Chapitre 1

Alg`ebre : Chapitre 1
Espaces vectoriels
Dans ce chapitre nous allons ´etudier des ensembles qui ont des propri´et´es particuli`eres et que nous
allons appeler espaces vectoriels. Tous les ensembles dont nous allons parler sont des ensembles que vous
connaissez d´ej`a il faudra juste bien apprendre le vocabulaire pour en parler avec des termes propres.
I Espaces vectoriels sur R
1 D´efinition
D´efinition 1
Soit Eun ensemble muni d’une op´eration d’addition not´ee + et d’une op´eration de multiplication par
un r´eel not´ee ·.
On dit que (E, +,·) est un R-espace vectoriel ssi :
– (E, +) est un groupe commutatif, c’est-`a-dire :
*∀(−→ u , −→ v)∈E2,−→ u+−→ v∈E(Loi interne)
*∀(−→ u , −→ v , −→ w)∈E3, (−→ u+−→ v) + −→ w=−→ u+ (−→ v+−→ w) (Associativit´e)
*∃−→ 0E∈Etel que ∀−→ u∈E,−→ u+−→ 0E=−→ 0E+−→ u=−→ u(´ El´ement nul)
*∀−→ u∈E,∃−→ v∈E, tel que −→ u+−→ v=−→ v+−→ u=−→ 0E(on notera −→ v=−−→ u) (Oppos´e)
*∀(−→ u , −→ v)∈E2,−→ u+−→ v=−→ v+−→ u. (Commutativit´e)
– l’op´eration ·v´erifie :
*∀λ∈R, et ∀−→ u∈E,λ·−→ u∈E.
*∀(λ, µ)∈R2,∀−→ u∈E,λ·(µ·−→ u) = (λµ)·−→ u
*∀−→ u∈E, 1 ·−→ u=−→ u
*∀(λ, µ)∈R2,∀−→ u∈E, (λ+µ)·−→ u=λ·−→ u+µ·−→ u
*∀λ∈R,∀(−→ u , −→ v)∈E2,λ·(−→ u+−→ v) = λ·−→ u+λ·−→ v
Remarques :
– On ´ecrira souvent λ−→ u`a la place de λ·−→ u.
– Soit Eun R-espace vectoriel, les ´el´ements de Esont appel´es vecteurs et ceux de Rsont appel´es
scalaires.
Exemple 1 : Les classiques
Notation Description
Rensemble des r´eels (par ex : 0, 1, √2, ...)
R2ensemble des couples de r´eels (par ex : (0,0), (−2,4), ...)
R3ensemble des triplets de r´eels (par ex : (0,0,0), (−2,4,3), ...)
Rn(n∈N∗) ensemble des n-uplets de r´eels (notation : (x1, x2,···, xn) )
Mn,p(R) ensemble des matrices `a nlignes et pcolonnes
R[X] ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels
Rn[X] (n∈N∗) ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n
RNensemble des suites r´eelles
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2 Familles, combinaisons lin´eaires
D´efinition 2
Une famille de nvecteurs d’un espace vectoriel Eest un n-uplet (−→ v1,−→ v2, ..., −→ vn) o`u les −→ visont des
vecteurs de E.
Attention, dans une famille de vecteurs l’ordre est important.
On ne travaillera ici qu’avec des familles finies de vecteurs.
Exemple 2:
– (1,2,3) est une famille de 3 vecteurs de R.
– ((1,2),(2,3),(3,4)) est une famille de 3 vecteurs de R2.
– (X2+ 1, X, X3) est une famille de 3 vecteurs de R[X].
–1 2
3 4est une famille de 1 vecteur de M2(R).
D´efinition 3
Soit (−→ v1,−→ v2, ..., −→ vn) une famille de nvecteurs d’un espace vectoriel E. On appelle combinaison lin´eaire
des (−→ vi)i=1...n tout vecteur de la forme
n
X
i=1
λi−→ vi, o`u pour tout i,λiest un r´eel. Les λisont appel´es les
coefficients de la combinaison lin´eaire.
