Chapitre 1

Algèbre : Chapitre 1
Espaces vectoriels
Dans ce chapitre nous allons étudier des ensembles qui ont des propriétés particulières et que nous
allons appeler espaces vectoriels. Tous les ensembles dont nous allons parler sont des ensembles que vous
connaissez déjà il faudra juste bien apprendre le vocabulaire pour en parler avec des termes propres.
I
Espaces vectoriels sur R
1
Définition
Définition 1
Soit E un ensemble muni d’une opération d’addition notée + et d’une opération de multiplication par
un réel notée ·.
On dit que (E, +, ·) est un R-espace vectoriel ssi :
– (E, +) est un groupe commutatif, c’est-à-dire :
→
→
→
→
* ∀(−
u ,−
v ) ∈ E 2, −
u +−
v ∈E
(Loi interne)
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
→
3
* ∀( u , v , w ) ∈ E , ( u + v ) + w = −
u + (−
v +−
w)
(Associativité)
−
→
−
→ −
→ −
→
−
→
−
→
→
−
* ∃0E ∈ E tel que ∀ u ∈ E, u + 0E = 0E + u = u
(Élément nul)
−
→
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
* ∀ u ∈ E, ∃ v ∈ E, tel que u + v = v + u = 0E (on notera −
v = −−
u)
(Opposé)
→
→
→
→
→
→
* ∀(−
u ,−
v ) ∈ E 2, −
u +−
v =−
v +−
u.
(Commutativité)
– l’opération · vérifie :
→
→
* ∀λ ∈ R, et ∀−
u ∈ E, λ · −
u ∈ E.
→
−
→
→
2
* ∀(λ, µ) ∈ R , ∀ u ∈ E, λ · (µ · −
u ) = (λµ) · −
u
→
−
→
−
→
−
* ∀ u ∈ E, 1 · u = u
→
→
→
→
* ∀(λ, µ) ∈ R2 , ∀−
u ∈ E, (λ + µ) · −
u =λ·−
u +µ·−
u
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
2
* ∀λ ∈ R, ∀( u , v ) ∈ E , λ · ( u + v ) = λ · u + λ · −
v
Remarques :
→
→
– On écrira souvent λ−
u à la place de λ · −
u.
– Soit E un R-espace vectoriel, les éléments de E sont appelés vecteurs et ceux de R sont appelés
scalaires.
Exemple 1 : Les classiques
Notation
Description
√
R
ensemble des réels (par ex : 0, 1,
R2
ensemble des couples de réels (par ex : (0, 0), (−2, 4), ...)
R3
ensemble des triplets de réels (par ex : (0, 0, 0), (−2, 4, 3), ...)
Rn (n ∈ N∗ )
Mn,p (R)
R[X]
Rn [X] (n ∈ N∗ )
RN
Algèbre : Chapitre 1
2, ...)
ensemble des n-uplets de réels (notation : (x1 , x2 , · · · , xn ) )
ensemble des matrices à n lignes et p colonnes
ensemble des polynômes à coefficients réels
ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n
ensemble des suites réelles
Page 1
Espaces vectoriels
2
Familles, combinaisons linéaires
Définition 2
−
→
→
−
Une famille de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un n-uplet (→
v1 , −
v2 , ..., −
vn ) où les →
vi sont des
vecteurs de E.
Attention, dans une famille de vecteurs l’ordre est important.
On ne travaillera ici qu’avec des familles finies de vecteurs.
Exemple 2:
– (1, 2, 3) est une famille de 3 vecteurs de R.
– ((1, 2), (2, 3), (3, 4)) est une famille de 3 vecteurs de R2 .
2
– (X
X, X 3 ) est une famille de 3 vecteurs de R[X].
+ 1,
1 2
–
est une famille de 1 vecteur de M2 (R).
3 4
Définition 3
−
→
−
Soit (→
v1 , −
v2 , ..., →
vn ) une famille de n vecteurs d’un espace vectoriel E. On appelle combinaison linéaire
n
X
→
−
→
des ( vi )i=1...n tout vecteur de la forme
λi −
vi , où pour tout i, λi est un réel. Les λi sont appelés les
coefficients de la combinaison linéaire.
i=1
Exemple 3:
~v1 + ~v2 + ~v3 est une combinaison linéaire de (~v1 , ~v2 , ~v3 ) et 2~v1 − ~v2 + 3~v3 est une autre combinaison
linéaire de (~v1 , ~v2 , ~v3 ).
Exemple 4 : Méthode
3 4
1 3
−1 2
Soit M =
,A=
et B =
.
−7 3
−1 2
5 1
On cherche à savoir si M est une combinaison linéaire de (A, B). En d’autres termes on cherche à savoir
si on peut trouver deux réels que pour l’instant nous allons noter a et b et qui vérifient : M = aA + bB
Or on a :
3 4
1 3
−1 2
M = aA + bB ⇔
=a
+b
−7 3
−1 2
5 1
3 4
a − b 3a + 2b
⇔
=
−7 3
−a + 5b 2a + b


