Calcul élémentaire des probabilités

La loi exponentielle.
Calcul élémentaire des probabilités
Myriam Maumy-Bertrand1 et Thomas Delzant1
1 IRMA,
Université Louis Pasteur
Strasbourg, France
Licence 1ère Année 15 septembre 2006
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
Calcul élémentaire des probabilités
La loi exponentielle.
Définition.
Théorème admis.
Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
Sommaire
1
La loi exponentielle.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
Calcul élémentaire des probabilités
La loi exponentielle.
Définition.
Théorème admis.
Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
La loi exponentielle.
Jusqu’à présent, on a étudié des variables aléatoires qui
prennent des valeurs discrètes et en particulier entières.
Mais une variable aléatoire peut très bien prendre des valeurs
continues.
Le premier exemple que nous allons voir est celui de la loi
exponentielle E.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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La loi exponentielle.
Définition.
Théorème admis.
Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
Définition.
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de
paramètre λ > 0 si on a la formule :
P [X > t] = e−λt
où t est un nombre réel.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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La loi exponentielle.
Définition.
Théorème admis.
Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
Théorème admis.
Théorème
Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0, alors :
E [X ] =
et
Var [X ] =
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
1
λ
1
.
λ2
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Définition.
Théorème admis.
Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
Remarques
En pratique, une loi exponentielle mesure toujours un
temps d’attente, une durée de vie, etc.
En fait la variable aléatoire X s’exprime en unité de temps
(la seconde, l’heure, le jour, l’année, etc) et λ est alors une
fréquence , c’est-à-dire l’inverse d’un temps.
Si le paramètre λ est mesuré en s−1 et t en s alors λt n’a
pas d’unité.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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Définition.
Théorème admis.
Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
Exemple radioactif.
La durée de vie d’un atome radioactif suit une loi exponentielle
d’espérance inconnue.
On observe que la demi-vie d’un atome de Césium est égale à
8 jours, c’est-à-dire sur un grand échantillon d’atomes de
césium (disons par exemple 0, 001g, il reste 0, 0005g de
césium au bout de 8 jours).
Question
Quelle est l’espérance mathématique de la durée de vie de
l’atome de césium ?
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La loi exponentielle.
Définition.
Théorème admis.
Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
Comment reconnaître qu’on a à faire à une loi exponentielle ?
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La loi exponentielle.
Définition.
Théorème admis.
Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
Propriété principale.
Propriétés
La loi exponentielle est une loi :
1
continue,
2
qui n’a pas de mémoire !
Expliquons ce que veut dire la seconde propriété.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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Définition.
Théorème admis.
Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
Théorème.
Théorème
Si la variable aléatoire X suit une loi exponentielle alors
P [X > t + s|X > t] = P [X > s] ,
pour tous t et s réels.
Autrement dit sachant qu’on a déjà attendu un temps t, la
probabilité d’attendre encore durant un temps > s (jusqu’à
l’instant t + s) est la même que celle d’attendre un temps > s
en ne sachant rien du tout.
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Définition.
Théorème admis.
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Ampoules.
Démonstration
P [X > t + s|X > t] =
P [X > t + s]
P [X > t]
e−(t+s)
= e−s
e−t
= P [X > s] .
=
Propriété
Il n’est pas bien difficile (ni intéressant, donc je ne le fais pas)
de démontrer la réciproque.
Si jamais on sait qu’une variable aléatoire X est continue et
que X n’a pas de mémoire, c’est une loi exponentielle.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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Exemple radioactif.
Propriété principale.
Ampoules.
Ampoules.
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle d’espérance
1
inconnue.
λ
Ce qui signifie encore que : P [X > t] = e−tλ .
Ici, la variable aléatoire X représente la durée de vie d’une
ampoule d’un certain stock, par exemple.
Au bout de 190 jours, on constate que 95% des ampoules du
stock fonctionnent, c’est-à-dire que : P [X > 190] = 0, 95.
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Ampoules.
Questions
1
Quelle est l’espérance de X ?
2
Quelle est la probabilité qu’une ampoule marche pendant
au moins 700 jours ?
3
On considère un lot de 30 ampoules.
Quelle est la loi qui décrit le nombre d’ampoules mortes au
bout de 200 jours ?
4
Je souhaite qu’au bout de 200 jours, j’ai au moins 100
ampoules qui fonctionnent encore.
Combien dois-je en acheter au minimum pour que ce soit
le cas avec une probabilité > 95% ?
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant
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