Les nombres complexes - images.hachette

Chapitre 1
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Les nombres complexes
Les nombres complexes
>
>•Utiliser les formules de Moivre et d’Euler.
Ce chapitre traite les modules suivants :
•Nombres complexes 1 (NC1).
1. Les différentes écritures d’un nombre complexe
a) Forme algébrique
z= a+ ib où aet bsont deux réels et i2= –1.
N.B. : On utilise parfois a+ jb pour les problèmes liés à l’électricité ou à l’électro-
nique afin d’éviter les confusions avec l’intensité d’un courant.
b) Forme trigonométrique
Si zest un nombre complexe non nul, on note :
• |z|=
÷ ⁄ a2+ b2le module de z, parfois noté r.
• qle réel défini par : cosq= = et sinq= = .
qest un argument de z(qest défini à 2kpprès, (kœ1)).
b
r
b
÷ ⁄ a2+ b2
a
r
a
÷ ⁄ a2+ b2
Modules
1Rappels de Terminale
Objectifs
COURS
Notation
Le nombre complexe zde module ret d’argument qpeut s’écrire :
z= r(cosq+ isinq) (forme trigonométrique)
ou z= [r, q]
ou z= reiq(notation exponentielle).
C

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Chapitre 1
Si z= a+ ib et si z≠0 alors
|z|= r=
÷ ⁄ a2+ b2, cosq= , sinq= ; z= r(cosq+ isinq) = reiq.
L’ensemble des nombres complexes est noté 4.
Le nombre complexe 0 a pour module 0, mais n’a pas d’argument.
b
r
a
r
À savoir
2. Interprétation géométrique
À chaque nombre complexe z= a+ ib correspond un point
unique Mdu plan rapporté à un repère orthonormal (O; uü,vü).
• M(a, b) est l’image de z.
• zest l’affixe de M.
• Le vecteur ⁄O⁄Mùa pour affixe z.
De plus, pour z≠0, OM = |z|
et (uü,⁄O⁄Mù) = arg(z) + 2kp, kœ1.
À savoir
O
r
q
a
bM(z)
uü
vü
3. Formules de calcul
a) Produits et quotients de nombres complexes
On note ‡zle nombre complexe conjugué de z.
• Si z= a+ ib alors ‡z= a– ib.
• De plus z‡z= a2+ b2= |z|2.
Rappel
Si on note z1= a+ ib = r1eiq1et z2= c+ id = r2eiq2, avec z1≠0 et z2≠0, on a :
z1z2= (ac – bd) + i(ad + bc)
ou z1z2= [r1r2, q1+ q2]
ou z1z2= r1r2ei(q1+ q2).
À savoir
Exercice résolu
Calculer de deux manières (2 – 2i÷ÿ3)(–1 + i); en déduire cos et sin .
• (2 – 2i÷ÿ3)(–1 + i) = (–2 + 2÷ÿ3) + i(2 + 2÷ÿ3) (1)
• 2 – 2i÷ÿ3peut s’écrire : 2 – 2i÷ÿ3= 4 – i= 4e–i.
–1 + ipeut s’écrire : –1 + i= ÷2– + i= ÷2e
i.
d’où : (2 – 2i÷ÿ3)(–1 + i) = 4÷2e
i= 4÷2cos + isin (2)
2
5p
12
5p
12
1
5p
12
3p
4
2
÷2
2
÷2
2
1
p
3
2
÷3
2
1
2
1
5p
12
5p
12

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Les nombres complexes
Les nombres complexes
En comparant (1) et (2), on obtient :
4÷2cos = –2 + 2÷ÿ3(égalité des deux parties réelles)
donc cos = soit cos = .
En écrivant l’égalité des parties imaginaires, on obtient de la même manière :
sin = .
÷ÿ6 + ÷2
4
5p
12
÷ÿ6 – ÷2
4
5p
12
–2 + 2÷ÿ3
4÷2
5p
12
5p
12
En notant z1= a+ ib = r1eiq1et z2= c+ id = r2eiq2, avec z1≠0 et z2≠0, on a :
= =
ou = , q1– q2
ou = ei(q1– q2).
r1
r2
z1
z2
4
r1
r2
3
z1
z2
(a+ ib)(c– id)
c2+ d2
z1‡z2
|z2|2
z1
z2
À savoir
b) Formule de Moivre
qétant un réel quelconque et nun entier naturel, on a :
(cosq+ isinq)n= cosnq+ isinnqou (eiq)n= einq.
Cette formule est appelée formule de Moivre.
À savoir
Abraham de Moivre
(1667-1754).
Mathématicien
anglais d’origine
française. On lui
doit, entre autres,
cette formule.
Exercice résolu 1
Racines carrées d’un nombre complexe
Résoudre dans 4: z2= 2 – 2i÷ÿ3.
On a vu dans l’exercice résolu précédent que : 2 – 2i÷ÿ3= 4e
–i
donc l’équation équivaut à z2= 4 cos – + isin – .
En posant z= reiq, on peut en déduire que r2= 4 et 2q= – + 2kp(kœ1).
donc r= 2 et q= – + kp.
On obtient pour k= 0 et k= 1, les deux types de solutions.
L’équation a donc deux solutions :
z1= 2, – et z2= 2, – + p= 2, . On remarque que z1= –z2.
4
5p
6
3
4
p
6
34
p
6
3
p
6
p
3
42
p
3
12
p
3
13
p
3
Exercice résolu 2
Résoudre dans 4: z2= –5 – 12i.
Le module de –5 – 12iest ÷ ⁄ 52+ 122= 13, –5 – 12in’a donc pas un argument remar-
quable et l’on ne peut pas utiliser la méthode précédente.