a=3+b
a
−
b
=
3






b = −1
5b + 9 = 4
3a + 2b = 4
⇔
⇔
⇔
a=2
4b
−
3
=
−7
−a
+
5b
=
−7






3b + 6 = 3
2a + b = 3
Donc on a M = 2A − B et donc M est une combinaison linéaire de (A, B). On remarque que le choix
de a et b est ici unique mais ça n’est pas forcément le cas.
Exemple 5 : Rédaction
Le vecteur (3, −1, −3) est-il une combinaison linéaire des vecteurs ((1, −1, 2), (5, −3, 1), (−2, 2, −4)) ?
On cherche trois réels a, b, c tels que (3, −1, −3) = a(1, −1, 2) + b(5, −3, 1) + c(−2, 2, −4). On a :
(3, −1, −3) = a(1, −1, 2) + b(5, −3, 1) + c(−2, 2, −4)
⇔(3, −1, −3) = (a + 5b − 2c, −a − 3b + 2c, 2a + b − 4c)

 a + 5b − 2c = 3
b=1
⇔ −a − 3b + 2c = −1 ⇔
a = 2c − 2

2a + b − 4c = −3
Algèbre : Chapitre 1
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Espaces vectoriels
On a donc, par exemple, (3, −1, −3) = 4(1, −1, 2) + (5, −3, 1) + 3(−2, 2, −4) et donc (3, −1, 3) est une
combinaison linéaire des vecteurs ((1, −1, 2), (5, −3, 1), (−2, 2, −4)).
On remarque ici que le choix des réels a, b, c n’est pas unique.
Définition 4
−
→
→
→
L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires d’une famille (→
v1 , ..., −
vn ) est noté vect(−
v1 , ..., −
vn ).
Cette notation sera très importante pour tout ce que nous allons faire en algèbre.
Exemple 6:
Soit l’ensemble E = {(x, y, −2x + y)/(x, y) ∈ R2 }. On a :
E = {(x, y, −2x + y)/(x, y) ∈ R2 }
= {(x, 0, −2x) + (0, y, y)/(x, y) ∈ R2 }
= {x(1, 0, −2) + y(0, 1, 1)/(x, y) ∈ R2 }
= vect((1, 0, −2), (0, 1, 1))
II
Sous-espaces vectoriels
1
Définition, propriétés
Définition 5
Soit E un R-espace vectoriel et F un ensemble. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E ssi :
• F est un sous-ensemble de E.
• F est non vide
→
→
→
→
• pour tout couple (−
u ,−
v ) de vecteurs de F , −
u +−
v est un vecteur de F
→
→
• pour tout vecteur −
u de F et tout réel λ, λ−
u est un vecteur de F .
Exemple 7:
Soit l’ensemble E = {X ∈ M3,1 (R)/AX = 3X} où A est une matrice de M3 (R) fixée. Montrons que
E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel M3,1 (R).
• On remarque que E est bien un sous-ensemble de M3,1 (R).
• On remarque ensuite que E n’est pas vide : en effet la matrice colonne qui ne contient que des zéros,
vérifie bien A0 = 30 donc elle appartient à E.
• Soient Y et Z deux matrices appartenant à E. On veut montrer que Y + Z appartient à E.
On remarque tout d’abord que comme Y et Z sont deux matrices de E, elles appartiennent à M3,1 (R)
donc Y + Z appartient aussi à M3,1 (R).
De plus A(Y + Z) = AY + AZ = 3Y + 3Z = 3(Y + Z).
Donc on a bien Y + Z ∈ E.
• Soit Y appartenant à E et a un réel quelconque. On veut montrer que aY appartient à E.
Comme Y appartient à M3,1 (R), aY appartient aussi à M3,1 (R).
De plus A(aY ) = aAY = a3Y = 3(aY ).
Donc on a bien aY ∈ E.
Ainsi, par définition, E est un sous-espace vectoriel de M3,1 (R).
Pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel vous pourrez soit utiliser la définition soit la
propriété suivante :
Propriété 1
Soit E un R-espace vectoriel et F un ensemble. F est un sous-espace vectoriel de E ssi :
• F est un sous-ensemble de E.
• F est non vide.
−
→
→
→
• ∀(→
u,−
v ) ∈ F 2 , ∀(λ, µ) ∈ R2 , λ−
u + µ−
v ∈F
Algèbre : Chapitre 1
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Espaces vectoriels
Démonstration : Hors programme
Il faut démontrer une équivalence donc la démonstration se passe en deux étapes.
• Si F est un sous-espace de E alors par définition F est un sous-ensemble non vide de E
→
−
→
→
→
→
et pour tout (−
u ,→
v ) ∈ F 2 et (λ, µ) ∈ R2 on a λ−
u ∈ F et µ−
v ∈ F et donc λ−
u + µ−
v ∈ F.
• Réciproquement, si F vérifie les trois points ci dessus, on a bien que F est un sous→
→
ensemble non vide de E. De plus en prenant λ = µ = 1 on vérifie que −
u +−
v ∈ F , et
→
enfin en prenant µ = 0 on vérifie que λ−
