V - Olivier GRANIER

Equations locales de l’électromagnétisme
I) Densité volumique de courant :
On considère un ensemble de particules de charge q, de densité particulaire n
*
et ayant un
mouvement d’ensemble à la vitesse v.
On notera dans la suite :
qn
m
*
= ρ la densité de charges mobiles (exprimée en C.m – 3).
Comment définir l’intensité qui traverse une surface dS quelconque ?
n
r
θ
v
r
dtv
r
dS
θτ cos))(( dSvdtdVolume =
v
r
M (q)
La quantité de charges électriques dq qui traverse la surface élémentaire dS pendant l’intervalle de
temps dt est :
qvdtdSnqdndq )cos(
**
θτ ==
Or, dSnvdSv
r
r
.cos = θ , d’où :
dtdSnjqdtdSnvndq
v
r
r
r
.).(
*
==
où l’on a défini :
vvqnj
m
r
r
r
ρ ==
*
le vecteur densité de courant. L’intensité i :
dSnj
dt
dq
ir
r
.==
s’interprète comme le flux du vecteur densité de courant à travers la surface dS orientée.
L’intensité qui traverse une surface finie (S) sera alors :
dSnji
S
r
r
.
)(
∫∫
=
Diverses schématisations d’une distribution de charges :

2
Distribution volumique surfacique linéique
Charge
τρ ddq = dSdq σ = lddq λ =
Courant
τ djCd
r
r
= dSjCd
S
r
r
= l
r
r
dICd =
Intégration
∫∫∫
)(V
∫∫
)(S
∫
)(C
Intensité dSnjdi
r
r
.=
l
r
r
djdi
S
.= i = dq / dt
II) Equation locale de conservation de la charge :
On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d’étude).
Soit ρm la densité volumique de charges mobiles dans le milieu. La charge totale Q(t) comprise
dans le volume à l’instant t vaut :
τρ dtQ
m
V
∫∫∫
=
)(
)(
n
r
j
r
dS
VVolume
ρ
ρρ
ρ
m
La conservation de la charge électrique permet d’écrire :
Straversàti
dt
dQ )(−=
Par conséquent :
∫∫∫∫∫
−=
)()(
.),(
SV m
dSnjdtM
dt
dr
r
τρ
Le volume (V) étant fixe :
∫∫∫∫∫∫
∂
∂
=
)()(
),(
),(
V
m
Vm
d
t
tM
dtM
dt
d
τ
ρ
τρ
Finalement, le principe de conservation de la charge conduit à
∫∫∫∫∫
−=
∂
∂
)()(
.
),(
SV
m
dSnjd
t
tM r
r
τ
ρ
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky :
ττ
ρ
djdivd
t
tM
VV
m
r
∫∫∫∫∫∫
−=
∂
∂
)()(
),(
soit 0
),(
)(
=
+
∂
∂
∫∫∫
V
m
djdiv
t
tM
τ
ρ
r
Ce résultat étant vrai pour tout volume (V), il vient :
0
),( =+
∂
∂jdiv
t
tM
m
r
ρ
C’est l’équation locale de conservation de la charge électrique.
* Remarque : une telle forme d’équation se retrouve couramment lorsque l’on fait le bilan d’une
grandeur scalaire extensive qui, en l’absence de sources, obéit à un principe de conservation :

3
• Conservation de l’énergie EM (vecteur de Poynting)
• Conservation de la masse (en mécanique des fluides)
• Equations de la diffusion et de la chaleur (phénomènes de transport).
* Densité de courant et intensité en régime permanent :
On a alors 0
),( =
∂
∂
t
tM
m
ρ
et donc 0=jdiv
r
.
On en déduit :
• L’intensité totale qui sort d’une surface fermée (S) quelconque est nulle en régime
permanent :
0..
)()(
===
∫∫∫∫∫
τ djdivdSnji
VS
r
r
r
• En régime permanent, l’intensité a même valeur à travers toutes les sections d’un même
tube de champ.
On considère une surface fermée (S) constituée par un tube de champ (T) du champ j
r
(appelé tube de courant) et deux surfaces (S
1
) et (S
2
) s’appuyant sur deux contours de même
orientation tracés sur (T) et soient I
1
et I
2
les intensités, flux de j
r
respectivement à travers
(S
1
) et (S
2
).
(T)
(S
1
)
(S
2
)
(C
2
)
(C
1
)
I
1
I
2
21
)(
21
)(
.0. IIdSnjIIdSnj
TS
+−=++−==
∫∫∫∫
r
r
r
r
Soit :
III ==
21
En régime permanent, l’intensité du courant électrique prend la même valeur dans toute
section d’une branche de circuit. On peut également en déduire la loi des nœuds
(conservation du flux du vecteur densité de courant).
III) Equations de Maxwell :

