Corrige_Un consommateur

BAREME SUR 20 POINTS
4 exercices à 5 points
1 question bonus à 2 points
L2S3 – MASS – Microéconomie – r.foudi –CORRIGE Examen 2014/15– Session 1– Janvier 15 - Page 1 sur 7
Exercice 1 : Consommateur – courbe de prix consommation – (5 points)
Un consommateur dispose d’un revenu R qu’il consacre intégralement à l’achat de deux biens
X et Y, en quantités x et y, au prix respectif px et py.
Sa fonction d’utilité est U = ( x + 10 ) ( y + 6 ) (x et y > 0 et divisibles)
Question 1 : Déterminer la combinaison optimale des biens (x*,y*) lorsque R = 210, px=10 et py=25. (Méthode
du remplacement)
Le programme du consommateur s’écrit :
Max U= U(x,y) = (x+10)(y+6)
Sc R – xpx –ypy = 210 – 10x – 25y = 0
y = -x (px/py) + (R/py) = -x (10/25) + (210/25) = - 0,4 x + 8,4
Par remplacement de la contrainte dans U=U(x,y)
U = (x+10)(y+6) = (x+10)( - 0,4 x + 8,4 + 6 ) = (x+10)( - 0,4 x + 14,4) = -0,4x² + 14,4x – 4x + 144
0,5
= -0,4x² + 10,4x + 144
Cette fonction admet un optimum si elle vérifie les deux conditions du premier et du second ordre.
10,4
∂U
= donc le premier point candidat à l’optimum est x*= 13
Soit
= 0 -0,8x +10,4 = 0 ⇒ x =
0,8
∂x
On en déduit le second : soit la contrainte y = - 0,4 x + 8,4 alors y* = (-0,4×13) + 8,4 = 3,2
Le couplet de candidats à l’optimum permet au consommateur d’atteindre un maximum de satisfaction égal à :
U* = U*(x*,y*) = (x*+10)(y*+6) = (13+10) (3,2+6) = 23×9,2 = 211,6
Soit la condition du second ordre :
∂ ²U
< 0 ⇔ −0,4 < 0 L’extremum est bien un optimum, soit
∂x ²
1
E1 = (x* ;y* ;U*) = (13 ; 3,2 ;211,6)
Question 2 : Donner une représentation graphique intuitive du résultat de la question 1.
0,5
(NB : cette représentation graphique contient la réponse à la question 3 ci-après)
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Question 3 : On considère le prix du bien X comme une variable et égal à px. Donner
l’équation générale de la contrainte budgétaire lorsque R = 210 et py = 25. Donner sa
signification géométrique, et l’illustrer dans le graph lorsque px est décroissant.
L’équation de la contrainte s’écrit :
y = - x (px/25) + 8,4
0,5
Donner sa signification géométrique de cette équation, et l’illustrer par deux droites (en
pointillés) dans le graph lorsque px est croissant.
L’équation est celle d’un faisceau de droites de budget dont la pente varie suivant px, et de même
ordonnée à l’origine = 8,4.
0,5
Lorsque px croît, la valeur d’abscisse (R/px) décroît (voir graph ci-dessus)
Question 4 : Ecrire la relation vérifiée par tous les points optimaux, résultant de cette
situation de prix relatif variable et de revenu fixe.
Cette relation est l’égalité toujours vérifiée à l’optimum :
TMSy/x = px/py avec px variable et py donné
0,5
Soit TMS = (y+6)/(x+10) = px/25 (puisque py = 25)
Question 5 : Déduire de cette relation l’équation de la courbe de prix-consommation (CPC)
-dont le résultat est donné ci-dessous-, après avoir rappelé sa définition.
(Rappel pour la démonstration du résultat : une fonction rationnelle, quotient de deux
P ( x)
b
polynomes, du type : f ( x) =
peut s’écrire sous la forme f ( x) = a + ), a et b étant des
Q( x)
x
paramètres à déterminer.
