Analyse - Résumés et exercices

Analyse - Résumés et exercices
Georges Skandalis
Université Paris Diderot (Paris 7) - IREM
Préparation à l’Agrégation Interne
6 mars 2015

Table des matières
1 Suites de nombres réels 1
1.1 Développement décimal des nombres réels cf. [Per]..................... 1
1.2 Cas des nombres rationnels cf. [Per]............................. 4
1.3 Axiomedelabornesupérieure................................ 6
1.4 Suitesdenombresréels.................................... 6
1.5 Exercices............................................ 9
1.5.1 Sur le développement décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2 Autres suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Approximation 12
2.1 Rapiditédeconvergence ................................... 12
2.2 Accélération de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Suites données par une formule de récurrence un+1 =f(un)................ 13
2.4 Solution d’une équation g(x)=0 .............................. 14
2.5 Exercices............................................ 15
3 Topologie des espaces métriques 18
3.1 Définitionsetpropriétés ................................... 18
3.1.1 Distances, espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2 Exemples d’espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.3 Propriétés des distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.4 Notionstopologiques ................................. 18
3.1.5 Propriétésmétriques ................................. 20
3.1.6 Comparaison de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.7 Produits finis d’espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Les grandes notions de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Compacité....................................... 21
3.2.2 Espaces métriques connexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Espaces métriques complets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Exercices............................................ 22
3.3.1 Espacesmétriques .................................. 22
3.3.2 Espaces métriques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.3 Connexité ....................................... 24
3.3.4 Complétude...................................... 25
i

4 Espaces vectoriels normés, espaces de Banach 26
4.1 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Espaces vectoriels normés de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Espacespréhilbertiens .................................... 29
4.4 Polynômesorthogonaux ................................... 31
4.5 Exercices............................................ 36
4.5.1 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5.2 Applications linéaires continues et leurs normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5.3 Utilisation de la compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5.4 Espacespréhilbertiens ................................ 39
4.5.5 UnpeudeFourier... ................................. 40
4.5.6 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Séries 42
5.1 Sériesgénéralités ....................................... 42
5.2 Sériesàtermespositifs.................................... 43
5.2.1 Séries absolument (normalement) convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.2 Séries semi-convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Exercices............................................ 46
6 Suites et séries de fonctions 49
6.1 Suitesdefonctions ...................................... 49
6.2 Sériesdefonctions ...................................... 51
6.2.1 Les principaux théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.2 Sériesentières..................................... 52
6.3 Exercices............................................ 53
7 Fonctions d’une variable réelle 58
7.1 Continuité........................................... 58
7.1.1 Définitions des limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.1.2 Relations de comparaison entre fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.1.3 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1.4 Continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2 Dérivabilité .......................................... 60
7.2.1 Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2.2 Théorèmes des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2.3 Dérivéessuccessives.................................. 61
7.2.4 FormulesdeTaylor.................................. 62
ii

7.2.5 Fonctionsconvexes .................................. 63
7.3 Exercices............................................ 64
7.3.1 Continuité....................................... 64
7.3.2 Bijectivité et fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3.3 Dérivabilité ...................................... 66
7.3.4 Convexité ....................................... 68
7.3.5 Dérivées successives, formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8 Fonctions de plusieurs variables 71
8.1 Fonctionsdifférentiables ................................... 71
8.2 Différentielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3 Extremums .......................................... 74
8.4 Difféomorphismes....................................... 74
8.5 Exercices............................................ 77
9 Équations différentielles 81
9.1 Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.1 Théorème d’existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.1.2 Méthode de la variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.1.3 Systèmes à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.2 Notions sur les équations différentielles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2.1 Le théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2.2 Quelques exemples de résolution « explicite » d’équations différentielles . . . . . 84
9.2.3 Un exemple « qualitatif » : Lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.3 Exercices............................................ 86
10 Solutions des exercices 88
10.1Suites ............................................. 88
10.2Approximation ........................................ 95
10.3Topologie ........................................... 102
10.4Espacesvectorielsnormés .................................. 108
10.5Séries.............................................. 118
10.6 Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.7 Fonctions d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10.8 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.9Équationsdifférentielles ................................... 154
Repères bibliographiques 159
Index 160
iii