u ∈ F . Donc d’après la définition F est bien un
sous-espace vectoriel de E.
2
Remarque :
Pour montrer que F n’est pas vide, le plus souvent on montre que 0E appartient à F .
Propriété 2
Soit (E, +, ·) un R-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Alors (F, +, ·) est lui-même un
R-espace vectoriel.
Méthode :
Pour vos concours, lorsqu’on vous posera la question ≪ Montrer que l’ensemble F est un espace vectoriel. ≫, dans 99,999 % des cas vous n’utiliserez pas la définition 1. Vous remarquerez plutôt que F est un
sous ensemble d’un espace vectoriel classique, vous montrerez que F est un sous-espace vectoriel de cet
espace vectoriel classique et vous conclurez (grâce à la propriété 1) que F est donc lui même un espace
vectoriel.
Exemple 8:
Soit R[X] le R-espace vectoriel des polynômes. Soit a un réel fixé et Ea l’ensemble des polynômes qui
s’annulent en a. Montrer que Ea est un R-espace vectoriel.
Écrivons tout d’abord clairement l’ensemble Ea :
Ea = {P ∈ R[X]/P (a) = 0}
On remarque tout d’abord que Ea est un sous-ensemble de l’ensemble R[X]. Ainsi au lieu de montrer
directement que Ea est un espace vectoriel nous allons démontrer que c’est un sous-espace vectoriel de
R[X] puis nous pourrons conclure que c’est bien un espace vectoriel.
• On a bien Ea qui est non vide car le polynôme nul est bien dans cet ensemble.
• Considérons deux polynômes Q et R appartenant à l’ensemble Ea et deux réels c et d. Notre but est
de montrer que le polynôme cQ + dR est aussi dans cet ensemble Ea . Pour cela, il faut donc démontrer
que cQ + dR s’annule en a. On sait par hypothèse que Q(a) = 0 et R(a) = 0.
Donc (cQ + dR)(a) = cQ(a) + dR(a) = 0 + 0 = 0. On a donc bien cQ + dR ∈ Ea .
Ea est donc un sous-espace vectoriel de R[X] (propriété 1) et c’est donc bien un espace vectoriel
(propriété 2).
2
Sous-espace vectoriel engendré
Propriété 3
−
→
→
→
→
Soit (→
v1 , −
v2 , ..., −
vn ) une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E. Alors l’ensemble vect(−
v1 , ..., −
vn ) est
→
−
un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle le sous-espace engendré par la famille (−
v1 , ..., →
vn ).
Utilisation :
Pour montrer qu’un ensemble est un espace vectoriel, il est parfois judicieux de montrer que c’est un
sous-espace engendré par une famille de vecteurs. Pour cela il faut savoir reconnaitre quand est ce que l’on
peut écrire un ensemble donné sous la forme vect(...).
Algèbre : Chapitre 1
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Espaces vectoriels
Exemple 9 : Méthode
x 2x − y
2
Considérons l’ensemble E =
; (x, y) ∈ R . On voudrait écrire E comme l’ensemble des
y x + 2y
combinaisons linéaires d’une famille de matrices bien fixée. Il faut donc faire apparaitre ≪ les lettres ≫ comme
des coefficients de la combinaison linéaire :
0 −y
x 2x
2
; (x, y) ∈ R
+
E=
y 2y
0 x
0 −1
1 2
0 −1
1 2
2
,
; (x, y) ∈ R = vect
+y
= x
1 2
0 1
1 2
0 1
0 −1
1 2
donc E est un espace vectoriel.
,
E est le sous-espace engendré par
1 2
0 1
Il faut savoir repérer rapidement les ensembles qui peuvent s’écrire sous la forme vect(...).
Exemple 10:
Montrer que l’ensemble E = {(a + 2b − c + d, 2a + 3b − d, b − c + 2d)/(a, b, c, d) ∈ R4 } est un espace
vectoriel.
E = {(a + 2b − c + d, 2a + 3b − d, b − c + 2d)/(a, b, c, d) ∈ R4 }
= {(a, 2a, 0) + (2b, 3b, b) + (−c, 0, −c) + (d, −d, 2d)/(a, b, c, d) ∈ R4 }
= {a(1, 2, 0) + b(2, 3, 1) + c(−1, 0, −1) + d(1, −1, 2)/(a, b, c, d) ∈ R4 }
= vect ((1, 2, 0), (2, 3, 1), (−1, 0, −1), (1, −1, 2))
Donc E est le sous-espace engendré par ((1, 2, 0), (2, 3, 1), (−1, 0, −1), (1, −1, 2)) et donc c’est un espace
vectoriel.
III
1
Dimension d’un espace vectoriel
Familles génératrices
Définition 6
Soit E un R-espace vectoriel.
→
→
Une famille finie (−
v1 , ..., −
vp ) de vecteurs de E est dite génératrice de E si et seulement si on a
