Sommaire du chapitre 1 - Salim Faci

Chapitre 1
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Sommaire du chapitre 1
1. Le semiconducteur .......................................................................................................... 7 1.1. Structure des bandes d’énergie ................................................................................. 7 1.1.1. Gaps direct et indirect........................................................................................ 7 1.1.2. Les électrons et trous dans un cristal ................................................................ 8 1.1.3. Notion de la masse effective ............................................................................... 8 1.1.3.1. Cas des électrons .......................................................................................... 8 1.1.3.2. Cas des trous ................................................................................................ 9 1.2. Semiconducteur en équilibre .................................................................................. 10 1.2.1. Concentration des porteurs.............................................................................. 10 1.2.1.1. Concentration des porteurs dans les bandes d'énergie ................................ 11 1.2.1.2. Concentration intrinsèque........................................................................... 12 1.2.2. Position du niveau de Fermi ............................................................................. 12 1.2.3. Semiconducteur extrinsèque ............................................................................ 12 1.2.4. Influence des niveaux d'impuretés – Pièges ...................................................... 13 1.2.4.1. Cas d’un accepteur profond ........................................................................ 13 1.2.4.2. Cas de deux impuretés de type opposé ........................................................ 14 1.3. Semiconducteur hors équilibre ............................................................................... 15 1.3.1. Courant de conduction .................................................................................... 15 1.3.1.1. Vitesse des porteurs .................................................................................... 15 1.3.1.2. Influence de la température sur la mobilité ................................................. 17 1.3.2. Courant de diffusion ........................................................................................ 18 1.3.3. Courant de déplacement .................................................................................. 19 1.4. Paramètres intrinsèques du GaAs ........................................................................... 19 2. Interaction onde radiofréquence – semiconducteur ........................................................ 20 2.1. Equations de Maxwell ............................................................................................. 20 2.2. Ligne de transmission microruban.......................................................................... 21 3. Interaction onde lumineuse – semiconducteur............................................................... 22 3.1. Effets de l’absorption de photons par un matériau semiconducteur ........................ 22 3.1.1. Condition et coefficient d’absorption ................................................................ 22 3.1.2. Génération de porteurs .................................................................................... 25 3.1.3. Recombinaison directe des porteurs ................................................................. 27 3.1.4. Génération / recombinaison indirecte .............................................................. 28 3.1.5. Recombinaison en surface ............................................................................... 33 3.1.6. Génération / recombinaison Auger .................................................................. 33 3.1.7. Génération par impact ionisant ........................................................................ 34 3.1.8. Dynamique des porteurs dans un semiconducteur éclairé ............................... 35 3.1.8.1. Equations de continuité .............................................................................. 35 4
Chapitre 1
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3.1.8.2. Diffusion des porteurs................................................................................. 36 3.1.8.3. Equation de Poisson.................................................................................... 36 3.1.8.4. Retour à l'équilibre ...................................................................................... 37 3.2. Constante diélectrique d'un plasma semiconducteur .............................................. 38 3.2.1. Modèle de Drude – Lorentz ............................................................................... 38 3.2.2. Indice de réfraction .......................................................................................... 39 3.3. Evaluation de la photoconductivité d'un barreau semiconducteur .......................... 40 3.3.1. Domaine de l'infrarouge au visible ................................................................... 40 3.3.2. La photoconductivité........................................................................................ 40 3.3.2.1. Densité des électrons excédentaires à faible éclairement ............................. 41 3.3.2.2. Densité des électrons libres à fort éclairement ............................................. 43 3.3.2.3. Génération/recombinaison dans GaAs ........................................................ 44 3.3.2.4. Densité de porteurs sous éclairement dépendant du temps ......................... 46 3.4. La photoconductance équivalente ........................................................................... 46 4. Interaction opto-microonde – semiconducteur ............................................................... 46 4.1. Permittivité relative d'un plasma semiconducteur ................................................... 46 4.2. Impédance d'un barreau semiconducteur ............................................................... 48 4.2.1. Formulation du problème ................................................................................ 49 4.2.2. Cas d'un barreau en GaAs ............................................................................... 50 4.2.3. Effet photodiélectrique ..................................................................................... 51 5. Conclusion .................................................................................................................... 52 Références …………………………………………………………………………………………………….53
5
Chapitre 1
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INTERACTION ONDE ELECTROMAGNETIQUE
SEMICONDUCTEUR
Les
mécanismes
d’interaction
entre
une
onde
électromagnétique
et
un
matériau
semiconducteur diffèrent selon la gamme de la fréquence du rayonnement considéré. Nous
allons discuter ces différents mécanismes dans le cas de l’interaction d'une onde optique
et/ou microonde avec le semiconducteur. Comme nos circuits seront réalisés sur le substrat
d'arséniure de gallium (GaAs), des spécificités et des exemples liés à ce matériau seront
décrits dans ce chapitre.
Ce chapitre débute par un rappel sur les caractéristiques élémentaires des matériaux
semiconducteurs, à savoir leur composition cristalline et les différents mécanismes de
transport de charges.
L’interaction entre un signal microonde et le semiconducteur est ensuite présentée. Nous
nous intéresserons particulièrement à la propagation d'un signal microonde dans une ligne
de transmission en technologie microruban.
Nous poursuivrons par l’interaction de la lumière avec les matériaux semiconducteurs en
développant
tous
les
effets
engendrés.
Nous
définirons
la
notion
d'un
plasma
semiconducteur qui représente la base de la commande optique directe des dispositifs
microondes.
Nous terminerons par l’analyse de l’interaction d’une onde électromagnétique avec un
matériau
semiconducteur
éclairé,
c'est-à-dire
l'interaction
de
deux
ondes
électromagnétiques de fréquences différentes avec le semiconducteur.
6
Chapitre 1
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1. Le semiconducteur
Nous allons reprendre quelques notions de base de la physique des semiconducteurs nous
permettant de comprendre les interactions entre une onde électromagnétique et ces milieux.
1.1. Structure des bandes d’énergie
En cristallographie, la description la plus significative des surfaces d’énergie offertes aux
électrons s’effectue dans l’espace des vecteurs d’onde k. Cette description est souvent
simplifiée en considérant les variations de E en fonction de k selon les directions de plus
haute symétrie de cet espace. En se limitant à la première zone de Brillouin, décrite en
annexe A pour l'arséniure de galium, la structure de bandes dans les composés III-V
présente l’allure typique de la figure 1(a). Deux types de structures sont schématisés dans
lequel le niveau 0 eV représente le sommet de la bande de valence. Ce sommet, point Γ, est
situé au centre de la zone de Brillouin (k = 0) et constitué de la convergence de deux bandes.
L'autre structure décrit la bande de conduction pour laquelle plusieurs situations se
présentent suivant la position du minimum. Si ce minimum est situé au même point que Γ
alors il est unique et le cristal est dit univallée. Si l'emplacement de ce minimum est
différent du point k = 0 et compte tenu de la structure symétrique de la structure cubique
plusieurs minima sont présents. Ces minima sont situés aux points appelés X ou L et le
cristal est dit multivallée. Cette structure est représentée sur la figure 1(b) pour le cas du
silicium.
(a)
(b)
Fig. 1. Diagramme de bandes (a) de l'arséniure de gallium et (b) du silicium
1.1.1. Gaps direct et indirect
La largeur énergétique de la bande interdite, aussi appelée gap, représente la différence
entre le minimum absolu de la bande de conduction (niveau Ec) et le maximum absolu de la
bande de valence (niveau Ev).
7
Chapitre 1
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Les structures de bandes des semiconducteurs font apparaître deux types de gaps. Dans le
cas du GaAs, le minimum de la bande de conduction et le maximum de la bande de valence
sont situés pour une même valeur de k (k = 0); les semiconducteurs de ce type sont dits à
gap direct. Dans le cas du silicium, ces extrémums sont situés en deux valeurs de k
différentes et ce type de semiconducteur est dit à gap indirect. La nature du gap joue un
rôle
déterminant
dans
l'interaction
du
semiconducteur
avec
un
rayonnement
électromagnétique.
1.1.2. Les électrons et trous dans un cristal
Les niveaux de plus basses énergies correspondent à des électrons fortement liés aux
atomes du réseau cristallin et qui s'appellent niveaux du cœur. Par contre, les niveaux de
plus hautes énergies, correspondant aux couches externes, permettent un transfert
relativement facile des électrons dans le matériau. Ces couches constituent les bandes de
valence et conduction.
Dans la bande de valence, les électrons constituent des liaisons chimiques et dans la bande
de conduction ils circulent aisément à travers l'ensemble du réseau. Les électrons les plus
susceptibles de passer de la bande de valence vers la bande de conduction sont les électrons
de la bande supérieure. Ces électrons occupent la bande de conduction inférieure et
donnent naissance à des trous dans la bande de valence. De plus, parmi les états de ces
bandes, ceux qui jouent un rôle essentiel sont ceux du sommet de la bande de valence et du
minimum de la bande de conduction.
1.1.3. Notion de la masse effective
Le déplacement des électrons et trous dans le semiconducteur est différent de leur
déplacement dans le vide en raison des interactions avec les différents atomes du réseau
cristallin. Ces interactions sont différentes suivant les directions du déplacement à
l'intérieur du cristal (périodicité des atomes différente par exemple) et par conséquent le
comportement électrique sera différent.
1.1.3.1. Cas des électrons
Un électron dans un état k dans la bande de conduction est considéré comme une
particule dans un potentiel cristallin. Cette particule quasi-libre de masse m0 est
représentée par une quasi-particule libre de masse me appelée masse effective de l'électron.
L'expression de la masse effective est donnée par (1) qui est reliée à la dérivée seconde de la
courbe des bandes d'énergie E(k) dans l'espace des k (2). Cette masse effective varie donc en
fonction de la courbure des bandes d'énergie.
(1)
/
(2)
8
Chapitre 1
.
Pour un gap direct où le minimum de la bande de conduction est centré en k = 0. la masse
effective de l'électron au voisinage de ce point est constante. Lorsque l'électron s'éloigne de
Ec dans l'espace des énergies, sa masse effective varie.
Concernant le semiconducteur à gap indirect, la bande de conduction est multivallée et
anisotrope. Il s'en suit que la masse effective des électrons est différente suivant la direction
des axes principaux. Pour ce type de matériaux, la masse effective des électrons se
décompose en masse longitudinale ml et transverse mt [1].