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Chapitre 1
Posons z= a+ ib, on a z2= a2– b2+ 2iab soit –5 – 12i= a2– b2+ 2iab
on obtient :
De plus z2et –5 – 12iont le même module donc : a2+ b2= 13.
Cette dernière équation n’est pas nécessaire mais elle facilite la résolution.
On a donc les trois équations suivantes :
Les deux premières équations permettent de déduire que a2= 4 et b2= 9 et comme
ab = –6 les deux seules solutions sont : a= 2 et b= –3 ; a= –2 et b= 3.
L’équation z2= –5 – 12iadmet donc deux solutions opposées :
z1= 2 – 3iet z2= –2 + 3i(z1= –z2).
a2– b2= –5
a2+ b2= 13
ab = –6.
5
a2– b2= –5
2ab = –12.
5
Exercice résolu 3
Calcul de cosnqou sinnq.
Exprimer cos3qen fonction de cosq.
On applique la formule de Moivre au cas n= 3, on obtient :
(cosq+ isinq)3= cos3q+ isin3q.
En développant (cosq+ isinq)3avec la formule du binôme (cf. chapitre 0, page 12),
on obtient :
cos3q+ 3icos2qsinq– 3cosqsin2q– isin3q.
On a ainsi :
cos3q+ isin3q= cos3q– 3cosqsin2q+ 3icos2qsinq– isin3q.
En utilisant l’égalité des parties réelles, on a :
cos3q= cos3q– 3cosqsin2q.
Sachant que cos2q+ sin2q= 1, il vient :
cos3q= cos3q– 3cosq(1 – cos2q).
Ainsi :
cos3q= 4cos3q– 3cosq.
4. Nombres complexes et géométrie, lignes de niveau
Si fest une fonction de 4dans 3, on appelle ligne de niveau kde fl’ensemble des points du plan
rapporté à un repère orthonormal (O; uü,vü) dont l’affixe zvérifie f(z) = k(kest une constante
réelle).
Définition
Cas particuliers
• f(z) = ¬e(z) (partie réelle de z).
Si ¬e(z) = k, le point Md’affixe za une abscisse constante.
Les lignes de niveau kde fsont donc les droites d’équations x= k.
• f(z) = ¡m(z) (partie imaginaire de z).
Les lignes de niveau kde fsont les droites d’équation y= k.

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Les nombres complexes
Les nombres complexes
Si Aet Bsont deux points distincts du plan rapporté au repère orthonormal (O; uü,vü), d’affixes
respectives zAet zB, on a : AB = |zB– zA|et (uü, ⁄Aº]Bù) = arg(zB– zA).
À savoir
Exercice résolu 1
Déterminer tous les points Mdu plan, d’affixe z, tels que : |z– (2 + i)|= 3.
Si Aest l’image de 2 + ion a |zM– zA|= 3 soit AM = 3. Mest donc un point du cer-
cle de centre Aet de rayon 3. L’ensemble de tous les points Mcherchés est le cercle de
centre Aet de rayon 3.
Exercice résolu 2
Déterminer tous les points Mdu plan, d’affixe z, tels que : arg(z– (2 + i)) = .
On obtient (uü,
⁄ AMù) = , Mest donc un
point de la demi-droite passant par Aet fai-
sant l’angle avec uü(privée du point A).
L’ensemble de tous les points Mcherchés est
la demi-droite ouverte ]Ax) d’origine A, de
coefficient directeur 1 et appartenant au pre-
mier quadrant.
p
4
p
4
p
4
Ouü
vüA
p
4
x
Si on note Ale point d’affixe a:
• les lignes de niveau kde zú|z– a|sont les cercles de centre Aet de rayon k(kréel positif);
• les lignes de niveau kde zúarg(z– a) sont les demi-droites issues de A, privées du point A, faisant
l’angle kavec le vecteur uü.
À savoir
5. Formules d’Euler
Les formules d’Euler sont :
cosx= ; sinx= .
eix – e–ix
2i
eix + e–ix
2
À savoir Leonhard Euler
(1707-1783). Mathématicien
suisse. Il était aussi physicien,
ingénieur et philosophe.
C’est l’un des fondateurs du
calcul intégral.
Ces formules permettent de linéariser des polynômes trigonométriques, c’est-à-dire de
les écrire sous la forme d’une somme de termes du type cosnqou sinnq.
Exercice résolu
Linéariser f(x) = cos3x– cos2x+ 2.
• Linéarisation de cos3x.
En utilisant les formules d’Euler, on a :
cos3x= 3
2
eix + e–ix
2
1