Electronique : régime sinusoïdal forcé (PCSI)

Electronique : régime sinusoïdal forcé (PCSI)
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Les ponts sont des montages qui permettent, en faisant varier la valeur d'impédance de certains dipoles, de
déterminer l'impédance de dipoles inconnus. On dit que le pont est équilibré si
u = 0.
La méthode de résolution est systématiquement la même, on se propose donc de la mettre en place sur un
exemple simple, puis de l'appliquer à un cas plus complexe.
Pont de Wheatstone.
r est inconnue ; les résistances R2 = 70 Ω
R3 = 2.5 kΩ sont xées et on peut faire varier la
valeur de R1 .
La résistance
et
1. Exprimez la tension
u
en fonction de
e
et des
diérentes résistances.
2. On fait varier la valeur de
R1
jusqu'à ce que
le pont soit équilibré. On mesure la valeur de
R1 = 1.5 kΩ.
Que vaut la résistance
r?
Pont de Maxwell
On considère à présent le montage suivant, dans lequel
la valeur
r
L
d'impédance de la bobine et la résistance
sont inconnues. On peut faire librement varier
R1 ,
tandis que les autres valeurs sont connues. Lorsque
le pont est équilibré On a
R3 = 100 Ω
et
C = 5 nF .
R1 = 1 kΩ, R2 = 42 kΩ,
L et r.
Déterminez
Correction
Maxwell
:
avec
UR1 =
R1
R1 +Zeq e
ULr =
r+jLω
R3 +r+jLω e
r = RR1 R2 3
1
Zeq
=
1
R2
+ jCω donc UR1 =
R1
R
R1 + 1+jR2 Cω
e=
R1 +jR1 R2 Cω
R1 +R2 +jR1 R2 Cω
2
trouve
. En équilibrant les deux tensions (partie réelle et partie imaginaire), on
et L = R1 R3 C
1
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On utilise un générateur de tension réel, de force électromotrice
branche à ses bornes un dipole d'impédance
Z = R + iLω ;
E(t) = E0 sin ωt et de résistance interne R0 . On
U (t) la tension à ses bornes. Dans l'ensemble
on notera
de l'exercice, on se placera dans le cadre de l'approximation des régimes quasti stationnaires.
1. Exprimer la forme générale de l'intensité
I(t)
qui parcourt le circuit, puis exprimez l'amplitude, la valeur
ecace et le déphasage de l'intensité.
2. Exprimez la puissance
P
moyenne reçue par l'impédance
Z.
3. On suppose dans cette question que le dipole est une résistance pure. Montrez que, pour une certaine valeur
Rm
de la résistance, la puissance reçue par l'impédance présente un maximum.
Application numérique Eef f = 220 V, R0 = 10 Ω,
ω
2π
= 50 Hz
4. On suppose à présent que l'inductance a une valeur xée
L = 0.1H.
Montrez que la puissance dissipée par
l'impédance totale est toujours inférieure à celle dissipée par en l'absence d'inductance. Déterminez la nouvelle
résistance
0
Rm
qui maximise la puissance dissipée.
Correction
1.
I(t) = I0 sin(ωt + ϕI ). Par loi des mailles,
E(t) = I(t)Z + I(t)R0 ⇔ E0 ei(ωt+π/2) = I0 ei(ωt+π/2+ϕI ) (R0 + R + iLω) ;
R+R0 −iωL
donc I0 eiϕI = R+RE00+iLω = E0 (R+R
.
)2 +L2 ω 2
0
On a donc : amplitude : I0 = √
√
2.
R+R0
(R+R0 )2 +L2 ω 2
sin ϕI =
E0
(R+R0 )2 +L2 ω 2
−ωL
√
(R+R0 )2 +L2 ω 2
; valeur ecace : Ief f =
I0
√
2
; déphasage : cos ϕI =
Par dénition,
P
. Avec U0 eiϕU
√
3.
Lω
R2 +L2 ω 2
. On trouve ainsi P =
Pour L = 0, P =
a alors P =
4.
