Conduction électrique dans les métaux – la théorie classique

Cours 4
8. Conduction électrique
De point de vue microscopique, le courant électrique qui traverse un corps est
constitué par le mouvement ordonné en rapport d’un système de référence inertiel des
porteurs de charge électrique. La densité du courant se définit comme un débit des
charges selon la relation :
(4.1)
J m  N  qm  v m
dans laquelle qm est la charges des porteurs microscopiques, encore vm est la vitesse
microscopique des porteurs en rapport d’un système de référence inertiel et N est le
nombre volumique des porteurs.
La densité macroscopique J du courant électrique s’obtient par la médiation de
l’expression (4.1), dans laquelle la vitesse des particules doit considérer en rapport avec le
corps :
J m  N  qm  v~mc
(4.2)
Macroscopique, la densité du courant électrique J est liée de l’intensité du champ
électrique E par la loi de la conduction électrique :
J  σ E
(4.3)
dans laquelle  est la conductivité du matériau, cette relation étant valable pour les corps
isotropes, homogènes et non accélérés.
Conduction électrique dans les métaux – la théorie classique
La théorie classique de Drude considère que les électrons de la bande de conduction
dus matériau conducteur sont libres et interagissent avec le réseau cristallin seulement par
chocs comme des objets classiques.
En absence des champs extérieurs qui exercent des forces sur les électrons, leur
mouvement est en désordre, par suite des nombres des chocs avec les nœuds du réseau
cristallin.
Par l’établissement d’un champ électrique extérieur d’intensité E la force électrique
exercée sur un électron Fe  – q0 ·E imprime une vitesse ordonnée de translation vE, q0
étant la charge de l’électron.
La vitesse des électrons a deux composantes :
v  vT  v E
(4.4)
1
4
On appelle vitesse thermique vT la composante avec une orientation aléatoire due aux
chocs. Son module, en valeur moyenne, v~T s’appelle vitesse thermique moyenne des électrons
et sa valeur est de l’ordre 106 m/s.
La vitesse vE due au champ électrique appliqué s’appelle vitesse de dérive. On peut
considérer qu’un ensemble d’électrons se déplace avec une vitesse moyenne de dérive v~E .
Son module a la valeur v~E = 1  10-3 m/s pour le cuivre.
Par suite des chocs avec les nœuds du réseau, le mouvement d’électron est freiné et la
vitesse ordonnée dans la direction du champ se diminue. La force de freinage, proportionnelle, à
la vitesse a l’expression :
Ff  – b · v
b = constante
(4.5)
L’équation du mouvement d’un électron de masse m0 s’écrit :
m0
dv
 b  v  q0  E
dt
(4.6)
En valeur moyenne, la vitesse thermique vT, avec une orientation chaotique, est nulle,
d’où s’obtient :
v~  v~E
parce que v~T  0
(4.7)
L’équation (4.6) vaut en valeurs moyennes :
m0
d v~E
 b  v~E  q0  E
dt
(4.8)
Sur la direction du champ extérieure, et en valeur moyenne, cette équation s’écrit :
m0
d v~E
 b  v~E  q0  E
dt
(4.9)
La solution de (4.9) est :
q E
v~E  A  exp  t /   0
b
(4.10)
où la constante de temps τ = m0/b est la durée de relaxation de l’électron (τ  10-14 s).
Avec la condition initiale :
v~E  0 à t = 0
s’obtient :
2
4
A
q0 
E
m0
(4.11)
et (4.10) devient :
q τ
v~E  0 exp  t /   1 E
m0
(4.12)
En régime permanent à t   , pratiquement établi très rapidement après (3-4)τ,
(4.12) se réduit à :
q τ
v~E   0  E
m0
(4.13)
La densité de courant J des électrons (4.2) prend la forme :
J  N (q0 ) v~E
(4.14)
où N est le nombre volumique d’électrons libres qui participent à la conduction.
En remplaçant dans (4.14) v~E par la relation (4.13) on obtient :
J
Nq02 τ
E
m0
(4.15)
On obtient la conductivité électrique du métal  de la comparaison de (4.15) avec (4.3) :
Nq02 τ
m0
σ
(4.16)
On peur écrire la conductivité électrique  en fonction de la mobilité de porteurs de charge
(électrons). On appelle mobilité μ d’un porteur la vitesse rapportée à l’intensité du champ
électrique qui produit le déplacement de celui-ci :
v~E
E
(4.17)
 q0 
m0
(4.18)
μ
La mobilité d’un électron vaut :
μ
d’où :
3
4
  N  q0  μ
(4.19)
On peut généraliser la relation (4.19) pour une conduction électrique concrétisée par
la participation de plusieurs espèces des porteurs de charge caractérisés des paramètres Ni,
qi, μi. Donc :
σ   N i  qi   i
(4.20)
i
Dépendance de température de la conductivité électrique des métaux
Dans l’expression (4.16) de la conductivité électrique les seuls qui dépendent de la
température sont les grandeurs N (le nombre volumique d’électrons qui participent à la
conduction) et τ (la durée de relaxation de l’électron) qui est liée de l’interaction d’entre
l’électron et les nœuds du réseau.
Puisque à l’accroissement de la température, le nombre d’électrons de conduction
reste pratiquement constant et le volume de
E
E=0
v
l’échantillon augmente en petite quantité aux
1
2
α
v
températures usuelles, la diminution du nombre
x
~
volumique N est très base.
l
En ce qui concerne la durée de relaxation, τ est
une constante de temps liée de la constante du
Fig. 4.1
freinage b non-precisée. Par suite, il faut évaluer la
grandeur  en liaison avec la durée entre les chocs consécutifs de l’électron avec les deux
nœuds du réseau notée c (temps de collision moyen). Supposant que le champ E est
supprimé quand l’électron dépasse l’atome 1, en conformité à la figure 4.1, la vitesse
ordonnée de l’électron v se diminue en temps, par la modification de l’orientation de la
vitesse avec un angle aléatoire α sous l’effet du choc avec l’atome 2. Le module de la
vitesse ne se change pas pratiquement après les chocs, celui-ci étant égal avec le module
de la vitesse d’agitation thermique. En effet, puisque :
v~E  v~T
(4.21)
v  v~E  v~T  v~T
(4.22)
d’où :
A la suite du choc, la vitesse ordonnée après la direction initiale (du champ
électrique E) se diminue de la valeur v~T à la valeur v~T ·cosα. La variation de la vitesse
dans l’unité du temps est :
4
4
v~ 1  cos  
v
 T
t
τc
(4.23)
La même variation de la vitesse s’obtient de l’équation de mouvement de l’électron (4,9)
pour E = 0 :
v~
v
 T
t

