Exercises

MAP 311 - Aléatoire - PC 1
Emmanuel Gobet
Feuille de PC disponible en avance sur le site http://www.cmap.polytechnique.fr/~gobet/.
Les exercices marqués (?)sont corrigés dans le livre Aléatoire de S. Méléard.
Mots-clés de la semaine : probabilité, événement, expérience, indépendance, conditionnement,
formule de Bayes, lemme de Borel-Cantelli.
Probabilités
EXERCICE 1 - Les anniversaires communs. (?)
Si npersonnes sont réunies dans une pièce, quelle est la probabilité qu’aucune paire d’individus
n’ait un anniversaire commun ? Déterminer nmin pour que cette probabilité soit inférieure à 0.5
(on pourra utiliser l’équivalence ln(1 + x)∼xpour x1).
EXERCICE 2 - Tirage de boules.
Une urne contient rboules rouges et bboules blanches.
1. Décrire l’espace probabilisé (Ω,A,P)associé aux expériences suivantes :
a) On tire kboules une à une, sans remise.
b) On tire kboules une à une, avec remise.
2. Pour les deux expériences précédentes, calculer la probabilité que le nombre de boules
blanches tirées soit égal à j, pour j∈N.
EXERCICE 3 - Formule du crible. (?)
1. Montrer la formule de Poincaré (formule du crible) :
P n
[
i=1
Ai!=X
1≤i≤n
P(Ai)−X
1≤i1<i2≤n
P(Ai1∩Ai2)
+··· + (−1)n+1P(A1∩A2∩ ··· ∩ An)
=
n
X
p=1
(−1)p+1 X
1≤i1<···<ip≤n
P(Ai1∩ ··· ∩ Ai2).
Indication : on pourra utiliser le fait que 1−1Sn
i=1 Ai=Qn
i=1(1 −1Ai), ou procéder par
récurrence.
2. Soit Sune permutation aléatoire sur nobjets, de loi uniforme.
a) Quelle est la probabilité que Sait au moins un point fixe ?
b) Quelle est la probabilité que Sait exactement kpoints fixes ? Montrer que ceci est en
général très proche de exp(−1)/k!.
3. Une personne écrit nlettres et les ferme avant d’écrire les adresses sur les enveloppes. On
suppose que tous les destinataires ont une adresse différente. Quelle est la probabilité pour
qu’au moins une lettre arrive au bon destinataire ? Donner la limite de cette probabilité
lorsque n→ ∞.

Evénements indépendants et conditionnement
EXERCICE 4 - Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle.
Soit Ω := {ω1, ω2, ω3, ω4}muni de la loi uniforme (i.e., chaque élément a probabilité 1/4). On
définit les événements A:= {ω1, ω2},B:= {ω1, ω3}et C:= {ω2, ω3}. Montrer que A,Bet C
sont indépendants deux à deux. Comparer P(A∩B∩C)et P(A)P(B)P(C).
EXERCICE 5 - Rôle de l’information. (?)
L’exercice suivant est très classique et a de nombreuses variantes. Il illustre l’utilité d’une formu-
lation mathématique rigoureuse pour éviter des pièges et des paradoxes dus à des raisonnements
spécieux.
Une famille a deux enfants. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des filles
sachant que l’enfant le plus jeune est une fille ? Quelle est la probabilité pour que les deux enfants
soient des filles sachant que l’un des enfants est une fille ?
EXERCICE 6 - Prendre la bonne porte. (?)
Lors d’un jeu télévisé, le candidat a le choix entre trois portes. Derrière l’une se trouve un cadeau,
derrière les deux autres il n’y a rien. Le présentateur demande au candidat de choisir une porte.
S’il choisit celle où se trouve le cadeau il le gagne, sinon il s’en retourne les mains vides.
Le candidat choisit sa porte. Pour faire monter le suspense, le présentateur décide d’ouvrir une
autre porte, derrière laquelle il sait qu’il n’y a rien. Il redemande alors au candidat de choisir
une porte. Quelle est la meilleure stratégie pour le candidat ? Garder la porte qu’il avait choisie,
choisir au hasard une des deux portes restantes (à pile ou face), ou changer de porte ?
EXERCICE 7 - Test de qualité de production.
On considère une usine fabriquant des cartes électroniques. Lors de la production une carte sur
100 000 est défectueuse. En fin de production, on effectue un test pour savoir si la carte est
défectueuse ou non. Pour les pièces défectueuses le test est positif dans 95 % des cas, pour les
pièces correctes dans 1% des cas.
Le test indique qu’une pièce donnée est défectueuse (test positif). Quelle est la probabilité que
la pièce soit effectivement défectueuse ?
EXERCICE 8 - Un exemple non trivial d’événements indépendants.
Dans l’expérience suivante, on dispose de trois dés à 6 faces, deux d’entre eux étant normaux et
le 3ème pipé. Un dé est normal si chaque face a même probabilité d’apparaître, alors qu’un dé
est pipé si la face 6 est trois fois plus probable que les autres.
1. On choisit au hasard un dé et on le lance. Quelle est la probabilité que la face iapparaisse ?
Sachant que le dé a donné un 6, quelle est la probabilité qu’il soit pipé ?
2. On choisit maintenant deux dés parmi les trois disponibles et on les lance. On note A={le
dé pipé fait partie des deux dés choisis}.
a) Calculer P(A). Quelle est la probabilité de Asachant que la somme des résultats des
deux dés vaut 12 ?
b) Même question avec une somme égale à 7.
c) Soit B={la somme des résultats des deux dés lancés vaut 7}. Montrer que Aet Bsont
indépendants.

