Les nombres complexes - images.hachette

1
Chapitre
Les nombres complexes
C
> Modules
Ce chapitre traite les modules suivants :
• Nombres complexes 1 (NC1).
> Objectifs
• Utiliser les formules de Moivre et d’Euler.
COURS
Rappels de Terminale
1. Les différentes écritures d’un nombre complexe
a) Forme algébrique
z = a + ib où a et b sont deux réels et i 2 = – 1.
N.B. : On utilise parfois a + jb pour les problèmes liés à l’électricité ou à l’électronique afin d’éviter les confusions avec l’intensité d’un courant.
b) Forme trigonométrique
Si z est un nombre complexe non nul, on note :
• | z | = ÷⁄a 2 + b 2 le module de z, parfois noté r.
a
a
b
b
• q le réel défini par : cos q =
=
et sinq =
= .
2
2
2
2
r
r
÷⁄a + b
÷⁄a + b
q est un argument de z (q est défini à 2kp près, (k œ1)).
Notation
1
Le nombre complexe z de module r et d’argument q peut s’écrire :
z = r (cosq + isinq ) (forme trigonométrique)
ou z = [r, q ]
ou z = r e iq (notation exponentielle).
17
Chapitre
1
À savoir
Si z = a + ib et si z ≠ 0 alors
a
b
| z | = r = ÷⁄ a 2 + b 2, cosq = , sinq =
; z = r (cosq + isinq ) = r e iq .
r
r
L’ensemble des nombres complexes est noté 4.
Le nombre complexe 0 a pour module 0, mais n’a pas d’argument.
2. Interprétation géométrique
À savoir
À chaque nombre complexe z = a + ib correspond un point
unique M du plan rapporté à un repère orthonormal (O ; uü, vü ).
• M(a, b) est l’image de z.
• z est l’affixe de M.
• Le vecteur ⁄O⁄M ù a pour affixe z.
De plus, pour z ≠ 0, OM = | z |
et (uü, ⁄O⁄M ù ) = arg (z) + 2kp, kœ1.
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
M(z )
b
r
vü
O
q
a
uü
3. Formules de calcul
a) Produits et quotients de nombres complexes
Rappel
On note ‡z le nombre complexe conjugué de z.
• Si z = a + ib alors ‡z = a – ib.
• De plus z‡z = a 2 + b 2 = | z | 2.
À savoir
Si on note z1 = a + ib = r 1e iq 1 et z2 = c + id = r 2 e iq 2 , avec z1 ≠ 0 et z2 ≠ 0, on a :
z1 z2 = (ac – bd) + i(ad + bc)
ou z1 z2 = [r 1 r 2 , q1 + q2 ]
z1 z2 = r 1 r 2 e i(q 1 + q 2 ).
Exercice résolu
ou
Calculer de deux manières (2 – 2i ÷ÿ3 )(– 1 + i ) ; en déduire cos
• (2 – 2i ÷ÿ3 )(– 1 + i ) = (– 2 + 2÷ÿ3 ) + i(2 + 2÷ÿ3 )
• 2 – 2i ÷ÿ3 peut s’écrire : 2 – 2i ÷ÿ3 = 4
1
– 1 + i peut s’écrire : – 1 + i = ÷2 –
i 5p
12
d’où : (2 – 2i ÷ÿ3 )(– 1 + i ) = 4 ÷2 e
18
5p
5p
et sin
.
12
12
(1)
–i p
3
1 12 – i ÷32 2 = 4 e
.
i 3p
÷2
÷2
+i
= ÷2 e 4 .
2
2
2
1
= 4 ÷2 cos
5p
5p
+ isin
12
12
2
(2)
Les nombres complexes
En comparant (1) et (2), on obtient :
4÷2cos
5p
= –2 + 2÷ÿ3 (égalité des deux parties réelles)
12
5p
5p ÷ÿ6 – ÷2
–2 + 2÷ÿ3
=
soit cos
=
.
12
12
4÷2
4
En écrivant l’égalité des parties imaginaires, on obtient de la même manière :
donc cos
sin
5p ÷ÿ6 + ÷2
=
.
