Devoir 0 à rendre à la rentrée.

DM0 PC A `a rendre au premier cours de Math´ematiques de septembre
Exercice 1
Soit (an)n∈N∗une suite de r´eels. Pour tout n∈N∗, on pose
bn=n(an−an+1), An=
n
X
k=1
aket Bn=
n
X
k=1
bk
1. Exprimer Bnen fonction de An, de net an+1.
2. On prend dans cette question, pour tout n≥1, an=1
2n−1.
(a) v´erifier que P
n≥1
anconverge et calculer sa somme.
(b) Pour quelles valeurs du r´eel xla s´erie P
n>1
nxn−1converge-t-elle ? (On pourra utiliser la r`egle
de d’Alembert).
(c) Montrer que la s´erie P
n>1
bnconverge et calculer sa somme.
3. On prend dans cette question,an=1
nln(n),n>2 et a1= 0.
(a) ´ Etudier la monotonie et la convergence de la suite (an)n>2.
(b) i. Montrer que pour tout entier naturel k>2 :
Zk+1
k
dt
tln t61 kln k
ii. En d´eduire, en utilisant la relation de Chasles pour minorer les sommes partielles , que
la s´erie P
n>1
andiverge.
(c) Calculer lim
n→+∞nan.
(d) Quelle est la nature de la s´erie P
n>1
bn?
4. On suppose dans cette question que la s´erie P
n>1
anconverge et que la suite (an)n∈N∗est une
suite d´ecroissante de r´eels positifs.
(a) Pour tout entier naturel nnon nul, on note un=
2n
P
p=n+1
ap. Montrer que ∀n∈N∗, na2n≤un.
(b) En d´eduire que lim
n→+∞na2n= 0.
(c) D´emontrer alors que lim
n→+∞nan= 0.
(d) Montrer que la s´erie P
n>1
bnconverge.
(e) A-t-on
+∞
P
n=1
an=
+∞
P
n=1
bn?
5. On suppose dans cette question que la s´erie P
n>1
bnconverge et que la suite (an)n∈N∗est
positive, d´ecroissante et de limite nulle.
(a) V´erifier que ∀m∈N∗, m ≤n, Bn>Am−man+1.
(b) En d´eduire que P
n>1
anconverge.
(c) Peut-on en d´eduire que
+∞
P
n=1
an=
+∞
P
n=1
bn?
1

Exercice 2
Pour tout entier naturel n, on note en:x∈R+7→ xne−x.
Soient N∈N∗et Ele sous-espace vectoriel de C1(R+,R) d´efini par E= Vect(e0, e1, . . . , eN).
1. Montrer que B= (e1, e1, . . . , eN) est une base de E. En d´eduire la dimension de E.
2. Pour tout ´el´ement gde E, on note ∆(g) = g0.
(a) D´emontrer que ∆ ∈ L(E).
(b) ´ Ecrire la matrice Ade ∆ dans la base B. ∆ est-il un automorphisme de E?
3. Soient k∈[|0, N|] et x>0. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral wn=ek(x+n) est convergente.
4. (a) Pour tout entier naturel k, on consid`ere une suite (un,k )n∈Ntelle que la s´erie P
n>0
un,k
converge.
Citer le th´eor`eme du cours qui justifie que l’on a (pour tout N∈N)
+∞
X
n=0 N
X
k=0
un,k!=
N
X
k=0 +∞
X
n=0
un,k!
(b) Soit f∈E. D´emontrer que la s´erie de terme g´en´eral un=f(n+x) est convergente pour
tout x>0. On note alors
F(x) =
+∞
X
n=0
f(n+x)
(c) Justifier que la s´erie de terme g´en´eral nje−npour tout jfix´e de Nest convergente. On note
alors
Aj=
+∞
X
n=0
nje−n
(d) Exprimer F(x) en fonction des Ajpour tout x>0.
(e) En d´eduire que F∈Eet que l’application Φ : f7→ Fainsi d´efinie est un endomorphisme
de E.
5. ´ Ecrire la matrice de Φ dans la base Ben fonction des Aj.
Exercice 3
On rappelle qu’un entier naturel pest premier lorsqu’il poss`ede exactement 2 diviseurs entiers natu-
rels, 1 et lui-mˆeme. Par exemple 2,3,5,7,11 sont premiers, alors que 4,6,8,9,1 ne le sont pas.
1. Programmes myst`eres
1. On donne les programmes Python P0 et P1 suivants. Que renvoient les appels P0(5),P1(5) et
P0(9),P1(9) ? Dire en une phrase ce que fait chacun des programmes P0 et P1 ?
1 def P0(N): #N entier naturel
2 if N==1 :
3 return False
4 if N==2:
5 return True
6 for d in range(2,N):
7 if N%d==0:
8 return False
9 return True
1 def P1(N): #N entier naturel
2 if N==1 :
3 return False
4 if N==2:
5 return True
6 for d in range(2,N):
7 if N%d==0:
8 return False
9 return True
2

