Calcul élémentaire des probabilités

La loi normale.
Calcul élémentaire des probabilités
Myriam Maumy-Bertrand1 et Thomas Delzant1
1 IRMA,
Université Louis Pasteur
Strasbourg, France
Licence 1ère Année 27 novembre 2006
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
Calcul élémentaire des probabilités
La loi normale.
Définition.
Théorème.
Quelques propriétés essentielles.
Exemples.
Exercices.
Sommaire
1
La loi normale.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
Calcul élémentaire des probabilités
Définition.
Théorème.
Quelques propriétés essentielles.
Exemples.
Exercices.
La loi normale.
La loi normale, ou loi gaussienne, appelée aussi loi de
Laplace-Gauss.
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) si :
Z
P [a < X 6 b] =
a
b
2
dx
x
√ .
exp −
2
2π
Remarque
Cette formule ne sert pas à grand chose, il vaut mieux utiliser
les tables de la loi normale ou les machines à calculer.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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Théorème.
Quelques propriétés essentielles.
Exemples.
Exercices.
Théorème.
Théorème
Si Z ∼ N (0; 1) alors
E [Z ] = 0
et Var [Z ] = 1.
On dit que Z suit une loi normale centrée-réduite.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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Théorème.
Quelques propriétés essentielles.
Exemples.
Exercices.
Autres lois normales
On dit que X suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type
σ et l’on note
X ∼ N (µ; σ 2 ) si Z =
X −µ
σ
suit une loi N (0; 1).
Proposition
Sous cette hypothèse, on a
E [X ] = µ et Var [X ] = σ 2 .
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Quelques propriétés essentielles.
Exemples.
Exercices.
Binomiale et normale.
Historiquement, le premier résultat est qu’une loi binomiale
ressemble à une loi normale ou gaussienne. Ce résultat est dû
à de Moivre 1750 et à Laplace 1812.
Binomiale centrée-réduite
On sait que la
ploi binomiale B(n; p) est d’espérance np et
d’écart-type np(1 − p). Soit X une loi binomiale B(n; p). Alors
X − np
p
np(1 − p)
est d’espérance 0 et d’écart-type 1.
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Théorème.
Quelques propriétés essentielles.
Exemples.
Exercices.
Approximation par une loi normale
Dans la pratique, on remplace toujours la loi binomiale par la loi
normale de même espérance et de même écart-type si les
deux conditions suivantes sont vérifiées :
1
n > 30
2
np > 8.
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Quelques propriétés essentielles.
Exemples.
Exercices.
Queues de distribution.
Propriété
Soit Z ∼ N (0; 1).
P [|Z | > 3] = 0, 002
P [|Z | > 2] = 0, 04
Application à une loi normale générale
En pratique, il y a « très peu de chance »que |Z | =
et encore moins que |Z | =
|X − µ|
> 3.
σ
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|X − µ|
> 2,
σ
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Exemples.
Exercices.
Fonction de répartiton
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire Z qui suit une
loi normale centrée-réduite, notée Π(z) ou encore Φ(z) (cela
dépend des ouvrages) se définit par :
Π(z) = Φ(z) = P [Z 6 z] ,
où Z suit une loi N (0; 1) et z est un réel.
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Quelques propriétés essentielles.
Exemples.
Exercices.
Propriétés
1
Si z > 0 alors, on a
P [Z 6 −z] = 1 − P [Z > −z] = 1 − P [Z 6 z]
ou encore ce qui s’écrit :
Π(−z) = 1 − Π(z).
2
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. Alors, on a
P [a < Z 6 b] = Π(b) − Π(a).
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Quelques propriétés essentielles.
Exemples.
Exercices.
Exemple 1.
Le bénéfice annuel d’une compagnie suit une loi normale de
moyenne 500000 e et d’écart-type 100000 e. Le PDG déclare
qu’il est sûr d’avoir un bénéfice positif.
Question
Quelle vaut la probabilité que « le PDG se trompe » ?
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Exercices.
Exemple 2.
Une usine produit du fil. On désigne par X la variable aléatoire
qui à toute bobine associe la longueur du fil de la bobine. On
admet que X suit une loi normale de moyenne 50 et
d’écart-type 0,2.
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Exemples.
Exercices.
Questions
1
Calculer la probabilité que la longueur du fil :
a. soit inférieure à 50,19 m,
b. soit supérieure à 50,16 m,
c. soit comprise entre 50,16 et 50,19 m.