12
4
À savoir
En notant z1 = a + ib = r 1e iq 1 et z2 = c + id = r 2 e iq 2 , avec z1 ≠ 0 et z2 ≠ 0, on a :
z1
z z‡
(a + ib)(c – id )
= 1 22 =
z 2 | z2|
c2 + d 2
ou
z1
r1
=
, q – q2
z2
r2 1
ou
z1
r
= 1 e i(q 1 – q 2 ).
z 2 r2
3
4
b) Formule de Moivre
Abraham de Moivre
(1667-1754).
Mathématicien
anglais d’origine
française. On lui
doit, entre autres,
cette formule.
À savoir
Exercice résolu 1
q étant un réel quelconque et n un entier naturel, on a :
(cosq + isinq ) n = cos nq + isin nq ou (e iq ) n = e inq .
Cette formule est appelée formule de Moivre.
Racines carrées d’un nombre complexe
Résoudre dans 4 : z 2 = 2 – 2i ÷ÿ3 .
–i p
3
On a vu dans l’exercice résolu précédent que : 2 – 2i ÷ÿ3 = 4e
p
p
donc l’équation équivaut à z 2 = 4 3 cos 1 – 2 + isin 1 – 2 4 .
3
3
En posant z = r e iq, on peut en déduire que r 2 = 4 et 2q = –
p
+ 2kp (k œ1).
3
p
+ kp.
6
On obtient pour k = 0 et k = 1, les deux types de solutions.
L’équation a donc deux solutions :
p
p
5p
z 1 = 3 2, – 4 et z 2 = 3 2, – + p 4 = 2,
. On remarque que z 1 = – z 2.
6
6
6
donc r = 2 et q = –
Exercice résolu 2
3
4
Résoudre dans 4 : z 2 = –5 – 12i.
Le module de –5 – 12i est ÷⁄5 2 + 12 2 = 13, – 5 – 12i n’a donc pas un argument remarquable et l’on ne peut pas utiliser la méthode précédente.
19
Chapitre
1
Posons z = a + ib, on a z 2 = a 2 – b 2 + 2iab soit –5 – 12i = a 2 – b 2 + 2iab
2
on obtient :
2
= –5
5 a2ab– =b –12.
De plus z 2 et –5 – 12i ont le même module donc : a 2 + b 2 = 13.
Cette dernière équation n’est pas nécessaire mais elle facilite la résolution.
a 2 – b2 = – 5
On a donc les trois équations suivantes : a 2 + b 2 = 13
ab = – 6.
Les deux premières équations permettent de déduire que a 2 = 4 et b 2 = 9 et comme
ab = –6 les deux seules solutions sont : a = 2 et b = –3 ; a = –2 et b = 3.
L’équation z 2 = –5 – 12i admet donc deux solutions opposées :
z 1 = 2 – 3i et z 2 = – 2 + 3i (z 1 = – z 2 ).
Exercice résolu 3
5
Calcul de cos nq ou sin nq.
Exprimer cos3q en fonction de cosq .
On applique la formule de Moivre au cas n = 3, on obtient :
(cosq + i sinq ) 3 = cos3q + i sin3q .
En développant (cosq + i sinq ) 3 avec la formule du binôme (cf. chapitre 0, page 12),
on obtient :
cos 3q + 3i cos 2q sinq – 3cosq sin 2q – i sin3q .
On a ainsi :
cos3q + i sin3q = cos 3q – 3cosq sin 2q + 3i cos 2q sinq – i sin3q .
En utilisant l’égalité des parties réelles, on a :
cos3q = cos 3q – 3cosq sin 2q .
Sachant que cos 2 q + sin 2q = 1, il vient :
cos3q = cos 3q – 3cosq (1 – cos 2 q ).
Ainsi :
cos3q = 4cos 3q – 3cosq.
4. Nombres complexes et géométrie, lignes de niveau
Définition
Si f est une fonction de 4 dans 3, on appelle ligne de niveau k de f l’ensemble des points du plan
rapporté à un repère orthonormal (O; uü, vü ) dont l’affixe z vérifie f (z) = k (k est une constante
réelle).
Cas particuliers
• f (z) = ¬e(z) (partie réelle de z).
Si ¬e(z) = k, le point M d’affixe z a une abscisse constante.
