t ) = V0 ( r , t ) −
∂t
et
Il existe donc une infinité de couples de potentiels vecteurs : faire le choix d’un d’entre eux est
faire un choix de jauge (il existe une infinité de jauges). On dit qu’il y a indétermination de jauges.
Le champ EM est par contre invariant de jauge ; lui seul a un sens physique alors que les
potentiels sont seulement un moyen mathématique d’expression des champs (en mécanique
classique).
3 – Equations vérifiées par les potentiels :
On utilise les équations de Maxwell dépendant des sources, les expressions des champs en
fonction des potentiels et la possibilité d’intervertir les dérivations par rapport aux coordonnées
d’espace et de temps.
r
r
A partir de l’équation de Maxwell-Ampère, on élimine E et B :
r
r
r
r
r
r
r 1
∂E
∂
∂A 
∂V
1 ∂2 A
= µ 0  j + ε 0  − grad V −
µ
rot B = µ 0 j + ε 0 µ 0
=
j
−
grad
−

0
∂t
∂t 
∂t 
∂t c 2 ∂t 2
c2

Par ailleurs :
r
r
r
r
rot B = rot (rot A) = grad (div A) − ∆A
Par conséquent :
r
r
r
r 1
∂V
1 ∂2A
grad (div A) − ∆A = µ 0 j − 2 grad
− 2
∂t c ∂t 2
c
Soit l’équation aux dérivées partielles vérifiées par le potentiel vecteur :
r
r 1 ∂2 A
r 1 ∂V 
r

∆A − 2
=
−
µ
j
+
grad
div
A
+ 2


0
c ∂t 2
c ∂t 

A partir de l’équation de Maxwell-Gauss :
12
r ρ
div E =
r

 ρ
∂
A
=
div  − grad V −
∂t  ε 0

soit
ε0
Soit :
r
∂ (div A)
ρ
∆V +
=−
∂t
ε0
r
Ou encore, en faisant apparaître la quantité div A +
∆V −
1 ∂ 2V
c
2
∂t
2
=−
1 ∂V
c 2 ∂t
:
r 1 ∂V 
ρ ∂
−  div A + 2

ε 0 ∂t 
c ∂t 
Si l’on choisit (condition de Jauge de Lorentz) :
r 1 ∂V
div A + 2
=0
c ∂t
les équations différentielles vérifiés par les potentiels se simplifient considérablement :
r
r 1 ∂2 A
r
∆A − 2
= −µ 0 j
2
c ∂t
et
∆V −
1 ∂ 2V
c
2
∂t
2
=−
ρ
ε0
Ainsi, le choix de la jauge de Lorentz simplifie les équations vérifiées par les potentiels ; ces deux
équations sont appelées équations de Poisson. Elles montrent que les potentiels vectoriel et
scalaire ont pour sources respectives les densités de courants et de charges.
4 - Potentiels permanents :
En régime permanent, les équations de Poisson se réécrivent sous la forme :
r
r
∆A = − µ 0 j
et
∆V = −
ρ
ε0
Cette dernière équation a pour solution la solution bien connue (loi de Coulomb pour le potentiel
électrostatique) :
V (M ) =
1
4πε 0
∫∫∫
(D)
ρ (S )
SM
dτ
(On note M le point où l’on calcule le potentiel, S un point source de la distribution (D) de
r
r
charges, r = SM et r = SM = r u ).
Chaque composante Ax, Ay et Az vérifient la même équation que V ; par conséquent :
r
µ
A( M ) = 0
4π
∫∫∫
( D)
r
j (S )
dτ
SM
On peut montrer que la condition de jauge de Lorentz est bien vérifiée, c’est-à-dire que :
r
div A = 0
On peut alors en déduire la formule de Biot et Savart donnant le champ magnétique. On évalue :
r
r
µ
B( M ) = rot A( M ) = rot  0
 4π
Soit :
13
∫∫∫
( D)
r
j (S ) 
dτ 
SM

r
r
µ
B( M ) = rot A( M ) = 0
4π
r
r
∫∫∫
( D)
r
 j (S ) 
 dτ
rot M 

 SM 
r
Or : ( rot ( fA) = grad f ∧ A + f rot A )
r
r
 j (S ) 
1  r
1
 = grad M 
rot M 
rot M ( j ( S ))
 ∧ j (S ) +

SM
 SM 
 SM 
r
 j (S ) 
1 r r
=−
rot M 
u ∧ j (S )