Le résultat à prouver est :
équation de la CPC
Définition de la CPC : Lieu géométrique des optimum correspondant à un effet prix, dans le plan
d’optimisation (y0x).
Détermination de l’équation de la CPC :
1
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Question 6 : Déduire de la CPC, la courbe de demande normale du bien X .
0,5
Exercice 2 : Consommateur – courbe d’Engel – (5 points)
La fonction d'utilité d'un consommateur s'écrit :
U(x,y)=2log(x1) + 4log(x2)
Soient p1 et p2 les prix respectifs des biens X1 et X2. R est le revenu du consommateur.
Question : Donner l'équation de la courbe de consommation revenu (CRC), après avoir
rappelé sa définition
Définition de la CRC :
Lieu géométrique des optimums correspondant à un effet de revenu, dans le plan d’optimisation (y0x).
1
Détermination de l’équation de la CRC :
La règle : tous les points situés sur la CRC vérifient l’égalité : TMS2/1 = (U’x1/U’x2) = rapport des prix = p1/p2
U’x2 = 4/x2 (en vertu du théorème d(logx)/dx = 1/x)
avec U’x1 = 2/x1 et
2
2
Exercice 3 : Elasticités (5 points)
Soit deux biens X et Y, dont la fonction de demande s’écrit respectivement ( avec R, le
revenu, et p les prix) :
x1 =
3R
4 p1
et x 2 =
R
4 p2
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Question 1 : Calculer pour chacun des biens l’élastité prix directe de la demande
Pour le bien x1
Pour le bien x2
2
2
Question 2 : Donner la signification du résultat obtenu.
Pour les deux biens, lorsque le prix croît de 1%, la demande diminue de 1%
0,5
Question 3 : De quelle nature sont les biens x1 et x2 ?
L’élasticité de la demande par rapport au prix étant ≤ -1, les biens sont dits « biens normaux ».
Exercice 4 : Producteur (5 points)
Soit la fonction de production à deux facteurs
Q = K0.5. L0.25 (K et L >0)
Question 1 : Etudier les rendements d’échelle de cette fonction
Les rendements dépendent du degrès d’homogénéité (k) de la fonction
2
0.5
0.25
k
0.5 0.25
Soit : Q(tK ,tL ) = t (K L )
Or
Q(tK0.5,tL0.25)= tK0.5tL0.25 = t0.5K0.5 .t0.25L0.25 =t0.5t0.25K0.5L0.25 = t0.5+0.25 K0.5L0.25 = t0.75 K0.5L0.25
Par conséquent le degrés d’homogénéité k=0,75<1. Les rendements sont décroissants. La
croissance des quantités de facteurs entraîne une croissance moins que proportionnelle de la
production.
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0,5
Question 2 : Déterminer l’équation de l’isoquant : Q* = 100
Q* = K0.5. L0.25= 100
D’où l’isoquant K0.5 = 100/L0.25 représentée en question 3
0,5
(NB)
Question 3 : Représenter l’isoquant Q* = 100 en choisissant un nombre de points suffisants.
Un choix de points en nombre suffisant pour faire apparaître la convexité est par exemple :
0,5
Les 5 points joints à la règle suffisent pour donner sa forme convexe à la courbe
Question 4 : Déterminer le taux marginal de susbstitution technique : TMSTK/L, après avoir
rappelé sa définition littérale.
Définition du TMSTK/L
Le TMSTK/L est le taux auquel le producteur doit substituer du Capital (K) au travail (L)
pour conserver le même niveau de production Q*.
Calcul
Partant de la fonction de production le TMSTK/L est égal au rapport des productivités
marginales des facteurs, soit :
2
(en simplifiant par 0,25 et en permutant les exposants négatifs)
(NB) on peut aussi élever au carré la fonction Q = Q*=100 et représenter l’isoquant
(100)²
K=
L0.5
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Question de cours : (bonus = 2 points)
Démontrer la formule algébrique du TMSy/x dans le cas d’une fonction d’utilité à deux biens
X et Y, consommés en quantité x et y.
Deux démonstrations sont admises
2
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