Pour des raisons liées aux couplages interatomiques, la courbure de la bande de conduction
est directement liée au gap du semiconducteur [2]. Lorsque le gap augmente, la courbure de
la bande diminue et par suite la masse des électrons augmente. Cette variation pour les
semiconducteurs à gap direct est représentée sur la figure 2(a).
me/m0
0.2
CdS
ZnTe
0.15
CdSe
InP
GaAs
0.1
0.05
GaSb
InAs
0.5
Eg (eV)
1
1.5
(a)
2
2.5
3
3.5
(b)
Fig. 2. (a) Allure de la variation de la masse effective des électrons dans les semiconducteurs à
gap direct et (b) structure de la bande de valence au voisinage de k = 0
1.1.3.2. Cas des trous
La masse effective des trous dans la bande de valence est aussi définie par l'inverse de
la dérivée seconde de la courbe de dispersion. Par contre, la bande de valence des
semiconducteurs cubiques est composée de deux surfaces d'énergie dégénérées en k = 0. La
figure 2(b) représente les courbes de dispersion au voisinage de ce point. La bande
intérieure correspond à la bande des trous légers lh (light holes). La bande extérieure est
appelée bande de trous lourds hh (heavy holes). En raison de cette dégénérescence, il existe
au voisinage du sommet de la bande de valence deux types de trous dont les énergies en
fonction du vecteur d'onde sont différentes. Il en résulte que la masse des trous est
différente suivant leur emplacement dans ces bandes. Les trous dans la bande de valence se
comportent alors comme des particules libres de masses effectives mlh et mhh. Les masses
effectives des trous de quelques semiconducteurs est portées sur le tableau suivant.
9
Chapitre 1
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Tableau 1. Masse effective des trous de quelques semiconducteurs
Masse effective
semiconducteur
mhh /m0
mlh /m0
Si
0.53
0.16
GaAs
0.62
0.074
InP
0.85
0.089
CdS
0.5
0.7
1.2. Semiconducteur en équilibre
1.2.1. Concentration des porteurs
Nous venons de voir que dans le cas d'un cristal périodique infini, les niveaux d'énergie
possibles des électrons sont regroupés en bandes d'énergie. A T = 0 K, il n'y pas d'apport
d'énergie sous forme thermique permettant à un électron de quitter son état lié. La bande de
valence est par conséquent pleine et la bande de conduction est complètement vide, ce cas
est schématisé sur la figure 3(a). Si la distance entre la bande de valence et la bande de
conduction n'est pas trop grande, typiquement des énergies inférieures à 2.5 eV, par
excitation thermique certains électrons vont gagner une énergie cinétique et pourront
quitter la bande de valence pour passer vers la bande de conduction (fig. 3(b)). Ce départ
d'électrons laisse des trous dans la bande de valence qui participent avec les électrons au
mécanisme de conduction.
E
EC
E
Vide de porteurs
EV
EC
EF
f(E)
EV
Densité d'états d'énergie
Densité d'états d'énergie
(a)
(b)
Fig. 3. Diagramme d'énergie simplifié (a) T = 0 et (b) T ≠ 0
La distribution des électrons dans ces états énergétiques est régie par la statistique de
Fermi-Dirac à une température T donnée [1]. Cette dernière donne la probabilité pour un
électron d'occuper un niveau d'énergie E. Cette probabilité s'écrit
10
Chapitre 1
.
(3)
avec EF est un niveau particulier appelé niveau de Fermi.
1.2.1.1. Concentration des porteurs dans les bandes d'énergie
Le nombre d'électrons ou de trous d'énergie E dans le semiconducteur est donné par le
produit de la densité d'états par la fonction de distribution. Ainsi, pour la bande de
conduction la concentration en électrons est exprimée par (4) où la fonction d'occupation à
la température T est celle de Fermi. Concernant les trous dans la bande de valence, leur
concentration
est
donnée
par
l'équation
(5)
où
la
fonction
d'occupation
est
la
complémentaire de la fonction de Fermi.
(4)
1
(5)
avec Nc(E) et Nv(E) représentent les densités d'états énergétiques des électrons et trous,
respectivement. Les densités d'états énergétiques sont obtenues par des approximations
paraboliques au voisinage des extrema des bandes permises. Leurs expressions sont
données par (6) pour la bande de conduction et (7) pour la bande de valence.
/
(6)
/
(7)
avec
mc la masse effective liée à la forme de la bande de conduction. Pour le
semiconducteur univallée, mc est égale à la masse effective des électrons me;
mv la masse effective de densité d'états de la bande de valence. Elle est donnée en
fonction des masses effectives des trous lourds et légers par l'expression suivante
(8)
/
/
/
Dans un semiconducteur à gap indirect, seulement la masse effective des électrons dans la
bande de conduction qui est différente et l'expression de la densité des états est identique à
l'équation (6).
Dans un semiconducteur non dégénéré, le niveau de Fermi est situé dans la bande
interdite; ce niveau est séparé des extrema des bandes permises de plusieurs kT
(typiquement |Ei – EF|> 2kT), les fonctions de distribution des électrons et trous sont
11
Chapitre 1
.
approximées et se ramènent à des distributions de Boltzmann. Ces fonctions correspondent
à un système dilué et s'écrivent
(9)
exp
(10)
exp
Les densités de porteurs libres, après intégration sur les bandes d'énergie de valence et de
conduction, peuvent ainsi s'écrire
/
(11)
/
(12)
/
2
2
/
/
/
1.2.1.2. Concentration intrinsèque
Dans un semiconducteur parfait, pour T ≠ 0. la transition d'un électron de la bande de
valence vers la bande de conduction fait apparaître un trou dans la bande de valence. La
concentration des électrons est rigoureusement égale à la concentration des trous et leur
concentration commune est appelée concentration intrinsèque ni. Le produit des
expressions (11) et (12) est toujours constant à une température donnée et est égale à ni2. La
concentration intrinsèque s'exprime donc
/
(13)
/
Cette densité intrinsèque dépend très fortement de la température; c'est une
loi
exponentielle. Une variation importante de la température provoque un grand changement
de comportement électrique de ces matériaux.
1.2.2. Position du niveau de Fermi
Le niveau de Fermi est déterminé en écrivant n = p et est donné par
ln
(14)
Pour T ≠ 0. le rapport des masses effectives est de l'ordre de 1 dans les semiconducteurs à
gap indirect et de l'ordre de 10 dans les semiconducteurs à gap direct. Il en résulte que le
niveau de Fermi est très proche du milieu de la bande interdite.
1.2.3. Semiconducteur extrinsèque
On peut modifier considérablement les propriétés électriques d'un semiconducteur en le
dopant de manière contrôlée avec des atomes spécifiques. Ces atomes vont prendre la place
des atomes du réseau et vont ramener soit un apport d'électrons (atomes donneurs en
concentration ND) ou soit un apport de trous (atomes accepteurs en concentration NA). Le
niveau de Fermi des semiconducteurs extrinsèques (EF) n'est plus au milieu du gap du
12
Chapitre 1
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semiconducteur (EFi) mais à une distance eØi = EF - EFi dépendant de la densité et de la
nature des atomes ajoutés. Les densités de porteurs s'écrivent
(15)
exp
(16)
exp
Lors de la fabrication du semiconducteur, il existe toujours des impuretés incontrôlées qui
viennent déplacer le niveau de Fermi. Pour compenser ces impuretés résiduelles, on dope le
semiconducteur pour se rapprocher de la condition n = p = ni. Le semiconducteur est ainsi
plus proche de l'isolant que du conducteur, il est appelé alors semi-isolant. La position du
niveau de Fermi est réglée par la population de porteurs et se situe donc au voisinage du
milieu de la bande interdite.
1.2.4. Influence des niveaux d'impuretés – Pièges
Les semiconducteurs à grande bande interdite, tel que le GaAs, sont sensibles à la
présence des atomes d'impuretés ou de défauts (un atome manque en un nœud, en excès à
une place normalement vide, etc.) introduisant des niveaux d'énergie situés loin des limites
des bandes de valence et de conduction. Ces niveaux sont appelés niveaux profonds (deep
level) et peuvent revêtir deux aspect
piégeage ou émission de porteurs en régime hors équilibre;
compensation des niveaux de pièges à l'équilibre.
Les concentrations des porteurs libres sont modifiées ainsi que le niveau de Fermi. L'état
d'occupation des centres profonds des semiconducteurs à l'équilibre doit être déterminé.
Pour cela, il faut connaitre la position du niveau de Fermi en présence de ces centres. Une
manière illustrative donnée par le tracé du diagramme de Shockley qui traduit simplement
la neutralité électrique est présentée [3].
Considérant un semiconducteur de type n dans lequel la concentration de l'impureté de
dopage est ND et son niveau d'énergie est ED. Contrairement aux centres profonds, ce niveau
est situé près de la bande de conduction (Shallow level). La densité de pièges est NT de
niveau énergétique ET, ces pièges peuvent être soit de type accepteur ou donneur. Deux
types de pièges sont illustrés ci-dessous [4].
1.2.4.1. Cas d’un accepteur profond
Les états d'un accepteur sont de charge négative ou nulle en concentration NTA et de
niveau d’énergie ETA. L'équation de la neutralité électrique s'écrit
(17)
avec
,
, n et p les concentrations des accepteurs ionisés, donneurs ionisés, électrons et
trous, respectivement. Le diagramme de Shockley pour ce type de pièges est représenté sur
13
Chapitre 1
.
la figure 4(a) et (b) pour les cas où NTA < ND et NTA > ND. Dans le premier cas, le niveau de
Fermi n’est plus au milieu de la bande interdite mais se rapproche du bas de la bande de
conduction. Dans le second cas, le niveau de Fermi s'est déplacé vers le voisinage du niveau
accepteur profond. C'est le phénomène de compensation par un piège profond où la
concentration des électrons peut être approximée à n = ND – NTA.
1.2.4.2. Cas de deux impuretés de type opposé
L'une des impuretés est de type donneur de densité NTD et l'autre est de type accepteur
de densité NTA. Ce cas de figure est semblable à celui du semiconducteur GaAs dans lequel
le chrome est l'accepteur de niveau d'énergie EV + 0.8 eV et l'oxygène est le donneur situé en
EC – 0.75 eV. L'équation de neutralité est alors donnée par
(18)
Le diagramme de Shockley est représenté sur la figure 4(c) pour ND < NTD < NTA. Le matériau
se trouve ainsi fortement compensé. Le niveau de Fermi est bloqué au milieu de la bande
interdite et le matériau est donc semi-isolant.
Log(n+NTA-)
Log(p+ND+)
Log(n+NTA-)
Log(p+ND+)
Log(n+NTA-)
Log(p+NTD+)
NTA
ND
ND
NTA
NTD
ND
NTA
EF
EV
ETA EF ED EC
(a)
EV
EF ETA ED EC
EV
(b)
ETD ETA ED EC
(c)
Fig. 4. Diagrammes de Shockley en présence de niveaux d'impuretés profonds
Par ailleurs, pour éviter les problèmes de piégeage et d'instabilité liés à une forte
concentration en chrome, des méthodes de croissance de semiconducteur se développent
pour diminuer l'incorporation d'impuretés indésirables, comme l'oxygène, en forte
concentration. Les meilleurs substrats semi-isolants sont actuellement obtenus par tirage
Czochralski en encapsulation ou sous pression d'arsenic [5]. Le tableau 2 donne un résumé
de quelques types de niveaux d'impuretés connus dans le GaAs [6].
