Compacité - IMJ-PRG

Chapitre4
Compacit´e
4.1Lapropri´et´ede Borel-Lebesgue
La compacit´edes espaces m´etriques ou plus g´en´eralementdesespaces topologiques
doit ˆetre comprisecomme une propri´et´edefinitude. La d´efinition repose sur les notions
de recouvrementouvert et de sous-recouvrement.
D´efinition4.1.1. Soit (X,T)un espace topologique. Un recouvrementouvert de X
est une famille (Vj)j∈Jd’ouverts de r´eunion´egale `a X.
Un recouvrementouvert d’une partie Ade Xest unefamille (Vj)j∈Jd’ouverts dontla
r´eunioncontientA.
Remarque 4.1.2.Dans le caso`ula famille (Vj)j∈Jd’ouverts de Xrecouvre la partie A
de X,la r´eunion des ouverts induits A∩Vjest ´egale `a A.
Un recouvrementest fini siet seulementsi le nombre d’ouverts est fini. La propri´et´e
de Borel-Lebesgue pour une partie Aexprime que tout recouvrementouvert admet un
sous-recouvrementfini.
D´efinition4.1.3. Une partie Ad’un espace m´etrique estcompacte si et seulementsi
tout recouvrementouvert de Aadmet un sous-recouvrementfini.
Remarque 4.1.4.Il s’agit d’une propri´et´etopologique.
D´efinition4.1.5.Une partieAd’un espace topologique est quasi-compacte si etseule-
mentsi tout recouvrementouvert de Aadmet un sous-recouvrementfini.
Une partie Ad’un espace topologique est compacte si et seulementsi elle est quasi-
compacte et s´epar´ee.
Proposition 4.1.6. L’intervalle [0,1] est compact.
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La propositionsuivantemontre l’int´erˆet de la compacit´e.
Th´eor`eme4.1.7.Toute application continue d’un espacem´etrique compact (X,d)dans
un espacem´etrique (Y,δ)est uniform´ement continue.
Proposition 4.1.8. Un espacetopologique s´epar´eest compact si et seulement si toute
famille de ferm´es d’intersection vide contient une sous-famille finie d’intersection vide.
Une partie Ad’un espacetopologique s´epar´eest compacte si et seulement si toute famille
de ferm´es dont l’intersection ne rencontrepas Acontient une sous-famille finie dont
l’intersection ne rencontrepas A.
Proposition 4.1.9. Toute partie compacte d’un espacetopologique s´epar´eest ferm´ee.
Proposition 4.1.10.Dans un espacetopologique compact, les parties compactes sont
les parties ferm´ees.
Proposition 4.1.11. Dans un espacetopologique s´epar´eX,une partie Ad’un compact
K⊂Xest compacte si et seulement si elle est ferm´ee (dans X).
Remarque 4.1.12.Dans la proposition pr´ec´edente, Kest ferm´edans X,doncla partie
Aest ferm´ee dans Xsi et seulementsi elle l’est dans K.
4.2 Lapropri´et´ede Bolzano-Weierstrass
La propri´et´ede Bolzano-Weierstrass exprime pour toute suite l’existence d’une sous-
suite convergente.
Th´eor`eme4.2.1(Bolzano-Weierstrass).Un espacem´etrique Xest compact si et seule-
ment si toute suite de Xadmet une sous-suite convergente.
Une partie Ad’un espacem´etrique est compacte si et seulementsi toute suite de A
admet une sous-suite convergente dans A.
On red´emontre :
Corollaire4.2.2.Dans un espacem´etrique compact, les parties compactes sont les
parties ferm´ees.
Corollaire4.2.3.Tout espacem´etrique compact est complet.
Proposition4.2.4. Dans un espacem´etrique, les parties compactes sont born´ees.
Th´eor`eme4.2.5. Un produit fini d’espaces m´etriques compacts est compact.
Th´eor`eme4.2.6. Les parties compactes de Rnsont les parties ferm´ees et born´ees.
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4.3Compacit´e etcontinuit´e
Proposition 4.3.1. L’image par une application continue d’une partie quasi-compacte
est une partie quasi-compacte.
Corollaire4.3.2. Soit fune application continue `a valeur un espacetopologique s´epar´e,
alors l’image d’une partie quasi-compacte est compacte.
Corollaire4.3.3. Soit fune application continue d’un espace compact dans un espace
topologique s´epar´e, alorsfest ferm´ee.
Remarque 4.3.4.Cet argumentpeut ˆetre utile pour montrer qu’une bijectioncontinue
est un hom´eomorphisme.
