1 Introduction

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1 Introduction
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2 Équations différentielles scalaires du 1er
ordre
2.1 Équations du type « intégration »
2.2 Équations différentielles aux variables séparables
remarque sur la notation différentielle.
2.3 Équtions différentielles linéaires du 1er ordre
Définition 1. On appelle équation différentielle linéaire du 1er ordre une équation du
type
x0=p(t)x+q(t)
où pet qsont des fonctions continues sur un intervalle I. Les solutions cherchées sont
des fonctions dérivables
x:I→R
t7→ x(t).
L’intervalle Isera souvent Rtout entier.
Définition 2. Si la fonction qest identiquement égale à 0, on dit que l’équaton diffé-
rentielle est homogène.
Remarque 1.Soit x1et x2sont deux fonctions sur Isolutions de l’équation différentielle
x0=p(t)x+q(t) (E)
sur l’intervalle I, alors pour tout t∈I,
(x1−x2)0(t) = x0
1(t)−x0 2(t) = p(t)(x1(t)−x2(t)).
La fonction x1−x2est donc solution de (E0):
x0=p(t)x(E0),
dite équation différentielle homogène associée à (E)
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Théorème 1. Supposons que l’on connaisse une solution particulière xide (E)sur un
intervalle I. Alors toute solution de (E)sur Iest de la forme xi+xhoù xhest une
solution quelconque de (E0)sur I.
De manière ensembliste, si on note Sl’ensemble des solutions de (E)et S0celui des
solutions de (E0), on a
S=xi+S0.
La résolution de l’équation (E)se décompose en deux étapes :
1. la détermination de S0, c’est-à-dire la résolution de l’équation homogène,
2. la détermination d’une solution particulière.
Ces deux étapes sont traitées respectivement dans les sections 2.3.1 et 2.3.2.
2.3.1 Résolution de l’équation homogène
Théorème 2. Soit Iun intervalle ouvert et t0∈I. Alors pour tout x0∈R„ il existe une
unique solution xde l’équation différentielle (E0)telle que x(t0) = x0. Son expression
est donnée par
∀t∈I, x(t) = x0exp Zt
t0
p(u)du.
Démonstration. La démonstration se fait en deux étapes : en vérifiant que la formule
proposée répond bien au problème, puis en montrant que c’est en fait la seule solution.
Existence. Considérons xla fonction définie sur Ipar l’expression proposée, et ap-
pelons Pla primitive de ps’annulant en t0:
∀t∈I, P (t) = Zt
t0
p(u)du
Par le lemme fondamental du calcul différentiel, et les théorème sur la composée de
fonctions dérivables, on obtient que xest effectivement dérivable sur I(même de classe
0mathcalC1) et pour tout t∈I,
x0(t) = x0P0(t) exp(P(t)) = p(t)x(t).
Donc cette fonction xest bien solution de (E0)avec la condition initiale x(t0) = x0.
Unicité. Soit yune solution de (E0)avec la condition initiale y(t0) = x0sur l’intervalle
I. On définit alors la fonction z=ye−Psur I. Par les théorèmes usuels de dérivation, z
est dérivable en tout point de Iet :
z0(t) = (y0(t)−p(t)y(t))e−P(t)= 0 car yest solution de (E0)
Comme Iest un intervalle, zest donc constante. Or z(t0) = y(t0)e−P(t0)=y(t0) = x0.
Donc zest constante, et égale à x0pour tout t. On peut maintenant réexprimer yà
partir de z
∀t∈I, y(t) = z(t)eP(t)=x0exp(P(t)) = x(t),
où xest la fonction proposée.
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Remarque 2.On a utilisé encore une fois le fait que Iétait un intervalle, donc connexe,
pour en déduire que si une fonction a une dérivée nulle, alors elle est constante.