SM 2
 SM 
D’où la loi de Biot et Savart :
r
µ
B( M ) = 0
4π
∫∫∫
µ
r r
−
u ∧ j ( S ) dτ = 0
2
4π
SM
1
( D)
r
r
j (S ) ∧ u
∫∫∫
(D)
SM 2
dτ
r
Et, dans le cas d’un circuit filiforme (avec l’expression formelle j dτ = idl ) :
r
µ
B( M ) = 0
4π
•
∫
r r
i dl ∧ u
(C )
SM 2
Etude d’un exemple à symétrie cylindrique ; Détermination d’un potentiel vecteur :
Un fil rectiligne infini est modélisé par un tube de courant d’axe (Oz) et de rayon a, parcouru par
r
r
le courant volumique uniforme j = j u z . On souhaite déterminer un potentiel vecteur associé au
champ magnétique créé par le fil.
Des considérations de symétrie et l’application du théorème d’Ampère en régime permanent
conduit facilement à :
r
r r
B = µ 0 j uθ
2
Si r < a :
r
a2 r
B = µ0 j
uθ
2r
Si r > a :
L’expression :
r
µ
A( M ) = 0
4π
∫∫∫
( D)
r
j (S )
dτ
SM
montrer que le potentiel vecteur possède des propriétés de symétrie semblables à celles du champ
électrique (c’est un « vrai » vecteur). Par conséquent, le plan contenant le point M et
perpendiculaire au fil étant un plan d’antisymétrie , on peut écrire que :
r
r
A( M ) = A(r ) u z
r
r
La relation B = rot A appliquée sous forme intégrale à un contour (C) sur lequel s’appuie une
surface (S) s’écrit :
∫
r
r
A( M ) = A(r ) u z
avec, ici,
sur la figure suivante :
et
r r
A.d l =
(C )
r
r
B( M ) = B (r ) uθ
∫∫
rr
B.n dS
(S )
. Le choix du contour (C) et de la surface (S) est précisé
14
r
r
A = A(r )u z
z
(C)
r
r
A = A(r + dr )u z
dz
+
r
uz
r
r
r
B = B(r )uθ
r + dr
r
uθ
On aboutit alors à :
A(r + dr ) dz − A(r ) dz = − B(r ) dz dr
soit
dA
= − B (r )
dr
Par intégration, on obtient :
Si r < a :
r
r2 − r2 r
A = µ0 j 1
uz
4
r
a 2  r2  r
A = µ0 j
ln  u z
2  r 
Si r > a :
Où r1 et r2 sont des constantes d’intégration. Par continuité du potentiel vecteur (une
discontinuité du potentiel vecteur entraînerait une valeur infinie pour le champ magnétique, ce
qui n’est pas physiquement acceptable….force infinie, énergie infinie !!!), on trouve (en
choisissant de plus d’annuler la valeur du potentiel vecteur en r = a :
Si r < a :
Si r > a :
r
a2 − r2 r
A = µ0 j
uz
4
r
a2  a  r
A = µ0 j
ln  u z
2 r
Autre méthode : utiliser un formulaire directement !
•
Détermination d’un potentiel vecteur pour un solénoïde infini :
On considère un solénoïde infini de section circulaire de rayon R, constitué de n spires jointives
par unité de longueur et parcouru par un courant d’intensité I.
Le champ magnétique créé par ce solénoïde est de la forme :
r
r
Si r < R : B = µ 0 nI u z
r
r
Si r > R : B = 0
Le plan contenant l’axe du solénoïde et le point M étant un plan d’antisymétrie :
r
r
A( M ) = A(r ) uθ
En prenant comme contour un cercle centré sur l’axe (Oz) et perpendiculaire à cet axe :
∫
r r
A.d l =
(C )
∫∫
(S )
On obtient :
15
rr
B.n dS
Si r < R :
r
r r
A = µ 0 nI
uθ
2
et
r
a2 r
A = µ 0 nI
uθ
2r
Si r > R :
On constate que le potentiel vecteur est continu à la traversée de la surface r = R du solénoïde.
5 - Potentiels retardés :
En régime dépendant du temps et pour une distribution de charges et de courants d’extension
finie, on peut montrer que les solutions des équations de Poisson sont :
V = V (M , t ) =
1
4πε 0
r r
µ
A = A( M , t ) = 0
4π
ρ (S , t −
∫∫∫
SM
(D)
∫∫∫
( D)
SM
)
c dτ
r
SM
j (S , t −
)
c dτ
SM
à partir desquelles on peut calculer le champ EM par :
r
r r
∂A
E = E ( M , t ) = − grad V −
∂t
et
r
r r
B = B( M , t ) = rot A
Ces potentiels sont appelés « potentiels retardés ».
Ces potentiels correspondent en effet aux expressions des potentiels permanents dans lesquelles
on remplace les densités de courants et de charges à l’instant t par leurs valeurs à des instants
