Existence de valeur propre sur C

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Existence de valeur propre sur C
Exercice 1 [ 00786 ] [correction]
Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie.
a) Justifier que tout endomorphisme de Epossède au moins une valeur propre
b) Observer que l’endomorphisme P(X)7→ (X−1)P(X)de C[X]n’a pas de
valeurs propres.
Exercice 2 [ 00502 ] [correction]
a) Rappeler pourquoi un endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension
finie non nulle admet au moins un vecteur propre.
b) Soient u, v deux endomorphismes d’un C-espace vectoriel Ede dimension finie
non nulle.
On suppose
u◦v=v◦u
Montrer que uet vont un vecteur propre en commun.
Exercice 3 [ 00787 ] [correction]
Soient A, B ∈ Mn(C)vérifiant AB =BA.
Montrer que Aet Bont un vecteur propre en commun.
Exercice 4 [ 00788 ] [correction]
Montrer que A, B ∈ Mn(C)ont une valeur propre en commun si, et seulement si,
il existe U∈ Mn(C)non nulle vérifiant UA =BU .
Exercice 5 [ 02441 ] [correction]
Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, u, v dans L(E)et a, b
dans C. On suppose
u◦v−v◦u=au +bv
a) On étudie le cas a=b= 0.
Montrer que uet vont un vecteur propre en commun.
b) On étudie le cas a6= 0,b= 0.
Montrer que uest non inversible.
Calculer un◦v−v◦unet montrer que uest nilpotent.
Conclure que uet vont un vecteur propre en commun.
c) On étudie le cas a, b 6= 0.
Montrer que uet vont un vecteur propre en commun.
Exercice 6 [ 02868 ] [correction]
Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, (a, b)∈C2,fet g
dans L(E)tels que
f◦g−g◦f=af +bg
Montrer que fet gont un vecteur propre commun.
Exercice 7 [ 03795 ] [correction]
Kdésigne Rou C.
On dit qu’une matrice A∈ Mn(K)vérifie la propriété (P)si
∃M∈ Mn(K),∀λ∈K,det(M+λA)6= 0
a) Rappeler pourquoi une matrice de Mn(C)admet au moins une valeur propre.
b) Soit Tune matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.
Calculer det(In+λT ). En déduire que Tvérifie la propriété (P)
c) Déterminer le rang de la matrice
Tr=0Ir
0 0 ∈ Mn(K)
d) Soient Avérifiant (P)et Bune matrice de même rang que A; montrer
∃(P, Q)∈GLn(K)2, B =P AQ
et en déduire que Bvérifie (P).
e) Conclure que, dans Mn(C), les matrices non inversibles vérifient (P)et que ce
sont les seules.
f) Que dire des cette propriété dans le cas Mn(R)(on distinguera npair et n
impair) ?
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) Pour tout f∈ L(E),fadmet un polynôme minimal qui admet au moins une
racine dans Cqui est alors valeur propre de f.
b) Si λest valeurs propre de l’endomorphisme considéré alors il existe un
polynôme Pnon nul tel que XP (X) = (1 + λ)P(X)ce qui est impossible pour
des raisons de degré.
Exercice 2 : [énoncé]
Tout endomorphisme sur un C-espace vectoriel de dimension finie admet au moins
une valeur propre. Soit λune valeur propre de u.Eλ(u)est un sous-espace
vectoriel stable par v(car u◦v=v◦u)et l’endomorphisme induit par vsur
Eλ(u)admet au moins une valeur propre. Un vecteur propre associé à celle-ci est
vecteur propre commun à uet v.
Exercice 3 : [énoncé]
On retraduit le problème en terme d’endomorphismes. Soient uet vdeux
endomorphismes d’un C-espace vectoriel de dimension finie vérifiant u◦v=v◦u.
Tout endomorphisme sur un C-espace vectoriel admet au moins une valeur propre.
Soit λune valeur propre de u.Eλ(u)est un sous-espace vectoriel stable par v(car
u◦v=v◦u)et l’endomorphisme induit par vsur Eλ(u)admet au moins une
valeur propre. Un vecteur propre associé à celle-ci est vecteur propre commun à u
et v.
Exercice 4 : [énoncé]
Si Aet Bont λpour valeur propre commune alors puisque Aet tAont les mêmes
valeurs propres, il existe des colonnes X, Y 6= 0 vérifiant tAX =λX et BY =λY .
Posons alors U=YtX∈ Mn(C)\ {0}.
On a BU =λY tXet U A =Yt(tAX) = λY tXdonc U A =BU.
Inversement, supposons qu’il existe U∈ Mn(C)non nulle vérifiant U A =BU. On
peut écrire U=QJrPavec P, Q inversibles et r=rgU > 0. L’égalité U A =BU
entraîne alors JrA0=B0Jravec A0=P AP −1et B0=Q−1BQ. Puisque
semblables, SpA0=SpAet SpB0=SpB. En raisonnant par blocs, l’égalité
JrA0=B0Jrentraîne
A0=M0
? ? et B0=M ? 0?avec M∈ Mr(C)
Ces formes matricielles SpM⊂SpA0et SpM⊂SpB0. Or SpM6=∅(cadre
complexe) donc SpA∩SpB6=∅.
