On a donc, par exemple, (3,−1,−3) = 4(1,−1,2) + (5,−3,1) + 3(−2,2,−4) et donc (3,−1,3) est une
combinaison lin´eaire des vecteurs ((1,−1,2),(5,−3,1),(−2,2,−4)).
On remarque ici que le choix des r´eels a,b,cn’est pas unique.
D´efinition 4
L’ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires d’une famille (−→
v1, ..., −→
vn) est not´e vect(−→
v1, ..., −→
vn).
Cette notation sera tr`es importante pour tout ce que nous allons faire en alg`ebre.
Exemple 6:
Soit l’ensemble E={(x, y, −2x+y)/(x, y)∈R2}. On a :
E={(x, y, −2x+y)/(x, y)∈R2}
={(x, 0,−2x) + (0, y, y)/(x, y)∈R2}
={x(1,0,−2) + y(0,1,1)/(x, y)∈R2}
= vect((1,0,−2),(0,1,1))
II Sous-espaces vectoriels
1 D´efinition, propri´et´es
D´efinition 5
Soit Eun R-espace vectoriel et Fun ensemble. On dit que Fest un sous-espace vectoriel de Essi :
•Fest un sous-ensemble de E.
•Fest non vide
•pour tout couple (−→
u , −→
v) de vecteurs de F,−→
u+−→
vest un vecteur de F
•pour tout vecteur −→
ude Fet tout r´eel λ,λ−→
uest un vecteur de F.
Exemple 7:
Soit l’ensemble E={X∈ M3,1(R)/AX = 3X}o`u Aest une matrice de M3(R) fix´ee. Montrons que
Eest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel M3,1(R).
•On remarque que Eest bien un sous-ensemble de M3,1(R).
•On remarque ensuite que En’est pas vide : en effet la matrice colonne qui ne contient que des z´eros,
v´erifie bien A0 = 30 donc elle appartient `a E.
•Soient Yet Zdeux matrices appartenant `a E. On veut montrer que Y+Zappartient `a E.
On remarque tout d’abord que comme Yet Zsont deux matrices de E, elles appartiennent `a M3,1(R)
donc Y+Zappartient aussi `a M3,1(R).
De plus A(Y+Z) = AY +AZ = 3Y+ 3Z= 3(Y+Z).
Donc on a bien Y+Z∈E.
•Soit Yappartenant `a Eet aun r´eel quelconque. On veut montrer que aY appartient `a E.
Comme Yappartient `a M3,1(R), aY appartient aussi `a M3,1(R).
De plus A(aY ) = aAY =a3Y= 3(aY ).
Donc on a bien aY ∈E.
Ainsi, par d´efinition, Eest un sous-espace vectoriel de M3,1(R).
Pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel vous pourrez soit utiliser la d´efinition soit la
propri´et´e suivante :
Propri´et´e 1
Soit Eun R-espace vectoriel et Fun ensemble. Fest un sous-espace vectoriel de Essi :
•Fest un sous-ensemble de E.
•Fest non vide.
• ∀(−→
u , −→
v)∈F2,∀(λ, µ)∈R2,λ−→
u+µ−→
v∈F
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