14
Chapitre 1
.
Tableau 2. Principales propriétés des niveaux d'impuretés dans le GaAs
Groupe III – Accepteur peu profond
Li
compensateur Ev + 0.05
Au
Ev + 0.09
Zn
dopant Ev + 0.031
Cd
dopant Ev + 0.035
Groupe IV – Amphotère
Si
en site du Ga donneur 0.0058
As accepteur 0.035
Ge
Ec - 0.006 ; Ev + 0.07
Groupe VI – Donneur
O
Ec - 0.75 et Ec - 0.4
S;T;E
Dopant Ec - 0.006 ; -0 ; -0.03
Accepteur profond
Cr
Ev + 0.79
Fe
Ev + 0.52
Mn
Ev + 0.16
Ni
Ev + 0.21
1.3. Semiconducteur hors équilibre
Le déplacement de charges quasi-libres dans le semiconducteur sous l'action d'une force
électrique induit un courant. La présence d'un gradient de concentration dans le
semiconducteur induit aussi un courant appelé courant de diffusion.
1.3.1. Courant de conduction
La densité de courant des porteurs est définie comme la quantité de charge qui traverse
une surface unitaire pendant l'unité de temps. La densité de courant pour chaque type de
porteurs est exprimée par
(19)
(20)
où vn et vp sont respectivement les vitesses des électrons et trous dans le semiconducteur.
1.3.1.1. Vitesse des porteurs
Le déplacement des porteurs de charge dans le semiconducteur est constamment
perturbé par des collisions avec les atomes ou les imperfections du réseau. En l'absence de
champ électrique et entre deux collisions, le mouvement des porteurs libres est rectiligne et
uniforme. Leur déplacement est par contre aléatoire dans toutes les directions de l'espace en
raison de l'agitation thermique. La vitesse du déplacement est appelée vitesse thermique du
porteur, elle est donnée par
15
Chapitre 1
.
/
(21)
avec m* la masse effective de conductivité qui conditionne les phénomènes de conduction au
même titre que la masse effective de densités d'états conditionne la population des porteurs
libres. Le temps et la distance parcourue entre deux collisions sont appelés respectivement,
temps de collision c et parcours moyen des porteurs l
(22)
Les collisions étant isotropes pour un semiconducteur à gap direct, toutes les directions du
vecteur vitesse thermique à l'issue d'un choc sont équiprobables. Il en résulte que la vitesse
moyenne du porteur est nulle. En appliquant un champ électrique, l'orientation de la vitesse
des porteurs est modifiée et prend une direction statistique préférentielle imposée par le
champ appliqué.
En présence d'un champ E, un porteur de charge q est soumis à une force F = qE. La vitesse
instantanée du porteur vi est donnée par l'équation de la dynamique
(23)
La vitesse augmente linéairement entre deux chocs et s'annule statistiquement à chaque
choc. La variation de la vitesse est donc périodique, de période c qui représente la valeur
moyenne du temps de collision (fig. 5(a)). La valeur moyenne de la vitesse est obtenue par
(24)
Cette vitesse est appelée vitesse moyenne de dérive (drift) ou d'entrainement et s'écrit aussi
pour chaque type de porteurs par (25) et (26). Un exemple de la vitesse des électrons dans le
silicium et le GaAs est montré sur la figure 5(b). Pour les forts champs électriques, la vitesse
moyenne des électrons dans le GaAs se sature et tend vers la vitesse thermique. Pour les
faibles champs électriques, la courbe réelle est linéaire et la pente définit la mobilité des
électrons.
(25)
(26)
(27)
où µ est la mobilité des porteurs et  = c/2 est le temps de relaxation. A partir de la mobilité
des porteurs qui est un scalaire dans un semiconducteur cubique, la masse effective de
conductivité peut être déduite.
16
Chapitre 1
.
Pour les électrons de la bande de conduction des semiconducteurs univallée, les bandes
d'énergie sont isotropes et par conséquent m* = me. Concernant les semiconducteurs
multivallée, les électrons de chaque vallée sont caractérisés par une masse effective
longitudinale ml et transverse mt.
De même pour les trous dans la bande de valence ayant une masse effective des trous
lourds mhh et des trous légers mlh. La nature scalaire de la mobilité permet de définir les
masses effectives de conductivité des électrons mec (28) et des trous mh (29).
(28)
(29)
vi
/
/
/
/
vn (cm/s)
dans le vide
107
v
GaAs
vth
Si
106
105
c
2 c
t
(a)
102
104
106 E (kV/cm)
(b)
Fig. 5. Vitesse instantanée des porteurs en présence d'un champ électrique
et (b) Variation de la vitesse des électrons dans le Si et le GaAs
Le courant de conduction pour chaque type de porteurs peut s'écrire ainsi
(30)
(31)
Le courant résultant du déplacement des électrons et trous sous l'action du champ
électrique est appelé courant de dérive et est donné en fonction de la conductivité  du
matériau par
(32)
1.3.1.2. Influence de la température sur la mobilité
Dans la plupart des semiconducteurs la masse effective des électrons est beaucoup
plus faible que celle des trous. Aussi, en raison de la nature anti-liante des fonctions
d'ondes des électrons et la nature liante de celles des trous, le temps de relaxation des
électrons est beaucoup plus important que celui des trous. Il en résulte que la mobilité des
17
Chapitre 1
.
électrons est toujours plus importante que celle des trous. La mobilité dépend fortement de
la température et quand cette dernière diminue, alors
les vibrations thermiques des atomes autour de leur position d'équilibre diminuent et
occupent ainsi une section efficace de collision plus faible;
le temps de collision qui est conditionné par les chocs sur les atomes du cristal et
sur les impuretés ionisées augmente.
et par conséquent, la mobilité augmente énormément.
1.3.2. Courant de diffusion
La diffusion de particules résulte du caractère localement inhomogène de la répartition
des charges électriques dans le matériau qui traduit une rupture de l'équilibre
thermodynamique. Le retour à l'équilibre tend à homogénéiser les concentrations, c'est-àdire leur distribution spatiale, par transport de particules. Cette tendance est donnée par la
loi de Fick [7] qui s'écrit dans un repère monodimensionnel correspondant à la direction de
l'étalement par
(33)
avec F le flux des porteurs, C leur concentration et Di un coefficient de proportionnalité
appelé constante de diffusion. Dans cette loi, le flux est proportionnel au gradient de
concentration. Le déplacement des porteurs est équivalent à un courant et son intensité est
obtenu par le produit du flux des porteurs par leur charge élémentaire q ; il est donc
exprimé par
(34)
Pour les deux types de porteurs présents dans un semiconducteur hors équilibre, le courant
de diffusion est la somme de deux courants proportionnels à chaque type de porteurs. Le
courant total dans un tel système est donné par (37).
(35)
(36)
(37)
où Dn et Dp sont respectivement les coefficients de diffusion des électrons et trous. Ces
coefficients sont reliés aux mobilités par la relation d'Einstein [1]
(38)
avec k la constante de Boltzmann, T la température en Kelvin et VT le potentiel thermique.
La figure 6 met en évidence le déplacement des électrons (a) et les trous (b) par mécanisme
18
Chapitre 1
.
de diffusion, la zone de couleur forte représente les densités de porteurs. Le gradient de
concentrations étant négatif, les électrons se déplacent vers les z positifs et la densité de
courant est négative. Concernant les trous, le gradient de concentrations étant négatif, ils se
déplacent vers les z positifs et la densité de courant est positive.
n
Jn
Jp
p
mouvement
mouvement
des électrons
des trous
dn/dz <0
dn
dz
dp/dz <0
dp
dz
z
(a)
z
(b)
Fig. 6. Mouvement des porteurs par le mécanisme de diffusion (a) électrons et (b) trous
1.3.3. Courant de déplacement
Le courant de déplacement existe en régime alternatif et est donné par
(39)
où
est le vecteur déplacement et  = r0 est la constante diélectrique du
semiconducteur. Si le champ électrique est sinusoïdal, le courant de déplacement est donné
par (40). Ce courant ne présente une amplitude appréciable que pour les fréquences élevées.
En effet, pour les semiconducteurs, la constante diélectrique relative r est de l'ordre de 10 à
15. 0 est égale à 8.85 10-12 Fm-1 et le produit ω avoisine l'unité pour des fréquences de
l'ordre de quelques GHz.
(40)
1.4. Paramètres intrinsèques du GaAs
Energie du gap
1.424 eV
Ec(Г) – Ec(L) ; Ec(Г) – Ec(X)
0.315 eV ; 0.487 eV
Concentration intrinsèque
2.1 106 cm-3
Résistivité intrinsèque
3.3 108 Ω.cm
Densité d'états de la bande de conduction Nc
4.7 1017 cm-3
19
Chapitre 1
.
Densité d'états de la bande de valence Nv
1.17 1017 cm-3
mГ /m0 ; mL /m0 ; mX /m0
0.063 ; 0.22 ; 0.58
mlh /m0 ; mhh /m0 ; mso /m0
0.082 ; 0.45 ; 0.15
µn ; µp
8500 ; 400 cm2V-1s-1
Dn ; Dp
200 ; 10 cm2/s
2. Interaction onde radiofréquence – semiconducteur
En général, lorsqu’une onde électromagnétique pénètre dans un matériau, une partie de son
énergie R est réfléchie en surface, une partie T est transmise à travers le matériau et une
partie A est absorbée sous forme de chaleur
(41)
Dans
cette
partie,
l'interaction
entre
une
onde
radiofréquence
et
le
matériau
semiconducteur est plus ciblée sur le phénomène de propagation dans une ligne de
transmission incluant les pertes du milieu. On peut s'attendre à une variation des
caractéristiques du matériau en fonction de la fréquence du signal microonde.
2.1. Equations de Maxwell
Les semiconducteurs sont des milieux diélectriques à pertes dues à leur conductivité finie.
Ces pertes sont parfois nommées pertes diélectriques. En effet, les pertes diélectriques se
manifestent quand la réponse électrique n'est plus synchrone avec le champ excitateur. La
permittivité relative du diélectrique est alors complexe
(42)
où 1 et 2 sont donnés par la relation de Kramers-Kronig [8]. Les équations de Maxwell [9]
d'un milieu semiconducteur en régime sinusoïdal sont données par
(43)
(44)
(45)
(46)
0
Intéressons-nous à l'expression (44) de Maxwell-Ampère, le second terme peut se mettre
sous la forme
. La constante diélectrique ε se rapporte aux interactions
dipolaires qui mettent en jeu des électrons liés à la matière. On définit alors une constante
diélectrique équivalente (complexe) qui incorpore les effets de pertes par conduction liées
aux charges libres associées au terme de conductivité σ
20
Chapitre 1
.
