Méthode du simplexe sous forme tableau (algorithme tableau move)

Universit´e Montpellier 2 (2011-2012) - M1 Math´ematiques statistique et applications - Optimisation Num´erique
M´ethode du simplexe sous forme tableau (algorithme tableau move)
Le probl`eme lin´eaire standard s’´ecrit:
(PLS) min
Ax=b, x≥0hc, xi
o`u x∈Rn,c∈Rn,b∈Rm,A∈Mm,n(R), rg(A) = m≤net hc, xid´esigne le produit scalaire de cpar x. On note
A1, ..., Anles colonnes de A.
Etape 1: obtention d’une bfs pour (PLS). Consid´erer le probl`eme auxiliaire (Paux):
(Paux) min
Ax+y=b, x≥0, y≥0X
1≤j≤m
yj,
o`u y∈Rm. Appliquer la m´ethode du simplexe `a ce probl`eme pour trouver une bfs Xpour le probl`eme (PLS).
Etape 2: Algorithme du simplexe `a partir du tableau (T) suivant associ´e `a une bfs X= (x1, ..., xm,0, ..., 0)
A1A2· · · Ap· · · AmAm+1 · · · Aq· · · AnX
1 0 · · · 0· · · 0y1,m+1 · · · y1,q · · · y1,n x1ligne 1
0 1 · · · 0· · · 0y2,m+1 · · · y2,q · · · y2,n x2ligne 2
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0 0 · · · 1· · · 0yp,m+1 · · · yp,q · · · yp,n xpligne p
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0 0 · · · 0· · · 1ym,m+1 · · · ym,q · · · ym,n xmligne m
r1r2· · · rm· · · rm+1 · · · rq· · · rnz=−cT·Xligne m+1
o`u les risont les rcc associ´es au tableua: rj=cj−P1≤i≤nyij ci
Tant qu’il existe 1 ≤q≤ntel que rq<0 et 1 ≤i≤mtel que yiq >0, faire:
•choisir pest tel que xp
ypq = min xi yiq |1≤i≤m, yiq >0.
•effectuer l’op´eration `p←1
ypq `p
•pour 1 ≤i≤m,i6=p, faire `i←`i−yiq`pet faire `m+1 ←`m+1 −rq`p
Si rq≥0 pour tout q, alors l’algorithme se termine (on a converg´e) ou si `a une it´eration kde l’algorithme, il existe
une colonne qtelle que rq<0 et yiq <0 pour tout 1 ≤i≤m, alors (PLS) n’admet pas de solution.
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