Variables aléatoires `a densité

Variables al´eatoires `a densit´e
Rappels :
Une variable al´eatoire r´eelle (VAR) est une application X: Ω →Ro`u (Ω,A, P ) est un espace proba-
bilis´e. Lorsque X(Ω) est un ensemble discret on dit que Xest une VAR discr`ete.
Pour toutes les VAR (discr`etes ou non) on d´efinit la fonction de r´epartition de X, que l’on note FX,
par FX(x) = P(X6x) pour tout r´eel x.
I Notion de variable al´eatoire `a densit´e
1 Densit´e
D´efinition 1
Soit Xune VAR d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,A, P ) et FXsa fonction de r´epartition. On dit
que Xest une variable al´eatoire r´eelle `a densit´e s’il existe une fonction fX:R→Rv´erifiant :
(i) fXest `a valeur r´eelles positives ou nulles
(ii) fXest continue sur R, sauf ´eventuellement en un nombre fini de points
(iii) Z+∞
−∞
fX(t)dt est convergente et Z+∞
−∞
fX(t)dt = 1
(iv) Pour tout x∈R,FX(x) = Zx
−∞
fX(t)dt
La fonction fXs’appelle alors une densit´e de la variable al´eatoire X.
Remarque :
La fonction fXn’est pas unique c’est pourquoi on dit que c’est une densit´e de X. En effet si gest une
fonction ´egale `a fXsauf en un nombre fini de points alors gest aussi une densit´e de X.
Nous admettrons le th´eor`eme suivant, qui nous permet de v´erifier si une fonction fdonn´ee est une
densit´e d’une variable X.
Th´eor`eme 1
Soit f:R→Rune fonction v´erifiant :
(i) fest `a valeur r´eelles positives ou nulles
(ii) fest continue sur R, sauf ´eventuellement en un nombre fini de points
(iii) Z+∞
−∞
f(t)dt est convergente et Z+∞
−∞
f(t)dt = 1
alors il existe un espace probabilis´e (Ω,A, P ) et une variable al´eatoire r´eelle Xd´efinie sur cet espace,
tels que fest une densit´e de la variable X.
On dit alors que fest une densit´e de probabilit´e.
Exemple 1:
Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(x) = (e−xsi x>0
0 si x < 0. Montrons que c’est une densit´e de proba-
bilit´e.
Nous allons ici appliquer le th´eor`eme 1 donc il nous faut v´erifier les 3 hypoth`eses de ce th´eor`eme :
(i) Comme l’exponentielle est positive, fest bien une fonction `a valeurs positives ou nulles.
(ii) •Sur ]− ∞; 0[ fest la fonction nulle donc fest continue sur ]− ∞; 0[.
•Sur [0; +∞[,fest la compos´ee des fonctions x→ −xet t→etqui sont continues sur R, donc f
est continue sur [0; +∞[.
Probabilit´es : Chapitre 4 Page 1 Variables al´eatoires `a densit´e