affectés des retards :
∆t =
r SM
=
c
c
r
Tout se passe comme si les potentiels V et A en M correspondaient à la superposition de signaux
envoyés vers M par les diverses sources S de la distribution (D) et se propageant tous avec la
même célérité c.
6 – Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) :
•
Nature de l’approximation :
Cette approximation consiste à négliger les retards qui interviennent dans les expressions des
potentiels retardés, c’est-à-dire à utiliser en régime non permanent les potentiels instantanés
suivants :
V = V (M , t ) =
1
4πε 0
r r
µ
A = A( M , t ) = 0
4π
∫∫∫
(D)
∫∫∫
( D)
ρ (S , t −
SM
SM
)
c dτ ≈
1
4πε 0
r
SM
j (S , t −
)
c dτ = µ 0
SM
4π
16
∫∫∫
(D)
∫∫∫
( D)
ρ (S , t )
SM
r
j (S , t )
dτ
SM
dτ
Cette approximation est justifiée si tous les retards ∆t =
SM
c
sont négligeables vis-à-vis d’un
temps T caractéristique de l’évolution de la distribution de charges et de courants. Si on suppose
cette évolution périodique, T représente alors la période.
L’ARQS néglige les phénomènes de propagation.
Si l’on note λ = cT la longueur d’onde du phénomène dans le vide, on a alors :
∆t =
SM
λ
<< T =
c
c
SM << λ = cT =
soit
c
ν
Ainsi, l’ARQS décrit convenablement le champ EM d’une distribution (D) en des points dont les
distances SM aux éléments de (D) sont faibles devant la longueur d’onde λ = cT .
Quelques ordres de grandeur :
Pour le courant industriel fourni par le secteur (ν = 50 Hz ), alors λ =
c
ν
= 6 000 km .
L’ARQS est
donc valable lors de l’étude du champ magnétique d’un solénoïde parcouru par un courant
alternatif.
Avec ν = 10 MHz, λ = 30 m , de telle sorte que l’ARQS reste valable lors de l’étude de circuits
réalisés en TP sur une table de dimensions de l’ordre du mètre.
Dans le domaine des hyperfréquences (ν ≥ 1 GHz, soit λ ≤ 30 cm ), l’ARQS n’est plus valable et les
phénomènes de propagation tiennent alors un rôle important.
Le chapitre suivant s’intéressera à ces phénomènes de propagation.
•
r r
Détermination du champ électromagnétique ( E , B ) dans le cadre de l’ARQS :
Dans le cadre de l’ARQS, on peut donc calculer les potentiels à l’aide des mêmes formules qu’en
régime stationnaire, valables à chaque instant :
V = V (M , t ) =
1
4πε 0
∫∫∫
ρ (S , t −
SM
(D)
SM
)
c dτ ≈
1
4πε 0
∫∫∫
(D)
ρ (S , t )
SM
dτ
et :
r r
µ
A = A( M , t ) = 0
4π
∫∫∫
( D)
r
SM
j (S , t −
)
c dτ = µ 0
SM
4π
∫∫∫
( D)
r
j (S , t )
dτ
SM
r r
L’expression du champ EM ( E , B) se déduit de ces deux expressions grâce aux relations :
r
r
B = rot A
r
r
r
∂A
E = − grad V −
∂t
et
r
On note que la relation entre B et A est la même qu’en régime stationnaire puisqu’elle ne fait
pas intervenir de dérivation par rapport au temps (mais seulement des dérivées d’espace). Par
conséquent, la loi de Biot et Savart sera encore valable dans le cadre de l’ARQS.
En revanche, le champ électrique
r
r
∂A
E = − grad V −
∂t
champ de Coulomb instantané du type :
17
ne s’identifie pas, même dans l’ARQS, à un
r
E=
En raison du terme d’induction
•
r
∂A
−
∂t
1
4πε 0
ρ ( S , t ) dτ r
∫∫∫
( D)
SM 2
u
(champ électromoteur de Neumann).
Loi d’Ohm dans les conducteurs ohmique dans le cadre de l’ARQS :
La loi d’Ohm : pour un conducteur comme le cuivre par exemple, le temps de relaxation
(« durée » de collision des porteurs de charges) est de l’ordre de τ ≈ 10 −14 s . Or on sait que, dans
un conducteur, la loi d’Ohm est satisfaite si le temps caractéristique d’évolution du système T
vérifie T >> τ . Dans le cadre de l’ARQS, cette condition sera bien vérifiée.
Ainsi, dans le cadre de l’ARQS, la loi d’Ohm locale sera valable :
r
r
r