Corollaire4.3.5.Soit fune application continue d’un espace compact dans R,alors
fest born´ee et atteint ses bornes inf´erieureet sup´erieure.
4.4 Applicationde la compacit´eaux espaces vecto-
riels norm´es
Th´eor`eme4.4.1. Tout isomorphisme entreRnet un R-espacevectoriel norm´eest un
hom´eomorphisme.
Corollaire4.4.2.Sur un espacevectoriel r´eel ou complexe, toutes les normes sont
´equivalentes.
Corollaire4.4.3.Toute application lin´eairede source un espacevectoriel de dimension
finie r´eel ou complexe est continue.
4.5Compl´ementsur la topologiedes compacts
Proposition 4.5.1. Dans un espacetopologique s´epar´etoute r´eunion finie de parties
compactes est compacte.
Proposition 4.5.2.Un espacetopologique discret est compact si et seulement s’il est
fini.
Exercice4.5.3 (S´eparation de compacts).1. Soit Aune partie compacte d’un espace trait´e
s´epar´eXet xun pointqui n’est pas dans A.D´emontrer qu’il existedes ouverts disjoints
Vet Wtels que :
A⊂Vet x∈W.
2. Soit Aet Bdeux partiescompactes disjointes d’un espace s´epar´eX.D´emontrerqu’il
existe desouverts disjoints Vet Wtels que :
A⊂Vet B⊂W.
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Produit d’espaces topologiques (cf ch.2), compacit´e.
Sur un mˆeme ensemble X,la relation d’inclusioninduit une relation d’ordre sur les
topologies.
D´efinition4.5.4. SoientTet T′deux topologies sur X.On dit que Test plus fine
que T′si et seulementsi T′⊂T.
Remarque 4.5.5.La topologie la plus fine estla topologie discr`ete, et la topologie la
moinsfine est la topologie grossi`ere.
Proposition4.5.6. Soient X1et X2deux espaces topologiques, et Y=X1×X2.Il existe
sur le produit Yune topologie qui est la moins fine parmi celles qui rendent continues
les projections pi:Y→Xi,i∈{1,2}.Cette topologie a pour base les produits d’ouverts.
D´efinition4.5.7. La topologie caract´eris´ee ci-dessus estla topologie produit.
Proposition 4.5.8. Pour la structuretopologique pr´ec´edente (topologie produit), une
application f:Z→Yest continue si et seulement si ses composantes le sont.
Proposition 4.5.9. Pour tout a∈X1,l’application ia:X2→Y,qui ax2associe
(a, x2)est continue.
Pour tout b∈X2,l’application jb:X1→Y,qui ax1associe (x1,b)est continue.
Pour f:Y→Zles compos´ees f◦iaet f◦jbsontappel´ee applications partielles.
Lorsque fest continue, les applications partielles sontcontinues ;la r´eciproque estfausse.
Exercice4.5.10.Etudier la continuit´een (0,0) de l’application de R2dans Rd´efinie par
f(0,0) =0, etpour (x, y)6=(0,0),f(x, y)=xy
x2+y2.
Etudier les applications partielles.
4.6Espace localementcompact
D´efinition4.6.1.Un espace topologique Xest localementcompactsi et seulements’il
est s´epar´e, et tout pointde Xadmet un voisinage compact.
Exemple 4.6.2.Les espaces vectoriels norm´es de dimension finie.
Th´eor`eme4.6.3(Riesz).Dans un espacevectoriel norm´eE,la boule ferm´ee de rayon
1est compacte si et seulement si Eest de dimension finie.
Corollaire4.6.4.Un espacevectoriel norm´eest localement compact si et seulement s’il
est de dimension finie.
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Exercice4.6.5.D´emontrer que si Xest un espace topologique localementcompact, alors
tout ferm´ede X,muni de la topologie induite,est un espace localementcompact.
Exercice4.6.6.D´emontrer que si Xest un espace m´etrique localementcompact, alors
tout ouvert de X,muni de la m´etrique induite, estun espace localementcompact.
Exercice4.6.7.SoientXun espace topologique localementcompact etVun ouvert de
X.
1. Soit aun pointde Vet Kun voisinage compact de a.
(a)Montrer que l’intersectionde Kavec le compl´ementaire de Vest une partie
compacte K′.
(b) Montrer qu’il existe des ouverts disjoints Wet W′,avec a∈W,et K′⊂W′.
(c) D´emontrer qu’il existe un voisinage compact de acontenudans V.
2. D´emontrer que V,muni de la topologie induite,est un espace localementcompact.
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