̃
(47)
Cette constante diélectrique peut être écrite sous la forme suivante
̃
(48)
avec
tangente de pertes représentant le rapport entre le courant de conduction et
le courant de déplacement. Pour un bon diélectrique tgδ << 1. c'est-à-dire que la
conductivité du matériau est très faible. Les pertes diélectriques et les pertes par conduction
sont souvent référenciées par le même terme tgδ et lorsque ces pertes cohabitent, on peut
définir une conductivité effective qui modélise l'ensemble des pertes et qui s'exprime par
(49)
2.2. Ligne de transmission microruban
Une ligne de transmission microruban (fig. 7) est constituée d'un ruban métallique de
largeur W déposé sur un substrat diélectrique de permittivité relative r et d'épaisseur H
entièrement métallisé sur son autre face. Le milieu de propagation n'est pas homogène
puisqu'une partie du champ se propage dans l'air et l'autre partie dans le diélectrique.
Généralement, la ligne est supposée placée dans un milieu diélectrique homogène de
permittivité effective e et la propagation se fait uniquement dans ce milieu. Cette
permittivité effective est calculée en fonction de r, H et W [10]. La ligne microruban est
caractérisée par une impédance caractéristique Zc (ou Z0) exprimée aussi en fonction des
paramètres précédents.
H
W
Plan de masse
Substrat r , 0
Fig. 7. Ligne de transmission en technologie microruban
La ligne microruban est une ligne à pertes : pertes par conduction, diélectriques et par
rayonnement.
les pertes par conduction sont dues à la conductivité finie du métal et sont plus
importantes lorsque l'épaisseur de la métallisation est faible et que la fréquence
augmente;
21
Chapitre 1
.
les pertes diélectriques et par conduction dans le substrat ont été examinées dans la
section précédente;
les pertes par rayonnement sont dues à l'apparition de différents modes de
propagation liés à l'ouverture de la structure.
Les expressions de ces pertes [10] sont résumées en annexe B.
3. Interaction onde lumineuse – semiconducteur
Comme dans le cas d'une onde radiofréquence, une partie de l'onde lumineuse incidente sur
un semiconducteur est réfléchie et une autre partie est absorbée. L'onde transmise est nulle
si on considère que le semiconducteur est épais. Dans cette partie nous exposons les
différents phénomènes physiques mis en jeu lors de l'éclairement du semiconducteur.
3.1. Effets de l’absorption de photons par un matériau semiconducteur
L’absorption de la lumière par un semiconducteur est un processus quantique où des
électrons sont amenés à des niveaux d'énergie plus élevés. Cette augmentation d'électrons
dans la bande de conduction correspond à un accroissement de la densité de trous dans la
bande de valence, on parle dans ce cas de la création de paires électron-trou qui constitue
un plasma semiconducteur.
En présence d’un champ électrique E, les porteurs de charges excédentaires vont participer
au mécanisme de conduction. Cependant, il existe une compétition entre l'augmentation de
la conductivité et l'augmentation de la résistivité. L'augmentation de la résistivité est due à
la diffusion des porteurs dans les régions neutres ou vers les états d'impuretés. De plus, les
électrons qui se trouvent dans la bande de conduction se recombinent avec les trous de la
bande de valence par différents processus.
3.1.1. Condition et coefficient d’absorption
Un photon de fréquence ν peut provoquer des transitions d'électrons dans un matériau
semiconducteur entre la bande de valence et la bande de conduction. On a ainsi
photogénération d’un électron dans la bande de conduction et d’un trou dans la bande de
valence. L'énergie du photon doit être supérieure ou égale à la différence des énergies entre
ces deux bandes (50). En terme de longueur d'onde la condition d’absorption est donnée par
l’expression (51).
(50)
(51)
.
22
Chapitre 1
.
avec h la constante de Planck et Eg l’énergie du gap du semiconducteur en eV. Cependant, il
est possible qu'un photon d'énergie inférieure à Eg puisse provoquer une transition
d'électrons.
L'aptitude d'un matériau semiconducteur à absorber la lumière est définie par le coefficient
d'absorption (λ . Dans le cas où (λ
0. le matériau est transparent au rayonnement et
dans le cas contraire, le rayonnement est absorbé par le matériau. Ce dernier est atténué,
dans la direction de sa propagation, d'une manière exponentiellement et sa distance de
pénétration est égale à 1/(λ . Le coefficient d'absorption, pour un semiconducteur
d'épaisseur L, est défini à partir du rapport entre l'intensité transmise It et l'intensité
incidente Ii
(52)
où l'intensité réfléchie a été négligée. Pour L faible, il vient
(53)
avec Iabs l'intensité absorbée qui est reliée au nombre de photons qui disparaissent par unité
de temps. Cette intensité est calculée avec la théorie des perturbations dépendant du temps
qui est définie comme la somme des probabilités des transitions entre les états de la bande
de valence et les états de la bande de conduction. Dans le cas du GaAs, le coefficient
d'absorption pour une transition directe s'exprime pour les différents types de trous
⁄
Ω
(54)
(55)
Ω
(56)
Ω
⁄
⁄
Ω
Ω
Ω
Δ
avec
1
2 2
Ω = 2πν, la pulsation optique
p est la quantité de mouvement de l'électron qui est donnée par
23
selon [11]
ac2 et les termes entre crochets valent 1 pour k = 0
∆so = 0.34 eV, qui représente la différence entre le maximum d'énergie de la bande de
split-off des trous et le niveau 0
La différence entre le nombre de porteurs injectés depuis les bandes hh, lh et so réside
uniquement dans la différence des densités d'états via les mobilités des trous. Ainsi, il y a
23
Chapitre 1
.
presque deux fois plus de porteurs créés depuis la bande hh que depuis la bande lh. Dans
ces équations, l'interaction entre les électrons et trous n'est pas prise en compte. Ces paires
créées sont liées par l'interaction de Coulomb et forme ce qu'on appelle un exciton. Cette
interaction a été prise en compte dans le calcul du coefficient d'absorption par [12]
montrant que les expressions précédentes doivent être multipliées par le facteur de
Sommerfeld
(57)
Ω
Ω
où R* est nommé le Rydberg de l'exciton. R* = 4.2 meV pour les trous lourds et légers et il
vaut 3.6 meV pour les trous split-off [13]. Le coefficient d'absorption total du GaAs est
représenté en fonction de la longueur d'onde sur la figure 8(a). La courbe référenciée par 1
est la somme des coefficients d'absorption exprimés par (54), (55) et (56) et la courbe
référenciée par 2 inclut le facteur de Sommerfeld. On remarque un écart, non négligeable,
entre ces deux courbes ce qui montre l'importance de prendre en compte les effets
excitoniques dans l'expression de l'absorption. Il existe aussi d'autres modèles plus
complexes décrivant le coefficient d’absorption qui, généralement, varie peu d’un
semiconducteur à l’autre près de leur seuil d’absorption et qui peut être simplifié à
4
(58)
(cm-1)
L'aspect de cette expression pour le GaAs est représenté par la courbe 3 de la figure 8(a).
Cette courbe montre que l'approximation du coefficient d'absorption n'est valide que pour
les énergies voisines de l'énergie du gap.
La figure 8(b) représente le coefficient d'absorption de quelques semiconducteurs en fonction
de la longueur d'onde [2].
(a)
(b)
Fig. 8. Coefficient d'absorption du GaAs et (b) Spectre d'absorption de différents matériaux
semiconducteurs
24
Chapitrre 1
.
3.1.22. Génératioon de porteu
urs
Dan
ns les condiitions d'abs
sorption du semicondu
ucteur, le nombre
n
de p
paires électrron-trou
créées par
p unité de
e volume et de temps est
e donné par l'express
sion suivantte
avec
,
,
(59)
,
le flux
x de photon
ns incident et η l'effica
acité quanttique qui e
est exprimé
ée par le
nombre
e de porteurrs électron-ttrou généré
és par photo
on incident
(60)
où Ip es
st le couran
nt photogén
néré par l'ab
bsorption de
d la puissa
ance optique Popt à la longueur
d'onde λ correspon
ndant à l'éne
ergie hν. Su
ur la figure 9 est représ
sentée l’effic
cacité quan
ntique en
fonction
n de la long
gueur d'ond
de de plusieurs matérriaux semic
conducteurs
s. Dans le domaine
d
du visib
ble et du prroche infrarouge, le siilicium est le candidatt le mieux placé pour avoir le
meilleurr rendemen
nt dans cettte bande de
e longueur d'onde. L’a
arséniure de
e galium ad
dmet un
rendem
ment quantiq
que inférieu
ur à celui du
u silicium dans
d
le visiible mais pa
ar contre il absorbe
dans le proche infrrarouge.
Fig. 9. Effi
ficacité quanttique de diffé
érents semico
onducteurs
Lorsqu'u
un électron
n absorbe l'énergie du
u photon et
e passe diirectement dans la bande de
conducttion, la gén
nération estt dite directte et est sc
chématisée sur la figurre 10(a). Le
e flux de
photons
s pénétrantt dans le se
emiconductteur (fig. 10
0(b)) est don
nné en fonc
ction du co
oefficient
parr l'expressio
on
(61)
,
1
avec R le facteur de
d réflexion
n au niveau
u de l'interfface air-sem
miconducteu
ur correspo
ondant à
opagation de
d l'onde dans
d
deux milieux diffférents,
une pro
le flux de
e photons incident
d'énergiie hν et qui s'écrit en fonction
fo
de la puissanc
ce optique Popt et de la
a surface éc
clairée S
par
25
Chapitre 1
.
(62)
Finalement, le taux de génération de paires électron-trou dans un matériau semiconducteur
irradié par des photons de longueur d'onde λ est donné par
,
(63)
avec
1
c la célérité de la lumière.
Ø
0
Ø0
électron lié
électron libre
trou
semiconducteur
x0
x
Ø0 e-α x
(a)
(b)
Fig. 10. Génération d'une paire électron-trou dans un semiconducteur et (b) Profil du flux de
photons pénétrant un semiconducteur
L'application d'un champ électrique E permet de mettre en mouvement les paires électrontrou générées induisant un courant propre à chaque type de charges, Jcn pour les électrons
(30) et Jcp pour les trous (31). Le courant de conduction total est donné par l'équation
suivante
(64)
avec
(65)
∆
(66)
∆
(67)
∆
Sans excitation extérieure, et par effet thermique, des porteurs de charge libres sont aussi
créés. Ce type de génération est caractérisé par un paramètre gth appelé taux de génération
thermique. La génération de porteurs libres peut se faire par l'intermédiaire d'un centre
d'impuretés. Ce type de génération sera analysé lors de l'étude de la recombinaison
indirecte.