→
−
→
−
E = vect( v1 , ..., vp ).
Propriété 4
→
→
−
La famille (−
v1 , ..., −
vp ) est une famille génératrice de E si et seulement si pour tout →
u ∈ E, il existe
p
X
→
→
λi −
vi .
(λ1 , ..., λp ) ∈ Rp tel que −
u =
i=1
Propriété 5
→
→
Si (−
v1 , ..., −
vp ) est une famille génératrice de E alors :
→
→
−
→
• pour tout −
u ∈ E, (−
v1 , ..., →
vp , −
u ) est aussi une famille génératrice de E.
→
→
• si on change l’ordre des vecteurs de la famille (−
v1 , ..., −
vp ) alors la famille reste une famille génératrice
de E.
→
→
• si λ1 , ..., λp sont des réels non nuls alors la famille (λ1 −
v1 , ..., λp −
vp ) est aussi génératrice de E.
Algèbre : Chapitre 1
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Espaces vectoriels
Exemple 11:
• La famille (1, X, ..., X n ) est une
famille
génératrice
de Rn [X].
1 2
0 −1
• Dans l’exemple 9, la famille
,
est une famille génératrice de E.
0 1
1 2
Pour trouver une famille génératrice d’un espace vectoriel E donné, il faut écrire ce dernier sous la
forme vect(...). La famille que l’on a à la place de ... est une famille génératrice de E.
Propriété 6
→
→
→
Soit E un espace vectoriel et (−
v1 , · · · , −
vn ) une famille génératrice de E. Si −
vn est une combinaison
→
−
−
−
→
−
→
−
−
→
linéaire de ( v1 , · · · , vn−1 ) alors la famille ( v1 , · · · , vn−1 ) est aussi génératrice de E :
→
−
→
→
E = vect(−
v1 , · · · , →
vn ) = vect(−
v1 , · · · , −
v−
n−1 )
Démonstration : Hors programme
→
→
On souhaite ici montrer que la famille (−
v1 , · · · , −
v−
n−1 ) est génératrice de E. Prenons donc
→
−
→
→
u un vecteur quelconque de E. On sait par hypothèse que la famille (−
v1 , · · · , −
vn ) est
n
X
→
→
génératrice de E donc cela signifie qu’il existe (a1 , · · · , an ) des réels tels que −
u =
ai −
vi .
i=1
−
On sait aussi que l’on peut écrire →
vn =
→
λi −
vi où les λi sont des réels.
i=1
On a donc :
−
→
u =
n−1
X
n
X
i=1
−
ai →
vi =
n−1
X
−
→
ai →
vi + an −
vn =
i=1
n−1
X
−
ai →
vi + an
i=1
n−1
X
i=1
−
λi →
vi =
n−1
X
→
(ai + an λi )−
vi
i=1
→
→
→
Donc −
u s’écrit comme une combinaison linéaire de la famille (−
v1 , · · · , −
v−
n−1 ), ce qui signifie
que cette famille est bien génératrice de F .
2
Cette propriété est à bien retenir, nous verrons son utilité dans la recherche de base.
2
Familles libres
Définition 7
Soit E un R-espace vectoriel.
→
→
• Une famille finie (−
v1 , ..., −
vp ) de vecteurs de E est dite libre ssi pour tout p-uplet (λ1 , ..., λp ) ∈ Rp on
a:
p
X
→
λi −
vi = 0 =⇒ λ1 = ... = λp = 0
i=1
• Une famille qui n’est pas libre est dite liée.
Remarques :
– Lorsqu’une famille est libre on dit aussi que ses vecteurs sont linéairement indépendants.
→
→
– Par définition la famille (−
v1 , ..., −
vp ) est liée ssi il existe (λ1 , ..., λp ) 6= (0, ..., 0) (on dit aussi que les λi
p
X
→
λi −
vi = 0.
sont non tous nuls) tels que
i=1
– Dès que l’un des vecteurs de la famille est le vecteur nul, la famille est liée.
Algèbre : Chapitre 1
Page 6
Espaces vectoriels
Exemple 12 : Méthode
La famille (1 + X + X 2 , 3 + X + 5X 2 , 2 + X + 3X 2 ) est-elle une famille libre ou liée de R[X] ?
Explication :
Déterminer si cette cette famille est libre ou liée signifie qu’il faut chercher 3 réels (il y a trois vecteurs
dans la famille) a, b, c qui vérifient a(1 + X + X 2 ) + b(3 + X + 5X 2 ) + c(2 + X + 3X 2 ) = 0. Bien évidemment
la solution a = b = c = 0 fonctionne toujours.
S’il n’y a pas d’autre choix pour a, b et c que a = b = c = 0 alors on dira que la famille est libre. Dans
le cas contraire on dit qu’elle est liée.
Rédaction :
On cherche tous les réels a, b et c tels que a(1 + X + X 2 ) + b(3 + X + 5X 2 ) + c(2 + X + 3X 2 ) = 0.
Or on a :
a(1 + X + X 2 ) + b(3 + X + 5X 2 ) + c(2 + X + 3X 2 ) = 0
⇔(a + 5b + 3c)X 2 + (a + b + c)X + (a + 3b + 2c) = 0