On vérifie sans peine que l’espace S0des solutions de (E0)est un sous-espace vectoriel
des fonctions dérivables sur I: si xet ysont solutions, alors pour tout λ∈R,x+λy est
aussi solution. Le théorème ci-dessous peut alors se réinterpréter de la façon suivante :
Corollaire 1. L’ensemble S0des solutions de (E0)sur Iest un espace vectoriel de
dimension 1, engendré par la fonction
t∈R7→ exp Zt
t0
p(u)du,
et l’application Ψt0:x∈ S07→ x(t0)∈Rest un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Remarque 3.Changer la valeur de t0revient à multiplier par un scalaire, d’après la
relation de Chasles sur les intégrales :
exp Zt
t0
p(u)du= exp Zt1
t0
p(u)du×exp Zt
t1
p(u)du.
2.3.2 Détermination d’une solution particulière
Nous présentons d’abord quelques astuces pour essayer de deviner la forme d’une
solution particulière de l’équation (E)avec une fonction q. La forme obtenue dépendra
de paramètres qui seront déterminés par des équations algébriques (linéaires). Ces formes
utilise le fait que la dérivation préserve certaines familles de fonctions : la dérivée d’une
exponentielle est une exponentielle, la dérivée d’un polynôme est un polynôme, etc.
Méthode par identification
— Si pest constant, et qest une fonction polynôme de degré d, on cherche xsous la
forme d’un polynôme de même degré.
— Si pest constant et que q=ceλt. Si λ6=p, on cherche xsous la forme aeλt. Si
λ=p, on cherche xsous la forme (a+bt)eλt.
— Si pest constant et que q=ccos(ω)ou csin(ωt), on cherche xsous la forme
acos(ωt) + bsin(ωt).
—Principe de superposition : si xiest solution sur Ide l’équation différentielle
x0=p(t)x+qi(t)
pour i= 1,2, alors x1+x2est solution sur Ide l’équation différentielle
x0=p(t)x+q1(t) + q2(t).
La proposition de solution particulière lorsque qest un cosinus ou un sinus peut être vue
comme une combinaison du principe de superposition et de la proposition lorsque qest
une exponentielle (si on autorise les exponentielles complexes dans ce cas).
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Cela donne dans des cas simples une solution particulière très rapidement. Cependant,
cela est loin de couvrir tous les cas qui peuvent se présenter. Nous présentons maintenant
une méthode systématique pour trouver une solution particulière : la méthode de la
variation de la constante. Il en existe une variante, appelée méthode du facteur intégrant,
qui revient à faire les mêmes calculs mais présentés de manière légèrement différente.
Méthode de la variation de la constante
Voici une méthode générale et systématique pour trouver une solution particulière.
On se souvient que d’après la section précédente, la solution générale de (E0)sécrit
x(t) = x0exp Zt
t0
p(u)du.
Nous allons chercher notre solution particulière sous la même forme, sauf que l’on rem-
placera x0, qui était pour l’instant une constante, par une fonction de tque l’on veut
déterminer, et qui donc varie avec t. D’où le nom de la méthode.
On suppose donc qu’il existe une fonction dérivable vdéfinie sur Itelle la fonction
y:I→Rdéfinie par
∀t∈I, y(t) = v(t) exp Zt
t0
p(u)du
satisfait l’équation differentielle
x0=p(t)x+q(t) (E)
L’exponentielle n’étant jamais nulle, on peut toujours définir và partir de y, qui est
automatiquement dérivable par produit, car yl’est par hypothèse (solution de (E)) et
l’exponentielle aussi, par les théorèmes standard. De plus, pour tout t∈I,
v0(t) = y0(t)−p(t)y(t)exp −Zt
t0
p(u)du.
Donc yest solution de (E)si et seulement si
∀t∈I, v0(t) = q(t) exp −Zt
t0
p(u)du
La fonction vdoit donc être solution d’une équation différentielle de type « intégra-
tion ».
On a besoin d’une solution particulière, c’est à dire d’une primitive particulière de
q(t) exp(−P(t)). Prenons par exemple celle qui s’annule en t0.
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