Corrigé du Test 1

Corrigé du Test 1
MT23 - Printemps 2008
(1) (1.5 pt). L’ensemble R,ˆ +, ., où xˆ +y=xpour tous x, y ∈Ret λ.x =λx
pour tout λ∈Rest-il un R-espace vectoriel?
Correction. L’ensemble R,ˆ +, .n’est pas un R-espace vectoriel car il n’est
pas un groupe commutatif. Pour le démontrer, on peut voir par exemple
qu’il n’y a pas d’élément neutre e. En effet, si eexiste, on a en particulier
pour tout x∈R,x=eˆ +x, or la dernière expression égale epar hypothèse.
Donc, eégale xpour tout x, ce qui est absurde car si x6=ysont deux
réels, on a x=e=y! On pourrait aussi dire que la loi ˆ +n’est par
définition pas commutative puisque, si là encore x6=ysont deux réels, on
axˆ +y=x6=y=yˆ +x.
(2) (1.5 pt). Soit C:= {fonctions continues de Rdans R}. Le sous-ensemble
C1:= {f∈ C | fest constante sur R}est-il un sous-espace vectoriel de C?
Correction. Le sous-ensemble C1est bien un s.e.v. de C. Pour le démontrer,
il suffit de voir que :
•il est non vide (la fonction identiquement nulle x7→ 0pour tout x∈R
y appartient);
•pour toutes fonctions fet gde C1, par exemple f(x) = aet g(x) = b
pour tout x∈R, où aet bsont deux réels, la fonction fˆ +gest définie
par (fˆ +g)(x) = f(x) + g(x) = a+bpour tout x∈R, et donc fˆ +gest
la fonction constante égale à a+b;
•pour toute fonction fde C1(f(x) = apour tout x∈R, où aest un réel)
et tout réel λ, la fonction λ.f est définie par (λ.f)(x) = λf(x) = λa
pour tout x∈R, donc λ.f est la fonction constante égale à λa.
(3) Soit E, un K-espace vectoriel.
(a) (1.5 pt) Montrer que toute famille incluse dans une famille libre est
libre;
Correction. Soit E:= {e1, e2, ..., en}une famille libre de E, et E0, une
famille de pvecteurs incluse dans E(p < n, sinon p=net E=E0,
auquel cas il n’y a rien à montrer). Pour simplifier les notations,
supposons que E0:= {e1, e2, ..., ep}, les p"premiers" vecteurs de Edans
l’ordre dans lequel on choisit de les numéroter. Soient λ1, λ2, ..., λp,p
élements de Ktels que Pp
i=1 λi.ei= 0E. On a donc aussi
(1)
n
X
i=1
λi.ei= 0E
en posant λi= 0Kpour tout i≥p+1. Comme Eest libre, (1) équivaut
àλi= 0Kpour tout i∈ {1, ..., n}, ce qui implique en particulier que
λi= 0Kpour tout i∈ {1, ..., p}. La famille E0est libre. 

(b) (0.5 pt) En déduire que toute famille incluant une famille liée est liée.
Correction. On suppose que E ⊆ E0et Eest liée. Si E0était libre,
Equi est incluse dans E0serait une famille libre d’après (a). C’est
absurde. 
(4) Soit P2, l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et F, le
sous-espace vectoriel de P2défini par F:= Vecth2, X2, X2−1i.
(a) (0.5 pt) La famille engendrant Fest-elle libre? liée?
Correction. La famille {2, X2, X2−1}est liée car il est facile de voir
que (avec les notations habituelles sur les fonctions),
(1/2).2ˆ +(−1).X2ˆ +1.(X2−1) = 0
où 0est la fonction identiquement nulle. 
(b) (1.5 pt + 0.5 pt) Donner une base et la dimension de F.
Correction. D’après la question précédente, la famille engendrant F
étant liée, l’espace Fest au plus de dimension 2 (si il était de dimension
3 la famille de 3 vecteurs qui l’engendre serait une base, donc libre).
Considérons la sous-famille {X2, X2−1}. Soient λ1et λ2, deux réels
tels que λ1.X2ˆ +λ2.(X2−1) = 0.Ceci équivaut à dire que le polynôme
(λ1+λ2)X2−λ2est le polynôme nul 0, ce qui par identification,
revient à dire que λ2= 0 et λ1+λ2= 0, soit λ1=λ2= 0. La famille
de 2 vecteurs {X2, X2−1}est donc libre (donc incluse dans une base
d’après le th. de la base incomplète), alors que la dimension de Fest
2 au plus. Les bases de Font donc au moins 2 vesteurs, et au plus
2 vecteurs. Elles ont donc 2 vecteurs, Fest donc de dimension 2 et
donc {X2, X2−1}, qui est une famille libre d’un espace de dimension
2, en est une base. (Remarque : ce raisonnement valait aussi pour
les sous-familles {2, X2}et {2, X2−1}, qui sont aussi des bases de
F!). 
(5) Soit E, un K-espace vectoriel de dimension 4. Soient F=Vecth{f1, f2}i
et G=Vecth{g1, g2, g3}i deux sous-espaces vectoriels tels que E=F+G
et F∩G={0E}. On suppose de plus que la famille {g1, g2, g3}est libre.
(a) (0.5 pt). Que peut-on donc dire de Fet G?
Correction. Par définition (dans le cours), Fet Gsont supplémen-
taires, ou encore E=F⊕G.
(b) (0.5 pt). Quelle est la dimension de G?
Correction. La famille {g1, g2, g3}est libre et génératrice de G, c’est
donc une base de G, qui est donc de dimension 3. 
(c) (0.5 pt + 1 pt). Quelle est la dimension de F? Que peut-on dire des
vecteurs f1et f2?
Correction. Comme E=F⊕G, on a dimE=dimF+dimG, ce qui
signifie que dimF= 4 −3 = 1. Donc, la famille {f1, f2}est liée, car si
elle était libre elle serait une base de Fqui serait donc de dimension
2. Les vecteurs f1et f2sont donc colinéaires. 