 a + 5b + 3c = 0
⇔ a+b+c=0

a + 3b + 2c = 0

 a + 5b + 3c = 0
L2 ← L1 − L2
⇔ 4b + 2c = 0

2b + c = 0
L3 ← L1 − L3
a=b
⇔
c = −2b
On voit qu’on a ici une infinité de solutions pour a, b et c. Par exemple a = 1, b = 1 et c = −2
fonctionne.
Donc la famille (1 + X + X 2 , 3 + X + 5X 2 , 2 + X + 3X 2 ) est liée.
Astuce : Parfois, un choix possible de a, b et c est évident. On peut alors éviter les calculs et répondre
en disant je vois que ... donc la famille est liée.
Ici on aurait pu voir tout de suite que (1 + X + X 2 ) + (3 + X + 5X 2 ) = 2 × (2 + X + 3X 2 ) et donc on
peut tout de suite dire que la famille est liée.
Exemple 13:
La famille ((1, 3, −3), (4, 2, −3), (−1, 7, 6)) est-elle une famille libre ou liée de R3 ?
On cherche tous les réels a, b ,c tels que a(1, 3, −3) + b(4, 2, −3) + c(−1, 7, 6) = (0, 0, 0).
Or on a :
a(1, 3, −3) + b(4, 2, −3) + c(−1, 7, 6) = (0, 0, 0)
⇔(a + 4b − c, 3a + 2b + 7c, −3a − 3b + 6c) = (0, 0, 0)