2. En une phrase, dire ce que fait le programme python, P2, qui utilise le programme P1 pr´ec´edent :
1 def P2(N): #N entier naturel
2 L=[]
3 k=0
4 n=k*k+1
5 while n<=N:
6 if P1(n):
7 L.append(n)
8 k=k+1
9 n=k*k+1
10 return L
Que renvoie l’appel P2(127) ?
3. Ecrire une fonction nextPrime en langage python qui prend en argument un entier Net qui
retourne comme valeur le premier nombre premier qui est strictement sup´erieur `a N.
4. Nombres jumeaux
On appelle couple de nombres premiers jumeaux toute liste [p,q] telle que p,q sont des nombres
premiers v´erifiant p<qet q=p+ 2. Par exemple, [3,5] ou [11,13] sont des couples de
nombres premiers jumeaux alors que [2,3] ne l’est pas.
(a) Ecrire `a l’aide de la fonction nextPrime pr´ec´edente, une fonction python nomm´ee jumeau,
prenant comme argument un entier Net renvoyant le couple [p,q] de nombres premiers
jumeaux tels que pstrictement sup´erieur `a Net le plus petit possible.
Par exemple jumeau(5) renvoie comme valeur [11,13].
(b) Ecrire avec les mˆemes consignes une fonction lesJumeaux prenant en argument un entier N
et renvoyant la liste de tous les couples de nombres premiers jumeaux [p,q] tels que q≤N.
Par exemple, lesJumeaux(18) retourne [[3,5],[5,7],[11,13]] (le couple [17,19] n’en
fait pas partie).
Exercice 4
1. Soit x∈Ret ϕxla fonction qui `a tout r´eel tassocie ϕx(t) = max(x, t).
(a) Donner une repr´esentation graphique de ϕx.
(b) Calculer Φ(x) = R1
0ϕx(t)dt.
(c) Donner une repr´esentation graphique de Φ.
Dans toute la suite de l’exercice, on consid`ere une variable al´eatoire X, d´efinie sur un espace
probabilis´e (Ω,A,P) et on admet que l’on d´efinit une variable al´eatoire Y, d´efinie sur le mˆeme
espace probabilis´e, par
∀ω∈Ω, Y (ω) = Z1
0
max(X(ω), t)dt
2. Dans cette question, Xsuit une loi uniforme sur l’ensemble [|0, n|], o`u nest un entier naturel
non nul. D´eterminer Y(Ω) pour tout ω∈Ω.
3. Dans cette question, Xsuit une loi binomiale B(n, p) o`u n∈N∗et p∈]0,1[.
(a) Donner X(Ω), P([X=x]) o`u x∈X(Ω), l’esp´erance et la variance de X.
(b) D´eterminer Y(Ω) et donner la loi de probabilit´e de Y.
4. On suppose dans cette question que X(Ω) = {−1,0,1/2,2}et que
P(X=−1) = P(X= 0) = 1
8,P(X= 2) = 1 3
3

(a) D´eterminer la valeur de P(X= 1/2).
(b) Donner la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire Ypuis calculer son esp´erance E(Y).
(c) On note Zla variable al´eatoire d´efinie sur le mˆeme espace probabilis´e par Z=XY . Justifier
que Z(Ω) = {−1/2,0,5/16,4}. D´eterminer la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire Z.
(d) Calculer le coefficient de corr´elation ρ(X, Y ) des deux variables al´eatoires Xet Y.
1 Exercice 5
Pour α∈[0,1] et β∈[0,1] avec (α, β)6= (0,0), on note :
A(α, β) = 1−α α
β1−β
Il pourra ˆetre utile de noter λ= 1 −(α+β).
1.1 Puissances de A(α, β)
1. D´eterminer deux matrices carr´ees d’ordre 2 : Pet Qtelles que : (I2=P+Q
A(α, β) = P+ (1 −α−β)Q
2. Calculer P2, Q2, P Q, QP.
3. Quelle est la nature et les ´el´ements des endomorphismes de R2canoniquement associ´es `a Pet
Q?
4. Montrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel p:
A(α, β)p=P+ (1 −α−β)pQ
5. Calculer, pour tout entier p∈N, la matrice A(α, β)p.
6. Montrer que, pour (α, β)6= (1,1), la suite (A(α, β)p)p∈Nconverge vers une matrice L(α, β) que
l’on pr´ecisera (Ceci signifie que chaque coefficient de la matrice converge). Que se passe-t-il
pour (α, β) = (1,1) ?
1.2 Applications
Soient αet βdeux r´eels de ]0,1[. Un message binaire de longueur `, c’est `a dire une suite finie
(a1, a2, . . . , a`) o`u pour tout i∈ {1, . . . , `}, est transmis dans un r´eseau form´e de relais. On suppose
que, `a chaque relais, un ´el´ement x∈ {0,1}est transmis avec une probabilit´e d’erreur ´egale `a αpour
un passage de 0 `a 1 et βpour un passage de 1 `a 0. On note X0la variable al´eatoire d´efinissant le
message initial de longueur `et, pour n∈N∗, au n-i`eme relais, le r´esultat du transfert est not´e Xn. On
suppose que les relais sont ind´ependants les uns des autres et que les erreurs sur les bits constituant
le message sont ind´ependantes.
1. Cas `= 1
Montrer que pour tout entier n≥0 :
P(Xn+1 = 0)
P(Xn+1 = 1) =1−α β α1−β P(Xn= 0) P(Xn= 1) 
calculer, pour n > 0, P(Xn= 0|X0= 0) et P(Xn= 1|X0= 1).
Si r= min α
α+β,β α+β, montrer que la probabilit´e pour que Xnsoit conforme `a X0est
sup´erieure ou ´egale `a
r+ (1 −r)(1 −α−β)n
4

2. Cas ` >= 1
On pose Xn= (X1
n, . . . , X` n) o`u, pour k∈ {1, . . . , `},Xk nest le r´esultat de la transmission du
k-i`eme bit au n-i`eme relais. Soit Qnla probabilit´e pour que le message Xnsoit conforme au
message initial. Montrer que Qnv´erifie :
Qn≥(r+ (1 −r)(1 −α−β)n)`
3. On suppose dans cette question que α=β. Que peut-on dire dans ce cas de l’in´egalit´e
pr´ec´edente ?
Pour tout ε∈]0,1[, d´eterminer un entier nctel que la probabilit´e d’obtenir un message erron´e
au n-i`eme relais pour n≥ncsoit sup´erieure ou ´egale `a ε(on dit que ncest la taille critique du
r´eseau).
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