∂A 
j = σE = −σ  grad V +
∂t 

•
Courant de déplacement dans un conducteur ohmique :
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit, compte tenu de la loi d’Ohm locale :
r
r
 r
∂E 
rot B = µ 0  σE + ε 0
∂t 

On note T le temps d’évolution caractéristique de la distribution (D) (sa période d’évolution). On
peut comparer le courant de conduction avec le courant de déplacement :
r
σE
σE
σT
=
r ≈
E
ε0
∂E
ε0
ε0
T
∂t
Pour le cuivre de conductivité σ = 6.10 7 Ω −1 .m −1 , ce rapport est de l’ordre de 1018 T (avec T en s).
Ainsi, même si T est de l’ordre de 10 −10 s (soit une fréquence de 10 GHz) :
r
σE
8
r ≈ 10
∂E
ε0
∂t
Par conséquent, pour les régimes d’évolution justifiant l’emploi de la loi d’Ohm, le courant de
déplacement est, au sein du conducteur ohmique, négligeable devant le courant de conduction.
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit alors :
r
r
r
rot B = µ 0 j = µ 0σE
•
Neutralité électrique :
On suppose qu’à l’instant t = t0, il existe en un point M intérieur au conducteur une charge
volumique ρ ( M , t 0 ) . Comment varie dans le temps cette charge volumique ?
L’équation de Maxwell-Gauss, la loi d’Ohm locale et la conservation de la charge électrique :
18
r ρ
div E =
ε0
;
r
r
j = σE
;
r ∂ρ
div j +
=0
∂t
permettent d’écrire :
div
1 r
1 ∂ρ
ρ
=
j =−
σ
σ ∂t ε 0
soit
∂ρ σ
+
ρ =0
∂t ε 0
Par intégration :
 t − t0 


 τd 
ρ ( M , t ) = ρ ( M , t 0 ) exp −
avec
τd =
ε0
σ
Pour le cuivre, τ d ≈ 4.10 −14 s : très rapidement, le conducteur devient neutre en volume :
ρ (M , t ) = 0
Ainsi, comme en régime stationnaire, les charges s’accumulent au voisinage immédiat de la
surface d’un conducteur, d’où l’intérêt de la notion de charge surfacique σ.
•
Equations de Maxwell dans un conducteur :
Finalement, dans le cadre de l’ARQS, le champ EM vérifie les équations de Maxwell
« simplifiées » suivantes :
r
div B = 0
r
div E = 0
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
r
r
rot B = µ 0 j = µ 0σ E
Ainsi, dans un conducteur, l’ARQS ne diffère des régimes stationnaires que par la prise en
compte des phénomènes d’induction (équation de Maxwell-Faraday).
Puisque ρ = 0, l’équation de conservation de la charge électrique conduit (à l’intérieur du
conducteur) à :
r
div j = 0
Le flux du vecteur courant volumique se conserve, entraînant ainsi la validité de la loi des
branches et des nœuds dans le cadre de l’ARQS.
Remarque :
Il ne faut pas confondre ρ et ρm : au sein du conducteur, qui reste globalement neutre, ρ = 0 ; par
contre, les porteurs de charges, dont la répartition de charges est ρm, contribuent au vecteur
r
r
densité de courant selon la relation j = ρ m v .
VI) Continuités ou discontinuités spatiales du champ EM :
Le tableau suivant permet de préciser que les relations de continuité ou de discontinuité à la
traversée de surfaces chargées et parcourues par des courants surfaciques sont liées aux équations
de Maxwell :
19
Equations de Maxwell
Relations de continuité
r
div B = 0
r
r
r
∆B N = B N 2 − B N1 = 0
Equation du flux magnétique
Continuité de la composante normale du
champ magnétique
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
r
r
∆ET = ET2 − ET1 = 0
Equation de Maxwell-Faraday
Continuité de la composante tangentielle du
champ électrique
r ρ
div E =
r
r
r
σ r
∆E N = E N 2 − E N 1 =
n1→2
Equation de Maxwell-Gauss
Discontinuité de la composante normale du
champ électrique à la traversée d’une surface
chargée.
r
r
r
∂E
rot B = µ 0 j + ε 0 µ 0
∂t
r
r
r
r
r
∆BT = BT2 − BT1 = µ 0 j S ∧ n1→2
ε0
ε0
Discontinuité de la composante tangentielle
du champ magnétique à la traversée d’une
nappe de courant.
Equation de Maxwell-Ampère
En regroupant les coordonnées normales et tangentielles, on peut finalement écrire :
r r
r
σ r
∆E = E 2 − E1 =
n1→2
r r
r
r
r
∆B = B2 − B1 = µ 0 j S ∧ n1→2
et
ε0
Ces relations de passage avaient été obtenues sur quelques exemples en 1ère année.
* Exemples de démonstrations (pour le champ électrique) :
•
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique :
On utilise la forme intégrée de l’équation de Maxwell-Faraday :
∫
r r
E.dr = −
∫∫
(S )
ABCD
r
∂B r
.n dS
∂t
pour le contour (ABCD) défini sur la figure suivante :
r
n12
r
E2
(2)
x
B
M2
A
C
M1
D
y
r
E1
(1)
Il vient :
r
r
r
r
E 2 . AB + E1 .CD + C BC ( E ) + C DA ( E ) = −
20
∫∫
( S ABCD )
r
∂B r
.n dS
∂t
On note ε = BC = DA ; les circulations sur les contours CBC et CDA sont proportionnelles à ε (on
peut les écrire sous la forme α BC ε et α DAε ).
De même,
∫∫
( S ABCD )
r
∂B r
B
.n dS ≈ ( AB) ε
∂t
T
, ainsi :
B