 a + 4b − c = 0
 a + 4b − c = 0
10b − 10c = 0 L2 ← 3L1 − L2
⇔ 3a + 2b + 7c = 0
⇔


−3a − 3b + 6c = 0
9b + 3c = 0
L3 ← 3L1 + L3

 a + 4b − c = 0
⇔ b=c
⇔a=b=c=0

12c = 0
La famille ((1, 3, −3), (4, 2, −3), (−1, 7, 6)) est donc libre.
Algèbre : Chapitre 1
Page 7
Espaces vectoriels
Voici maintenant quelques propriétés des familles libres ou liées.
Propriété 7
Soit E un espace vectoriel
– Si on change l’ordre des vecteurs d’une famille libre (resp. liée), on obtient encore une famille libre
(resp. liée).
→
→
– La famille (−
u ) est liée ssi −
u = 0E . (Donc une famille formée d’un seul vecteur non nul est libre)
→
−
→
−
→
→
→
→
– La famille (u1 , u2 ) est liée ssi il existe λ ∈ R tel que −
u 1 = λ−
u2 ou −
u 2 = λ−
u1 . On dit alors que les
→
→
vecteurs −
u1 et −
u2 sont colinéaires ou proportionnels.
→
→) est liée ssi l’un des −
→
– La famille (−
u1 , ..., −
u
ui est égal à une combinaison linéaire des autres.
n
– Toute sous-famille d’une famille libre est encore libre.
→
→) est libre. Alors si deux combinaisons linéaires des (−
→
→)
– Supposons que la famille (−
u1 , ..., −
u
u1 , ..., −
u
n
n
n
n
X
X
→
→
sont égales, leurs coefficients sont égaux deux à deux :
ai −
ui =
bi −
ui ⇒ ∀i, ai = bi
i=1
i=1
Remarque :
Si une famille de vecteurs contient deux vecteurs égaux alors la famille est liée.
Démonstration : Hors programme
– On peut changer l’ordre dans une somme.
→
→
– • Si (−
u ) est liée alors il existe λ 6= 0 tel que λ−
u = 0 et donc d’après la propriété 1
→
−
u = 0E .
→
→
→
• Réciproquement si −
u = 0E alors pour tout λ ∈ R, λ−
u = 0 donc (−
u ) est liée.
→
−
→
−
→
−
→
−
– • Si (u1 , u2 ) est liée alors il existe (λ1 , λ2 ) 6= (0, 0) tel que λ1 u1 + λ2 u2 = 0.
λ2 →
→
→
Si λ1 6= 0 alors on a −
u1 = − −
u2 , et si λ1 = 0 alors λ2 6= 0 et nécessairement −
u 2 = 0E
λ1
→
→
donc −
u 2 = 0−
u1 .
→
→
→
→
• Réciproquement si −
u 1 = λ−
u2 alors −
u1 −λ−
u2 = 0 et donc, comme (1, λ) 6= (0, 0), la famille
→
→
→
→
(−
u1 , −
u2 ) est liée.(On procède de même si −
u 2 = λ−
u1 )
n
X
→
−
−
→
→
– • Comme la famille (u1 , ..., un ) est liée, il existe (λ1 , ..., λn ) 6= (0, ..., 0) tel que
λi −
ui = 0.
i=1
Au moins l’un des λi est non nul et on peut supposer que λ1 6= 0 sinon il suffit de changer
→
l’ordre des −
ui puis de les numéroter à nouveau. On peut donc écrire
n
X
→
λi −
ui
−
→
u1 = − i=2
λ1
=
n
X
i=2
−
λi −
→
ui
λ1
→
et donc −
u1 est combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.
→
• Réciproquement, de même que précédemment on peut supposer que c’est −
u1 qui est
n−1
combinaison linéaire des autres. On a donc l’existence de (µ2 , ..., µn ) ∈ R
tel que
n
n
X
X
→
−
→
→
→
u1 =
µi −
ui et donc −
u1 −
µi −
ui = 0. Comme (1, −µ2 , ..., −µn ) 6= (0, ..., 0) la famille
i=2
→
→) est liée.
(−
u1 , ..., −
u
n
Algèbre : Chapitre 1
i=2
Page 8
Espaces vectoriels
– Soit (e1 , ..., ep ) une famille libre. Comme on peut changer l’ordre, il suffit ici de montrer
que pour tout k = 1, ..., p les k premiers vecteurs de la famille forment une famille libre.
k
X
k
Soit (λ1 , ..., λk ) ∈ R tel que
λi ei = 0. On pose λk+1 = ... = λp = 0, on a donc
p
X
i=1
λi ei = 0. Comme la famille (e1 , ..., ep ) est libre, on en déduit que λ1 = ... = λp = 0 et
i=1
donc la famille (e1 , ..., ek ) est libre.
→
→) est libre. S’il existe (a , ..., a ) ∈ Rp et (b , ..., b ) ∈
– On suppose ici que la famille (−
u1 , ..., −
u
n
1
p
1
p
p
n
n
X
X
X
→
→
→
(ai − bi )−
ui = 0 et d’après la liberté on a donc
Rp tels que
ai −
ui =
bi −
ui alors on a
i=1
pour tout i, ai = bi .
i=1
i=1
2
3
Dimension, base
a
Base
Définition 8
→
→
−
−
Soit E un espace vectoriel et (−
e1 , ..., −
en ) une famille de vecteur de E. On dit que la famille (→
e1 , ..., →
en )
est une base de E ssi elle est libre et génératrice de E.
Méthode :
En général, pour trouver une base d’un espace vectoriel E donné, on commence par trouver une famille
→
→
génératrice. Je rappelle que pour cela le plus souvent on écrit E sous la forme vect(−
e1 , · · · , −
en ). Il faut
→
−
→
−
alors vérifier que la famille ( e1 , · · · , en ) est aussi libre.
Si elle est libre, c’est gagné.
Si elle n’est pas libre, il faut alors se servir de la propriété 6 pour réduire la famille génératrice à un
famille aussi libre.
Exemple 14:
Soit e1 = (1, 2, −3), e2 = (−2, 0, 5) et e3 = (−4, 4, 9). On pose F =Vect(e1 , e2 , e3 ). Trouvons une base
de F .
D’après la définition de F la famille (e1 , e2 , e3 ) est génératrice de F .
Regardons si cette famille est libre. On cherche tous les réels a, b, c tels que ae1 + be2 + c3 = (0, 0, 0).
On a :
ae1 + be2 + c3 = (0, 0, 0)
⇔(a − 2b − 4c, 2a + 4c, −3a + 5b + 9c) = (0, 0, 0)

