DS N°1 et son corrigé

2005/2006
Devoir surveillé N°1 Terminale S 3 (2 heures).
Exercice 1 :
(3 points) Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :
puis
(z)2005
z= –1+i 3
Exercice 2 : (9 points)
⎯
→
⎯
→
1. Dans le plan complexe (P) rapporté au repère orthonormal direct (O; u, v ), on considère les
quatre points A, B, C et D d'affixes respectives 3, 4i,-2 + 3i et 1– i.
a. Placer les points A, B, C et D dans le plan.
b. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
2.
a.
b.
c.
d.
e.
3.
On considère dans l'ensemble des complexes les équations :
z² – (1 + 3i)z – 6 + 9i = 0 (1) et z² – (1 + 3i)z + 4 + 4i = 0 (2)
Montrer que l'équation (1) admet une solution réelle z1 et l'équation (2) une solution
imaginaire pure z2.
Développer (z – 3)(z + 2 – 3i), puis (z – 4i)(z – 1 + i).
En déduire les solutions de l'équation : (z² – (1 + 3i)z – 6 + 9i)(z² - (1 + 3i)z + 4 + 4i) = 0
Soit z0 la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donner la forme
trigonométrique de z0.
n
Déterminer les entiers naturels n tels que les points Mn d'affixes z0 soient sur la droite
d'équation y = x.
On appelle f l'application qui au point M, d'affixe z, associe le point M', d'affixe z' telle que :
z' = z² – (1 + 3i)z – 6 + 9 i
a. On pose z = x + iy et z' = x'+ iy'. Exprimer x' et y' en fonction de x et y.
b. Déterminer une équation de l'ensemble (H) des points M pour lesquels f (M) appartient à
l'axe des imaginaires purs.
x² – 2x
x–3
a. Précisez l’ensemble de définition que vous mettrez sous la forme de réunion d’intervalles.
b. Calculez, en justifiant avec précision, les limites en 3, en +∞ et en -∞ et indiquez si la courbe
représentative de g admet des asymptotes.
Exercice 3 : ( 5 points) Soit la fonction g définie par : g(x) =
Exercice 4 :
Sn =
(3 points) On considère pour tout n dans IN* la somme :
k=n
1
1
1
1
+
+ ... +
qu’on note aussi ∑
1×2 2×3
n(n+1)
k(k+1)
k=1
Prouver, par récurrence que pour tout n dans IN*, Sn =
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n
n+1
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