Calcul numérique et puissances

Calcul numérique et
puissances
Objectifs:
-Effectuer des calculs sur les nombres.
-Résoudre des problèmes simples.
Introduction sur les nombres
irrationnels
entiers
0
1
9
53
entiers relatifs
décimaux
rationnels
-1,34
7
3
 27
6
2
2
105
 3
5
-1 - 9
-4
10  2
0,017
19
13

1
3

-Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers,
(en particulier, les décimaux qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction décimale).
- Un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction de deux
entiers.
- Les rationnels et les irrationnels réunis forment l’ensemble des nombres réels.
I. Puissance d’un nombre relatif
1) Définition
Soit a un nombre relatif, n un nombre entier positif
différent de zéro:
an  a  a  a  ...  a
a n 
et
n facteurs a
Remarque : Par convention
Exemples :
a0 = 1
34  3  3  3  3  81
1
1
2
5 

 0, 04
2
25
5
et
1
an
a1 = a
2) Règles de calcul
Soient a et b des relatifs, n et m des entiers non nuls:
n
m
n
 a  b  an  bn
n m
a a  a
an
a
m
 
n
a
n m
a
m
 anm
Voir les démonstrations de ces règles dans le cahier d’exercices.
Exemples : Exprimer les calculs suivants sous la forme
d’une seule puissance
5
7
4 4 
54
56
12
9
an4  6 n m 2
a5
5
m
a

 
 7
a 
n
2
m
n m
5n7am  a12
a
4
4
6
12
12
 9 7
 anm

n
n 12
a63
 bn   a  b 
3) Les puissances de 10
Soit n un nombre entier positif différent de zéro :
n
10  10  10  ...  10
et
n facteurs 10
Remarque : Par convention
0, 00...01  10
n

1
10n
n chiffres
après la virgule
100 = 1
et
Exemples : 104  10  10  10  10  10 000
1
1
3
10 

 0, 001
3
1 000
10
On retrouve les mêmes règles que dans I. 2)
101 = 10
4) Notation scientifique
Ecrire un nombre sous forme scientifique, c’est l’écrire
sous la forme:
nombre décimal
compris entre 1 et 10
X
une puissance de 10
3
Exemples : 3 576, 4  3, 5764  1 000  3, 5764  1 0
4
7,
4

10
0, 000 74  7, 4  0, 0001 
Calculatrice en mode scientifique :
-Lorsque la calculatrice affiche : 8,25 03 cela signifie
8,25 103 soit 8250 … et non pas 8,25 au cube (qui vaut environ 562).
-Pour entrer le nombre 3,654 104 dans la calculatrice, il suffit
de taper :
x
3,654
x 10
4
II. Exemples de calcul numérique
Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :
Le dénominateur
commun de 7 et 42
est 42
3
2 5  
A

  5  
42  
8
 7
  12 5   40 3 
A

 

 42 42   8 8 
 7 37

42 8
 7  37
A
67 8
A
37
A
48
On simplifie par 7
Le dénominateur
commun de 1 et 8
est 8
7 11
B

7 11
20
2
B 7 2
B   20  2
20 11
7
2
B

7 11
2
20
7

B
 2
B   20 11
2  10  11
7 2
B
710
2
2

 11
7
B
B   2  10
 11
110 On simplifie par 2
7
B
7
110
B
110
2 
3
3
2


Les calculs au numérateur
5
4
5
4
B
 22 33 et au dénominateur sont
B
7
7
prioritaires


2

2  44
5
5
2
BB 
2
77
3
3  
7 
2 
2
2
7

B
  
 22  
  2
2
 
B
5
4  
2 
4
2
5
22 33 
77
BB  

2

2  
 Le
Le dénominateur
55 44   dénominateur
22


commun de 5 et 4
commun de 1 et 2
8
 15  est
42 7
7 
4

 8
est
20   15 
B



    
B


20 20
20   2
2 2
2 
20
88 15
15 44 77
BB 

  
20 20
20  22 22
20
7 11
11
7
B



B

20 2
2
20
77 11
11
BB  

Diviser par 11/2 revient à multiplier
20
20 22
par son inverse c’est-à-dire 2/11
7
2
7
2
B



B

20 11
11
20
Calculer et donner le résultat en notation scientifique:
3
 
 10 
C  7, 5  10  8,2  10
On regroupe
les décimaux
ensemble…
C  7, 5  8,2  103
On calcule
3
C  61, 5  10  10
C  61, 5  107
On donne le résultat
en notation
scientifique
C  6,15  106
5
5
10
2
2
et les puissances
de 10
ensemble
 
10
n
m
 10 nm
10n  10m  10 n  m
D
On regroupe
les décimaux
ensemble…
On calcule
3  105  7  103
50  10  4
3  7 105  103
D

50
10  4
D  0, 42 
108
10  4
D  0, 42  1012
On donne le résultat
en notation
scientifique
D  4,2  1011
et les puissances
de 10
ensemble
10n  10m  10 n  m
10n
10m
 10 n  m