4
Dans la théorie de Maxwell, l’interaction entre deux particules est transmise par l’intermédiaire de
modifications de proche en proche du champ EM. Cette propagation de l’interaction par
l’intermédiaire du champ EM se fait précisément sous forme d’ondes EM avec la célérité c.
Pour se représenter l’interaction de deux particules dans le cadre d’une théorie de champ, une
image possible est celle de deux bouchons A et B flottant sur l’eau et initialement immobiles. Une
oscillation verticale de A engendre des oscillations de l’eau qui se transmettent de proche en
proche dans toutes les directions jusqu’à ce qu’elles atteignent B qui est alors mis en mouvement.
Les équations de Maxwell sont des équations locales qui expriment des relations entre le champ
EM ),( BE
r
r
et ses sources ),( j
r
ρ :
)(
)(
)(
)(0
000
0
MAAmpèreMaxwelldeEquation
t
E
jBrot
MFFaradayMaxwelldeEquation
t
B
Erot
MGGaussMaxwelldeEquationEdiv
FluxmagnétiquefluxduEquationBdiv
−−
∂
∂
+=
−−
∂
∂
−=
−−=
−=
r
r
r
r
r
r
r
µεµ
ε
ρ
* Les équations de Maxwell et la conservation de la charge :
• Les équations de Maxwell contiennent le principe de conservation de la charge. En effet,
si l’on prend la divergence de l’équation de MA :
( )
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂
∂
+== t jdivEdiv
t
jdiv
t
E
divjdivBrotdiv
ρ
µµεµµεµ
r
r
r
r
r
r
0000000
0)(
Soit :
0=
∂
∂
+
t
jdiv
ρ
r
Ainsi, il n’est pas nécessaire d’ajouter la conservation de la charge aux postulats de l’EM dans la
mesure où celle-ci découle des équations de Maxwell.
• Nécessité du courant de déplacement
t
E
j
D
∂
∂
=
r
r
0
ε :
En régime quelconque, on pose )(
0D
jjBrot
r
r
r
+= µ . Alors :
DD
jdivjdivBrotdivjdiv
r
r
r
r
−=−= )(
1
0
µ
Soit encore, si l’on veut respecter le principe de conservation de la charge :
t
jdivjdiv
D
∂
∂
−=−=
ρ
r
r
En utilisant l’équation de MG :
(
)
Ediv
t
t
jdiv
D
r
r
0
ε
ρ
∂
∂
−=
∂
∂
−=− soit 0
0
=
∂
∂
−t
E
jdiv
D
r
r
ε

5
La solution la plus simple de cette équation correspond bien au choix du courant de déplacement
t
E
j
D
∂
∂
=
r
r
0
ε .
* Les équations de propagation du champ EM :
Soit une distribution (D) de charges localisées autour d’un point O, dont les densités sont
fonction du temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et
de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source de champs
E
r
et
B
r
variables dans le
temps qui vont s’établir dans tout le voisinage de O. Un point M de ce voisinage, bien que situé
en dehors de (D), est lui-même source de champs en raison des termes en tB ∂∂ /
r
et tE ∂∂ /
r
« provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de
Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des
sources de champs variables dans le temps …
On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de
proche en proche à la surface de l’eau.
« Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées
partielles par rapport au temps tB ∂∂ /
r
et tE ∂∂ /
r
est à l’origine du phénomène de propagation du
champ EM. »
Obtention des équations de propagation du champ EM :
On calcule le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday :
(
)
(
)
Brot
t
Erotrot
r
r
∂
∂
−=
Or :
(
)
(
)
EEdivgradErotrot
r
r
r
∆−=
Avec
t
E
jBrotetEdiv ∂
∂
+==
r
r
rr
000
0
µεµ
ε
ρ
, il vient :
∂
∂
+
∂
∂
−=∆−
t
E
j
t
Egrad
r
r
r
000
0
µεµ
ε
ρ
Soit, finalement :
t
j
grad
t
E
E∂
∂
+=
∂
∂
−∆
r
r
r
0
0
2
2
00
1
µρ
ε
µε
De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA :
(
)
(
)
(
)
Erot
t
jrotBBdivgradBrotrot
r
r
r
r
r
∂
∂
+=∆−=
000
µεµ
Soit :
( )
∂
∂
−
∂
∂
+=∆− t
B
t
jrotBgrad
r
r
r
000
0 µεµ
Finalement :
jrot
t
B
B
r
r
r
0
2
2
00
µµε −=
∂
∂
−∆