Puissances de 10 - Académie de Nancy-Metz

4ème : Chapitre14 : Puissances de 10 ; écritures scientifiques
1. Puissances de 10 ; introduction
1.1 Grands et petits nombres
Distance terre-soleil : 150 000 000km
Diamètre de notre galaxie : 1 000 000 000 000 000 000 km
Épaisseur d'un cheveu : 0,000 05m
Diamètre d'un virus : 0,000 000 000 1m
Il n'est pas pratique d'écrire
beaucoup de zéros. On transforme
l'écriture de ces nombres avec des
puissances de 10.
1.2 Écritures notations
1.3 Puissance avec exposant négatif
1.4 Exemples
2. Puissances de 10 et formules
Soient m et n deux entiers relatifs. 10n×10m=10n+m
Exemples : 105×1025=105+25
=1030
10-3×10-9=10-3+(-9)
=10-12
1,4×108×2×105=1,4×2×108×105
=2,8×108+5
=2,8×1013
Remarque : Priorité des opérations : L'écriture 105+25 signifie 10(5+25)
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Soient m et n deux entiers relatifs :
10n
10m=10n−m
Exemples :
1028
1030 =1028−30
=10−2
10−5
10−6=10−5−(−6)
=101
9,6×109
2×10−4=9,6
2×109
10−4
=4,8×109−(−4)
=4,8×1013
Soient m et n deux entiers relatifs : (10n)m=10n×m
Exemples :
(1025)3=1025×3
=1075
( 3×107 )
2=32×
( 107 )
2
=9×107×2
=9×1014
3. Problèmes concrets
Enoncé1 : Le poids d'un atome de carbone
est de 1,99×10-26kg. Quel est le poids de
5×1022 atomes de carbones ?
Solution :
1,99×10−26×5×1022=5×1,99×10−26×1022
=9,95×10−4
5×1022 atomes de carbone pèsent
9,95×10-4kg soit 0,995 grammes
Enoncé2 : La masse de l'étoile Van Maanen est de
1,38×1030kg et son volume est de 4,6×1021 m3. Calculer la
masse de 1m3 de cette étoile.
Solution :
1,38×1030
4,6×1021 =1,38
4,6 ×1030
1021
=0,3×1030−21
=0,3×109
La masse d'un m3 de cette étoile pèse 0,3×109 kg soit
300 000 000kg
4. Écritures scientifiques
4.1 Définition
Tout nombre décimal positif peut s'écrire en écriture scientifique sous la forme : a×10p
où a est un nombre décimal tel que
1⩽a<10
et p est un nombre entier relatif
Exemples :
0,0341=3,41×0,01
=3,41×10-2
3,41×10-2 est l'écriture scientifique
de 0,0341
34 500=3,45×10 000
=3,45×104
3,45×104 est l'écriture scientifique
de 34 500
Remarque : Un nombre décimal
négatif peut aussi s'écrire en écriture
scientifique. (on ajoute le signe
moins) -3,45×104 est l'écriture
scientifique de -34 500
Enoncé1 :
Donner les
écritures
scientifiques de
A=238×105 et
B=0,045×1012
Solutions :
A=238×105
A=2,38×102×105
A=2,38×107
B=0,045×1012
B=4,5×10-2×1012
B=4,5×1010
Enoncé2 : Donner un ordre de
grandeur de C=5 812 342×449 109 876.
Solution :
5 812 342 est proche de 5,8×106
449 109 876 est proche de 4,5×108
C 5,8×106×4,5×108
C 5,8×4,5×106×108
C 26,1×106+8
C 2,61×101×1014
C 2,61×1015
2,61×1015 est un ordre de grandeur de C.
4.2 Calculatrice
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5. Deux exemples du brevet
Enoncé1 : (Inspiré du Brevet)
Soit
B=2,5×10−3×9×105
15×10−4
. Donner l'écriture
décimale et l'écriture scientifique de B.
Solution :
B=2,5×10−3×9×105
15×10−4
B=2,5×9
15 ×10−3×105
10−4
B=22,5
15 ×10(−3+5)
10−4
B=1,5×102
10−4
B=1,5×10(2−(−4))
B=1,5×106
B=1500000
L'écriture décimale de B est 1 500 000 et l'écriture
scientifique de B est
1,5×106
Enoncé2 : (Inspiré du Brevet)
Donner l'écriture scientifique du nombre A tel
que
A=7×1015×8×10−8
5×10−4
.
Solution :
A=7×1015×8×10−8
5×10−4
A=7×8
5×1015×10−8
10−4
A=56
5×1015−8
10−4
A=11,2×107
10−4
A=11,2×107−(−4)
A=11,2×1011
A=1,12×101×1011
A=1,12×101+11
A=1,12×1012
L'écriture scientifique de A est
A=1,12×1012
4ème : Objectifs et Socle Commun - CHAPITRE14 : Puissance de 10.
4N203 Sur des exemples numériques, écrire et interpréter un nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir des
puissances de 10. /
4N204 Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur du résultat d’un calcul. /
4N202 Utiliser sur des exemples numériques les égalités : 10m × 10n = 10m + n, 1/10n= 10–n , (10m)n = 10m × n où m et n sont des
entiers relatifs. SC335
SC335 : Socle commun Palier3 (collège) ; Compétence3 (Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique) ; Thème : Savoir utiliser des connaissances et des compétences mathématiques ;
Item : Nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires. Mener à bien un calcul : mental, à la main, à la calculatrice, avec un ordinateur.
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