Enoncé

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Ecole Normale Sup´erieure Topologie, analyse et calcul diff´erentiel
21 octobre 2016
Feuille d’exercices no4
Exercice 1 : questions diverses
1. Soient X, Y des espaces topologiques et f:X→Y. On d´efinit le graphe de fpar :
G(f) = {(x, f(x)) tq x∈X} ⊂ X×Y.
a) Montrer que, si Yest s´epar´e, le graphe de fest ferm´e dans X×Ypour la topologie produit
si fest continue.
b) Montrer que, si Yest compact, fest continue si G(f) est ferm´e.
c) Donner un contre-exemple `a la propri´et´e pr´ec´edente dans le cas o`u Yn’est pas compact.
2. Soit Xun ensemble. Soient T1et T2deux topologies sur Xtelles que Xest compact pour
T2et s´epar´e pour T1. Montrer que si T1⊂ T2, alors T1=T2.
Exercice 2 : les compacts sont normaux
Soit Xun espace topologique compact.
1. Montrer que Xest r´egulier : pour tout ferm´e F⊂Xet tout x∈X−F, il existe deux
ouverts disjoints de X,Uet V, tels que F⊂Uet x∈V.
2. Montrer que Xest normal : pour tous ferm´es disjoints, F1et F2, il existe U1et U2des ouverts
disjoints tels que F1⊂U1et F2⊂U2.
Exercice 3 : compactification d’Alexandrov
Un espace topologique Xest dit localement compact s’il est s´epar´e et si tout point admet un
voisinage compact (ou de fa¸con ´equivalente ici, un syst`eme fondamental de voisinages com-
pacts).
Soit Xun espace topologique localement compact. On pose ˆ X=X∪ {∞}. On dit que U⊂ˆ X
est un ouvert de ˆ Xsi l’une des deux propri´et´es suivantes est v´erifi´ee :
1. U⊂Xet Uest un ouvert de X.
2. ∞ ∈ Uet ˆ X−U⊂Xest un compact de X.
On note i:X→ˆ Xl’application qui `a x∈Xassocie i(x) = x∈ˆ X.
1. Montrer qu’on d´efinit ainsi une topologie sur ˆ X.
2. Montrer que iest un hom´eomorphisme sur son image.
3. Montrer que ˆ Xest compact pour cette topologie.
4. Montrer qu’`a hom´eomorphisme pr`es, ˆ Xest le seul espace topologique v´erifiant les propri´et´es
suivantes :
1. ˆ Xest compact ;
2. Il existe i:X→ˆ Xune application r´ealisant un hom´eomorphisme sur son image telle
que ˆ X−i(X) est de cardinal 1.
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Exercice 4 : trois compactifications du plan euclidien
On appelle compactification d’un espace topologique Xla donn´ee d’un espace topologique
compact Yet d’une application continue i:X→Ytelles que :
—i(X) est dense dans Y;
—ir´ealise un hom´eomorphisme de Xvers i(X).
Le but de cet exercice est de pr´esenter trois compactifications diff´erentes de R2, muni de sa
topologie usuelle.
1. Soit S2={(x, y, z)∈R3tq x2+y2+z2= 1}. On appelle pˆole nord le point N= (0,0,1).
Soit i:R2→S2l’application qui `a (x, y)∈R2associe le point P∈S2− {N}tel que la droite
de R3reliant Pau pˆole Nord passe par (x, y, 0).
a) Montrer que (S2, i) est une compactification de R2et qu’elle est hom´eomorphe `a la compac-
tification d’Alexandrov d´efinie dans l’exercice pr´ec´edent.
b) ` A quelle condition une suite i(xn, yn) converge-t-elle vers le pˆole Nord ?
2. Soit S2
+={(x, y, z) tq x2+y2+z2= 1 et z≥0}.
Soit i:R2→S2
+l’application qui `a (x, y)∈R2associe le point de S2 +appartenant `a la droite
de R3reliant (x, y, 1) et (0,0,0).
a) Montrer que (S2
+, i) est une compactification de R2.
b) Soit θ∈R.` A quelle condition une suite i(xn, yn) converge-t-elle vers le point (cos θ, sin θ, 0)
de S+
+?
3. [Digression sur le plan projectif]
Soit n∈N∗. On d´efinit une relation d’´equivalence sur Rn+1 − {0}par :
x∼x0⇐⇒ ∃r∈R∗tq x=rx0.
On note Pn(R) = (Rn+1 − {0})/∼, muni de la topologie quotient (d´efinie `a la question 3 de
l’exercice 1).
a) Montrer que Pn(R) est hom´eomorphe `a Sn/∼S, o`u Snd´esigne la sph`ere unit´e de Rn+1 et
x∼Sx0si et seulement si x=±x0.
b) Montrer que Pn(R) est compact.
4. Soit i:R2→P2(R) l’application qui `a (x, y)∈R2associe [(x, y, 1)] ∈P2(R).
a) Montrer que (P2(R), i) est une compactification.
b) Soit θ∈R.` A quelle condition une suite i(xn, yn) converge-t-elle vers [(cos θ, sin θ, 0)] ?
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Exercice 5 : ** espaces compacts et connexit´e
Soit (Kn)n∈Nune suite d´ecroissante de compacts connexes non-vides. Soit K=T
n∈N
Kn.
1. Soient U, V des ouverts disjoints de K0qui recouvrent K. Montrer que K⊂Uou K⊂V.
2. En d´eduire que Kest connexe.
Exercice 6 : ** sur le th´eor`eme de Stone-Weierstrass
1. Soit Xun espace topologique. On suppose qu’il existe une suite (Kn)n∈Nde sous-ensembles
compacts de Xtels que X=S
n∈N
Knet tels que Kn⊂˚ Kn+1 pour tout n.
Soit Aune sous-alg`ebre de C(X, R), s´eparant les points et contenant les fonctions constantes.
Montrer que, pour toute fonction continue f:X→R, il existe une suite (fn)n∈Nd’´el´ements
de Aconvergeant uniform´ement vers fsur tout compact.
2. Soit (Xi)i∈Iune famille d’espaces topologiques compacts. On note Y=Q
iXimuni de la
topologie produit.
On note Fl’ensemble des fonctions continues de Y→Rne d´ependant que d’un nombre fini
de coordonn´ees, c’est-`a-dire l’ensemble des fonctions de la forme f: (xi)i∈I→g((xi)i∈E) avec
Eun sous-ensemble fini de I.
Montrer que Fest dense dans C(Y, R).
3. Soit Ω un ouvert de C. Montrer que l’ensemble des fonctions polynomiales de Ω dans Cn’est
pas dense dans C(Ω,C).
4. Soit Xcompact. Soit Aune sous-alg`ebre ferm´ee de C(X, R) qui s´epare les points de X.
Montrer que, si Ane contient pas de fonction constante non-nulle, il existe x0∈Xtel que :
A={f∈ C(X, R) tq f(x0)=0}.
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