Les lignes de niveau k de f sont donc les droites d’équations x = k.
• f (z) = ¡m (z) (partie imaginaire de z).
Les lignes de niveau k de f sont les droites d’équation y = k.
20
Les nombres complexes
À savoir
Exercice résolu 1
Déterminer tous les points M du plan, d’affixe z, tels que : | z – (2 + i)| = 3.
Exercice résolu 2
Si A et B sont deux points distincts du plan rapporté au repère orthonormal (O ; uü, vü ), d’affixes
respectives zA et zB , on a :
AB = | zB – zA | et ( uü , ⁄Aº]Bù) = arg( zB – zA ).
p
Déterminer tous les points M du plan, d’affixe z, tels que : arg(z – (2 + i)) = .
4
p
On obtient ( uü, ⁄A M ù) = , M est donc un
4
x
point de la demi-droite passant par A et faip
sant l’angle
avec uü (privée du point A).
p
4
4
L’ensemble de tous les points M cherchés est
A
la demi-droite ouverte ]Ax) d’origine A, de
vü
coefficient directeur 1 et appartenant au preO uü
mier quadrant.
Si A est l’image de 2 + i on a | z M – z A | = 3 soit AM = 3. M est donc un point du cercle de centre A et de rayon 3. L’ensemble de tous les points M cherchés est le cercle de
centre A et de rayon 3.
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
;;;;;;
À savoir
Si on note A le point d’affixe a :
• les lignes de niveau k de z ú | z – a| sont les cercles de centre A et de rayon k (k réel positif);
• les lignes de niveau k de z ú arg(z – a ) sont les demi-droites issues de A, privées du point A, faisant
l’angle k avec le vecteur uü.
5. Formules d’Euler
À savoir
Les formules d’Euler sont :
cos x =
e ix + e – ix
2
; sin x =
e ix – e – ix
.
2i
Leonhard Euler
(1707-1783). Mathématicien
suisse. Il était aussi physicien,
ingénieur et philosophe.
C’est l’un des fondateurs du
calcul intégral.
Exercice résolu
Ces formules permettent de linéariser des polynômes trigonométriques, c’est-à-dire de
les écrire sous la forme d’une somme de termes du type cos nq ou sin nq .
Linéariser f (x) = cos 3 x – cos 2 x + 2.
• Linéarisation de cos 3 x.
En utilisant les formules d’Euler, on a :
3
ei x + e– i x
cos 3 x =
2
1
2
21
Chapitre
1
cos 3 x =
1 3i x
(e + 3e i x + 3 e – i x + e – 3i x )
8
e 3i x + e – 3i x
ei x + e– i x
+3
2
2
=
1
4
=
1
(cos3x + 3cosx).
4
1
2
• Linéarisaton de cos 2 x.
En utilisant les formules d’Euler, on a :
cos 2x =
1
ei x + e– i x
2
2
2
=
1 2i x
(e + 2 + e – 2i x )
4
=
1
2
=
1
(cos2x + 1).
2
1e
2i x
+ e – 2i x
+1
2
2
N.B. : cette deuxième linéarisation peut être réalisée en utilisant la formule donnant
cos 2x en fonction de cos2 x.
On obtient finalement :
f (x) =
=
2
1
3
1
1
cos3x + cosx – cos2 x –
+2
4
4
2
2
1
1
3
3
cos3x – cos2 x + cos x + .
4
2
4
2
Équations du second degré à coefficients réels
À savoir
Exercice résolu
On considère l’équation ax 2 + bx + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. D = b 2 – 4ac.
– b – ÷⁄D
– b + ÷⁄D
• Si D > 0, l’équation a deux solutions réelles distinctes : x1 =
; x2 =
.
2a
2a
–b
• Si D = 0, l’équation a une solution réelle unique : x1 =
.
2a
– b + i ÷⁄– D
– b – i ÷⁄– D
• Si D < 0, l’équation a deux solutions complexes conjuguées : x1 =
; x2 =
.
2a
2a
22
Résoudre dans 4 les équations suivantes :
• 3 z 2 – 2z + 1 = 0 ;
• z 3 – 1 = 0.