 a − 2b − 4c = 0
⇔ 2a + 4c = 0

−3a + 5b + 9c = 0

 −2b − 6c = 0
⇔ a = −2c

5b + 15c = 0
a = −2c
⇔
b = −3c
Donc la famille n’est pas libre, en particulier on a e3 = 2e1 + 3e2 .
D’après la propriété 6 comme la famille (e1 , e2 , e3 ) est génératrice de F et que e3 peut s’exprimer à
l’aide de e1 et e2 , on peut dire que la famille (e1 , e2 ) est aussi génératrice de F .
Regardons maintenant si la famille (e1 , e2 ) est libre.
Algèbre : Chapitre 1
Page 9
Espaces vectoriels
On cherche tous les réels a et b tels que ae1 + be2 = (0, 0, 0). Or on a :
ae1 + be2 = (0, 0, 0)
⇔(a − 2b, 2a, −3a + 5b) = (0, 0, 0)

 a − 2b = 0
⇔ 2a = 0

−3a + 5b = 0
a=0
⇔
b=0
Donc la famille (e1 , e2 ) est libre et génératrice de F , donc c’est une base de F .
Propriété 8
→
−
−
La famille (−
e1 , ..., →
en ) est une base de E si et seulement si pour tout →
u ∈ E il existe un unique n-uplet
n
X
→
→
(λ1 , ..., λn ) ∈ Rn tel que −
u =
λi −
ei .
i=1
→
−
−
→
→
−
Les λi sont appelés les coordonnées de
 la base ( e1 , ..., en ).
 u dans
λ1
 . 


→
→
.
.
On note alors −
u (λ1 , ..., λn ) ou bien −
u


 . 
λn
Remarques :
– Attention si on change l’ordre des vecteurs dans une base on conserve bien une base mais qui n’est
pas identique à la première.
– Pour trouver les coordonnées d’un vecteur donné dans une base donnée il suffit d’écrire ce vecteur
comme combinaison linéaire des vecteurs de la base (cf. I 2) ) et de lire les coordonnées qui sont les
coefficients de la combinaison linéaire.
b
Bases canoniques
Pour certains espaces vectoriels que nous allons souvent rencontrer on peut trouver une base assez
simple et que l’on utilisera souvent. Ce type de base est appelé base canonique.
– Base canonique de Rn :
On définit, pour tout entier i allant de 1 à n, le vecteur ei de Rn par :
ei = (0, ..., 0 , 1 , 0, ..., 0)
|{z}
ième place
La famille (e1 , ..., en ) est une base de Rn que l’on appelle base canonique de Rn .
Montrons que la famille (e1 , e2 , e3 ) est une base de R3 .
• On cherche tous les réels a, b et c tels que ae1 + be2 + ce3 = (0, 0, 0). On a :
ae1 + be2 + ce3 = (0, 0, 0)
⇔a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
⇔(a, b, c) = (0, 0, 0)
⇔a = b = c = 0
Donc la famille (e1 , e2 , e3 ) est libre.
Algèbre : Chapitre 1
Page 10
Espaces vectoriels
• On veut maintenant écrire R3 sous la forme vect(...). On a :
R3 = {(x, y, z)/x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R}
= {(x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z)/x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R}
= {x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)/x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R}
= vect((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) = vect(e1 , e2 , e3 )
Donc la famille (e1 , e2 , e3 ) est génératrice de R3 .
• Ainsi la famille (e1 , e2 , e3 ) est une base de R3
– Base canonique de Mn,p(R) :
Pour tous entiers i et j compris respectivement entre 1 et n et entre 1 et p, on définit la matrice Ei,j
dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ième ligne et de la jème colonne qui lui vaut 1.


0 ··· 0 0 0 ··· 0
.. .. ..
.. 
 ..
. . .
.
.


.
0 0 0
.


.
0 1 0
.

Ei,j = 
.
0 0 0
.
.
.. 
.. .. ..
 ..
.
. . .