( E 2,t − E1,t ). AB = − max ( AB) + α BC + α DA1  ε
 T

Si l’on fait tendre ε vers zéro, on obtient :
E 2,t − E1,t = 0
La composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée d’une distribution
surfacique de charges.
•
Discontinuité de la composante normale du champ électrique :
On utilise la forme intégrée de l’équation de Maxwell-Gauss :
rr
1
E.n dS =
∫∫
ε0
(S )
∫∫∫
ρ dτ
(V )
pour la surface (S) définie sur la figure suivante :
r
n12
r
E2
(2)
M2
M1
r
E1
(1)
On a alors :
r r
r r
E1 .dS1 + E 2 .dS 2 +
∫∫
r r σ dS
E.dS =
surface latérale
ε0
Un raisonnement similaire à celui effectué au paragraphe précédent conduit à :
− E1,n (dS ) + E 2,n (dS ) + 2π dS ε E max =
σ dS
ε0
Si l’on fait tendre ε vers zéro, on obtient :
E 2,n − E1,n =
σ
ε0
La composante normale du champ électrique est discontinue à la traversée d’une distribution
surfacique de charges.
Finalement, la relation vectorielle suivante résume les deux résultats :
21
r r
r
σ r
∆E = E 2 − E1 =
n1→2
ε0
* Exemples de démonstrations (pour le champ magnétique) :
Elles sont basées sur les mêmes raisonnements et conduisent à :
r r
r
r
r
∆B = B2 − B1 = µ 0 j S ∧ n1→2
VII) Densité volumique d’énergie électromagnétique, vecteur de Poynting, équation
locale de conservation de l’énergie :
1 – Puissance volumique cédée par le champ EM à la matière :
r r
Un champ EM ( E , B ) va interagir avec des particules chargées et leur fournir de l énergie. En
effet, une charge q est soumise de la part de ce champ EM à la force de Lorentz, dont la
puissance s’écrit :
r r r r
rr
PL = q ( E + v ∧ B).v = q E.v
En notant n le nombre de porteurs de charges par unité de volume, la puissance volumique cédée
par le champ EM à la matière s’écrit donc :
pL =
rr r r
dPL
= nq E.v = j .E
dτ
Remarque : la puissance reçue par le champ EM de la part des porteurs de charge est − p L
(permet de faire l’analogie avec pS, puissance volumique reçue par un milieu conducteur de la
chaleur de la part des sources de chaleur).
2 - Equation locale de conservation de l’énergie :
Rappel (équation de conservation de l’énergie lors des phénomènes conductifs, que l’on peut
démontrer ici directement à 3D, voir cours sur les transferts thermiques) :
r
∂u ( M , t )
= − div ( j th ) + p s ( M , t )
∂t
ou
ρc
(u énergie interne volumique)
r
∂T ( M , t )
= − div ( j th ) + p s ( M , t )
∂t
On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d’étude).
L’énergie interne totale U(t) comprise dans le volume à l’instant t vaut : U (t ) = ∫∫∫ udτ
(u :
(V )
énergie interne volumique)
r
n
r
jth
u
dS
Volume V
La conservation de l’énergie interne permet d’écrire :
22
r r
dU
= − ∫∫ jth .n dS + ∫∫∫ p s ( M , t ) dτ
(S )
(V )
dt
Le volume (V) étant fixe :
dU
d
∂u ( M , t )
=  ∫∫∫ u ( M , t ) dτ  = ∫∫∫
dτ
(V )

dt
dt  (V )
∂t
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, il vient :
r
∂u ( M , t )
dτ =  ∫∫∫ (− divjth + p s ( M , t ))dτ 
(V )
 (V )