Les nombres complexes
• Résolution de 3 z 2 – 2z + 1 = 0.
On calcule le discriminant : D = 1 – 12 = – 11.
Donc les solutions complexes sont :
z1 =
D’où : í =
2 – i ÷ÿ11
2 + i ÷ÿ11
et z 2 =
.
6
6
5 2 – 6i ÷ÿ11 , 2 + 6i ÷ÿ11 6 .
• Résolution de z 3 – 1 = 0.
z 3 – 1 peut se mettre sous la forme (z – 1)(a z 2 + b z + c).
On obtient a = b = c = 1,
donc l’équation z 3 – 1 = 0 devient (z – 1)(z 2 + z + 1) = 0,
d’où z = 1 ou z 2 + z + 1 = 0.
La résolution de z 2 + z + 1 = 0 donne :
D = 1 – 4 = – 3 et z 1 =
5
Donc : í = 1,
– 1 – i ÷3
– 1 + i ÷3
et z 2 =
.
2
2
–1 – i ÷3 – 1 + i ÷3
,
.
2
2
6
23
T ravaux
pratiques
1
Linéarisation
Linéariser sinx cos 3x en utilisant les formules d’Euler. En déduire une primitive de sin x cos 3x.
Pouvait-on trouver directement une primitive de cette expression ?
En déduire la forme linéarisée de cos 4x.
Corrigé
• On peut écrire sin x =
1
ei x – e– i x
2i
2
et cos 3x =
1
ei x + e– i x
2
3
2.
En développant, on obtient :
3
1e
3i x
+ 3 e i x + 3 e – i x + e – 3i x
2
Donc sin x cos 3x =
1
4
1e
ix
1
4
1e
4i x
=
+ 3 e 2i x + 3 + e – 2 i x – e 2i x – 3 – 3 e – 2 i x – e – 4 i x
4i
1
8
1e
4i x
=
– e – 4 i x 2e 2i x – 2e – 2i x
+
2i
2i
=
1
(sin4x + 2sin 2x).
8
1
ei x + e– i x
2
2
=
1
4
– e– i x
2i
21 e
3i x
2
+ 3 e i x + 3 e – i x + e – 3i x
2
2
2
2
Une primitive de sinx cos 3x est donc :
1
1
2
1
1
F(x) =
– cos4x – cos2x = –
cos4x – cos2x.
8
4
2
32
8
1
2
• On constate que si on pose u = cos x, sin x cos 3x peut s’écrire –u©u 3 dont
1
u4
une primitive est – . On a donc F1 (x) = – cos 4 x.
4
4
• Deux primitives F1 et F2 d’une même fonction sont égales à une constante
près, donc on peut écrire :
1
1
1
cos4x – cos2x + k
– cos 4x = –
4
32
8
1
1
d’où : cos 4x = cos4x + cos2x – 4 k
8
2
Cette égalité étant vraie pour tout x, on peut déterminer k en prenant par exemple x = 0 :
1
1
3
1 = + – 4k ; – 4 k = .
8
2
8
1
1
3
On obtient finalement : cos 4x = cos4x + cos2x + .
8
2
8
24
Chapitre
1
Les nombres complexes
2
Utilisation de la formule de Moivre
Calculer sin3x en fonction de sin x.
Corrigé
On a (cos x + isin x) 3 = cos3 x + isin3 x (1) (formule de Moivre).
En développant le premier membre de cette égalité, on obtient :
(cosx + isin x) 3 = cos 3x + 3 cos 2x isin x + 3 cosx(isin x) 2 + (isin x) 3
= cos 3x – 3 cos x sin 2x + i(3cos 2x sin x – sin 3x).
En identifiant les parties imaginaires des deux membres de l’égalité (1) on obtient :
sin3 x = 3 cos 2x sin x – sin 3x
soit encore en remplaçant cos 2x par 1 – sin 2x
sin 3 x = 3 (1 – sin 2x) sin x – sin 3x
= 3 sin x – 4 sin 3x.
