TS4 DS7 30/03/11

TS4 DS7 30/03/11
Exercice1 : (1 point) Restitution organisée de connaissances :
Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ; b].
En admettant les propriétés de « linéarité » et de « positivité » de l’intégrale, démontrer que :
si pour tout t ∈ [a ; b], f (t ) g (t ) alors a b f (t )dt a
b g (t )dt .
Exercice 2 :( 6 points) Amérique du sud novembre 2009
Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée à 10−2 près de l’intégrale : I = 0
1 e−x
2 – xdx
1. a. Étudier les variations de la fonction f : x → f (x) = e−x
2−x sur l’intervalle [0 ; 1].
b. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on a : 1
e f (x) 1 2 .
2. Soit J et K les intégrales définies par J =0
1 (2+x)e−xdx et K = 0 1 x2 f (x)dx.
a. Au moyen d’une intégration par parties, prouver que J = 3− 4
e .
b. Utiliser un encadrement de f (x) obtenu précédemment pour démontrer que 1
3e K 1 6 .
c. Démontrer que J + K = 4I .
d. Déduire de tout ce qui précède un encadrement de I , puis donner une valeur approchée à 10−2 près de I .
Exercice 3 : (7 points ) métropole sep 2010
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ).
Soit (P ) le plan d’équation : 3x + y − z −1 = 0 et (D) la droite dont une représentation paramétrique est : x = −t +1
y = 2t
z = −t +2 où t IR
1. a. Le point C(1 ; 3 ; 2) appartient-il au plan (P ) ? Justifier.
b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans le plan (P ).
2. Soit (Q) le plan passant par le point C et orthogonal à la droite (D).
a. Déterminer une équation cartésienne du plan (Q).
b. Calculer les coordonnées du point I, point d’intersection du plan (Q) et de la droite (D).
c. Montrer que CI = 3.
3. Soit t un nombre réel et Mt le point de la droite (D) de coordonnées (−t +1 ; 2t ; −t + 2).
a. Vérifier que pour tout nombre réel t , CMt2 = 6t 2 −12t + 9.
b. Montrer que CI est la valeur minimale de CMt lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels.
Exercice 4 : (6 points)Pondichéry 2009
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = . On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans
un repère orthonormé (O ; i , j ) du plan. Cette courbe est représentée ci-dessous.
Partie A
1. Déterminer la limite de la fonction f en + .( on pourra écrire f (x) = )
2. Montrer que la fonction f admet un maximum en x = 2
2 .
3.Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction de a, l’aire F(a) de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe
des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = a.
Quelle est la limite de F(a) quand a tend vers + ∞ ?
Partie B
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un =nn+1 f (x)dx.
On ne cherchera pas à expliciter un.
1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1 , f (n +1) un f (n).
b. Quel est le sens de variation de la suite (un)n>2 ?
c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?
2. Pour tout entier naturel strictement positif n, on pose Sn = k=0
n−1
uk . Montrer que la suite (Sn) converge et donner sa limite.

TS4 - DS7 CORRECTION(début…)
Exercice 1 : (cours)
Exercice 2 : 1.a. Sur l’intervalle [0 ; 1], f est dérivable et f’(x) = −e– x (2−x)+e– x
(2−x)2 = e–x (1−2+x) (2−x)2 = e–x (x −1) (2−x)2 .
Pour tout x [0 ;1] on a e–x > 0et 2 – x >0 donc (2 – x)²>0 ainsi, f ’(x) est du signe de x – 1.
x
0 1
f ’(x)
0
1
2 1
e
b. D’après le tableau de variation précédent, pour tout x [0 ; 1], on a 1
e f (x) 1 2.
2.a. Posons u(x) = 2 + x v’(x) = e– x
u’(x) = 1 v(x) = −e– x
Les fonctions u’ et v’ étant continues, on peut intégrer par parties :
J = [ –( 2 + x )e–x] + 0
1 e–x dx = – (1 + 2)e–1 + (0 + 2)e0 + [ – e–x]= – 3e–1 + 2 – e–1 + 1 = 3 − 4
e
b. On sait que pour tout x [0 ; 1], on a 1
e f (x) 1 2 donc x² e f (x) x² 2 ainsi, comme 0 < 1 , en intégrant membre à membre (par
conservation de l’ordre) on obtient
0
1 x²
edx 0
1 f (x)dx 0
1 x²
2dx
donc 1
3e 0
1 f (x)dx 1
6
c.Par linéarité : J + K = 0
1 (2+x)e−xdx + 0 1 x2 f (x)dx = 0
1 (2 + x)e–x + x² e−x
2−x dx = 0
1 (2 –x)(2 + x)e – x+ x²e – x
2 – x dx = 0
1 4 e–x
2 – x dx = 4I
d.On a donc I = J + K
4 or on sait que 1 3e K 1 6 donc on en déduit que 3 4 – 11 12e I 19 24 – 1 e.