Exercice 5 : [énoncé]
a) Puisque u◦v=v◦ules sous-espaces propres de usont stables par v. Puisque
Eest un C-espace vectoriel, uadmet une valeur propre et le sous-espace propre
associé est stable par v. L’endomorphisme induit par vsur celui-ci admet une
valeur propre et ceci assure l’existence d’un vecteur propre commun à uet v.
b) u◦v−v◦u=au.
Si uest inversible alors u◦v◦u−1−v=aIdEet donc
tr(u◦v◦u−1)−trv=adim E.
Or tr(u◦v◦u−1) = trvce qui entraîne une absurdité.
On en déduit que uest non inversible.
Par récurrence sur n∈N, on obtient
un◦v−v◦un=naun
L’endomorphisme ϕ:w7→ w◦v−v◦wn’admet qu’un nombre fini de valeurs
propres car opère en dimension finie. Si un’est pas nilpotent alors pour tout
n∈N,na est valeur propre de ϕ. C’est absurde et donc uest nilpotent.
Enfin, soit x∈ker u. On a u(v(x)) = v(u(x)) + au(x)=0donc v(x)∈ker u.
Par suite ker u6={0}est stable vet un vecteur propre de l’endomorphisme induit
est vecteur propre commun à uet v.
c) u◦v−v◦u=au +bv.
Si a= 0 il suffit de transposer l’étude précédente.
Si a6= 0, considérons w=au +bv.
On a
(au +bv)◦v−v◦(au +bv) = a(u◦v−v◦u) = a(au +bv)
Par l’étude qui précède, au +bv et vont un vecteur propre en commun puis uet v
ont un vecteur propre en commun.
Exercice 6 : [énoncé]
Cas a=b= 0
Les endomorphismes fet gcommutent donc les sous-espaces propres de l’un sont
stables pour l’autre. Puisque le corps de base est C, l’endomorphisme fadmet au
moins une valeur propre λ. L’espace Eλ(f)6={0}est stable par gdonc on peut
introduire l’endomorphisme induit par gsur Eλ(f)et ce dernier admet aussi au
moins une valeur propre. Un vecteur propre associé à cette valeur propre de gest
aussi un vecteur propre de fcar élément non nul de Eλ(f). Ainsi fet gont un
vecteur propre commun.
Cas a= 0 et b6= 0
Par récurrence, on obtient f◦gn−gn◦f=nbgnpour tout n∈N.
L’application u∈ L(E)7→ f◦u−u◦fest un endomorphisme de L(E)or
dim L(E)<+∞donc cet endomorphisme n’admet qu’un nombre fini de valeur
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propre. Cependant, pour chaque n∈Ntel que gn6=˜ 0, le scalaire nb est valeur
propre de cet endomorphisme, on en déduit qu’il existe n∈Ntel que gn=˜ 0et en
particulier ker g6={0}.
On vérifie aisément que ker gest stable par fet un vecteur propre de
l’endomorphisme induit par fsur ker gest alors vecteur propre commun à fet g.
Cas b= 0 et a6= 0
Semblable
Cas a6= 0 et b6= 0
On a
f◦(af +bg)−(af +bg)◦f=b(f◦g−g◦f) = b(af +bg)
Par l’étude qui précède, fet af +bg admettent un vecteur propre commun et
celui-ci est alors vecteur propre commun à fet g.
Exercice 7 : [énoncé]
a) Le polynôme caractéristique d’une matrice complexe possède au moins une
racine dans C.
b) det(In+λT )=16= 0 et donc Tvérifie (P).
c) rgTr=r.
d) Les matrices Aet Bétant de même rang, elles sont équivalentes et donc il
existe P, Q inversibles vérifiant A=P BQ. Puisqu’il existe une matrice Mtelle
que det(M+λA)6= 0 pour tout λ∈K, on a
det(P MQ +λB) = det Pdet(M+λA) det Q6= 0
et donc Bvérifie la propriété (P).
e) Si une matrice est non inversible, elle est de même rang qu’une matrice Travec
r < n et comme cette dernière vérifie (P), on peut conclure qu’une matrice non
inversible vérifie (P).
Inversement, si Aest une matrice inversible alors pour tout M∈ Mn(C)
det(M+λA) = det(A) det(MA−1+λIn)
et puisque la matrice MA−1admet une valeur propre, il est impossible que
det(M+λA)soit non nul pour tout λ∈C.
f) Si nest impair alors toute matrice de Mn(R)admet une valeur propre (car le
polynôme caractéristique réel est de degré impair). On peut alors conclure comme
au dessus.
Si nest pair, la propriété précédente n’est plus vraie. Par exemple
A=0−1
1 0 
est inversible et vérifie la propriété (P)avec M=In.
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