26
Chapitre 1
.
3.1.3. Recombinaison directe des porteurs
Lorsqu'un matériau semiconducteur est éclairé, des paires électron-trou sont générées.
Au fur et à mesure que le système s'éloigne de l'équilibre, le mécanisme de recombinaison
prend de l'importance pour ramener le système à l’équilibre thermodynamique. Lorsque la
perturbation cesse, seulement les mécanismes de recombinaison des porteurs demeurent le
temps que l'équilibre soit à nouveau atteint. On définit un taux de recombinaison r’ comme
le nombre de paires se recombinant par seconde et par unité de volume du matériau, il est
donné par
(68)
où r’n et r’p représentent respectivement les taux de recombinaison des électrons et trous. Le
taux de recombinaison dépend exclusivement du matériau et est proportionnel d'une part
au nombre d'électrons présents, et d'autre part au nombre de trous. Dans un
semiconducteur photo-excité le terme r’ a deux contributions, l'une est relative au
mécanisme de création sous l'effet de l’excitation optique et l'autre à la génération
thermique. Pour déterminer le taux de recombinaison propre à l’excitation optique, un
nouveau paramètre ropt est défini par
(69)
Lors de la recombinaison d'un électron avec un trou, l'énergie de l'électron est restituée
selon trois processus
l'énergie est dissipée par émission de photon, la recombinaison est dite radiative;
l'énergie est transférée à un trou qui se retrouve sur un niveau inférieur de la bande
de valence, c'est une recombinaison de type Auger. Il se peut aussi qu'un électron de
la bande de conduction gagne cette énergie et se retrouve sur un niveau supérieur de
la bande de conduction;
l'énergie est dissipée sous forme de chaleur, c'est une recombinaison non radiative.
Des modes de vibration réticulaire peuvent être créés par des interactions électronphonon.
Les mécanismes de recombinaison directe sont prépondérants dans les semiconducteurs à
gap direct. Les taux de recombinaison r’n et r’p sont égaux, étant donné qu'un électron se
recombine avec un trou et lors de cette transition un photon est émis. Le taux de
recombinaison direct est alors exprimé par
(70)
avec A un coefficient multiplicatif. Ainsi, à l'équilibre thermodynamique, n = n0. p = p0. pas
d'éclairement ropt = 0 et à partir de (69) on a
(71)
27
Chapitre 1
.
Le taux de recombinaison lié à l'excitation optique peut être exprimé en fonction des
densités de porteurs excédentaires et intrinsèques par
(72)
Hors équilibre, en remplaçant n et p par leurs expressions respectives (65) et (66), le taux de
recombinaison est donné par
∆
(73)
∆
avec
(74)
∆
∆
où  est appelé durée de vie des porteurs dans le semiconducteur perturbé. Ce paramètre
est inversement proportionnel à la densité des électrons ∆n ou des trous ∆p en raison de la
neutralité électrique ∆n = ∆p. Pour un faible éclairement où ∆n < n0 et ∆p < p0 la duré de vie
de porteurs excédentaires est inversement proportionnelle à la densité intrinsèque ni.
Les valeurs du coefficient A de quelques semiconducteurs [14] sont données dans le tableau
suivant
Tableau 3. Valeurs du coefficient A de quelques semiconducteurs
semiconducteur
GaAs
AlAs
InAs
InP
GaP
A (cm3/s)
10-10
7.5 10-11
2.1 10-11
6 10-11
3 10-15
3.1.4. Génération / recombinaison indirecte
Lorsqu'il y a des défauts dans le réseau cristallin ou la présence d'impuretés dans le
matériau, le processus de génération et recombinaison des porteurs peut être indirect. Ce
dernier fait intervenir des niveaux de pièges d'énergie Et situés entre la bande de conduction
et de valence. Durant cette transition un phonon est libéré. La théorie de ce processus a été
décrite par Shockley-Read [15] et Hall [16].
Ainsi, ce mécanisme est souvent appelé
recombinaison Shockley-Read-Hall (SRH) qui est défini par quatre processus
capture d'électron : un électron de la bande de conduction est capté par un centre
vide de l'impureté qui devient alors chargé;
capture de trou : un électron de l'impureté chargé se recombine avec un trou de la
bande de valence. Le centre devient inoccupé;
émission de trou : un électron de la bande de valence est piégé par le défaut laissant
un trou dans la bande de valence;
émission d'électron : un électron du piège occupé transite vers la bande de
conduction laissant le niveau inoccupé.
28
Chapitre 1
.
Les deux premiers processus (fig. 11(a)) correspondent à la recombinaison d'un électron
avec un trou par l'intermédiaire du centre et les deux derniers processus correspondent à la
génération d'une paire électron-trou par l'intermédiaire du centre. Dans cette transition, un
processus peut l'emporter sur l'autre, influençant ainsi le comportement du matériau vis-àvis de l'éclairement.
Les pièges (fig. 11(b)) se caractérisent par le fait qu'un électron libre capturé par un piège
inoccupé sera thermiquement réexcité dans la bande de conduction avant d'avoir capturé
un trou libre, l'électron a simplement été piégé momentanément. De même, un trou libre
capturé par un piège occupé par un électron sera thermiquement réexcité dans la bande de
valence avant la capture d'un électron.
EC
Et
EV
(a)
(b)
Fig. 11. (a) Génération/recombinaison par l'intermédiaire d'un centre recombinant
(b) centre de pièges
Les centres de génération/recombinaison sont caractérisés par une densité Nt avec une
probabilité d'occupation du niveau ft (75). La densité des centres occupés est donnée par Ntft
et celle des centres vides par Nt(1-ft). Soient Cn,p et Emn,p les coefficients de capture et
d'émission des électrons-trous par ces centres, respectivement. Cn est la probabilité par
unité de temps qu'un électron de la bande de conduction soit capturé dans le cas où le piège
est vide. Cp est la probabilité par unité de temps qu'un trou soit capturé dans le cas où le
piège comporte un électron. Le coefficient de capture est donné par (76).
(75)
(i = n, p)
(76)
avec rn la section efficace de capture d'un électron libre par un centre vide, rp la section
efficace de capture d'un trou libre par un centre occupé et vth la vitesse thermique des
porteurs. Les taux de recombinaison des électrons et trous sont donnés respectivement par
les expressions suivantes
(77)
(78)
1
1
29
Chapitre 1
.
où le terme rn représente la différence entre le nombre d'électrons capturés par les pièges
vides et le nombre d'électrons réémis dans la bande de conduction. Le terme rp représente la
différence entre le nombre de trous capturés (émission d'électrons vers la bande de valence)
et le nombre d'électron susceptible d'être émis dans la bande de conduction. A l'équilibre
thermodynamique, rn = rp = 0 et par suite
(79)
exp
(80)
exp
On définit, pour simplifier les calculs, les deux coefficients suivants
(81)
exp
(82)
exp
Les taux de recombinaison des électrons et trous s'écrivent respectivement en fonction des
coefficients de capture
1
(83)
(84)
p
1
p
Etant donné qu'un électron se recombine avec un trou de sorte que rn = rp = rSRH, la
probabilité d'occupation du centre de recombinaison s'écrit
(85)
Le taux de recombinaison indirect rSRH s'exprime finalement par
(86)
avec
(87)
(88)
avec n0 et p0 représentent la durée de vie des électrons et trous minoritaires,
respectivement. Ces durées de vie ne dépendent pas de l'excitation optique mais sont en
fonction de la section efficace de capture propre à chaque type de porteurs et de la densité
des centres recombinants. Dans l'équation (86), le produit n1p1 est égal à ni2 (ni est la
30
Chapitre 1
.
concentration intrinsèque des porteurs) et ce paramètre est indépendant du niveau de
pièges Et. On peut analyser trois cas
Et < EF, alors n1 > ni > p1;
Et > EF, alors n1 < ni < p1;
Et ≈ EF, alors n1 = p1 = ni.
Pour ce dernier cas, lorsque le niveau d'énergie des centres Et se situe près du milieu du gap
du semiconducteur le taux de recombinaison est à son maximum. En restant dans le cas le
plus général pour lequel le niveau Et est un centre de génération/recombinaison, le
coefficient de capture des électrons et celui des trous sont égaux Cn = Cp = C. L'expression
du taux de recombinaison, en posant
, se simplifie en
(89)
Le taux de recombinaison peut être positif ou négatif suivant le terme pn – ni2. Dans le cas
où il est négatif, les densités de porteurs après l'arrêt de l'excitation sont inférieures aux
densités d'équilibre. Ce taux de recombinaison correspond à une génération thermique des
porteurs. Dans le cas où il s'agit d'un centre de piège, les coefficients de capture sont par
conséquent très différents. Pour un centre qui joue le rôle de piège à électrons, alors Cn >>
Cp et l'expression (85) de la probabilité d'occupation des centres devient
(90)
Les densités des électrons et trous piégés sont données respectivement par
(91)
(92)
L'état de charge dépend du rapport n1/n et donc de la position du niveau de Fermi par
rapport au niveau du centre. Pour un piège à trous, l'inverse se produit et la réciprocité et
facilement établie.
Les densités de pièges, leur niveau d'énergie et les sections efficaces des électrons et trous
dans le silicium, le germanium et l'arséniure de gallium sont regroupées dans le tableau cidessous [17]
31
Chapitre 1
.
Tableau 4. Valeurs des paramètres du modèle de Shockley-Read du taux de recombinaison
semiconducteur
Nt (cm-3)
Et (eV)
r,n (m2)
r,p (m2)
Si, Ge
1013
0
10-15
10-15
III-V (GaAs)
1016
0.4
10-14
10-13
Lorsqu'il y a un fort dopage dans le semiconducteur, des centres de recombinaison
supplémentaires viennent s'ajouter. On trouve dans la littérature des expressions
empiriques liant la durée de vie des porteurs à la densité de dopage, comme par exemple
[18]
(93)
(94)
Quelques valeurs numériques des paramètres de ces expressions sont données dans le
tableau 5 pour le silicium.
Tableau 5. Coefficients des équations (93) et (94)
n0 (s)
Nnref (cm-3)
p0 (s)
Npref (cm-3)
référence
3.94 10-4
7.1 1015
3.94 10-5
7.1 1015
[19]
1.0 10-5
3.0 1017
10-5
3.0 1017
[20]
La durée de vie des porteurs excédentaires est définie par le rapport entre la densité des
porteurs excédentaires et le coefficient de recombinaison et s'exprime par
∆
(95)
A partir de l'expression du taux de recombinaison SRH donnée par (86) et en supposant que
∆n = ∆p, la durée de vie des porteurs pour un faible éclairement (∆n < n0 et ∆p < p0) s'écrit
(96)
τ
Dans le cas d'un fort éclairement, l'expression de la durée de vie des porteurs excédentaires
devient
∆
(97)
∆
où 0 représente la durée de vie des porteurs excédentaires pour un faible éclairement
donnée par (96). L'expression (97) peut se mettre sous la forme
32
Chapitre 1
(98)
.