(4.24)
Par (4.23) et (4.24) il vient :

c
1  cos 
(4.25)
Puisqu’il n’existe pas de directions préférentielles de déviation de l’électron, donc en
valeur moyenne cosα = 0, on tire de (4.25) :
  c
(4.26)
~
En notant avec l l’espace libre moyen de l’électron (la distance moyenne d’entre
deux chocs successifs) on peut écrire :
~
l
  c  ~
vT
d’où s’obtient :
Nq02
σ
m0
(4.27)
~
l
~
vT
(4.28)
Comte tenu que v~T est pratiquement constante aux températures usuelles. De cette
manière on peut écrire :
~
σl
(4.29)
Dans la théorie des gaz on démontre que :
~ 1
l 
T
(4.30)
En assimilant les électrons de conduction aux molécules d’un gaz, il vaut :
5
4
σ
const
T
(4.31)
d’où s’obtient la dépendance de température de la résistivité électrique du métau :
ρ
1
T
σ
(4.32)
Pour des températures voisines de la température jusqu’à quelques centaines de
degrés, la résistivité des métaux prend la forme :
T   T0 1  T  T0 
(4.33)
où T0 est une température de référence, encore  est le coefficient de température de la
résistivité (constant en certains domaines de température).
On remarque qu’aux températures très basses, la résistivité électrique dépend de la
température par une relation du type :
T5
(4.34)
6
4