N - Etud.insa

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Concentration de porteurs en surface dans une
structure Métal-Isolant-Semiconducteur
Introduction:
Les transistors MOS sont utilisés dans un très grand nombre de montages, qu’ils soient
linéaires ou numériques. De nombreuses structures intégrées ont été développées sur le même
principe que celui du transistor MOS. Il est donc important d’étudier le principe de fonctionnement
de ce type de structures.
Comme vous l’avez vu en cours, l’étude du transistor MOS fait beaucoup appel aux notions
de l’électrostatique. En effet, avant même de faire passer un courant entre le drain et la source du
MOS, il faut d’abord s’assurer de l’existence de porteurs en nombre suffisant dans le canal (sous
l’oxyde de grille). Le principe même du fonctionnement du transistor MOS est basé sur la
concentration de ces porteurs dans le canal (ce qui module sa résistivité). Ce papier a pour objet de
vous donner les principes du calcul de la concentration de porteurs qui serviront à la conduction
entre drain et source.
Hypothèses
Soit la structure MIS représentée par la figure suivante:
Isolant
Métal
x=0
x
Semiconducteur
OU Va
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On considère que le semiconducteur est à dopage uniforme.
Le problème est considéré unidimensionnel, les grandeurs physiques ne varient que suivant
l’abscisse x, et restent constantes suivant les autres axes (y et z).
Considérons le cas général d’un semiconducteur dopé N= ND-NA, qui pourrait être de type N
si ND>>NA ou de type P si NA>>ND.
Calcul du champ électrique et du potentiel électrostatique
Dans ce semiconducteur l’équation de Poisson s’écrit:
q( p − n + N )
d 2V
ρ
=−
2 =−
ε
dx
ε
(1)
ε: permittivité [F/cm]
p et n : respectivement les concentrations de trous et d’électrons à l’équilibre
thermodynamique.
ρ: concentration de porteurs [cm-3]
V: potentiel électrostatique qui est par ailleurs lié aux concentrations de porteurs n et p par les
relations suivantes:
⎛n⎞
⎛ p⎞
V = UT ln ⎜ ⎟ = − UT ln ⎜ ⎟
⎝ ni ⎠
⎝ ni ⎠
(2)
ni: concentration intrinsèque ni2= n p
Multiplions les deux membres de (1) par 2
dV
, on alors:
dx
2q
dV
dV d 2V
p − n + N)
2
(
2 =−
ε
dx
dx dx
(3)
La relation (3) peut aussi s’écrire:
2q
d ⎛ dV ⎞
dV
= − (p − n + N )
⎝
⎠
dx dx
dx
ε
2
(4)
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Par ailleurs, si nous cherchons le gradient du potentiel électrostatique, c’est à dire
dV
à partir
dx
de la relation (2) on a:
dV UT dn
U dp
=
=− T
n dx
p dx
dx
On remplace
(5)
dV
dans (4) par son expression (5), on obtient:
dx
Ou;
d ⎛ dV ⎞ 2 2q ⎜⎛ d p dn N dn ⎞
=
U
+
−
ε T ⎝ dx dx n dx ⎠
dx ⎝ dx ⎠
(6.a)
2
d ⎛ dV ⎞
2q ⎜⎛ d p dn N d p ⎞
=
U
+
+
ε T ⎝ dx dx p dx ⎠
dx ⎝ dx ⎠
(6.b)
dV
représente au signe près le champ électrique E, la relation (6.a) peut
dx
alors s’écrire: (cas unidimensionnel)
En remarquant que
d (E 2 ) =
⎛
dn ⎞
UT ⎜ d p + dn − N
⎝
ε
n⎠
2q
(7.a)
Sachant que le champ électrique au loin dans le volume du semiconducteur (loin du métal) est
nul, nous pouvons déterminer sa valeur à l’interface isolant-semiconducteur, c’est à dire x=0, en
intégrant (7.a).
Il est évident que l’abscisse x=0 ne signifie rien si l’on ne précise pas les grandeurs physiques
qui caractérisent cette position. A l’interface isolant-semiconducteur la concentration des porteurs
est ns et ps (en surface), celle-ci au loin devient nv et pv .
