TS1 10 octobre 2015 Devoir Surveillé 1 Exercice : Partie A

TS1
10 octobre 2015
Devoir Surveillé 1
Exercice :
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Entrée :
Traitement
Sortie :
k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Demander la valeur de p
: Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5
Fin de pour
Afficher u
Faire fonctionner cet algorithme pour p = 2 en indiquant les valeurs des variables à chaque
étape.
Quel nombre obtient-on en sortie ?
Partie B
Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 = 5 et, pour tout entier naturel n par
un+1 = 0, 5un + 0, 5n − 1, 5.
1. Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de un
pour n variant de 1 à p.
2. À l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, on obtient les résultats suivants :
n
un
1
1
2
−0, 5
3
−0, 75
4
−0, 375
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (un ) est décroissante ?
Justifier.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, un+1 > un .
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (un ) ?
4. Soit (vn ) la suite définie pour tout entier naturel n par vn = 0, 1un − 0, 1n + 0, 5.
Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison 0, 5 et exprimer alors vn en fonction
de n.
5. En déduire que, pour tout entier naturel n,
un = 10 × 0, 5n + n − 5.
6. Déterminer alors la limite de la suite (un ).
1
Corrigé de l’exercice bac S Antilles-Guyane 22 juin 2015 :
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Demander la valeur de p
Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5
Fin de pour
Afficher u
valeur de k
valeur de u
1
5
2
1
−0, 5
On obtient en sortie : −0, 5.
Partie B
un+1 = 0, 5un + 0, 5n − 1, 5.
1.
Algorithme modifié :
Variables :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Demander la valeur de p
Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5
Afficher u
Fin de pour
2. Puisque u4 > u3 la suite (un ) n’est pas décroissante, du moins pas avant le rang 4.
3. Initialisation On vient de voir que u4 > u3 : la relation est vraie pour n = 3.
Hérédité On suppose qu’il existe un naturel p tel que up+1 > up .
D’où 0, 5up+1 > 0, 5up ; D’autre part : p + 1 > p ⇒ 0, 5(p + 1) > 0, 5p d’où par somme des
ces deux dernières inégalités :
0, 5up+1 + 0, 5(p + 1) > 0, 5up + 0, 5p et en ajoutant −1, 5 à chaque membre :
0, 5up+1 + 0, 5(p + 1) − 1, 5 > 0, 5up + 0, 5p − 1, 5 soit up+2 > up+1 : la relation est vraie au
rang p + 1.
On a donc démontré que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, un+1 > un ce qui
montre que la suite (un ) est croissante à partir du rang 4.
2
4. Pour tout naturel n, on a :
vn+1 = 0, 1un+1 −0, 1(n+1)+0, 5 = 0, 1un+1 −0, 1n+0, 4 = 0, 1 (0, 5un + 0, 5n − 1, 5)−0, 1n+
0, 4 = 0, 05un +0, 05n−0, 15−0, 1n+0, 4 = 0, 05un −0, 05n+0, 25 = 0, 5 (0, 1un − 0, 1n + 0, 5) =
0, 5vn : la suite (vn ) rdy donc géométrique de raison 0,5.
Le premier terme est :
v0 = 0, 1 × 5 − 0, 1 × 0 + 0, 5 = 1.
1
.
2n
= 0, 1un − 0, 1n + 0, 5 ⇐⇒ 10 × 0, 5n =
On a donc pour tout naturel n, vn = 1 × 0, 5n = 0, 5n =
5. On a vn = 0, 1un − 0, 1n + 0, 5 ⇐⇒ 0, 5n
un − n + 5 ⇐⇒ un = 10 × 0, 5n + n − 5.
6. Comme −1 < 0, 5 < 1, on a lim 0, 5n = 0 et comme lim n = +∞, on a donc lim un =
n→+∞
n→+∞
+∞. La suite (un ) ne converge pas.
3
n→+∞