.
.
.
.
.
.. 
.. .. ..
 ..
0 ··· 0 0 0 ··· 0
La famille (Ei,j ) est une base de Mn,p (R) que l’on appelle base canonique de Mn,p (R).
– Base canonique de Rn [X] :
On pose pour tout i entier compris entre 0 et n, Pi (X) = X i .
La famille (P0 , ..., Pn ) est une base de Rn [X] que l’on appelle base canonique de Rn [X].
Ces trois bases canoniques sont à connaitre par cœur et il n’est pas nécessaire de redémontrer à chaque
fois que ces familles sont des bases.
c
Dimension
Définition 9
Soit E un espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie s’il existe une famille génératrice
finie.
Théorème 1
Tout espace vectoriel non réduit à {0} de dimension finie admet une base.
Théorème 2
Soit E un espace de dimension finie non réduit à {0}. Alors toutes les bases de E ont le même nombre
d’éléments. Ce nombre est appelé dimension de l’espace vectoriel E et est noté dim E.
Par convention on dira que l’espace {0} est de dimension 0.
Ce théorème est admis en ECE.
Remarques :
– On exclut l’espace {0} car dans cet espace il n’y a même pas de famille libre donc pas de base.
– Lorsqu’un espace vectoriel ne possède pas de famille génératrice finie on dit qu’il est de dimension
infinie. Par exemple les espaces RN et R[X] sont de dimension infinie.
Algèbre : Chapitre 1
Page 11
Espaces vectoriels
Exemple 15:
Reprenons l’exemple 14. Nous avons trouvé une base de F qui était la famille (e1 , e2 ). Comme cette
famille contient deux vecteurs peut dire que F est un espace vectoriel de dimansion 2.
Grâce aux bases canoniques trouvées plus haut on obtient les dimensions suivantes qui sont à connaitre
par cœur :
Théorème 3
dim(Rn ) = n
dim(Mn,p (R)) = np
dim(Rn [X]) = n + 1
Attention
à part ces trois espaces vectoriels particuliers, lorsqu’on vous demande la dimension
d’un espace vectoriel vous devez commencer par donner une base de cet espace vectoriel. Ensuite en
comptant le nombre de vecteurs présents dans la base vous pouvez donner la dimension.
Propriété 9
Soit E un espace de dimension finie n.
– Toute famille libre (resp. génératrice) de n vecteurs est une base de E
– Toute famille libre possède au plus n vecteurs.
– Toute famille génératrice possède au moins n vecteurs.
Conséquences :
– Pour trouver la dimension d’un espace vectoriel il faut chercher une famille et montrer qu’elle est libre
et génératrice mais lorsqu’on connait la dimension n d’un espace et que l’on se donne une famille
de n vecteurs, il suffit de montrer que cette famille est soit libre soit génératrice pour montrer que
c’est une base.
– Dans un espace de dimension n, toute famille de strictement plus de n vecteurs est donc forcément
liée et toute famille de strictement moins de n vecteurs n’est jamais génératrice.
Exemple 16:
On considère les quatre polynômes suivants :
P0 = (X − 1)(X − 2)(X − 3)
P1 = X(X − 2)(X − 3)
P2 = X(X − 1)(X − 3)
P3 = X(X − 1)(X − 2)
On souhaite montrer que (P0 , P1 , P2 , P3 ) est une base de R3 [X]
On remarque ici que l’on a une famille de 4 polynômes et que dim(R3 [X]) = 4. La proposition 5 nous
dit qu’il suffit de montrer que la famille (P0 , P1 , P2 , P3 ) est libre ou génératrice pour conclure que c’est
une base. Le plus simple est souvent de montrer que la famille est libre.
Rédaction :
• Montrons que la famille (P0 , P1 , P2 , P3 ) est libre. On cherche tous les réels a, b, c, d tels que
aP0 (X) + bP1 (X) + cP2 (X) + dP3 (X) = 0. On a :
aP0 (X) + bP1 (X) + cP2 (X) + dP3 (X) = 0
⇔a(X − 1)(X − 2)(X − 3) + bX(X − 2)(X − 3) + cX(X − 1)(X − 3) + dX(X − 1)(X − 2) = 0
Deux méthodes ici : soit on développe, ordonne puis on dit que les coefficients du polynôme doivent
être nuls (cf. exemple 12), soit on donne des valeurs particulières à X pour trouver des infos sur a, b, c, d.
Pour X = 0, on a : −6a = 0
Pour X = 1, on a : 2b = 0
Pour X = 2, on a : −2c = 0
Algèbre : Chapitre 1
Page 12
Espaces vectoriels
Pour X = 3, on a : 6d = 0
Donc on a a = b = c = d = 0 et donc la famille (P0 , P1 , P2 , P3 ) est libre.
• La famille (P0 , P1 , P2 , P3 ) est une famille libre de 4 vecteurs de l’espace vectoriel R3 [X] qui est de
dimension 4 donc cette famille est une base de R3 [X].
Théorème 4 : Théorème de la base incomplète
Soit E un espace de dimension finie n et (e1 , ..., ek ) une famille libre de E.
Alors il existe des vecteurs ek+1 , ..., en tels que (e1 , ..., en ) est une base de E.
Ce théorème est admis en ECE.
Le plus souvent l’énoncé de l’exercice vous donnera les vecteurs qui complètent la base et on vous
demandera juste de vérifier que la famille donnée forme bien une base.
d
Dimension des sous-espaces
Théorème 5
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace de E.
Alors F est un espace vectoriel de dimension finie et dim F 6 dim E.
De plus dim F = dim E ⇔ F = E.
Propriété 10
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espace de E. Si F ⊂ G alors
dim F 6 dim G et on a égalité ssi F = G.
Définition 10
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
• Un sous-espace de E de dimension 1 s’appelle une droite vectorielle de E.
• Un sous-espace de E de dimension 2 s’appelle un plan vectoriel de E.
Algèbre : Chapitre 1
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Espaces vectoriels