DM0 PC A à rendre au premier cours de Mathématiques de septembre Exercice 1 Soit (an )n∈N∗ une suite de réels. Pour tout n ∈ N∗ , on pose bn = n(an − an+1 ), An = n X ak et Bn = k=1 n X bk k=1 1. Exprimer Bn en fonction de An , de n et an+1 . 2. On prend dans cette question, pour tout n ≥ 1, an = P (a) vérifier que an converge et calculer sa somme. 1 . 2n−1 n≥1 (b) Pour quelles valeurs du réel x la série P nxn−1 converge-t-elle ? (On pourra utiliser la règle n>1 de d’Alembert). (c) Montrer que la série P bn converge et calculer sa somme. n>1 3. On prend dans cette question, an = 1 n ln(n) , n > 2 et a1 = 0. (a) Étudier la monotonie et la convergence de la suite (an )n>2 . (b) i. Montrer que pour tout entier naturel k > 2 : Z k+1 dt 1 6 t ln t k ln k k ii. En déduire, P en utilisant la relation de Chasles pour minorer les sommes partielles , que an diverge. la série n>1 (c) Calculer lim nan . n→+∞ (d) Quelle est la nature de la série P bn ? n>1 4. On suppose dans cette question que la série P an converge et que la suite (an )n∈N∗ est une n>1 suite décroissante de réels positifs. 2n P (a) Pour tout entier naturel n non nul, on note un = ap . Montrer que ∀n ∈ N∗ , na2n ≤ un . p=n+1 (b) En déduire que lim na2n = 0. n→+∞ (c) Démontrer alors que lim nan = 0. n→+∞ P (d) Montrer que la série bn converge. n>1 (e) A-t-on +∞ P n=1 an = +∞ P bn ? n=1 5. On suppose dans cette question que la série P bn converge et que la suite (an )n∈N∗ est n>1 positive, décroissante et de limite nulle. (a) Vérifier que ∀m ∈ N∗ , m ≤ n, Bn > Am − man+1 . P (b) En déduire que an converge. n>1 (c) Peut-on en déduire que +∞ P n=1 an = +∞ P bn ? n=1 1 Exercice 2 Pour tout entier naturel n, on note en : x ∈ R+ 7→ xn e−x . Soient N ∈ N∗ et E le sous-espace vectoriel de C 1 (R+ , R) défini par E = Vect(e0 , e1 , . . . , eN ). 1. Montrer que B = (e1 , e1 , . . . , eN ) est une base de E. En déduire la dimension de E. 2. Pour tout élément g de E, on note ∆(g) = g 0 . (a) Démontrer que ∆ ∈ L(E). (b) Écrire la matrice A de ∆ dans la base B. ∆ est-il un automorphisme de E ? 3. Soient k ∈ [|0, N |] et x > 0. Montrer que la série de terme général wn = ek (x+n) est convergente. P un,k 4. (a) Pour tout entier naturel k, on considère une suite (un,k )n∈N telle que la série converge. Citer le théorème du cours qui justifie que l’on a (pour tout N ∈ N) ! ! +∞ X N N +∞ X X X un,k = un,k n=0 k=0 k=0 n>0 n=0 (b) Soit f ∈ E. Démontrer que la série de terme général un = f (n + x) est convergente pour tout x > 0. On note alors +∞ X F (x) = f (n + x) n=0 (c) Justifier que la série de terme général nj e−n pour tout j fixé de N est convergente. On note alors +∞ X Aj = nj e−n n=0 (d) Exprimer F (x) en fonction des Aj pour tout x > 0. (e) En déduire que F ∈ E et que l’application Φ : f 7→ F ainsi définie est un endomorphisme de E. 5. Écrire la matrice de Φ dans la base B en fonction des Aj . Exercice 3 On rappelle qu’un entier naturel p est premier lorsqu’il possède exactement 2 diviseurs entiers naturels, 1 et lui-même. Par exemple 2, 3, 5, 7, 11 sont premiers, alors que 4, 6, 8, 9, 1 ne le sont pas. 1. Programmes mystères 1. On donne les programmes Python P0 et P1 suivants. Que renvoient les appels P0(5), P1(5) et P0(9), P1(9) ? Dire en une phrase ce que fait chacun des programmes P0 et P1 ? 1 def P0(N): #N entier naturel 2 if N==1 : 3 return False 4 if N==2: 5 return True 6 for d in range(2,N): 7 if N%d==0: 8 return False 9 return True 1 def P1(N): #N entier naturel 2 if N==1 : 3 return False 4 if N==2: 5 return True 6 for d in range(2,N): 7 if N%d==0: 8 return False 9 return True 2 2. En une phrase, dire ce que fait le programme python, P2, qui utilise le programme P1 précédent : 1 def 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P2(N): #N entier naturel L=[] k=0 n=k*k+1 while n<=N: if P1(n): L.append(n) k=k+1 n=k*k+1 return L Que renvoie l’appel P2(127) ? 