∂t
∫∫∫
Ce résultat étant vrai pour tout volume (V), il vient :
r
∂u ( M , t )
= −divjth + p s ( M , t )
∂t
Cette équation avait été démontré dans le cas à une dimension.
Par analogie avec les équations de conservation (charge, masse, diffusion, chaleur), on souhaite
obtenir une équation du type :
r
r r
∂eem
= − div Π + (− j .E )
∂t
r
où eem désigne l’énergie électromagnétique volumique (contenue dans le champ EM) et Π un
vecteur (appelé vecteur de Poynting) sensé donner le sens des échanges d’énergie EM
(notamment par le calcul de son flux à travers une surface).
On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d’étude).
L’énergie EM totale Em(t) comprise dans le volume à l’instant t vaut : E m (t ) = ∫∫∫ eem dτ
(V )
(eem : énergie EM volumique)
r
n
r
Π
eem
dS
Volume V
La conservation de l’énergie EM permet d’écrire :
dEm
=−
dt
∫∫
r r
Π.n dS −
(S )
∫∫∫
r r
j .E d τ
(V )
Le volume (V) étant fixe :
dE m
∂eem ( M , t )
d
=  ∫∫∫ eem ( M , t ) dτ  = ∫∫∫
dτ
(
V
)
(
V
)

dt
dt 
∂t
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky, il vient :
r r r
∂eem ( M , t )

d
τ
=
−
(
div
Π
+ j .E )dτ 
∫∫∫(V ) ∂t
 ∫∫∫(V )

23
Ce résultat étant vrai pour tout volume (V), il vient :
w r r
∂eem ( M , t )
= −divΠ − j .E
∂t
C’est l’équation locale de conservation de l’énergie EM. Elle est semblable à l’équation de
conservation de la charge électrique (dans ce cas, il n’y a pas de terme de création de charges
électriques) et à celle de conservation de la matière en diffusion (avec ici un terme de sources) :
r
∂ρ m ( M , t )
+ divj = 0
∂t
et
r
∂n( M , t )
+ divj D = σ s
∂t
Cette équation locale de conservation de l’énergie EM se détermine à partir des équations de
Maxwell.
Le calcul suivant n’est pas au programme de PC* :
r r
On exprime le produit j .E en utilisant l’équation de Maxwell-Ampère :
r
r
r
∂E
rot B = µ 0 j + ε 0 µ 0
∂t
r
r
r
r ∂E
r 1 ∂(E 2 )
r r
1 r
1 r
j .E =
E.rot B − ε 0 E.
=
E.rot B − ε 0
µ0
∂t µ 0
2
∂t
En écrivant que :
r
r r
r
r r
r r  ∂B  r
r
 − E.rot B
div ( E ∧ B ) = B.rot E − E.rot B = B. −

 ∂t 
Soit :
r
r
r
r r
1 ∂( B 2 )
E.rot B = −
− div( E ∧ B )
2 ∂t
Il vient :
r
r
r r 1 ∂( E 2 )
r r
1 ∂( B 2 ) 1
j .E = −
−
div( E ∧ B ) − ε 0
µ0
2 µ 0 ∂t
2
∂t
Soit :
div (
r r
E∧B
µ0
∂
)+
∂t
r
r
ε 0 E 2
r r
B2 
+

 = − j .E
2µ 0 
 2
Ou encore :
r
r
r r
r r
∂ ε 0 E 2
B2 
E∧B
+
) + ( − j .E )

 = − div(
∂t  2
2µ 0 
µ0
On est ainsi amené à poser :
r
Densité volumique d’énergie électromagnétique : eem =
Vecteur de Poynting :
24
r r
r E∧B
Π=
µ0
ε0E2
2
r
B2
+
2µ 0
Cette équation se réécrit alors :
r r r
∂eem
= − div Π − j .E
∂t
et correspond bien alors à un bilan d’énergie EM.
Un bilan macroscopique de conservation de l’énergie EM est :
r r
r r
∂
 ∫∫∫ eem dτ  = − ∫∫ Π.n dS − ∫∫∫ j .E dτ
(S )
(V )

