Polynésie 2014. Enseignement spécifique

Polynésie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On considère la suite (un)définie par
u0= 0 et, pour tout entier naturel n,un+1 =un+ 2n+ 2.
1) Calculer u1et u2.
2) On considère les deux algorithmes suivants :
Algorithme 1 Algorithme 2
Variables nest un entier naturel Variables nest un entier naturel
uest un réel uest un réel
Entrée Saisir la valeur de nEntrée : Saisir la valeur de n
Traitement uprend la valeur 0 Traitement : uprend la valeur 0
Pour iallant de 1àn: Pour iallant de 0àn−1:
uprend la valeur u+ 2i+ 2 uprend la valeur u+ 2i+ 2
Fin Pour Fin Pour
Sortie Afficher uSortie Afficher u
De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de un, la valeur de l’entier naturel nétant
entrée par l’utilisateur ?
3) À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où nfigure en abscisse et un
en ordonnée.
n un
0 0
1 2
2 6
3 12
4 20
5 30
6 42
7 56
8 72
9 90
10 110
11 132
12 156 0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a) Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (un)?
Démontrer cette conjecture.
b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et ctels que,
pour tout entier naturel n,un=an2+bn +c.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et cà l’aide des informations fournies.
4) On définit, pour tout entier naturel n, la suite (vn)par : vn=un+1 −un.
a) Exprimer vnen fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (vn)?
b) On définit, pour tout entier naturel n, Sn=
n
X
k=0
vk=v0+v1+···+vn.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn= (n+ 1)(n+ 2).
c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn=un+1 −u0, puis exprimer unen fonction de n.
http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Polynésie 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé
1) u1=u0+ 2 ×0 + 2 = 2 et u2=u1+ 2 ×1 + 2 = 6.
u1= 2 et u2= 6.
2) A la première étape, l’algorithme 1 calcule 0 + 2 ×1 + 2 qui n’est pas u1et l’algorithme 2calcule 0 + 2 ×0 + 1 qui
est u1. Le bon algorithme est l’algorithme 2.
3) a) Il semble que la suite (un)soit strictement croissante.
Soit nun entier naturel. un+1 −un= 2n+ 2. Puisque nest un entier naturel, 2n+ 2 >0ou encore un+1 −un>0ou
enfin un+1 > un.
Ainsi, pour tout entier naturel n,un+1 > unet donc la suite (un)est strictement croissante.
b) L’égalité u0= 0 fournit c= 0. Ensuite,
u1= 2
u2= 6 ⇔a+b= 2
4a+ 2b= 6 ⇔b= 2 −a
2a+ (2 −a) = 3 ⇔a= 1
b= 1
Donc si la conjecture est exacte, alors pour tout entier naturel n
un=n2+n=n(n+ 1).
4) a) On a vu que pour tout entier naturel n,vn= 2n+ 2. Mais alors, pour tout entier naturel n
vn+1 −vn= (2(n+ 1) + 2) −(2n+ 2) = 2.
La suite (vn)est une suite arithmétique de raison 2.
b) Soit nun entier naturel.
1ère solution. (si on connaît une formule générale)
Sn=(v0+vn)×(n+ 1)
2=(2 + 2n+ 2) ×(n+ 1) 2=(2n+ 4) ×(n+ 1) 2= (n+ 2)(n+ 1).
2ème solution. (si on ne connaît qu’une formule)
Sn= 2 ×0 + 2 + 2 ×1 + 2 + ...+ (2 ×n+ 2) = 2(0 + 1 + ...+n) + (2 + 2 + ...+ 2
|{z }
n+1
)
= 2 ×n(n+ 1)
2+ 2(n+ 1) = n(n+ 1) + 2(n+ 1) = (n+ 2)(n+ 1).
Pour tout entier naturel n,Sn= (n+ 1)(n+ 2).
c) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n,Sn=un+1 −u0.
•S0=v0=u1−u0. Donc la formule à démontrer est vraie quand n= 0.
•Soit n>0. Supposons que Sn=un+1 −u0et montrons que Sn+1 =un+2 −u0.
Sn+1 =v0+v1+...+vn+vn+1 =Sn+vn+1 =Sn+un+2 −un+1
=un+1 −u0+un+2 −un+1 (par hypothèse de récurrence)
=un+2 −u0.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n,Sn=un+1 −u0. On en déduit que pour tout entier naturel
n,un+1 =Sn= (n+ 1)(n+ 2) ou encore, pour tout entier naturel non nul n,
un= ((n−1) + 1)((n−1) + 2) = n(n+ 1).
Enfin, 0×(0 + 1) = 0 = u0et donc
pour tout entier naturel n,un=n(n+ 1).
http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.