25
L’essentiel
Chapitre
1
À savoir
Écritures
z = a + ib = r (cosq + isinq ) = r e i q = [r, q ]
avec r = ÷⁄a 2 + b 2, cosq =
a
b
et sinq =
(pour z ≠ 0).
r
r
Opérations
r e iq ¥ r©e iq © = r r©e i (q + q © ) ;
r i (q – q © )
r e iq
=
e
; (r e iq ) n = r n e inq .
iq ©
r©
r©e
Formules d’Euler
cosq =
e iq + e – iq
e iq – e – iq
et sinq =
.
2
2i
Équations
L’équation az 2 + bz + c = 0, où a, b, c sont trois nombres réels et a ≠ 0, admet deux solutions
complexes :
z1 =
– b – i ÷D
– b + i ÷D
et z 2 =
où D = b 2 – 4 ac.
2a
2a
À savoir faire
• Utiliser les formules d’Euler (exercice n° 5).
• Résoudre des équations (exercices n° 9 à 12 et 18 à 20).
• Transformer une équation en utilisant une identification (exercices n° 18 et 19).
• Utiliser deux types d’écritures d’un complexe (exercices n° 1, 2, 7, 8 et 18 à 20).
26
E xercices
et problèmes
a) Calculer f (i) et f (2 – i).
Rappels de Terminale
b) En posant z = x + iy (x et y sont réels), calculer la
partie réelle et la partie imaginaire de f (z).
Passage d’une forme à une autre
c) Quel est l’ensemble des points d’affixe z tels que :
• f (z) soit un réel ?
• f (z) soit un imaginaire pur ?
• Exercice 1
Écrire les nombres complexes suivants sous forme
trigonométrique.
z 1 = 3i ; z 2 = 1 – i ; z 3 = 1 + i÷ÿ3 ;
On considère les deux nombres complexes :
z 4 = ÷ÿ3 – i ; z 5 = ÷ÿ2 + i÷ÿ6.
• Exercice 2
Écrire chacun des nombres complexes suivants sous
forme algébrique.
1 3p
p
2p
; z3 =
,
z 1 = 3 3, 4 ; z 2 = 1,
2 4
6
3
3
3
z 4 = 2, –
5p
6
4
4
3
4
5i p
6
; z 5 = 3 e 2i p ; z 5 = 2e
• Exercice 7 *
.
Formules de trigonométrie
• Exercice 3
z 1 = ÷ÿ6 – i÷ÿ2 et z 2 = ÷ÿ3 + i÷ÿ3.
z
a) Calculer z 1 z 2 et 1 .
z2
b) Mettre z 1 et z 2 sous forme trigonométrique puis
z
z 1 z 2 et 1 .
z2
En déduire le cosinus et le sinus de :
p
–5p
et de
.
12
12
• Exercice 8 **
En utilisant une méthode analogue à celle de
i p
En utilisant la formule de Moivre, retrouver les formules donnant : cos2q et sin2q .
• Exercice 4
En utilisant la formule de Moivre, calculer :
cos4q et sin4q .
l’exercice précédent et en utilisant e 3 et e
calculer :
7p
7p
p
p
cos , sin , cos
et sin .
12
12
12
12
En déduire :
11p
11p
13p
13p
cos
, sin
, cos
et sin
.
12
12
12
12
i p
4
Linéarisation
• Exercice 5
Équations à coefficients réels
Linéariser :
a) cos 2x sin 2x.
b) cos 3 x + 2cos 2x + cos x.
• Exercice 9
Résoudre dans 4 les équations suivantes :
c) sin 3x + 2sin 2x + sin x.
a) 3z 2 + z + 4 = 0.
d) sin 2(3x) + cos 2(2x).
b) z 2 + 2z + 2 = 0.
Exercices de calcul
• Exercice 6 *
On considère la fonction :
f : 4 – {2i} Æ 4
z+i
zú
.
z – 2i
c) z 2 – 6z + 11 = 0.
• Exercice 10
Résoudre dans 4 les équations suivantes :
a) z 2 + 3z – 4 = 0.
b) z 2 + 3z + 4 = 0.
c) z 2 – 3z + 4 = 0.
27
E xercices
et problèmes
• Exercice 11 *
• Exercice 17
On pose P(z) = 2 z 3 + 3z 2 – z – 4.
Quel est l’ensemble des points M d’affixe z du plan
p
vérifiant arg(z – (3 – i)) =
?