L’intégration de (7.a) entre x=0 (en surface) et x->∞ (en volume) s’écrira:
(en sachant que N est constant suivant x car le dopage est uniforme)
ns
ns
⎡ ps
dn ⎤
E −E =
UT ⎢ ∫ d p + ∫ dn − N ∫
ε
n ⎦⎥
nv
nv
⎣ pv
2
s
2
v
2q
(8.a)
Comme Ev est pratiquement nul, on alors:
Es2 =
⎡
ns ⎤
UT ⎢ (p s − p v ) + (ns − nv )− N ln ⎥
ε
nv ⎦
⎣
2q
(9.a)
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Sachant par ailleurs que le champ électrique en surface de l’interface Es est lié à la charge
surfacique Qs [cm-2] par la relation:
Qs = − ε Es
(10)
En remplaçant Es2 dans (9.a) par la relation (10) on obtient:
ns ⎤
⎡
2
Qs = 2qεUT ⎢ (p s − p v ) + (ns − nv )− N ln ⎥
nv ⎦
⎣
(11.a)
Voici donc l’expression générale de la concentration surfacique des porteurs susceptibles
d’assurer la conduction dans le canal d’un transistor MOS.
Remarque 1: Vérifier la compatibilité des unités (équation aux dimensions) dans cette
dernière expression.
Remarque 2: Pour faire ce calcul, nous sommes partis de l’expression (6.a). Vous pouvez tout
aussi bien partir de (6.b). On aboutit alors à l’expression:
⎡
p ⎤
Qs2 = 2qεUT ⎢ (p s − p v ) + (ns − nv )+ N ln s ⎥
pv ⎦
⎣
(11.b)
Comme il est dit plus haut, l’expression de la charge surfacique à l’interface isolantsemiconducteur donnée par (11.a) ou (11.b) est générale. Nous allons donc examiner son
expression dans des cas bien précis.
Accumulation
Considérons que nous avons affaire à un semiconducteur de type N, avec une concentration
de dopant ND.
L’accumulation en surface signifie que la concentration des électrons au niveau de l’interface
isolant-semiconducteur ns est très supérieure à celle existant en volume nv ≅ND.
Donc ns >> ND≅ nv .
D’autre part, comme notre semiconducteur est supposé de type N affirmé, donc pv ≅ni2/ND est
négligeable, et il est d’autant plus négligeable à l’interface ps <<ni2/ND, puisque psns = n2i
Donc nv , pv , et ps sont tous négligeables devant ns .
ns
ns
De plus: ln <<
avec nv ≅ N D
nv
ND
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d’où:
ND ln
ns
<< ns
nv
Finalement, de l’expression de Qs il ne restera que:
Qs2 ≅ 2qεUT ns
(12)
Pour obtenir une approximation de l’étendue Wacc de cette zone d’accumulation on admet
que la concentration ns des électrons dans toute cette zone reste uniforme.
Wacc ≅
Qs
qns
D’où l’extension de la zone d’accumulation:
Wacc ≅ 2ε UT / qns
(13)
Dépeuplement
Lorsqu’il y a création d’une zone dépeuplée, la concentration de porteurs libres est quasinulle, la zone étant désertée par les porteurs libres majoritaires. Donc en surface, au niveau de
l’interface isolant-semiconducteur on a ns << ND≅ nv .
D’autre part ns >> pv et ns >> ps (semiconducteur de type N)
Comme ns << nv on a alors:
ln
Donc:
ND ln
ns
>> 1
nv
ns
>> ND ≅ nv
nv
De l’expression de Qs ne restera que:
⎛N ⎞
Qs2 ≅ 2qεUT ND ln⎜ D ⎟
⎝ ns ⎠
(14)
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Comme pour le cas de l’accumulation, on peut aussi estimer l’extension Wdep de la zone
dépeuplée. Dans ce cas nous n’avons pas besoin de faire une hypothèse supplémentaire car si le
dopage est uniforme (notre hypothèse de travail) alors la charge dans la zone dépeuplée (constituée
d’ions) est uniforme aussi, et elle est égale à qND (concentration volumique).