∆
∆
La durée de vie des porteurs excédentaires est en fonction de leur densité, elle croit avec la
densité de porteurs si a > c et décroit si a < c.
3.1.5. Recombinaison en surface
Les défauts des cristaux sont plus nombreux en surface qu'en volume. La rupture de la
périodicité du réseau modifie les états électroniques et laisse des atomes avec une liaison
pendante. L'absorption ou la fixation des impuretés à la surface comme l'atome d'oxygène
entraine son oxydation (appelée couche d'oxyde natif). Ces anomalies en surface induisent
des états électroniques dont les niveaux d'énergie se situent souvent dans le gap du
semiconducteur. Ces défauts peuvent constituer des centres de recombinaison surfaciques.
Le taux de recombinaison est décrit de la même façon que celui de la recombinaison
indirecte [1] et est donné par
(99)
avec Nrs la densité des centres de recombinaison par unité de surface, ns et ps représentent
respectivement les concentrations des électrons et des trous en surface.
3.1.6. Génération / recombinaison Auger
Comme dans le cas de la recombinaison indirecte, la recombinaison Auger est
accompagnée de la génération du même type. Ces mécanismes se résument à
capture d'électron : un électron de la bande de conduction se déplace vers la bande
de valence qui se recombine avec un trou, et transmet l'excès d'énergie à un autre
électron de la bande de conduction qui se retrouve sur un niveau supérieur;
capture de trou : un électron de la bande de conduction se déplace vers la bande de
valence et se recombine avec un trou, et transmet l'excès d'énergie à un trou qui se
retrouve à un niveau inférieur;
émission d'électron : un électron de la bande de valence se déplace dans la bande de
conduction en absorbant l'énergie d'un électron de grande énergie de cette bande, un
trou apparait dans la bande de valence;
émission de trou : un électron de la bande de valence se déplace vers la bande de
conduction en absorbant l'énergie d'un trou de grande énergie dans la bande de
valence, un trou est laissé dans la bande.
Dans ce mécanisme, seulement la génération/recombinaison directe de bande à bande est
évoquée. Des investigations [21] ont montrés que la génération/recombinaison Auger
assistée par un centre est plus probable. Un traitement plus complet entre l'interaction des
33
Chapitre 1
.
recombinaisons SRH et Auger a été effectué par Fossum [22]. En considérant le processus
direct de bande à bande, le taux de recombinaison Auger est calculé d'une façon identique à
celle de la recombinaison SRH et est donné par l'expression suivante [18]
(100)
où
et
sont les coefficients Auger de capture des électrons et trous, respectivement.
Les valeurs de ces coefficients sont données pour le silicium [23], le germanium et les
composés III-V dans le tableau 6.
Tableau 6. Valeurs des coefficients Auger
semiconducteur
(cm6/s)
(cm6/s)
Si, Ge
2.8 10-31
9.9 10-32
III-V (GaAs)
5 10-30
3 10-30
3.1.7. Génération par impact ionisant
Le processus de génération par impact ionisant est à l'échelle microscopique similaire à
la génération de type Auger, c'est-à-dire aux émissions des électrons et trous. La différence
entre ces deux processus est l'origine de la génération.
La génération par impact ionisant est due à un champ électrique et donc au déplacement
des porteurs [2]. Le taux de génération par impact ionisant s'écrit
(101)
|
|
(102)
où αn et αp sont les coefficients d'ionisation. Un électron génère en moyenne sur une distance
1/αn une paire électron-trou et de même pour un trou sur une distance 1/αp. Les
coefficients αn et αp, reliées par une loi exponentielle au champ électrique, s'écrivent
(103)
exp
(104)
exp
Les exposants βn et βp sont compris dans l'intervalle [1. 2]. Les valeurs numériques des
paramètres des équations (103) et (104) pour le GaAs sont résumées dans le tableau cidessous.
34
Chapitre 1
.
Tableau 7. Constantes pour l'ionisation par impact d'électrons et de trous
(cm-1)
(V.cm-1)
βn
(cm-1)
(V.cm-1)
βp
référence
2.99 105
6.84 105
1.6
2.21 105
6.57 105
1.75
[24]
3.5 105
6.85 105
2
3.5 105
6.85 105
2
[25]
1.34 106
2.03 106
2
1.34 106
2.03 106
2
[14]
D'autres expressions des coefficients d'ionisation numériques [26], [27] ou empiriques [28]
sont proposées dans la littérature.
3.1.8. Dynamique des porteurs dans un semiconducteur éclairé
Dans un semiconducteur éclairé en surface, la densité de porteurs augmente et elle est
contrebalancée par les différents mécanismes de recombinaison. Les différentes équations
régissant le mouvement de ces porteurs sont présentées dans ce qui suit.
3.1.8.1. Equations de continuité
Les équations de continuité régissent les processus d'équilibre dynamique des porteurs
dans le semiconducteur. Considérons un barreau semiconducteur (fig. 12(a)) d'épaisseur dz
éclairé par des photons et parcouru par un flux de porteurs F(z). Dans cet élément de
volume, des paires électron-trou sont générées avec un taux g et se recombinent avec un
taux r. L'évolution de la concentration de porteurs C par unité de temps dans cet élément de
volume, résultant de tous ces mécanismes, est décrite par l'équation de continuité
(105)
Le flux de courant des électrons est égal à -Jn/e et celui des trous à Jp/e. Les équations de
continuité décrivant l'évolution de la concentration pour chaque type de porteurs s'écrivent
(106)
(107)
Ces équations différentielles permettent de déterminer en tout point et en fonction du temps
la concentration des porteurs dans le matériau semiconducteur. La résolution de ces
équations couplées est complexe dont il faut simplifier en connaissant d'une part la nature
et les caractéristiques du matériau semiconducteur et d'autre part la forme de l'injection
optique.
35
Chapitre 1
.
hν
0
F(z)
y
n(x)
x
dz
x
n0+∆n0
Ln
F(z+dz)
z
n0
(a)
(b)
Fig. 12. Variation de la concentration des porteurs dans un élément de volume d'un
semiconducteur et (b) profil de la diffusion des électrons à l'intérieur du semiconducteur
3.1.8.2. Diffusion des porteurs
Lorsqu'un semiconducteur est éclairé en surface (fig. 12(a)), un excès de paires
électron-trou est créé sur une profondeur propre au matériau. Ces porteurs diffusent à
l'intérieur du semiconducteur et créent un courant exprimé par (34). En considérant le cas
des électrons, l'évolution de leur densité est donnée par l'expression (106). Sans champ
électrique externe, le courant Jn est celui de diffusion exprimé par (35) et en considérant la
recombinaison directe des électrons, nous obtenons alors
∆
(108)
Les porteurs diffusent dans le volume du semiconducteur où le rayonnement est absent, et
donc gn = 0. Si l'éclairement est permanant alors
∆
(109)
En posant
0
qui représente la longueur de diffusion des électrons, l'intégration de
l'équation précédente donne
(110)
∆
∆
exp
avec ∆n0 = ∆n(x=0). La densité des électrons excédentaires décroit exponentiellement en
pénétrant dans le semiconducteur avec une constante Ln (fig. 12(b)). La densité de trous suit
la même évolution avec une constante
.
3.1.8.3. Equation de Poisson
Chaque charge d’espace ρ(x, y, z) est accompagnée d’un champ électrique donné par le
théorème de Gauss
(111)
, ,
36
Chapitre 1
.
où ε est la constante diélectrique du semiconducteur. A partir de l'équation (111) découle
l'équation de poisson (112) dont l'intégration permet de calculer la variation du potentiel
dans un semiconducteur en fonction de la charge d'espace.
, ,
∆
(112)
La charge d’espace englobe toutes les charges qui existent dans un élément de volume du
semiconducteur, à savoir, les charges mobiles électrons et trous, et les charges fixes qui
peuvent être localisées sur des donneurs et accepteurs ionisés. Les charges dues à des
centres profonds peuvent aussi être incorporées si ces derniers sont ionisés.
Sans les centres profonds et en présence d'atomes donneurs et accepteurs, la charge
d’espace est donnée par
(113)
3.1.8.4. Retour à l'équilibre
Les variations des densités de porteurs par unité de temps d'un semiconducteur isolé
et éclairé d'une manière homogène sont données par
(114)
(115)
Considérant toujours le cas des électrons de densité n = n0 + ∆n et qui se recombinent de
façon directe, l'évolution de la densité des électrons est donnée par
(116)
∆
∆
Sous éclairement continu, la variation de la densité excédentaire des électrons par unité de
temps est nulle, l'équation précédente se réécrit
(117)
∆
A l'arrêt de l'éclairement, le processus de génération n'existe plus (gn = 0) et la solution de
(116) en tenant compte de la condition (117) est donnée par
(118)
∆
∆
exp
La concentration des électrons excédentaires décroit exponentiellement avec une constante
de temps n. L'excédent de trous a la même forme de décroissance avec une constante de
temps identique dans le cas où p = n. Lorsque les durées de vie de porteurs excédentaires
sont très faibles, le retour à l'équilibre du semiconducteur est très rapide. C'est le principe
de fonctionnement des dispositifs photoconducteurs ultra-rapide que nous présenterons au
chapitre suivant.
37
Chapitre 1
.
3.2. Constante diélectrique d'un plasma semiconducteur
Dans un milieu où la densité de charge n'est pas nulle, les équations de Maxwell
comportent un terme supplémentaire de courant
. L'équation de Maxwell-Ampère a été
exprimée auparavant par (44). La permittivité relative complexe du milieu vue par l'onde
optique s’exprime
̃
(119)
La conductivité dépend en réalité de la fréquence et son évolution peut être approchée par le
modèle de Drude [29]. Ce modèle a été développé en 1900 afin de décrire qualitativement le
mouvement des électrons dans les métaux massifs. Cependant, il reste largement applicable
pour les matériaux ayant un excès de charges libres.
3.2.1. Modèle de Drude – Lorentz
Dans ce modèle, l’électron est considéré comme une particule de masse effective mn
soumis à un champ électrique E. Le mouvement de l’électron libre en présence du champ
électrique est supposé résulter de deux forces
une force
associée au champ électrique;
une force de frottement
τ
due aux collisions des électrons avec le réseau
cristallin.
L'électron voit donc sa vitesse instantanée augmenter linéairement dans le temps jusqu'à ce
qu'une collision avec un ion du réseau l'annule. Comme le courant macroscopique est le
mouvement d'un ensemble d'électrons ayant chacun des trajectoires différentes, et donc des
vitesses de collisions différentes, le phénomène de transport dans un matériau ayant des
porteurs libres est traité par une modélisation probabiliste.
