Analyse et applications

Habilitation Universitaire
Analyse et applications
par
Bessem SAMET
Ecole Sup´erieure des Sciences et Techniques de Tunis

Plan
1. M´ethode de la d´eriv´ee topologique en optimisation de formes
IQu’est-ce qu’un probl`eme d’optimisation de formes ?
IExemples
ID´efinition de la topologie
IOptimisation de formes classique/topologique
IPrincipe de la m´ethode de la d´eriv´ee topologique
IM´ethode de l’adjoint
ID´eriv´ee topologique pour l’´equation de Helmholtz
IApplications : optimisation d’un guide d’ondes ´electromagn´etique
2. In´egalit´e de Wente pour l’op´erateur de Helmholtz modifi´e
IIntroduction
IProbl`eme de Wente pour l’´equation de HM
IConstante optimale pour la norme k · k∞
IConstante optimale pour la norme k · kL2
IExtension `a une large classe d’op´erateurs

M´ethode de la d´eriv´ee topologique en
optimisation de formes

Qu’est-ce qu’un probl`eme d’optimisation de formes ?
But :
min
Ω∈O j(Ω)
o`u
IOest un ensemble de formes admissibles,
Ij(Ω) = J(uΩ),
IuΩest la solution d’une EDP pos´ee dans Ω.
Difficult´e : j0(Ω) ?

Exemples
Exemple 1 : Probl`emes isop´erim´etriques
Soit O:= {Ω domaine born´e de RN,|Ω|=S0>0},N≥2
On consid`ere j:O → Rd´efinie par :
j(Ω) := surface du bord ou p´erim`etre de Ω
Le pb d’optimisation de formes est :
(P) : Ω∗?|j(Ω∗) = min
Ω∈O j(Ω).
Par l’in´egalit´e isop´erim´etrique [J. Steiner-E. Schmidt] :
|Ω|N−1≤1
NNVN
j(Ω)N,
o`u VNest le volume de la boule unit´e, on obteint :
Ω∗= la boule de volume S0