∂t  (V )
Ou :
r
r
r r
r r

ε0E 2 B2
∂
E∧B r
 ∫∫∫ (
 = − ∫∫
+
)
d
τ
.
n
dS
−
j .E d τ
∫∫∫

(S )
(V )
µ
∂t  (V )
2
2µ 0
0

Remarque : (vitesse de propagation de l’énergie)
Par analogie avec l’équation de conservation de la charge, on peut définir la vitesse de
r
propagation de l’énergie (notée u ) par la relation :
r
r Π
u=
eem
3 – Bilan énergétique pour un fil conducteur ohmique :
On considère un fil conducteur ohmique de conductivité γ, assimilé à un cylindre d’axe (Oz) et de
rayon a, soumis au champ électrique uniforme et permanent (à l’intérieur et à l’extérieur du fil) :
Le fil est alors parcouru par des courants de
r
r
E = E0 u z
r
r
r
densité j = j u z = γE 0 u z
uniforme.
r
r
Le champ magnétique créé par cette distribution est de la forme B = B(r ) uθ et se calcule en
écrivant le théorème d’Ampère. On obtient (en notant I = πa 2 j le courant total qui traverse une
section transverse du fil) :
Pour r < a :
r
r
µ0 I
B(r ) =
r uθ
2
2π a
Pour r > a :
r
µ I1 r
B(r ) = 0
uθ
2π r
Le vecteur de Poynting vaut :
r r
r E∧B
Π=
µ0
Pour r < a :
25
r
E I
r
Π = − 0 2 r ur
2π a
Pour r > a :
r
E I 1 r
Π=− 0
ur
2π r
On rappelle l’expression générale de conservation de l’énergie EM :
r r
r r
∂
 ∫∫∫ eem dτ  = − ∫∫ Π.n dS − ∫∫∫ j .E dτ
(S )
(V )

∂t  (V )
Dans ce cas particulier (régime permanent) :
∫∫
r r
Π.n dS = −
(S )
∫∫∫
r r
j .E d τ = −
(V )
j2
∫∫∫
(V )
γ
dτ
Physiquement, la puissance dissipée par effet Joule est évacuée en dehors du volume (V) en
régime stationnaire.
On calcule le flux sortant du vecteur de Poynting à travers un cylindre d’axe (Oz) et de rayon r.
Lorsque r < a :
Φ=−
E0 I
πa
2
πr 2 h = −
j2
γ
πr 2 h
Lorsque r > a :
Φ=−
E0 I
πa 2
πa 2 h = −
j2
γ
πa 2 h
On reconnaît bien, dans les deux cas, la puissance absorbée par effet Joule dans le cylindre de
rayon r considéré et on vérifie bien l’équation de conservation précédente.
VIII) Effet de peau dans un conducteur ohmique :
1 – Longueur de pénétration dans un métal :
Un champ EM pénètre dans un métal bon conducteur de conductivité σ. Par action du champ
électrique, les électrons du métal sont accélérés et fournissent une partie de leur énergie cinétique
par chocs avec les ions positifs du réseau métallique. L’énergie de l’onde est dissipée par effet
Joule ce qui cause l’amortissement de l’onde.
On cherche à calculer la distance caractéristique d’amortissement ou profondeur de pénétration.
Pour cela, on considère un métal de conductivité σ pour lequel on cherche une solution des
équations de Maxwell correspondant à des champs sinusoïdaux de pulsation ω.
→
∂E
On sait que, dans un métal, le courant de déplacement ε 0
est négligeable devant le courant
∂t
→
→
de conduction j = σ E . De façon plus précise, on cherche pour le champ électrique une
expression de la forme :
→
→
E = E 0 f ( x) exp i (kx − ωt ) u z
26
→
où u z désigne le vecteur unitaire de l'axe Oz parallèle à la surface du métal et f(x) une fonction de
la profondeur x à l'intérieur du métal que l'on va déterminer.
O
z
Métal
r
r
E = E uz
r
r
k = k ux
x
x
On peut, à partir de l'expression du champ E, déterminer le champ magnétique B. En effet,
l’équation de Maxwell-Faraday permet de déterminer B :
s
r
∂B
rot E = −
∂t
Soit :
 ∂ 
 
 ∂x   0


v
 ∂  
 = iωB
  ∧ 0

 ∂y  
i ( kx −ωt ) 

