Polycopié du cours d`Électromagnétisme 2016-2017

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Electromagnétisme
Cursus/option : Première année
Date de mise à jour : 2017
Année scolaire : 2016-2017
Responsable du cours : François MARQUIER

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Table des matières
1 Rappels : les équations de Maxwell 7
1.1 Forcesetchamps.......................................... 7
1.2 Équations de Maxwell microscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Potentiels .............................................. 9
1.3.1 Introduction des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Invariancedejauge..................................... 10
1.4 Propagationetondesplanes.................................... 10
1.4.1 Équation de propagation des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Équation de propagation des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Propagation dans le vide. Onde plane monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Règles de calcul pour les ondes planes monochromatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Quelquesidentités ..................................... 12
1.5.2 Transversalité........................................ 12
1.5.3 Structuredel’ondeplane ................................. 12
1.6 Énergie du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Énergie électrostatique et magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.2 Énergie électromagnétique. Vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Compléments du chapitre 1 15
1A Complément A : Théorème de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1A.1 Énoncé du théorème de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1A.2 Démonstration ....................................... 15
1A.3 Applications ........................................ 16
1A.4 Champs rotationnels et irrotationnels ; transverses et longitudinaux . . . . . . . . . . 17
2 Rayonnement 19
2.1 Aperçu intuitif du mécanisme de rayonnement d’une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Description de l’onde rayonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Propriétés.......................................... 20
2.1.3 Formulation générale du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Notion de fonction de Green. Illustration : cas de l’électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Introduction ........................................ 20
2.2.2 Charge ponctuelle placée en r=r0............................ 21
2.2.3 Cas d’une répartition de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Généralisation ....................................... 22
2.3 Potentielsretardés ......................................... 22
2.3.1 Recherche de la fonction de Green du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Méthode de calcul de la fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3 Solution des potentiels retardés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Rayonnement en champ lointain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Approximation du champ lointain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Approximation dipolaire électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.3 Calculduchamprayonné ................................. 26
2.4.4 Puissance rayonnée dans tout l’espace en champ lointain . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.5 Réactionderayonnement ................................. 28

4Table des matières
Compléments du chapitre 2 31
2A Complément A : Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2A.1 Fonction de Green dans l’espace de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2A.2 Fonction de Green dans l’espace direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Diffusion 35
3.1 Diffusionparunélectronlibre................................... 36
3.1.1 Détermination du moment dipolaire de l’électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2 Calcul de la puissance diffusée. Section efficace de diffusion . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Libre parcours moyen. Diffusion simple et diffusion multiple . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.4 Section efficace différentielle de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Diffusion par un atome ou une molécule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Équationdumouvement.................................. 38
3.2.2 Section efficace de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Diffusion Rayleigh, diffusion Thomson et diffusion résonnante . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4 Pourquoi le ciel est bleu, pourquoi les nuages et le lait sont blancs ? . . . . . . . . . 40
4 Équations de Maxwell dans la matière 43
4.1 Introduction ............................................ 43
4.2 Moyennesspatiales......................................... 43
4.2.1 Définition de la moyenne spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2 Analogie avec la formation des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.3 Dérivée d’une quantité moyennée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Équations de Maxwell macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 Équations de Maxwell macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Calcul de hρmicro i: Équation de Maxwell-Gauss macroscopique . . . . . . . . . . . 46
4.3.3 Équation de Maxwell-Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3.4 Interprétation physique des charges liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Relations constitutives 51
5.1 Propriétés.............................................. 51
5.1.1 Homogénéité ........................................ 51
5.1.2 Isotropie........................................... 52
5.1.3 Linéarité .......................................... 52
5.1.4 Localité ........................................... 52
5.1.5 Dispersion.......................................... 53
5.2 Originedeladispersion ...................................... 53
5.2.1 Exemple de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.2 Casd’unmilieu....................................... 54
5.3 Constante diélectrique généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.1 Régimestatique ...................................... 54
5.3.2 Régime dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.3 Formulation pratique des équations de Maxwell dans la matière . . . . . . . . . . . . 56
Compléments du chapitre 5 57
5A Complément A : Pourquoi peut-on traiter classiquement le mouvement de l’électron ? . . . . 57
5A.1 Lethéorèmed’Ehrenfest.................................. 57
5A.2 Equations du mouvement d’un électron dans un métal . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5B Complément B : Modèle de l’électron élastiquement lié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5B.1 Hypothèses simplificatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5B.2 Conclusions......................................... 60
5B.3 Non-linéarité ........................................ 61
5C Complément C : Modèle de constante diélectrique d’un cristal ionique ? . . . . . . . . . . . 63
6 Propagation dans la matière 67
6.1 Cas Particulier : Propagation en milieu non-dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.1 Modèle ........................................... 67
6.1.2 Équation différentielle vérifiée par E........................... 67

Table des matières 5
6.2 Cas Général : Équation de propagation en milieu dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2.1 Modèle ........................................... 68
6.2.2 Équation de Helmholtz : Équation de propagation en régime monochromatique . . . 69
6.3 Propagation dans un milieu matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Discussion de la propagation dans l’espace réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5 Aspectsénergétiques........................................ 70
6.5.1 Puissance échangée entre le champ et la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5.2 Puissance moyenne absorbée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.5.3 Biland’énergie ....................................... 71
7 Réflexion, réfraction 73
7.1 Introduction............................................. 73
7.2 Relationsdecontinuité....................................... 73
7.3 LoisdeSnell-Descartes....................................... 75
7.4 Facteur de réflexion en polarisation TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.4.1 Notations : polarisations TE et TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.4.2 Facteurs de réflexion et de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4.3 Casdelaréflexiontotale ................................. 78
7.5 Facteurs de réflexion en intensité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5.1 Définition.......................................... 78
7.5.2 Flux du vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.5.3 Conservation de l’énergie à une interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.5.4 Emissivité et absorptivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.6 Casdel’incidencenormale..................................... 81
7.6.1 Facteurderéflexion .................................... 81
7.6.2 Dispositifs antiréflecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.6.3 Paradoxedel’absorbeur.................................. 82
7.6.4 Couleurd’uncorps..................................... 83
7.7 Cas d’une polarisation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.7.1 Facteurs de réflexion et de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.7.2 AngledeBrewster ..................................... 83
8 Optique géométrique 87
8.1 Limite des courtes longueurs d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1 Introduction ........................................ 87
8.1.2 Équations de Maxwell (dans l’approximation k0→ ∞)................. 88
8.2 Rayonslumineux.......................................... 88
8.2.1 VecteurdePoynting .................................... 88
8.2.2 Rayonslumineux...................................... 89
8.3 Équationdesrayonslumineux................................... 89
8.4 LoisdeSnell-Descartes....................................... 89
8.5 Applications............................................. 90
8.5.1 Effetmirage......................................... 90
8.5.2 Déviation par l’atmosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.5.3 Applications aux mesures de température et de concentrations . . . . . . . . . . . . 91