CALCUL AVEC LES FRACTIONS ET LES PUISSANCES Méthode

CALCUL AVEC LES FRACTIONS ET LES PUISSANCES
Méthode expliquée pas à pas
3 2 21
– ×
7 7 8
3 21
A= –
7 28
12 21
13
–
=A=
28 28
28
2 21 2 ×3 ×7 3 21
× =
= =
7 8 7 ×2 ×4 2 28
3 3 ×4 12
Il s’agit de mettre au même dénominateur : =
=
7 7 ×4 28
Il suffit de soustraire les numérateurs, une fois les
dénominateurs communs
6  1 1
÷
–
5 15 5
1 3
6
B= ÷(
–
)
5
15 15
6
2
B= ÷5
15
6
15
3×2×5×3
B= × ==-9
2
5
5×2
Il s’agit de commencer par le calcul entre parenthèses en
1 1 ×3 3
=
mettant au même dénominateur : =
5 5 ×3 15
Il ne reste plus qu’à soustraire les numérateurs, sans oublier le
signe.
La division se transforme en multiplication de l’inverse.
A=
B=
La multiplication est prioritaire :
Méthode expliquée pas à pas
3,2 × 10 -3 × 5 × (10²) 3
4 × 10 -2
3,2× 5 10-3 ×106
C=
×
4
10-2
C = 4×
× 105
C=
Les puissances étant prioritaires il faut commencer par
(10²)3 = 10 2 ×3 = 106
Lorsque l’opération ne contient que des multiplications au
numérateur et au dénominateur, il suffit de séparer les
nombres d’un côté et les puissances de 10 de l’autre.
Puis on applique les formules sur les puissances.
3,9 ×(10-2)² 3,9 10-4
=
×
3 ×10-5
3 10-5
D = 1,3 ×10 = 13
D=
5,4 + 10²
E=
5,4 ×10²
5,4 +100 105,4
E=
=
5,4 ×100 540
1054 527
E=
=
5400 2700
Attention, lorsque le numérateur ou le dénominateur contient
une addition ou une soustraction, il est nécessaire de calculer
les numérateur et dénominateur séparément SANS séparer
nombre et puissances.
Les puissances
I- Définition
Soit a un nombre quelconque et n un entier naturel,
an = axax…..xa avec n facteurs tous égaux à a.
C’est une puissance de a et d’exposant n.
1
1
Et
a-n = n =
avec n facteurs égaux à a et a différent de zéro.
a
axax….xa
1
1
Exemples : 3²=3x3=9 12-5=
=
125 12x12x12x12x12
Remarques :
0n =0 pour tout entier naturel n MAIS 0-n n’existe pas car on ne peut pas diviser par zéro !
1n =1 et 1-n =1 pour tout entier naturel n.
Pour tout a non nul, a1 = a et a0 = 1.
II- Signe d’une puissance
Propriété : Soit a un nombre non nul et n un nombre entier naturel, an et a-n ont le même signe
• Si n est pair, an et a-n sont positifs
• Si n est impair, an et a-n sont du signe de a
Exemples :
1
= 1 = 0,0016
35 = 243 et 3-5 = 15 = 1
5x5x5x5
625
3
243
1
(-6)7 = -279936 et (-6)-7 = (-2)4 = 16 et (-2)-4 = 1 = 0,0625
279936
16
54 = 5x5x5x5 = 625 et 5-4 =
Attention à la place des parenthèses :
(-3)² = (-3) x (-3) = 9
-3² = - 3x3 = -9
III- Opérations sur les puissances
Règle : Dans une suite d’opérations avec parenthèses on effectue d’abord le calcul à l’intérieur des parenthèses.
Dans une suite d’opérations sans parenthèse on effectue d’abord l’élévation à la puissance.
Exemples :
4-2 x32 – 1 = 1 x 32 – 1 = 1 x 32 – 1 = 2 –1 = 1
4²
16
-2
-2
(7+2) x 81 + 2 = 9 x 81 + 2 = 1 x 81 + 2 = 1 x 81 + 2 = 1 + 2 = 3
81
9²
Règles de calculs
Soit a et b 2 nombres quelconques non nuls et n et m 2 entiers naturels.
n
an x bn = (ab)n
an x am = an+m
(an)m = anxm
( a )n = a n
b
b
Exemples :
23 x 25 = 23+5 = 28
(4²)5 = 42x5 = 410
(- 3 )² = (-3)² = 9
7
7²
49
an = an-m
am
(-2)3 x 33 = (-2x3)3 = (-6)3
(-7)9 = (-7)9-26 = (-7)-17
(-7)26
IVLes puissances de 10
Les puissances de 10 suivent les mêmes règles que les puissances de a nombre quelconque.
On remarque tout de même que
10n = 10x10x….x10 = 1 00…00 avec n zéros derrière le 1
et
10-n = 1n = 0, 00 ….. 01 avec n zéros devant le 1 dont 1 zéro devant la virgule !
10
VLa notation scientifique
Ecrire un nombre en notation scientifique revient à l’écrire sous la forme : a × 10 n où a est un nombre tel que
1 ≤ a < 10 .
Exemples :
25186,2 = 2,51862 × 10 4
0,00001587 = 1,587 × 10 −5