 ∂   E 0 f ( x )e
 
 ∂z 
d’où
−
v
r
∂
E 0 f ( x)e i ( kx −ωt ) u y = iωB
∂x
(
)
D’où l’expression du champ B :
v 1
r
B = E 0 (− kf ( x) + if ' ( x) ) e i ( kx −ωt ) u y
ω
On vérifie aisément que ces deux champs vérifient les équations de Maxwell-Flux et de MaxwellGauss :
r
div B = 0
r
div E = 0
et
L’équation de Maxwell-Ampère, en négligeant le courant de déplacement, s’écrit :
r
r
r
rot B = µ 0 j = µ 0σE
On en déduit l’équation :
∂B
= µ 0σE
∂x
Soit :
1
ω
E 0 (− kf ' ( x) + if " ( x) − ik 2 f ( x) − kf ' ( x))e i ( kx −ωt ) = µ 0σE 0 f ( x)e i ( kx −ωt )
− 2kf ' ( x) + i ( f " ( x) − k 2 f ( x)) = µ 0σωf ( x)
On en déduit deux équations différentielles :
− 2kf ' ( x) = µ 0σω f ( x)
et
qui s’intègrent en :
27
f " ( x) − k 2 f ( x) = 0
f ( x) = Ae
−
µ 0σω
2k
x
f ( x) = Ae − kx
et
(Pour la deuxième solution, on a éliminé la solution en exponentielle croissante).
Par identification, on déduit :
k=
µ 0σω
2k
δ=
soit
1
=
k
2
µ 0σω
δ est la longueur de pénétration dans le métal. Pour le cuivre (σ = 5,8.10 7 Ω - 1.m – 1), on calcule δ
pour différentes fréquences :
Fréquence
Longueur de pénétration
50 Hz
3 mm
50 MHz
3 µm
50 THz
3 nm
Lorsque la pulsation augmente, la profondeur de pénétration diminue comme l’inverse de la
racine carrée de la pulsation.
Pour un métal parfait, la conductivité est infinie et la profondeur de pénétration devient nulle :
une onde EM ne peut pénétrer dans un métal parfait (elle s’y réfléchit).
Remarque : si au lieu d’imposer une onde EM incidente, on impose le courant dans le
conducteur, ce dernier crée un champ EM à l’intérieur et à l’extérieur du conducteur ; le
problème est régi par les mêmes équations et les mêmes conditions aux limites, ce qui conduit
aux mêmes résultats pour l’effet de peau.
Les résultats obtenus restent valables pour une géométrie cylindrique ; ainsi, un câble cylindrique
homogène de section droite circulaire ne peut être parcouru par des courants que dans un zone
cylindrique superficielle d’épaisseur quelques δ. Il ne sert à rien pour transporter un courant
électrique sinusoïdal d’utiliser un câble en cuivre de rayon nettement supérieur à δ.
2 – Pression de radiation :
La pression de radiation est une manifestation de la quantité de mouvement transportée par le
champ électromagnétique.
Les électrons du métal, mis en mouvement par le champ électrique dirigé selon (Oz), sont soumis
aux forces de Lorentz volumiques de la forme :
r
r r r
d 3 f = ( ρ E + j ∧ B) dτ
r
r
r
r
r
r
r
Dans l’ARQS, ρ = 0 . Par ailleurs, j = σE = j u z et B = B u y , par conséquent, d 3 f = d 3 f u x : les
forces de Lorentz sont perpendiculaires à la surface du métal. Elles peuvent s’écrire (pour une
tranche d’épaisseur dx et de surface transverse dS) :
r
r
d 3 f = jB dS dx u x
28
vide
O
z
dx
a
métal
r
r
df = df u z
x
On désigne par a la longueur de la « couche de passage » qui s’étend du vide à la région du métal
où les champs sont nuls (a est de l’ordre de grandeur de quelques δ). La force globale qui s’exerce
sur le volume adS du métal est alors :
r
d2 f =
∫
a
r
jB dx dS u x
0
L’équation de Maxwell-Ampère donne (en négligeant le courant de déplacement) :
r ∂B r
r
rot B =
uz = µ0 j
∂x
r
1 ∂B r
j=
uz
µ 0 ∂x
soit
D’où :
r
d2 f =
∫
a
0
a
r
r
1 ∂B
1  B2 
.B dx dS u x =
  dS u x
µ 0 ∂x
µ 0  2  0
Finalement :
r
r
1
d2 f =
B (0) 2 dS u x
2µ 0
où B(0) désigne le champ magnétique à la surface du métal. On définit alors la pression de
radiation P sous la forme :
P=
d2 f
1
=
B(0) 2
dS
2µ 0
Avec :
B(0) =
1
ω
E 0 (− kf (0) + if ' (0) ) e −iωt
Or f ' (0) = −kf (0) , il vient :
B(0) = −
1
ω
E 0 kf (0)(1 + i ) e −iωt
On reconnaît E (0) = E 0 f (0) l’amplitude du champ électrique de l’onde incidente en x = 0. En
notation réelle :
B ( 0) =
1
ω
kE (0) 2 cos(ωt −
π
4
Avec :
29
)=
µ 0σδ
2
E (0) cos(ωt −
π
4
)
δ =
1
=
k
2
µ 0σω
La pression de radiation vaut ainsi :
P=
µ 0σ 2 δ 2
4
E 2 (0) cos 2 (ωt −
Sa valeur moyenne temporelle étant :
P =
µ 0σ 2δ 2
8
30
E 2 (0)
π
4
)
Les symétries en EM
31
32
33
34
_____________________________________
35