= hI(t)U (t)i
ˆ
1 T
=
I0 sin(ωt + ϕI )U0 sin(ωt + ϕU )
T 0
ˆ
1
(cos (ϕU − ϕI ) − cos (2ωt + ϕU + ϕI ))
= I0 U0
2T
I0 U0
=
cos (ϕU − ϕI )
2
√
R
= ZI0 eiϕI , on trouve U0 = I0 R2 + L2 ω 2 et cos (ϕU − ϕI ) = √R2 +L
et sin (ϕU − ϕI ) =
2 ω2
2
Eef
f
4R0
R
E2
(R+R0 )2 ef f
.
RI02
2
dP
dR
=
=
2
REef
f
(R+R0 )2 +L2 ω 2
.
(R+R0 )2 −2R(R+R0 )
(R+R0 )4
= 0 ⇔ R + R0 − 2R = 0 ⇔ R = R0 . On
= 1.2 MW.
2
REef
(R+R0 )2
f
P0
2
P = (R+R0 )2 +L2 ω 2 Eef f ≤ 1
(R+R0 )2 +L2 ω 2
2
2R(R+R0 )
0 ⇔ (R+R )12 +L2 ω2 −
(R + R0 ) + L2 ω 2 − 2R (R
2 = 0
0
((R+R0 )2 +L2 ω2 )
p
2RR0 + L2 ω 2 − 2R2 − 2RR0 = 0
R = L2 ω 2 + R02 = 33Ω
A présent, P 0 =
.
dP 0
dR
R2 + R02
. Le maximum est atteint pour
soit
+ R0 ) =
=
+
. On trouve donc
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2
Daniel Suchet - 2012
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C , d'une bobine d'inductance L et d'une résisR en série. Le condensateur et la bobine sont initialement déchargés. Le circuit est alimenté par un générateur
de tension parfait qui délivre une force électromotrice E(t).
(
0
si t < 0
. On se place à t > 0.
1. Dans cette question, la tension E(t) vaut
E0 si t ≥ 0
On considère un circuit composé d'un condensateur de capacité
tance
(a) Exprimez l'équation diérentielle vériée par la tension
UC
aux bornes du condensateur.
(b) Donnez la forme générale des solutions de l'équation homogène associée.
(c) Proposez une solution particulière.
UC
(d) Tracez qualitativement, sur un même graphique, la forme de la tension
et de la tension
E
au cours
du temps.
2. Dans cette question, la tension
E(t)
vaut
(
0
E0 cos ωt
si
si
t<0
.
t≥0
(a) Exprimez l'équation diérentielle vériée par la tension
UC
On se place à
t > 0.
aux bornes du condensateur. Quelle diculté
supplémentaire apparait par rapport au cas précédent ?
(b) Justiez l'approximation suivante : si on se place à un temps susamment grand, on peut négliger les
solutions de l'équation homogène associée.
(c) On cherche une solution particulière sous la forme
réécrivez l'équation diérentielle vériée par
UC
UC (t) = UC0 cos (ωt + ϕC ).
(d) Tracez qualitativement, sur un même graphique, la forme de la tension
(e) Montrez que pour une certaine valeur de
ω
Justiez cette forme et
en introduisante la notation complexe.
UC
et de la tension
E.
0
l'amplitude UC est maximale.
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On considère le montage suivant, dans lequel trois blocs d'impédance
Z1 , Z 2
et
Z3
sont inconnus. On note
Z
l'impédance totale.
On mesure, en faisant varier la fréquence du générateur de
On trouve les résultats suivants :
R1 R10
R1 +R10
Pour
ω → 0, G1 →
Pour
ω → +∞, G1 →
Pour
ω → ω1 , G1 →
Pour
ω → ω3 , G3 →
1
,
G →
0
2
R 1 R1
0
0
0 +R2 +R3
R1 +R1
R1 R10
1
,
R1 +R10 R1 R10
0
+R
+R
2
0
3
R1 +R1
R10
0
à
+∞,
le gain déni par
R20
,
0
R1 R1
0
0
0 +R2 +R3
R1 +R1
G2 →
G3 →
R2
,
0
R1 R1
0
+R
+R
2
0
3
R1 +R1
Gi =
|ui |
|ue | ,
i ∈ [[1, 3]].