•Ainsi on a montr´e que fest continue sur R∗.
(On pourrait essayer de voir si fest continue en 0mais ce n’est pas n´ecessaire pour utiliser le
th´eor`eme 1 donc nous n’allons pas faire de travail inutile...)
(iii) Il nous faut maintenant v´erifier la convergence de Z+∞
−∞
f(x)dx et calculer la valeur de cette int´egrale.
•fest nulle sur ]− ∞; 0[ donc Z0
−∞
f(x)dx est convergente et vaut 0.
•Montrons la convergence de Z+∞
0
f(x)dx.
La fonction fest continue sur [0; +∞[donc le probl`eme se pose uniquement en +∞.
Soit A > 0,ZA
0
f(x)dx =ZA
0
e−x, dx =−e−xA
0= 1 −e−A.
Donc lim
A→+∞ZA
0
f(x)dx = 1.
Ainsi Z+∞
0
f(x)dx converge et Z+∞
0
f(x)dx = 1
•En conclusion l’int´egrale Z+∞
−∞
f(x)dx est convergente et vaut 0 + 1 = 1.
fest donc bien une densit´e de probabilit´e.
2 Caract´erisation par la fonction de r´epartition
Th´eor`eme 2
Si Fest la fonction de r´epartition d’une variable `a densit´e Xet si fest une densit´e de Xalors :
–Fest continue sur R.
–Fest de classe C1sauf ´eventuellement en un nombre fini de points et lorsque Fest d´erivable en x,
F′(x) = f(x).
Remarques :
– Les variables discr`etes ne sont donc pas des variables `a densit´e.
– Comme fest positive, la fonction de r´epartition est bien croissante.
– La fonction de r´epartition est une primitive de la densit´e.
Ces propri´et´es sur la fonction de r´epartition suffisent `a caract´eriser les variables `a densit´e :
Th´eor`eme 3
Soit Xune variable al´eatoire r´eelle de fonction de r´epartition F. Si :
(i) Fest continue sur R
(ii) Fest C1sur Rsauf en un nombre fini de points
alors Xest une variable al´eatoire `a densit´e.
De plus si fest une fonction positive ou nulle telle que F′(x) = f(x) en tout point xo`u Fest d´erivable,
alors fest une densit´e de X.
En pratique :
Pour d´emontrer qu’une variable Xdonn´ee est une variable `a densit´e, il faut trouver sa fonction de
r´epartition et v´erifier qu’elle est continue sur Ret C1sauf peut ˆetre en un nombre fini de points. Pour
trouver la densit´e de Xil suffit de prendre la d´eriv´ee de F.
Probabilit´es : Chapitre 4 Page 2 Variables al´eatoires `a densit´e

Exemple 2:
Soit Xune variable al´eatoire dont la fonction de r´epartition est la fonction Fd´efinie sur Rpar :
F(x) = 
0 si x < 2
1−8
x3si x>2
Montrer que Xest une variable `a densit´e et en d´eterminer une densit´e.
On va utiliser le th´eor`eme 3 donc nous avons deux choses `a v´erifier sur F.
(i) Sur ]− ∞; 2[,Fest une fonction constante donc continue. Sur ]2; +∞[la fonction x→8
x3est
continue donc Fest continue sur cet intervalle.
De plus lim
x→2−F(x) = 0 et lim
x→2+F(x) = 1 −8
8= 0 = F(2).
Donc Fest continue sur R.
(ii) Sur ]−∞; 2[,Fest une fonction constante donc C1. Sur ]2; +∞[la fonction x→8
x3est C1donc F
est C1sur ]2; +∞[.
Ainsi Fest de classe C1sur R\ {2}et pour x6= 2 :
F′(x) = 
0si x < 2
24
x4si x > 2
Xest donc bien une variable `a densit´e et une densit´e de Xest par exemple f(x) = 
0si x < 2
24
x4si x>2
Le th´eor`eme suivant permet de d´eterminer si une fonction Fdonn´ee est la fonction de r´epartition d’une
variable `a densit´e X.
Th´eor`eme 4
Soit Fune fonction de Rdans R. Si
(i) Fest une fonction continue sur R
(ii) Fest C1sur Rsauf en un nombre fini de points
(iii) Fest croissante sur R.
(iv) lim
x→+∞F(x) = 1 et lim x→−∞F(x) = 0
alors il existe un espace probabilis´e (Ω,A, P ) et une variable al´eatoire Xd´efinie sur cet espace, tels
que Fest la fonction de r´epartition de X.
De plus Xest alors une variable `a densit´e et si fest une fonction positive ou nulle telle que F′(x) = f(x)
en tout point xo`u Fest d´erivable, alors fest une densit´e de X.
Exemple 3:
On consid`ere la fonction Fd´efinie par :
F(x) =
0 si x < −1
1−√−x
2si −16x < 0
1 + √x
2si 0 6x61
1 si x > 1
Montrer que Fest la fonction de r´epartition d’une variable `a densit´e et en d´eterminer une densit´e.
Probabilit´es : Chapitre 4 Page 3 Variables al´eatoires `a densit´e

