Séquence 03 : Systèmes d`équations linéaires

Séquence 03 : Systèmes d’équations linéaires
1. Système de deux équations à deux inconnues
a) Equation linéaire
Définition : une équation linéaire à deux inconnues x et y est une équation de la forme rx + sy = c où r, s et c
sont des nombres réels.
b) Système
Définition : Un système d'équations linéaires à deux inconnues est de la forme :
Résoudre un tel système, c'est chercher tous les couples (x ; y) qui vérifient à la fois les deux équations.
Remarque : Si le couple (xO ; yO) vérifie à la fois les deux équations, on dit que le couple (xO ; yO) est une solution
de ce système.
c) Interprétation graphique
En exprimant y en fonction de x dans les deux équations, nous obtenons des équations de droites du type
y = ax + b. On considère et ’ les deux droites associées au système.
Les droites et ’ sont sécantes.
(r’ et s’ ne sont pas proportionnels
aux coefficients r et s)
Les droites
et ’ sont strictement
parallèles.
(r’ et s’ sont respectivement
proportionnels aux coefficients r et s
et c’ n’est pas proportionnel à c)
yO
Les droites et ’ sont confondus.
(r’ et s’ sont respectivement
proportionnels aux coefficients r et s
et c’ est proportionnel à c)
’
xO
O
’
Le système a un couple de solution
(xO ; yO) qui sont les coordonnées
du point d’intersection de et ’.
O
O
Les deux équations sont
incompatibles. Le système n’a pas de
solution.
Les deux équations sont
équivalentes. Le système a une
infinité de couples solutions : ce sont
les coordonnées des points de la
droite .
2. Méthodes de résolutions des systèmes d’équations
a) Méthode graphique
Cette méthode est à utiliser dans le cas d’une résolution graphique du système. Elle pourra amener
l’utilisation de la calculatrice ou d’un logiciel de géométrie dynamique.
’
Exemple : Résoudre graphiquement le système :
x
x
y
y
I(-1 ; 2)
)
On trace dans le plan muni d’un repère (O
les droites et ’ d’équations respectives :
: -2x + y = 4 soit y = 2x + 4
’ : x + y = 1 soit y = -x + 1
( et ’ sont sécantes car -2 et 1 ne sont pas proportionnels à 1 et 1 donc une unique solution)
b) Méthode par substitution
Cette méthode s’utilise principalement quand l’une des équations est simple c'est-à-dire qu’une des
inconnues à un coefficient 1. Elle consiste à :
 exprimer une inconnue en fonction de l’autre à l’aide des deux équations ;
 remplacer dans la deuxième équation cette inconnue ;
 résoudre l’équation ainsi obtenue ;
 remplacer par le résultat obtenu dans la première équation pour déterminer la deuxième inconnue.
x
y
x y
Dans la 2ème équation on exprime y en fonction de x : y = 1 + 3x.
Dans l’autre équation (la ère), on remplace (substitue) y par 1 + 3x :
Exemple : Résoudre le système par substitution :
-
x
y
(
x
x)
x y
y
x
ère
On détermine x dans la 1 équation (en développant), on obtient donc :
Ainsi
x
x
-
y
y
x
(
x
x)
x
y
y
x
x
x
y
x
x
y
x
On remplace x par sa valeur dans l’autre équation pour trouver y :
x
x
y
y
x
x
y
x
y
x
(
Le système admet donc pour unique solution le couple
)
y
i. e S =
.
c) Méthode par combinaison linéaire
Cette méthode consiste à :
 multiplier tous les membres d’une équation par un même coefficient, éventuellement procéder de
même avec la deuxième équation de façon à obtenir des coefficients opposés devant une des deux
inconnues ;
 effectuer une addition membre à membre et obtenir ainsi une équation à une inconnue ;
 résoudre cette équation ;
 procéder de façon identique pour trouver l’autre équation. (On pourrait également à partir d’ici
revenir à la méthode de substitution.)
x
y
(L )
x
y
(L )
- On cherche une combinaison des lignes L et L qui permet ensuite par addition d’éliminer une des
inconnues :
Choisissons d’élimer y en multipliant L par 2 :
Exemple : Résoudre le système par combinaison linéaire :
Ainsi :
x
x
y
y
x
x
y
y
-
On additionne les deux lignes membre à membre et on obtient
-
On recommence pour éliminer x en multipliant L par 5 et L par -3 :
Ainsi :
x
x
y
y
(L )
(L )
x
x
D’où x
.
y
y
D’où y
On additionne les deux lignes membre à membre et on obtient
Le système admet donc pour unique solution le couple
i. e S =
.
.