Exemple 3:
~v1+~v2+~v3est une combinaison lin´eaire de (~v1, ~v2, ~v3) et 2~v1−~v2+ 3~v3est une autre combinaison
lin´eaire de (~v1, ~v2, ~v3).
Exemple 4 : M´ethode
Soit M=3 4
−7 3,A=1 3 −1 2et B=−1 2 5 1.
On cherche `a savoir si Mest une combinaison lin´eaire de (A, B). En d’autres termes on cherche `a savoir
si on peut trouver deux r´eels que pour l’instant nous allons noter aet bet qui v´erifient : M=aA +bB
Or on a :
M=aA +bB ⇔3 4
−7 3=a1 3 −1 2+b−1 2 5 1
⇔3 4
−7 3=a−b3a+ 2b −a+ 5b2a+b
⇔
a−b= 3
3a+ 2b= 4
−a+ 5b=−7
2a+b= 3
⇔
a= 3 + b
5b+ 9 = 4
4b−3 = −7
3b+ 6 = 3
⇔b=−1
a= 2
Donc on a M= 2A−Bet donc Mest une combinaison lin´eaire de (A, B). On remarque que le choix
de aet best ici unique mais ¸ca n’est pas forc´ement le cas.
Exemple 5 : R´edaction
Le vecteur (3,−1,−3) est-il une combinaison lin´eaire des vecteurs ((1,−1,2),(5,−3,1),(−2,2,−4)) ?
On cherche trois r´eels a, b, c tels que (3,−1,−3) = a(1,−1,2) + b(5,−3,1) + c(−2,2,−4). On a :
(3,−1,−3) = a(1,−1,2) + b(5,−3,1) + c(−2,2,−4)
⇔(3,−1,−3) = (a+ 5b−2c, −a−3b+ 2c, 2a+b−4c)
⇔
a+ 5b−2c= 3
−a−3b+ 2c=−1
2a+b−4c=−3⇔b= 1
a= 2c−2
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On a donc, par exemple, (3,−1,−3) = 4(1,−1,2) + (5,−3,1) + 3(−2,2,−4) et donc (3,−1,3) est une
combinaison lin´eaire des vecteurs ((1,−1,2),(5,−3,1),(−2,2,−4)).
On remarque ici que le choix des r´eels a,b,cn’est pas unique.
D´efinition 4
L’ensemble de toutes les combinaisons lin´eaires d’une famille (−→ v1, ..., −→ vn) est not´e vect(−→ v1, ..., −→ vn).
Cette notation sera tr`es importante pour tout ce que nous allons faire en alg`ebre.
Exemple 6:
Soit l’ensemble E={(x, y, −2x+y)/(x, y)∈R2}. On a :
E={(x, y, −2x+y)/(x, y)∈R2}
={(x, 0,−2x) + (0, y, y)/(x, y)∈R2}
={x(1,0,−2) + y(0,1,1)/(x, y)∈R2}
= vect((1,0,−2),(0,1,1))
II Sous-espaces vectoriels
1 D´efinition, propri´et´es
D´efinition 5
Soit Eun R-espace vectoriel et Fun ensemble. On dit que Fest un sous-espace vectoriel de Essi :
•Fest un sous-ensemble de E.
•Fest non vide
•pour tout couple (−→ u , −→ v) de vecteurs de F,−→ u+−→ vest un vecteur de F
•pour tout vecteur −→ ude Fet tout r´eel λ,λ−→ uest un vecteur de F.
Exemple 7:
Soit l’ensemble E={X∈ M3,1(R)/AX = 3X}o`u Aest une matrice de M3(R) fix´ee. Montrons que
Eest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel M3,1(R).
•On remarque que Eest bien un sous-ensemble de M3,1(R).
•On remarque ensuite que En’est pas vide : en effet la matrice colonne qui ne contient que des z´eros,
v´erifie bien A0 = 30 donc elle appartient `a E.