EXERCICE 9 - Mauvaise fouille.
On dispose de nsacs numérotés de 1 à n; une balle a été mise au hasard dans l’un d’eux. Elle
se trouve dans le sac iavec la probabilité pi. Lorsqu’on fouille un sac, la probabilité de ne pas
trouver la balle alors qu’elle s’y trouve vaut p(la fouille n’est pas assez minutieuse).
1. On fouille une première fois le sac 1 et on ne trouve pas la balle. Quelle est la probabilité
qu’elle soit quand même dans le sac 1 ? dans le sac j(j6= 1) ?
2. On recommence la fouille du sac 1 et on ne trouve toujours pas la boule. Calculer de
nouveau la probabilité qu’elle soit dans le sac 1, puis dans le sac j(j6= 1).
EXERCICE 10 - Un buveur impénitent décide de ne plus boire . . .
Un buveur impénitent décide d’essayer de ne plus boire. S’il ne boit pas un jour donné, alors la
probabilité qu’il ne boive pas le lendemain est de 0,4. En revanche, s’il succombe un jour il ne
boira pas le lendemain par remords avec une probabilité de seulement 0,2.
1. Quelle est la probabilité que ce buveur ne boive pas le n-ième jour ?
2. Que se passe-t-il quand ntend vers l’infini ? Interpréter.
3. On suppose à présent qu’à chaque Nouvel An, notre homme prend la résolution d’arrêter
de boire. Il ne boit donc jamais le 1er janvier, indépendamment de son comportement de
la veille, puis l’engrenage fatal le rattrape et il se comporte les jours suivants comme décrit
précédemment. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, montrer qu’avec probabilité 1il
existe une année pendant laquelle il ne boira pas du tout, tandis que la probabilité qu’il
existe une année à partir de laquelle il ne boira plus jamais est nulle. (On supposera que
notre buveur est immortel.)
Evénements, tribus
EXERCICE 11 - Tribu engendrée par une famille finie.
1. Montrez qu’une tribu engendrée par une famille finie de parties est engendrée par une
partition finie.
2. Décrire tous les éléments de cette tribu.
3. Montrez que ce résultat est faux si on remplace fini par dénombrable. (Utiliser la tribu
borélienne de R.)
EXERCICE 12 - Un exemple d’ensemble non mesurable.
Sur Ron définit la relation d’équivalence x∼ysi x−y∈Q. En utilisant l’axiome du choix (si A
est une fonction sur un ensemble Itelle que A(x)6=∅pour tout xde I, il existe une fonction f
telle que f(x)∈A(x)pour tout x∈I), construire un ensemble A∈[0,1[ qui contient exactement
un point de chaque classe d’équivalence. Supposons Amesurable, et soit α=λ(A)sa mesure de
Lebesgue. Montrer que si r, s ∈Qet r6=s, alors (A+s)∩(A+r) = ∅, où A+x={y+x:y∈A},
et que λ(A+s) = λ(A). Remarquer que
1 = λ[0,1]≤λ[
r∈Q∩]−1,1[
(A+r)≤λ[−1,2]= 3.
En utilisant la σ-additivité de λ, montrer que cette inégalité conduit d’une part à α= 0, d’autre
part à α > 0. Conclure.