Wdep =
Qs
qN D
Compte tenu de (14), on a:
Wdep ≅
2ε UT ⎛⎜ N D ⎞
⎟
ln
qND ⎝ ns ⎠
(15)
Inversion
Lorsqu’une inversion s’est formée en surface au niveau de l’interface, c’est à dire pour un
semiconducteur de type N, sur une très fine couche c’est les trous qui deviennent majoritaires, donc
ps >> ND≅ nv .
ni2
D’autre part, la concentration des électrons en surface chute et: n s <<
ND
Finalement pv , ns et nv sont négligeables devant ps .
L’expression (11.a) de la charge surfacique se réduit à:
⎛
⎛ n ⎞⎞
2
Qs ≅ 2qεUT ⎜ ps − ND ln ⎜ s ⎟ ⎟
⎝ nv ⎠ ⎠
⎝
(16)
Comme le rapport entre minoritaires et majoritaires en surface est conservé, on a:
n v ps
=
n s pv
Donc
(loi d’action de masse)
nv
N
n2
≅ ps 2D puisque pv ≅ i
ns
ni
ND
L’expression (16) peut donc s’écrire:
⎛
⎛ p N ⎞⎞
2
Qs ≅ 2qεUT ⎜ ps + N D ln ⎜ s 2 D ⎟ ⎟
⎝ ni ⎠ ⎠
⎝
(17)
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Dans le cas d’une très forte inversion, on a:
⎛pN ⎞
ps >> N D ln ⎜ s 2 D ⎟
⎝ ni ⎠
(18)
L’expression (17) s’écrira alors:
Qs2 ≅ 2qεUT ps
(19)
Voyons plus simplement la signification de la relation (18). Pour cela trouvons la relation
directe entre le dopage ND de notre semiconducteur et la concentration ps atteinte par les trous en
surface à l’interface isolant-semiconducteur lors d’une forte inversion.
De la relation (18) on tire: (en décomposant l’expression du logarithme)
⎛ p ⎞
⎛ N2 ⎞
ps
− ln ⎜ s ⎟ >> ln ⎜ 2D ⎟
ND
⎝ ND ⎠
⎝ ni ⎠
Or comme
(20)
ps
est grand devant l’unité donc:
ND
⎛ p ⎞
ps
ps
>> 1 ,
>> ln⎜ s ⎟
ND
ND
⎝ ND ⎠
Finalement la relation (20) se réduit à:
⎛N ⎞
ps
>> 2ln ⎜ D ⎟
ND
⎝ ni ⎠
(21)
⎛N ⎞
ps >> 2 N D ln ⎜ D ⎟
⎝ ni ⎠
(22)
Ou:
L’expression (22) donne donc la condition de forte inversion considérée ici pour trouver
l’expression simple (19) de Qs.
Nous savons que lorsqu’il y a une couche d’inversion à l’interface, il y a forcément une zone
dépeuplée derrière, avant d’arriver dans le semiconducteur de type N affirmé (zone quasi-neutre).
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Nous pouvons calculer la charge positive contenu dans la zone dépeuplée formée par les ions
(ND+). Pour cela il suffit de remplacer ns dans (14) par la concentration d’électrons à la frontière
entre la zone inversée et la zone dépeuplée. A cette frontière on a une concentration de trous p
n2
=ND et les électrons sont minoritaires n = i .
ND
D’où la charge surfacique dans la zone dépeuplée:
⎛N2⎞
Qs = 2qε U T N D ln ⎜ 2D ⎟
⎝ ni ⎠
(23)
De même on peut déduire l’extension atteinte par la zone dépeuplée. De (15) on tire:
Wdep =
2ε UT ⎛⎜ N 2D ⎞⎟
ln
qND ⎝ ni2 ⎠
(24)
L’expression (24) nous donne la progression maximale de la zone dépeuplée, celle-ci ne
dépend plus que du dopage et des caractéristiques intrinsèques du semiconducteur.
Remarque: Les phénomènes traités dans ce document concernent la partie semiconductrice du
dispositif, on ne s’est pas occupé de ce qui se passe dans l’isolant par exemple, dans tout le
document ε = ε semiconducteur .
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