•Soient Yet Zdeux matrices appartenant `a E. On veut montrer que Y+Zappartient `a E.
On remarque tout d’abord que comme Yet Zsont deux matrices de E, elles appartiennent `a M3,1(R)
donc Y+Zappartient aussi `a M3,1(R).
De plus A(Y+Z) = AY +AZ = 3Y+ 3Z= 3(Y+Z).
Donc on a bien Y+Z∈E.
•Soit Yappartenant `a Eet aun r´eel quelconque. On veut montrer que aY appartient `a E.
Comme Yappartient `a M3,1(R), aY appartient aussi `a M3,1(R).
De plus A(aY ) = aAY =a3Y= 3(aY ).
Donc on a bien aY ∈E.
Ainsi, par d´efinition, Eest un sous-espace vectoriel de M3,1(R).
Pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel vous pourrez soit utiliser la d´efinition soit la
propri´et´e suivante :
Propri´et´e 1
Soit Eun R-espace vectoriel et Fun ensemble. Fest un sous-espace vectoriel de Essi :
•Fest un sous-ensemble de E.
•Fest non vide.
• ∀(−→ u , −→ v)∈F2,∀(λ, µ)∈R2,λ−→ u+µ−→ v∈F
Alg`ebre : Chapitre 1 Page 3 Espaces vectoriels

D´emonstration : Hors programme
Il faut d´emontrer une ´equivalence donc la d´emonstration se passe en deux ´etapes.
•Si Fest un sous-espace de Ealors par d´efinition Fest un sous-ensemble non vide de E
et pour tout (−→ u , −→ v)∈F2et (λ, µ)∈R2on a λ−→ u∈Fet µ−→ v∈Fet donc λ−→ u+µ−→ v∈F.
•R´eciproquement, si Fv´erifie les trois points ci dessus, on a bien que Fest un sous-
ensemble non vide de E. De plus en prenant λ=µ= 1 on v´erifie que −→ u+−→ v∈F, et
enfin en prenant µ= 0 on v´erifie que λ−→ u∈F. Donc d’apr`es la d´efinition Fest bien un
sous-espace vectoriel de E.
2
Remarque :
Pour montrer que Fn’est pas vide, le plus souvent on montre que 0Eappartient `a F.
Propri´et´e 2
Soit (E, +,·) un R-espace vectoriel et Fun sous-espace vectoriel de E. Alors (F, +,·) est lui-mˆeme un
R-espace vectoriel.
M´ethode :
Pour vos concours, lorsqu’on vous posera la question ≪Montrer que l’ensemble Fest un espace vecto-
riel. ≫, dans 99,999 % des cas vous n’utiliserez pas la d´efinition 1. Vous remarquerez plutˆot que Fest un
sous ensemble d’un espace vectoriel classique, vous montrerez que Fest un sous-espace vectoriel de cet
espace vectoriel classique et vous conclurez (grˆace `a la propri´et´e 1) que Fest donc lui mˆeme un espace
vectoriel.
Exemple 8:
Soit R[X] le R-espace vectoriel des polynˆomes. Soit aun r´eel fix´e et Eal’ensemble des polynˆomes qui
s’annulent en a. Montrer que Eaest un R-espace vectoriel.
´
Ecrivons tout d’abord clairement l’ensemble Ea:
Ea={P∈R[X]/P (a) = 0}
On remarque tout d’abord que Eaest un sous-ensemble de l’ensemble R[X]. Ainsi au lieu de montrer
directement que Eaest un espace vectoriel nous allons d´emontrer que c’est un sous-espace vectoriel de
R[X]puis nous pourrons conclure que c’est bien un espace vectoriel.
•On a bien Eaqui est non vide car le polynˆome nul est bien dans cet ensemble.
•Consid´erons deux polynˆomes Qet Rappartenant `a l’ensemble Eaet deux r´eels cet d. Notre but est
de montrer que le polynˆome cQ +dR est aussi dans cet ensemble Ea. Pour cela, il faut donc d´emontrer
que cQ +dR s’annule en a. On sait par hypoth`ese que Q(a) = 0 et R(a) = 0.