Pour obtenir la vitesse d'entrainement du gaz d'électrons on définit la probabilité de collision
par unité de temps 1/τ, τ étant un temps caractéristique supposé indépendant du niveau
d'énergie sur lequel se trouve l'électron. L'équation de la quantité de mouvement de
l'électron est de la forme
(120)
(121)
La densité de courant instantanée s'exprime par
∆ v , où ∆n représente le nombre
d’électrons par unité de volume. L’équation (121) permet d’obtenir la densité de courant en
régime harmonique, qui s'exprime
(122)
∆
38
Chapitre 1
.
La dispersion de la permittivité relative due aux charges électriques est finalement exprimée
par
∆
̃
(123)
∆
∆
avec (124) la fréquence plasma du gaz d'électron et (125) la fréquence de collision.
/
∆
(124)
(125)
Dans ce modèle, pour tenir compte de la taille des nanoparticules un terme ν /
est rajouté
à la fréquence de collision νn, où R est le rayon de la particule. De plus, le modèle de Drude –
Lorentz ne tient pas compte des transitions inter-bandes, c'est-à-dire de la bande de valence
à la bande de conduction. Il a été perfectionné par un autre modèle basé sur l’équation de
Boltzmann et qui utilise les équations de conservation de la matière [30].
Dans un plasma semiconducteur, les trous apportent des termes identiques à ceux des
électrons et la permittivité complexe devient
(126)
̃
∑
∑
,
,
3.2.2. Indice de réfraction
L’indice de réfraction d’un milieu est exprimé par la racine carrée de la permittivité
relative. Dans le cas où la permittivité est complexe, l’indice de réfraction est complexe et
s’écrit
(127)
avec
(128)
(129)
La réflectivité s’exprime en fonction de n et κ par
(130)
39
Chapitre 1
.
3.3. Evaluation de la photoconductivité d'un barreau semiconducteur
Dans un matériau semiconducteur, lorsque la lumière est de faible intensité, la densité
des porteurs excédentaires est inférieure à la densité intrinsèque. Dans le cas contraire d'un
fort éclairement, la densité des porteurs photo-induits est supérieure à la densité
intrinsèque et le calcul de la photoconductivité est différent.
y
z
x
E
Fig. 13. Barreau semiconducteur éclairé
3.3.1. Domaine de l'infrarouge au visible
Dans un plasma semiconducteur, les fréquences de collision des électrons et des trous
sont de l'ordre de 1012 Hz. La fréquence plasma est proportionnelle à racine carrée de la
densité de porteurs photo-induits. Pour des densités de porteurs libres de l'ordre de 1010 1013 cm-3 la fréquence plasma se situe entre 1010-1011 Hz.
Dans le domaine des fréquences optiques allant de l'infrarouge au visible, les deux inégalités
Ω > ωpk et Ω > νk sont généralement respectées. La permittivité relative
̃ de la couche
plasma est donc représentée par un nombre réel qui n'est autre que la permittivité relative
du semiconducteur. L'indice de réfraction est alors un nombre réel donné par la racine
carrée de la permittivité relative. La réflectivité du semiconducteur éclairé est par
conséquent inchangée par rapport à sa valeur initiale.
Dans le cas où le semiconducteur est fortement dopé ou fortement éclairé de sorte que les
densités de porteurs libres deviennent très élevées, l'inégalité Ω >> ωpk n'est plus satisfaite et
donc le terme imaginaire de la permittivité relative du plasma semiconducteur n'est plus
négligeable. La réflectivité du matériau est ainsi modifiée et le phénomène de saturation
apparaît, c'est-à-dire en augmentant d'avantage la puissance optique la densité de porteurs
n'augmente plus.
3.3.2. La photoconductivité
La conductivité d'un matériau semiconducteur en l'absence de l'éclairement est exprimée
en fonction de la densité de porteurs à l'équilibre thermique par
(131)
40
Chapitre 1
.
La photoconductivité résultant de l'augmentation de la densité des porteurs dans le
semiconducteur par absorption de photons s'écrit par analogie à la conductivité intrinsèque
Δ
(132)
,
Δ
,
Δ
,
Le profil de la photoconductivité est donc le même que celui de la densité de porteurs
excédentaires, en supposant que les mobilités ne subissent pas de variation en fonction de
la température par exemple. L'évolution de la densité de porteurs en régime hors équilibre
est régie par les équations de continuité. Le calcul de la photoconductivité est différent
suivant le type d'éclairement : éclairement permanent faible, éclairement permanant fort ou
éclairement dépendant du temps.
3.3.2.1. Densité des électrons excédentaires à faible éclairement
Dans un semiconducteur partiellement excité, le courant des porteurs libres est la
somme du courant de dérive et du courant de diffusion. Les courants respectifs des
électrons et trous s'écrivent
(133)
(134)
En négligeant les effets de pièges en volume et en surface, et en se basant sur les
approximations suivantes
n = n0 + ∆n avec ∆n << n0 et p = p0 + ∆p avec ∆p << p0 ;
n0 = p0 ;
∆n(x) ≠ ∆p(x)
∂n/∂t = 0 et ∂p/∂t = 0 correspondant à un éclairement continu. L’équation de
continuité des électrons donnée par la formule (106) devient
0
(135)
le barreau est spatialement isolé J = Jn + Jp = 0
∆
(136)
∆
0
et à l’aide de l’équation de Poisson, qui s'écrit dans ce cas
∆
(137)
∆
la solution du système d’équations (135), (136) et (137) qui détermine la variation de la
concentration des électrons est la suivante [31]
(138)
∆
∆
∆
41
Chapitre 1
.
avec
2
En remplaçant Ø par son expression dans (138), on a
∆
(139)
∆
∆
avec
La résolution de l’équation (139) pour  ≠ si (i = 1. 2. 3. 4) est de la forme
∑
(140)
avec
pour i = 1. 2
pour i = 3. 4
A partir des conditions aux limites suivantes
lim
∆
0;
∆n(0) = ∆p(0) ;
0.
les coefficients Ci de l’équation (140) sont
.
0
2
2
La densité des électrons suivant l’axe x due à l’éclairement de la surface du semiconducteur
en x = 0 est donnée par
42
Chapitre 1
.
Δ
(141)
La première partie de cette équation correspond au processus de diffusion par les termes en
exponentielle puisque les coefficients s3 et s4 ne dépendent pas de l'éclairement. La seconde
partie correspond au processus de génération des porteurs électron-trou avec leur profil
d'atténuation dans le semiconducteur suivant l'axe de l'éclairement. La densité des trous est
de la même forme que celle des électrons.
3.3.2.2. Densité des électrons libres à fort éclairement
Dans le cas d'un fort éclairement, on a
∆n >> n0 et ∆p >> p0;
les électrons et les trous excédentaires diffusent ensemble ∆n(x,t) = ∆p(x,t), c'est la
diffusion ambipolaire.
La variation du nombre de porteurs libres, sans tenir compte des états de pièges, s'écrit
∆
(142)
∆
(143)
Le calcul de la densité de porteurs d'électrons dans le cas d'un éclairement permanent a été
effectué par [32], [33] et s'écrit
/
∆
(144)
avec
, longueur de diffusion ambipolaire
Vs, vitesse de recombinaison en surface, introduite dans la condition aux limites de
la densité de porteurs pour x = 0
Le profil de la densité des électrons est la somme d'un terme lié à l'absorption de photons et
d'un terme lié à la diffusion de porteurs. Plusieurs cas se présentent suivant les valeurs de 
et L. Nous prenons pour illustration le cas du GaAs semi-isolant avec les paramètres
suivants
9
η = 1;
9
 ≈ 1.42 104 cm-1 pour λ = 800 nm;
9
 ≈ 500 ps;
9
Vs ≈ 104 cm/s;
9
L = 7.24 µm;
43
Chapitre 1
.
9
β = 1.4 1016 cm-2 pour Popt = 100 mW;
La densité des électrons (cm-3) est égale à
(145)
∆
1.9 10
0.98
/
Dans cet exemple, l'inégalité 1/L <  est vérifiée et par conséquent, nous pouvons
approximer l'expression (145) sous une forme simple. Le profil de la densité des électrons
excédentaires suivant l'axe de pénétration de la lumière est finalement donné par
(146)
∆
1.862 10
/
3.3.2.3. Génération/recombinaison dans GaAs
Le calcul du profil de la densité de porteurs dans GaAs prend une dimension de
complexité assez élevée. D'une part, pour la présence d'un niveau de pièges profond de type
donneur référencé par EL2 [6] et qui n'est pas lié directement ou indirectement à la
présence d'oxygène [34]. La nature de ce niveau demeure inconnue et il est compensé par
un niveau de type accepteur composé d'atomes de chrome. D'autre part, l'éclairement est
généralement fort dans les applications du contrôle optique, ce qui a tendance à augmenter
le taux de génération par impact ionisant [35]. Des solutions numériques s'imposent pour la
détermination du profil de la densité des porteurs libres.
La mesure des coefficients de capture et d'émission des électrons a permis d'évaluer
l'énergie du niveau EL2. Elle est exprimée par rapport à l'énergie de la bande de valence en
fonction de la température par [36]
(147)
2
0.759
2.37 10
La concentration de EL2 est souvent notée NDD et varie entre 1014 et 1015 cm-3 pour un
matériau non dopé. Elle est de l'ordre de 1016 cm-3 dans un matériau de type n et supérieure
à 1016 cm-3 dans un matériau semi-isolant. Par ailleurs, d'autres défauts sont présents dans
le GaAs dont leur signature est voisine du niveau EL2 [37]. Concernant les atomes de
chrome incorporés dans le GaAs, il a été établi que la plupart d'entre eux, si ce n'est pas la
totalité, sont actifs et correspondent a un seul niveau accepteur. Il a été démontré que pour
des concentrations du chrome entre 1016 et 1017 cm-3. le coefficient d'absorption dans le
matériau augmente linéairement avec la concentration du Cr [38], ce qui confirme
l'ionisation de tous les donneurs. La concentration des pièges accepteurs est dans ce cas la
même que la concentration des atomes dopants. Ce niveau est un centre de capture
d'électrons ou de trous à cause de sa profondeur (niveau énergétique), de la propriété de sa
section efficace de capture des électrons et du remplissage de son niveau. L'énergie relative
du centre par rapport à la bande de valence est donnée en fonction de la température par
[39]
(148)
0.81
10
0.93
44
Chapitre 1
.
Suivant les centres existants dans GaAs, le système d'équations régissant ce type de
matériau, lorsqu'il est éclairé, est décrit comme suit.
