Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables
Herv´ e Hocquard
Universit´ e de Bordeaux, France
21 janvier 2015

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Echauffement : topologie de Rn
D´ efinition
On note Rn=R×···×R
|{z }
nfois
={X= (x1,···,xn)|xi∈R,∀i∈[|1,n|]}
Rnest un R-espace vectoriel de dimension n.

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Echauffement : topologie de Rn
D´ efinition
On note Rn=R×···×R
|{z }
nfois
={X= (x1,···,xn)|xi∈R,∀i∈[|1,n|]}
Rnest un R-espace vectoriel de dimension n.
Introduction
On s’int´ eresse aux fonctions f:D⊂Rn→Rp. Il faut d’abord
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etudier la structure du domaine Dcar le domaine est aussi
important que la fonction. Pour cela on va d´ efinir une notion de
distance.

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Echauffement : topologie de Rn
D´ efinition : distance
Soit Eun ensemble non vide. On dit qu’une application
d:E×E→R+,d: (x,y)7→ d(x,y)est une distance sur Esi
elle v´ erifie les trois axiomes suivants :
D1 (s´ eparation) ∀(x,y)∈E×E,{x=y} ⇔ {d(x,y) = 0};
D2 (sym´ etrie) ∀(x,y)∈E×E,d(x,y) = d(y,x);
D3 (in´ egalit´ e triangulaire)
∀(x,y,z)∈E×E×E,d(x,y)≤d(x,z) + d(z,y).

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Echauffement : topologie de Rn
D´ efinition : distance
Soit Eun ensemble non vide. On dit qu’une application
d:E×E→R+,d: (x,y)7→ d(x,y)est une distance sur Esi
elle v´ erifie les trois axiomes suivants :
D1 (s´ eparation) ∀(x,y)∈E×E,{x=y} ⇔ {d(x,y) = 0};
D2 (sym´ etrie) ∀(x,y)∈E×E,d(x,y) = d(y,x);
D3 (in´ egalit´ e triangulaire)
∀(x,y,z)∈E×E×E,d(x,y)≤d(x,z) + d(z,y).
D´ efinition
On appelle espace m´ etrique tout couple (E,d)o` uE6=/0 est un
espace vectoriel et dest une distance.