Donc (cQ +dR)(a) = cQ(a) + dR(a) = 0 + 0 = 0. On a donc bien cQ +dR ∈Ea.
Eaest donc un sous-espace vectoriel de R[X](propri´et´e 1) et c’est donc bien un espace vectoriel
(propri´et´e 2).
2 Sous-espace vectoriel engendr´e
Propri´et´e 3
Soit (−→ v1,−→ v2, ..., −→ vn) une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E. Alors l’ensemble vect(−→ v1, ..., −→ vn) est
un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle le sous-espace engendr´e par la famille (−→ v1, ..., −→ vn).
Utilisation :
Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, il est parfois judicieux de montrer que c’est un
sous-espace engendr´e par une famille de vecteurs. Pour cela il faut savoir reconnaitre quand est ce que l’on
peut ´ecrire un ensemble donn´e sous la forme vect(...).
Alg`ebre : Chapitre 1 Page 4 Espaces vectoriels

Exemple 9 : M´ethode
Consid´erons l’ensemble E=x2x−y
y x + 2y; (x, y)∈R2. On voudrait ´ecrire Ecomme l’ensemble des
combinaisons lin´eaires d’une famille de matrices bien fix´ee. Il faut donc faire apparaitre ≪les lettres ≫comme
des coefficients de la combinaison lin´eaire :
E=x2x
0x+0−y
y2y; (x, y)∈R2
=x1 2
0 1+y0−1
1 2 ; (x, y)∈R2= vect 1 2
0 1,0−1
1 2 
Eest le sous-espace engendr´e par 1 2
0 1,0−1
1 2  donc Eest un espace vectoriel.
Il faut savoir rep´erer rapidement les ensembles qui peuvent s’´ecrire sous la forme vect(...).
Exemple 10:
Montrer que l’ensemble E={(a+ 2b−c+d, 2a+ 3b−d, b −c+ 2d)/(a, b, c, d)∈R4}est un espace
vectoriel.
E={(a+ 2b−c+d, 2a+ 3b−d, b −c+ 2d)/(a, b, c, d)∈R4}
={(a, 2a, 0) + (2b, 3b, b) + (−c, 0,−c) + (d, −d, 2d)/(a, b, c, d)∈R4}
={a(1,2,0) + b(2,3,1) + c(−1,0,−1) + d(1,−1,2)/(a, b, c, d)∈R4}
=vect ((1,2,0),(2,3,1),(−1,0,−1),(1,−1,2))
Donc Eest le sous-espace engendr´e par ((1,2,0),(2,3,1),(−1,0,−1),(1,−1,2)) et donc c’est un espace
vectoriel.
III Dimension d’un espace vectoriel
1 Familles g´en´eratrices
D´efinition 6
Soit Eun R-espace vectoriel.
Une famille finie (−→ v1, ..., −→ vp) de vecteurs de Eest dite g´en´eratrice de Esi et seulement si on a
E= vect(−→ v1, ..., −→ vp).
Propri´et´e 4
La famille (−→ v1, ..., −→ vp) est une famille g´en´eratrice de Esi et seulement si pour tout −→ u∈E, il existe
(λ1, ..., λp)∈Rptel que −→ u=
p
X
i=1
λi−→ vi.
Propri´et´e 5
Si (−→ v1, ..., −→ vp) est une famille g´en´eratrice de Ealors :
•pour tout −→ u∈E, (−→ v1, ..., −→ vp,−→ u) est aussi une famille g´en´eratrice de E.
•si on change l’ordre des vecteurs de la famille (−→ v1, ..., −→ vp) alors la famille reste une famille g´en´eratrice
de E.
•si λ1, ..., λpsont des r´eels non nuls alors la famille (λ1−→ v1, ..., λp−→ vp) est aussi g´en´eratrice de E.
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