R30
.
0
R1 R1
0
0
0 +R2 +R3
R1 +R1
R30
.
0
R 1 R1
0
+R
+R
2
0
3
R1 +R1
G3 →
.
Z(ω)
R3 R30
1
.
R3 +R30 Z(ω)
Proposez des blocs pouvant correspondre à ces résultats.
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Daniel Suchet - 2012
ue = U0 cos (ωt), exprimez
H (jω) = uues du montage.
la fonction de transfert
2. Tracez qualitativement le diagramme de Bode en
amplitude du ltre.
3. Exprimez l'équation diérentielle vériée par
On cherche à étudier le montage ci dessus :
1. En considérant que la tension
ue
us .
4. Comment déterminer la réponse du ltre à une ten-
est de la forme
sion en dent de scie de fréquence
T
?
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On s'intéresse au fonctionnement d'un récepteur radio en démodulation d'amplitude. On privilégiera dans cet
exercice une approche qualitative.
Modulation
On veut transmettre par radio un message. Ce message correspond à une onde
appelle
modulant.
traitement
vm = Vm cos (ωm t),
qu'on
Pour le transmettre, on commence par le moduler en amplitude en lui faisait subir le
vm ,→ vm vp + vp ,
où
vp
est un signal porteur de la forme
vp = Vp cos (ωp t)
avec
ωp ωm .
1. Expliquez l'intéret de cette démarche de modulation.
2. Donnez une forme développée du signal modulé et tracez son allure. Quelles fréquences y apparaissent ?
Démodulation : fonctionnement d'un récepteur radio.
On s'intéresse maintenant à la récéption de l'onde dans un poste radio. On considère qu'aux bornes du circuit
1
et
Usi
Tracez l'allure du signal
Us1 .
se trouve un signal constitué d'une superposition d'onde, dont le signal modulé. On note
Uei
les
tensions d'entrée et de sortie des diérents blocs.
Bloc 1 choix de la fréquence.
us1
G
ue1 sous la forme 1+ j ω − ω0 .
Q ω
ω
•
Exprimez la fonction
•
Comment se comporte ce premier bloc si
H1 (jω) =
0
Dans la suite de l'exercice, on considera
Q 1?
Q1
A quoi sert-il alors ?
et on prendra
ω0 = ωp .
Bloc 2 détection des crètes.
On considère initialement que
résistance
r.
Ue2 > Us2
et que la diode est passante. Elle est alors assimilée à une petite
Exprimez l'équation diérentielle vériée par
Us2
et en déduire l'évolution de
Us2
tant que
la diode est passante.
A quel moment la diode devient elle bloquante ? Comment évolue alors la tension
Comment doit on choisir
τ = RC
Us2 ?
pour que le premier bloc serve eectivement de détecteur de crète ?
Tracez dans ce cas l'allure du signal
Us2 .
Bloc 3 élimination de la tension constante.
Exprimez la tension de sortie
Us3
en fonction de
Us2 .
On considère que le temps caractéristique de ce
troisième bloc est très petit devant celui du signal. Tracez l'allure du signal de sortie.
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Daniel Suchet - 2012
1. Exprimez
VN
en fonction de
Us
2. Exprimez
Us
en fonction de
VN et de Ue , puis
Us
.
H(jω) = U
e
et de
Ue .
ex-
primez la fonction de transfert
3. Dans le cas où
où
ω0 =
R = R0 ,
1
RC .
tracez
HdB (x)
avec
x=
ω
ω0
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Adaptation d'impédance
Puissance dissipée maximale avec Z et Z' si Z'=Z*
Donc Rg = Z* avec Z* l'impédance du bloc entier (condo + bobine + resistance)
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E(t) =
+∞
P
1
cos (2n + 1) 2π
E0 π4 2n+1
T t
n=0
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