L'équation de Poisson s'écrit
(149)
avec NAA la concentration d'atomes de Cr dans le cas de l'hypothèse précédente, NDD+ la
concentration des pièges profonds de type donneurs ionisés.
La génération/recombinaison par les centres peut être analysée de deux façons: soit en
établissant les équations pour chaque type de pièges et faire ensuite la somme des
processus pour les électrons (150) et les trous (151) ou soit en approximant les deux centres
par un seul niveau de pièges [40] en prenant des coefficients de capture d'électrons et de
trous appropriés. Dans ce second cas, la durée de vie des porteurs est la moyenne des deux
durées de vie propre à chaque niveau.
(150)
∑
(151)
∑
1
1
1
Pour la détermination de la densité de porteurs excédentaires, il est préférable d'utiliser la
deuxième méthode. Soit Nt la densité du niveau de pièges, les coefficients de recombinaison
sont donnés par
(152)
(153)
Sachant que npNt >> ni2 et Nt >> 1. nous obtenons
(154)
(155)
Finalement, la variation de la densité de porteurs libres pour le GaAs s'écrit
(156)
avec
(157)
(158)
L'expression du profil de la densité des électrons excédentaires est extrêmement difficile à
obtenir même en procédant à diverses approximations. Nous avons donc utilisé une
45
Chapitre 1
.
méthode expérimentale pour évaluer la photoconductance engendrée par l'éclairement d'une
couche du GaAs.
3.3.2.4. Densité de porteurs sous éclairement dépendant du temps
La génération de porteurs libres est proportionnelle à l'éclairement. Lorsque ce dernier
est modulé en amplitude (par exemple impulsionnel), le coefficient de génération est par
conséquent de même forme. Il s'exprime en fonction du flux de photons
(159)
avec m un coefficient multiplicatif. Les expressions des densités des électrons et trous
excédentaires dans le cas idéal s'écrivent
(160)
∆
∆
∆
(161)
La résolution de ces équations dépend de la forme de Ø(t). Une étude détaillée pour un
éclairement modulé en amplitude (de forme sinusoïdale) et un éclairement impulsionnel a
été effectuée dans [41] avec la prise en compte des densités de pièges pour le cas du GaAs et
GaAs Basse Température (GaAs–BT).
3.4. La photoconductance équivalente
La photoconductance est une représentation électrique de la conductivité ∆(λ) induite par
l'éclairement. La photoconductance du barreau semiconducteur de la figure 19 de volume V
et soumis à un champ permanant est donné par
(162)
∆
,
Pour un barreau semiconducteur de dimensions W, L et x0 la photoconductance s'écrit
(163)
∆
,
4. Interaction opto-microonde – semiconducteur
Dans l'interaction opto-microonde – semiconducteur, deux rayonnements de fréquences
différentes interagissent avec le matériau semiconducteur. Comme a été décrit dans la
section précédente, la fréquence optique permet de créer une couche de type plasma au
niveau de la zone éclairée. Nous allons analyser dans cette partie l'effet de la propagation
d'un signal microonde à travers ce plasma photo-induit.
4.1. Permittivité relative d'un plasma semiconducteur
La variation de la permittivité relative du plasma semiconducteur en fonction de la
fréquence du signal microonde ω est donnée par le modèle de Drude-Lorentz, son
expression est identique à (101). La variation de la partie réelle et imaginaire de la
46
Chapitre 1
.
permittivité relative, en fonction de la densité de porteurs libres dans la gamme de
fréquences 1 - 20 GHz, est représentée respectivement sur la figure 14(a) et (b).
La partie réelle de la permittivité relative du plasma ne change pas avec la fréquence
microonde pour des densités de porteurs variant entre 1010 et 1016 cm-3. Elle devient
négative pour des densités supérieures à 1015.4 cm-3 où le comportement du plasma devient
quasi-métallique. Cette aptitude est très intéressante pour les photocommutateurs que nous
verrons dans le chapitre suivant. Cependant, pour atteindre de telles densités il est
nécessaire d'utiliser des puissances optiques très élevées, ce qui détériore l'efficacité des
applications opto-microondes.
(a)
(b)
Fig. 14. Permittivité complexe pour les fréquences microondes d'un semiconducteur éclairé
partie (a) réelle et (b) imaginaire
La partie imaginaire de la permittivité relative est plus sensible à la fréquence pour des
densités de porteurs supérieures à 1013 cm-3. Pour des densités inférieures à cette valeur, la
variation de '' est quasi-nulle. La partie imaginaire de la permittivité relative s'exprime en
fonction de la conductivité du matériau par
(164)
0
La conductivité de la couche plasma en fonction de la fréquence microonde et de la densité
des porteurs libres s'écrit donc sous la forme
(165)
σ
∑
,
Dans notre étude, les fréquences de travail sont comprises entre 40 MHz et 40 GHz. Pour
des fréquences inférieures à 40 GHz l'inégalité ω << νk est respectée, la variation de la
conductivité est régie par la variation de la densité de porteurs photo-induits par le terme
ωp. En développant l'expression (165), nous retrouvons la formule de la photoconductivité
donnée par (132). Son évolution en fonction de la densité des porteurs est représentée sur la
47
Chapitre 1
.
figure 15. Dans le cas où ω est du même ordre de grandeur que νk, la conductivité de la
couche plasma est donc inversement proportionnelle à la fréquence.
Le coefficient d'absorption du signal microonde traversant la couche plasma peut être
exprimé en fonction de κ par
(166)
où λ est la longueur d'onde du signal microonde dans le vide.
Fig. 15. Conductivité du plasma en fonction de la densité des porteurs
4.2. Impédance d'un barreau semiconducteur
La
configuration
la
plus
simple
pour
calculer
et
mesurer
la
variation
de
la
photoconductivité d'un semiconducteur est représentée sur la figure 16. Le semiconducteur
d'épaisseur x0 est inséré entre deux électrodes métalliques de surface S formant ainsi une
capacité plane où un champ électrique est appliqué.
dx
E
~
(a)
S/dx
(x) S/dx
(b)
Fig. 16. (a) Barreau semiconducteur éclairé et (b) impédance AC élémentaire
48
Chapitre 1
.
4.2.1. Formulation du problème
L'éclairement est injecté du coté de la plaque métallique supposée transparente à ce
rayonnement.
L'éclairement,
en
pénétrant
dans
le
semiconducteur,
est
atténué
exponentiellement. Par conséquent, la photoconductivité du matériau dépend de la direction
de propagation de la lumière. On définit alors une impédance constante d'un élément
semiconducteur d'épaisseur dx et de surface unité qui s'exprime par
(167)
L'impédance totale du barreau et la somme des impédances élémentaires et s'écrit
(168)
Le schéma équivalent du barreau semiconducteur consiste en une capacité en parallèle avec
une conductance. Ces éléments sont calculés par l'inverse de l'impédance Z
(169)
Qui peuvent s'exprimer par
(170)
(171)
avec
(172)
∆
(173)
La conductance et la capacité de l'échantillon sont en fonction de la conductivité du
semiconducteur, une variation de la puissance optique induit une variation de ces éléments.
Pour
illustration,
nous
reprenons
l'expression
(144)
de
la
densité
des
électrons
excédentaires pour exprimer le profil de la conductivité
(174)
/
L'intégrale de cette conductivité nous mène à des expressions de la conductance et de la
capacité extrêmement lourdes. Il est nécessaire donc de procéder à des approximations
suivant les valeurs de α et L. Dans tous les cas, l'expression (174) est de la forme
(175)
avec
49
Chapitre 1
.
et
et
1/
pour α < 1/L
pour α > 1/L
1
et
pour α = 1/L
Les coefficients B et A s'écrivent
(176)
(177)
A partir de ces expressions, la capacité et la conductance du barreau semiconducteur
soumis à un éclairement continu peuvent être déterminées. Pour connaitre leur variation
due uniquement à l'éclairement, nous prenons en compte les valeurs sans éclairement qui
sont calculées à partir des expressions (178) et (179) en posant β = 0 pour le calcul de A et
B. Les expressions de la conductance et de la capacité sans éclairement s'écrivent
(178)
(179)
La capacité et la conductance du barreau semiconducteur propres à l'éclairement sont
exprimées par
(180)
(181)
4.2.2. Cas d'un barreau en GaAs
Nous reprenons l'exemple du paragraphe (3.3.2.2) avec une dimension de la surface
éclairée de 1 mm2 et l'épaisseur du semiconducteur x0 de 50 µm. La conductivité intrinsèque
à température ambiante est égale à 3 10-7 S/m. L'évolution relative de la photoconductance
et celle de la photocapacité de l'échantillon en fonction de la fréquence sont représentées
respectivement sur la figure 17(a) et (b).
Notons que pour une fréquence donnée, la photocapacité et la photoconductance
augmentent
avec
la
puissance
de
l'éclairement.
Pour une
puissance
donnée, la
photocapacité décroit en fonction de la fréquence contrairement à la photoconductance.
50
Chapitre 1
.
(a)
(b)
Fig. 17. (a) Photocapacité et (b) photoconductance en fonction de la fréquence
4.2.3. Effet photodiélectrique
Le phénomène de la variation de la capacité et de la conductance, donc les pertes du
semiconducteur, sous illumination est aussi appelé effet photodiélectrique. Cet effet a été
démontré par plusieurs travaux sur différents types de matériaux [42], [43]. L’appellation
effet photodiélectrique est due à la variation de la capacité et donc à la constante
diélectrique du matériau. Il y a trois hypothèses indépendantes pour expliquer cet effet
photodiélectrique
c'est une autre voie de la manifestation de la photoconductivité [43]. La présence de
la photoconductivité dans certaines parties de la cellule diminue efficacement la
capacité entre les plaques du condensateur et par conséquent augmente la capacité
et la constante diélectrique;
c'est le résultat du changement de la partie réelle de la constante diélectrique du
matériau, provoqué par la présence dans le matériau d'un grand nombre de centres
fortement polarisables, comme les pièges [42];
c'est le résultat d'un changement de la partie réelle de la constante diélectrique du
matériau, mais ce changement surgit en raison de l'existence de la charge d'espace
dans le matériau éclairé [44];
Toutes ces hypothèses du comportement physiques des semiconducteurs éclairés sont
solides et peuvent s'appliquer dans le cas de l'éclairement d'un semiconducteur d'arséniure
de gallium.
51
Chapitre 1
.
5. Conclusion
Ce premier chapitre est une description des différents processus de l'interaction d'une onde
électromagnétique avec un matériau semiconducteur. Nous avons présenté le cas de
l'arséniure de galium en précisant les difficultés théoriques à exprimer les nombreux
phénomènes subsistants dans ce matériau.
Dans le cas d'une onde lumineuse, des approximations sont nécessaires pour quantifier
l'évolution de la densité des porteurs de charge.
52
Chapitre 1
.
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