3. Ecrire une fonction nextPrime en langage python qui prend en argument un entier N et qui retourne comme valeur le premier nombre premier qui est strictement supérieur à N. 4. Nombres jumeaux On appelle couple de nombres premiers jumeaux toute liste [p,q] telle que p,q sont des nombres premiers vérifiant p < q et q = p + 2. Par exemple, [3,5] ou [11,13] sont des couples de nombres premiers jumeaux alors que [2,3] ne l’est pas. (a) Ecrire à l’aide de la fonction nextPrime précédente, une fonction python nommée jumeau, prenant comme argument un entier N et renvoyant le couple [p,q] de nombres premiers jumeaux tels que p strictement supérieur à N et le plus petit possible. Par exemple jumeau(5) renvoie comme valeur [11,13]. (b) Ecrire avec les mêmes consignes une fonction lesJumeaux prenant en argument un entier N et renvoyant la liste de tous les couples de nombres premiers jumeaux [p,q] tels que q ≤ N. Par exemple, lesJumeaux(18) retourne [[3,5],[5,7],[11,13]] (le couple [17,19] n’en fait pas partie). Exercice 4 1. Soit x ∈ R et ϕx la fonction qui à tout réel t associe ϕx (t) = max(x, t). (a) Donner une représentation graphique de ϕx . R1 (b) Calculer Φ(x) = 0 ϕx (t) dt. (c) Donner une représentation graphique de Φ. Dans toute la suite de l’exercice, on considère une variable aléatoire X, définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et on admet que l’on définit une variable aléatoire Y , définie sur le même espace probabilisé, par Z 1 ∀ω ∈ Ω, Y (ω) = max(X(ω), t) dt 0 2. Dans cette question, X suit une loi uniforme sur l’ensemble [|0, n|], où n est un entier naturel non nul. Déterminer Y (Ω) pour tout ω ∈ Ω. 3. Dans cette question, X suit une loi binomiale B(n, p) où n ∈ N∗ et p ∈]0, 1[. (a) Donner X(Ω), P([X = x]) où x ∈ X(Ω), l’espérance et la variance de X. (b) Déterminer Y (Ω) et donner la loi de probabilité de Y . 4. On suppose dans cette question que X(Ω) = {−1, 0, 1/2, 2} et que 1 1 P(X = −1) = P(X = 0) = , P(X = 2) = 8 3 3 (a) Déterminer la valeur de P(X = 1/2). (b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y puis calculer son espérance E(Y ). (c) On note Z la variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé par Z = XY . Justifier que Z(Ω) = {−1/2, 0, 5/16, 4}. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Z. (d) Calculer le coefficient de corrélation ρ(X, Y ) des deux variables aléatoires X et Y . 1 Exercice 5 Pour α ∈ [0, 1] et β ∈ [0, 1] avec (α, β) 6= (0, 0), on note : 1−α α A(α, β) = β 1−β Il pourra être utile de noter λ = 1 − (α + β). 1.1 Puissances de A(α, β) ( I2 = P + Q 1. Déterminer deux matrices carrées d’ordre 2 : P et Q telles que : A(α, β) = P + (1 − α − β)Q 2. Calculer P 2 , Q2 , P Q, QP. 3. Quelle est la nature et les éléments des endomorphismes de R2 canoniquement associés à P et Q? 4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel p : A(α, β)p = P + (1 − α − β)p Q 5. Calculer, pour tout entier p ∈ N, la matrice A(α, β)p . 6. Montrer que, pour (α, β) 6= (1, 1), la suite (A(α, β)p )p∈N converge vers une matrice L(α, β) que l’on précisera (Ceci signifie que chaque coefficient de la matrice converge). Que se passe-t-il pour (α, β) = (1, 1) ? 1.2 Applications Soient α et β deux réels de ]0, 1[. Un message binaire de longueur `, c’est à dire une suite finie (a1 , a2 , . . . , a` ) où pour tout i ∈ {1, . . . , `}, est transmis dans un réseau formé de relais. On suppose que, à chaque relais, un élément x ∈ {0, 1} est transmis avec une probabilité d’erreur égale à α pour un passage de 0 à 1 et β pour un passage de 1 à 0. On note X0 la variable aléatoire définissant le message initial de longueur ` et, pour n ∈ N∗ , au n-ième relais, le résultat du transfert est noté Xn . On suppose que les relais sont indépendants les uns des autres et que les erreurs sur les bits constituant le message sont indépendantes. 1. Cas ` = 1 Montrer que pour tout entier n ≥ 0 : P(Xn+1 = 0) 1−α β P(Xn = 0) = P(Xn+1 = 1) α 1−β P(Xn = 1) calculer, pour n > 0, P(X n = 0|X0 = 0) et P(Xn = 1|X0 = 1). β α Si r = min α+β , α+β , montrer que la probabilité pour que Xn soit conforme à X0 est supérieure ou égale à r + (1 − r)(1 − α − β)n 4 2. Cas ` >= 1 On pose Xn = (Xn1 , . . . , Xn` ) où, pour k ∈ {1, . . . , `}, Xnk est le résultat de la transmission du k-ième bit au n-ième relais. Soit Qn la probabilité pour que le message Xn soit conforme au message initial. Montrer que Qn vérifie : Qn ≥ (r + (1 − r)(1 − α − β)n )` 3. On suppose dans cette question que α = β. Que peut-on dire dans ce cas de l’inégalité précédente ? Pour tout ε ∈]0, 1[, déterminer un entier nc tel que la probabilité d’obtenir un message erroné au n-ième relais pour n ≥ nc soit supérieure ou égale à ε (on dit que nc est la taille critique du réseau). 5