•Sur ]−∞;−1[ et sur ]1; +∞[,Fest une fonction constante donc continue. Sur ]−1; 0[ et sur ]0; 1[,
Fest continue comme compos´ee de fonctions usuelles continues. La continuit´e ne pose probl`eme qu’en -1,
0 et 1. Or : lim
−1−F= lim −1+F= 0 = F(−1)
lim
0−F= lim 0+F=1
2=F(0)
lim
1−F= lim
1+F= 1 = F(1)
Donc Fest continue sur R.
•A l’aide des fonctions usuelles on voit que Fest C1sur R\ {−1; 0; 1}et sur cet ensemble :
F′(x) = 
0si x < −1ou x > 1
1
4√−xsi −1< x < 0
1
4√xsi 0< x < 1
•Aux points o`u Fest d´erivable, on voit que F′(x)>0et comme Fest continue, Fest bien croissante
sur R.
•Enfin lim
x→−∞F(x) = 0 et lim x→+∞F(x) = 1
On peut donc dire que Fest la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire X`a densit´e. Une densit´e
de Xest par exemple :
f(x) = 
1
4p|x|si 0<|x|61
0sinon
0.5
1.0
1 2−1−2
Repr´esentation graphique de F
0.5
1.0
1 2−1−2
Repr´esentation graphique de f
3 Quelques propri´et´es
Propri´et´e 1
Soit Xune variable al´eatoire admettant une densit´e f.
(i) Pour tout xr´eel :
P(X < x) = P(X6x) = Zx
−∞
f(t)dt
P(X > x) = P(X>x) = Z+∞
x
f(t)dt
(ii) Pour tout aet br´eels tels que a6b:
P(a < X < b) = P(a6X < b) = P(a < X 6b) = P(a6X6b) = Zb
a
f(t)dt
(iii) Pour tout a∈R,P(X=a) = 0
Probabilit´es : Chapitre 4 Page 4 Variables al´eatoires `a densit´e

Corollaire 1
Soit Xune variable `a densit´e et fune densit´e de X. Si fest nulle en dehors d’un intervalle [a;b], alors
on a P(X < a) = 0 et P(X > b) = 0. On dit alors que Xprend ses valeurs dans l’intervalle [a;b].
Remarques :
– La probabilit´e de l’´ev´enement [a6X6b] apparait comme l’aire de la partie du plan situ´ee en dessous
de la courbe repr´esentative de f, au dessus de l’axe des abscisse et entre les droites d’´equation x=a
et x=b.
– On voit que contrairement aux variables discr`etes, on a ici pour tout x,P(X=x) = 0. Ainsi ce n’est
pas la donn´ee de P(X=x) qui est la loi de Xmais plutˆot la donn´ee de la fonction de r´epartition
ou de la densit´e.
4 Ind´ependance
D´efinition 2
Des VAR `a densit´e X1,···, Xnsur le mˆeme espace probabilis´e (Ω,A, P ) sont dites ind´ependantes si
pour tous r´eels (x1,···, xn) :
P n
\
k=1
[Xk6xk]!=
n
Y
k=1
P(Xk6xk)
Remarque :
Pour montrer que deux variables `a densit´e Xet Ysont ind´ependantes il faut montrer que pour tout
x∈Ret y∈Ron a P([X6x]∩[Y6y]) = P(X6x)×P(Y6y).
II Moments d’une variable al´eatoire `a densit´e
1 Esp´erance
a D´efinition
D´efinition 3
Soit Xune VAR de densit´e f. Si l’int´egrale Z+∞
−∞
tf(t)dt est absolument convergente alors on dit que
Xadmet une esp´erance que l’on note E(X) et on a :
E(X) = Z+∞
−∞
tf(t)dt
Exemple 4:
Soit fla fonction d´efinie sur Rpar : f(x) = (6x(1 −x) si x∈[0; 1]
0 sinon
Montrer que fest une densit´e d’une variable al´eatoire X.Xadmet-elle une esp´erance ? Si oui, la
calculer.
•
(i) Comme x(1 −x)>0pour x∈[0; 1],fest bien une fonction positive.
(ii) De plus on v´erifie facilement que fest continue sur R.
(iii) Enfin on voit que Z0
−∞
f(x)dx et Z+∞
1
f(x)dx sont convergentes car fest nulle sur ]− ∞; 0] et sur
[1; +∞[et Z1
0
f(x)dx est convergente car fest continue sur [0; 1].
Probabilit´es : Chapitre 4 Page 5 Variables al´eatoires `a densit´e