2
On va utiliser une table de dépassement de l’écart.
Si α est une probabilité, cette table donne le nombre x(α)
tel que P [|X | > x] = α.
Sous les hypothèses du dessus, trouver un nombre réel a
tel que P [50 − a < X 6 50 + a] = 0, 14.
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Exercices.
Exemples 3 et 4.
Questions
Soit X une loi normale N (0; 1).
Calculer
P [X 6 0, 54] ; P [X 6 0, 38] ; P [X > 0, 8] ; P [−1 < X 6 0, 2].
Questions
Une entreprise produit des bouteilles d’eau de 0,75 litre. Une
bouteille est considérée comme « acceptable »si elle contient
entre 74,5 et 75,5 cl d’eau. soit X la variable aléatoire qui décrit
le contenu d’une bouteille. On suppose que X suit une loi
N (75; 0, 3). Quelle est la probabilité qu’une bouteille soit
« acceptable » ?
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Exercices.
Exercice 1. Utilisation d’une machine à café comme
détecteur de fausses pièces.
Énoncé
La banque de France fabrique des pièces de 1 euro. Le poids
d’une pièce authentique prise au hasard suit une loi normale
d’espérance µ = 6, 49 g avec un écart-type σ = 0, 015 g.
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Exercices.
Questions
1
Une machine à café accepte les pièces de 1 euro dont le
poids est compris entre 6, 455 g et 6, 525 g. Quelle est la
probabilité qu’une pièce authentique soit acceptée ?
2
Un faux monnayeur fabrique des fausses pièces dont le
poids suit une loi normale d’espérance µ0 = 6, 56 g et
d’écart-type σ 0 = 0, 02 g. Quelle est la probabilité qu’une
fausse pièce soit acceptée ?
3
On observe que 4 % des pièces sont refusées par la
machine. Quelle est la proportion de fausses pièces en
circulation ?
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Exercices.
Exercice 2. Détermination d’une moyenne et d’un
écart-type à partir d’une expérience.
Énoncé
On sait qu’une variable aléatoire X suit une loi normale
N (µ; σ 2 ) mais on ne connait ni µ ni σ 2 . Par exemple, µ désigne
la quantité de goudron dans une cigarette. On ne connait pas
de moyens de mesurer directement X , mais on dispose de
deux tests : l’un est positif si X 6 35, 6, l’autre si X 6 30, 3. On
fait un grand nombre d’observations (disons 1000) et on
remarque que P [X 6 35, 6] = 0, 985 P [X 6 30, 3] = 0, 19.
Questions
Calculer µ et σ 2 .
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Exercices.
Exercice 3. Peut-on prévoir l’absentéisme ?
Énoncé
Une entreprise emploie 100 salariés. Pour chacun, la
probabilité d’être absent un jour donné est de 5/100.
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Exercices.
Questions
1
Quelle est la loi qui, pour un salarié donne le nombre de
jours d’absence durant un mois de 20 jours de travail ?
Quelle est son espérance ? Quelle est sa variance ?
2
Quelle est la loi qui décrit le nombre total de jours
d’absence pour l’ensemble des salariés durant un mois de
20 jours ? Quelle est son espérance ? Quelle est sa
variance ? Par quelle loi est-il raisonnable de l’approcher ?
3
Quelle est la probabilité que le nombre total de jours
d’absentéisme soit supérieur à 125 au cours de ce mois ?
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Exercices.
Exercice 4. La Gauloise des Jeux
Énoncé
La probabilité de gagner au jeu "le milliardaire" de la société
"Gauloise des Jeux " est évaluée à 5.10−6 ; pour jouer, chaque
joueur doit acheter un ticket à 1 euro. Un gain rapporte 250 000
euros.
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Exercices.
Questions
1
Dans une ville, 103 personnes jouent toutes les semaines
pendant deux ans (soit 100 fois) à ce jeu en misant 1 euro.
1
2
3
2
Quelle est la loi qui décrit le nombre total de gagnants ?
Par quelle loi est-il légitime de l’approcher ?
Quelle est l’espérance mathématique du gain total pour la
société "Gauloise des Jeux " sur cette ville ?
Sur l’ensemble de la France 5.105 personnes jouent toutes
les semaines pendant deux ans (soit 100 fois).
1
2
On repose les mêmes questions.
Quelle est la probabilité que le nombre de gagnants sur 2
ans excède 300 ?
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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