Polycopié en PDF - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Mathématiques et Représentation
des Phénomènes Physiques
Partie Mathématiques
Cours et exercices
Code UE : Q1 MI2M21 L’équipe enseignante

Table des matières
1 Dérivées (Révision) 6
A - Dérivée en un point ..................................... 6
B - Opérations sur les dérivées .................................. 7
C - Dérivées des fonctions usuelles ............................... 8
D - Dérivées successives ..................................... 9
E - Exercices ........................................... 10
F - Solution de l’exercice D - .................................. 11
2 Extrema - Accroissements finis - Formules de taylor 12
A - Révision : Fonctions continues sur un intervalle ...................... 12
B - Le théorème des accroissements finis ............................ 12
C - Caractérisation des fonctions constantes, monotones et strictement monotones. . . . . 14
D - Les formules de Taylor .................................... 14
E - Exercices ........................................... 17
E - 1 Exercice corrigé ................................... 17
E - 2 Théorème des accroissements finis ......................... 17
E - 3 Formules de Taylor .................................. 18
E - 4 Solution des exercices ................................ 19
3 Développements limités 20
A - Notion de développement limité ............................... 20
B - Propriétés ........................................... 20
C - Développements limités des fonctions usuelles en 0. .................... 22
D - Opérations sur les développements limités ......................... 22
E - Exercices ........................................... 24
E - 1 Exercices corrigés ................................... 24
E - 2 Calcul de développements limités ......................... 24
E - 3 Applications ..................................... 25
E - 4 Exercices avec des équations différentielles ..................... 26
E - 5 Solutions des exercices ................................ 27
4 Fonctions vectorielles 28
A - L’espace vectoriel normé Rn................................. 28
A - 1 Espace vectoriel ................................... 28
A - 2 Bases ......................................... 28
A - 3 Norme, Produit scalaire, Produit vectoriel ..................... 29
A - 4 Plan et repère ..................................... 29
B - Fonctions vectorielles ..................................... 29
B - 1 Définitions ...................................... 29
B - 2 Définitions équivalentes ............................... 30
C - La formule de Taylor-Young. ................................ 31
D - Exercices ........................................... 32
D - 1 Solution de l’exercice ................................. 33
5 Arcs plans paramétrés 34
A - Arcs plans paramétrés .................................... 34
B - Paramétrage de courbes usuelles .............................. 34
C - Etude locale en un point ................................... 34
D - Etude des branches infinies ................................. 36
E - Plan d’étude d’un arc paramétré .............................. 37
E - 1 Intervalle d’étude ................................... 37
E - 2 Etude des fonctions coordonnées .......................... 38

E - 3 Etude de la courbe C................................. 38
F - Exemple ............................................ 39
G - Exercices ........................................... 40
6 Notions sur les formes différentielles de degré 1 42
A - Révision : Dérivées partielles ................................ 42
A - 1 Dérivées partielles premières ............................ 42
A - 2 Dérivées partielles d’ordre supérieur ........................ 43
B - Formes linéaires sur R2.................................... 44
C - Formes différentielles de degré 1 ............................... 44
D - Intégrale curviligne d’une forme différentielle ....................... 45
E - Circulation d’un champ de vecteurs ............................. 46
F - Exercices ........................................... 47
F - 1 Formes différentielles de degré 1 .......................... 47
F - 2 Intégrales curvilignes ................................. 47
7 Formulaires 50
8 Annales 52
A - Juin 2013 - sujet corrigé ................................... 52
B - Mars 2008 ........................................... 53
C - Juin 2008 ........................................... 54
D - Deuxième session 2008 .................................... 55
E - Juin 2009 ........................................... 56
F - Juin 2009 ........................................... 57
G - Mars 2012 ........................................... 58
H - Juin 2012 ........................................... 59
I - Correction du DS de juin 2013 ............................... 60
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