MAP 311 - Aléatoire - PC 2
Emmanuel Gobet
Feuille de PC disponible en avance sur le site http://www.cmap.polytechnique.fr/~gobet/.
Les exercices marqués (?)sont corrigés dans le livre Aléatoire de S. Méléard.
Mots-clés de la semaine : variable aléatoire, loi, espérance, variance, fonction génératrice, indé-
pendance de v.a., loi conditionnelle.
Variables aléatoires discrètes
EXERCICE 1 - Loi-produit uniforme.
Soient Eet Fdes ensembles finis. Montrer qu’il est équivalent de supposer que Xet Ysont deux
v.a. indépendantes de lois uniformes sur Eet F, et de supposer que le couple (X, Y )est de loi
uniforme sur E×F.
EXERCICE 2 - Caractérisation de la loi géométrique.
Trouver toutes les lois sur Nsatisfaisant la propriété suivante d’absence de mémoire :
∀(i, j)∈N2:P(X > i +j|X > i) = P(X > j).
EXERCICE 3 - Somme de Poisson.
Soit X1, X2des variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres respectifs
θ1>0et θ2>0.
1. Calculer la loi de X1+X2.
2. Calculer la loi de X1sachant X1+X2. Reconnaître cette loi.
3. Calculer E(X1|X1+X2).
EXERCICE 4 - Le vendeur de glaces.
Un vendeur de glaces installé dans la rue voit passer un nombre Nde passants dans la journée.
On suppose que la variable aléatoire Nsuit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. On appelle
Gile nombre de glaces achetées par le i-ème passant. On fait l’hypothèse que les N, G1, G2, . . .
sont indépendantes et que chaque passant achète une glace avec probabilité pet aucune glace
avec probabilité 1−p. Quelle est la loi du nombre Xde glaces vendues pendant une journée ?
EXERCICE 5 - Pari sportif OL-OM.
Au cours d’un match de foot, le nombre de buts Bmarqué par une équipe suit une loi géométrique
de paramètre p∈]0,1[, indépendamment de l’équipe adverse : P(B=i) = p(1 −p)ipour i≥0.
1. En moyenne, l’équipe de l’Olympique de Massy marque 1 but par match, alors que pour
l’Olympique de Longjumeau, la moyenne est de 2. Quels paramètres respectifs pMet pL
choisir pour modéliser leur nombre de but marqué par match ?
2. Le prochain match oppose l’OL à l’OM. La cote pour l’OL gagnant est de 3
2(signifiant que
pour 1 misé, on reçoit 3
2, soit un gain total de 1 2). Quelle est la cote pour OM gagne ou fait
match nul ?

3. Est-il préférable de miser pour OL gagnant ?
On cherchera à justifier son choix par des arguments probabilistes !
EXERCICE 6 - Quelques formules bonnes à retenir.
1. (?)Soit Xune v.a. discrète à valeurs dans N. Montrer que
E(X) = X
n≥0
P(X > n).
2. Soient X1, . . . , Xpdes v.a. indépendantes de même loi, à valeurs dans N. On pose pk=
P(X=k), k ∈Net rn=Pk≥npk. Montrer que
E(min(X1, . . . , Xp)) = X
n≥1
rp
n.
EXERCICE 7 - Minimum et maximum de v.a. géométriques.
Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires géométriques de paramètre p:
P(Xj=n) = p(1 −p)n−1, n ∈N∗.
1. Déterminer la loi de X= min(X1, . . . , Xn)et Y= max(X1, . . . , Xn).
2. Déterminer la loi jointe de (X, Y ).
EXERCICE 8 - Encore des boules.
On répartit au hasard nboules dans rcases. On définit les v.a. (Yi)1≤i≤ret (Xi)1≤i≤rpar
Yi=nombre de boules dans la case i
Xi= 1 si la case iest occupée, 0sinon.
1. Quelle est la loi de Yi? de Xi? Calculer E[Xi]et Var(Xi).
2. Pour i6=j, calculer Cov(Xi, Xj).
3. Soit Srle nombre de cases vides. Calculer E[Sr]et Var(Sr).
EXERCICE 9 - Nombre de succès.
Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées)
suivant la loi de Bernoulli de paramètre p∈]0,1[ et S=X1+. . . +Xnleur somme. Pour
s∈ {0, . . . , n}, donner la loi conditionnelle de X1sachant S=set calculer E(X1|S).
EXERCICE 10 - Instant de succès.
Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de Bernoulli de para-
mètre p. Pour tout n≥1, on définit par récurrence, Tn= inf{k > Tn−1;Xk= 1}si cet infimum
est fini, Tn=∞sinon, et T0= 0.
1. Démontrer que les variables aléatoires T1, T2−T1, . . . , Tn−Tn−1, . . . sont indépendantes
et de même loi.
2. Calculer la loi de T1et sa fonction génératrice. En déduire la loi de Tn.