3
a) Calculer P(1) puis factoriser P(z).
b) En déduire la résolution dans 4 de l’équation
P(z) = 0.
• Exercice 12 **
On pose P(z) = 2 z 3 – 3z 2 + 2z – 3.
Calculer P(i) et P(– i), en déduire la factorisation de
P (z) et en déduire les solutions dans 4 de
P(z) = 0.
Lignes de niveau
• Exercice 13
Déterminer l’ensemble des points du plan d’affixe z
tels que :
a) ¡m(z) = 2.
b) ¬e(z) = 3
• Exercice 14
• Exercice 18 *
1) Le nombre i est le nombre complexe de module 1
p
et dont un argument est .
2
On considère P(z) = z 3 – 4z 2 + 6z – 4, où z est un
nombre complexe.
a) Calculer P(2).
b) Déterminer les nombres réels a, b et c tels
que :
P(z) = (z – 2)(az 2 + bz + c).
c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes 4 l’équation P(z) = 0.
2) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct
(O, uü, vü ) d’unité 5 cm.
Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe
z tels que z = 2 + jw où w varie dans l’intervalle
[0, + •[ et où j désigne le complexe de module 1 et
p
d’argument .
2
a) Placer les points A, B et C d’affixes respectives :
z A = 2, z B = 1 + i et z C = 1 – i.
• Exercice 15
c) Montrer que C est l’image de B par une rotation de centre O dont on précisera l’angle.
On considère la fonction h définie par :
h : 3 *+ Æ 3
1
xúx+ .
x
d) Déterminer les affixes des points I et J,
milieux respectifs des segments [OA] et [BC].
1) Étudier les variations de h ainsi que ses limites
aux bornes de 3 *+.
2) On pose z(x) = 1 + i h(x) pour x > 0. Quel est
l’ensemble (E) des points du plan décrit par les
points d’affixe z(x) lorsque x parcourt 3 *+.
28
Problèmes
b) Déterminer le module et un argument de z A, z B
et z C.
e) Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ?
Justifier la réponse.
• Exercice 19 *
• Exercice 16
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, uü, vü ), d’unité graphique 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et
p
d’argument .
2
Quel est l’ensemble des points M d’affixe z du plan
vérifiant | z – 3 | = 2 ?
Soit P(z) = z 3 – 8z – 32, où z est un nombre complexe.
Chapitre
1
Les nombres complexes
1) a) Calculer P(4) .
b) Résoudre dans 4 l’équation z 2 + 4z + 8 = 0.
c) Déterminer les réels a, b et c tels que :
P(z) = (z – 4)(az 2 + bz + c).
d) Déduire des questions précédentes la résolution de l’équation P(z) = 0.
2) Dans le plan complexe, on considère les points A,
B et C d’affixes respectives :
z A = 4, z B = –2 + 2i et z C = –2 – 2i.
a) Faire une figure, sur la copie, représentant les
points A, B et C dans le repère.
b) Déterminer le module et un argument des
nombres complexes z B et z C.
c) Déterminer, en justifiant, la nature du triangle
OBC.
2
3) Soit W le point d’affixe z W = .
3
a) Déterminer les modules des nombres complexes z A – z W , z B – z W et z C – z W .
b) Que représente W pour le triangle ABC ?
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, uü, vü ) d’unité graphique 1 cm.
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique :
z 2 + 3z + 3 = 0.
2) On considère les nombres complexes :
3 ÷3
i et z 2 = ‡z 1.
z1 = – +
2
2
a) Écrire z 1 sous forme trigonométrique.
b) Construire avec précision dans le repère
(O, uü, vü ) les points A et B d’affixes respectives z 1
et z 2.
On laissera apparents les traits de construction.
7 ÷3
3) On appelle D le point d’affixe z 3 = –
i et
2
2
K le point d’affixe z 4 = 1.
a) Montrer que les points A, B et D appartiennent
à un cercle Ç de centre K.
• Exercice 20 *
b) Montrer que le point K est le milieu du segment [AD] .
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et
p
dont un argument est .
2
c) Dans le repère (O, uü, vü ), placer les points K
et D, et tracer le cercle Ç.
Déterminer la nature du triangle ABD.
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