Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels norm´es
C´edric Milliet
Version pr´eliminaire
Cours de troisi`eme ann´ee de licence
Universit´e Galatasaray
Ann´ee 2011-2012

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Chapitre 1
R-Espaces vectoriels norm´es
1.1 Vocabulaire de base
D´efinition 1 (norme)
Eest un R-espace vectoriel. On appelle norme sur Etoute application N:E→Rtelle que
1. N(x) = 0 si et seulement si x= 0E. (s´eparation)
2. Pour tout (x, λ)dans E×R, on a N(λx) = |λ|N(x). (homog´en´eit´e)
3. Pour tout (x, y)dans E2, on a N(x+y)≤N(x) + N(y). (in´egalit´e triangulaire)
Notation usuelle. N(x) =kxk
Nota bene. Pour tout (x, y) dans E2, on a |N(x)−N(y)| ≤ N(x−y).
D´efinition 2 (espace vectoriel norm´e)
Tout couple (E, N)o`u Eest un R-espace vectoriel et Nune norme sur Es’appelle un R-espace vectoriel
norm´e.
D´efinition 3 (normes ´equivalentes)
Soient N1et N2deux normes sur un R-espace-vectoriel E. On dit que N1et N2sont ´equivalentes si
∃(α, β)∈(R+∗)2∀x∈E N1(x)≤αN2(x)et N2(x)≤βN1(x)
Nota bene. C’est une relation d’´equivalence sur l’ensemble des normes sur E.
Proposition-d´efinition 4 (distance associ´ee `a une norme)
Soit (E, k k)un R-espace vectoriel norm´e. On appelle distance associ´ee `a la norme k k l’application
d:E×E−→ R+
(x, y)7→ d(x, y) =kx−yk
D´efinition 5 (distance)
Soit εun ensemble. On appelle distance sur εtoute application dde ε×εdans R+qui v´erifie les trois
propri´et´es suivantes :
1. pour tout (x, y)dans ε2, on ait d(x, y) = 0 ssi x=y. (s´eparation)
2. pour tout (x, y)dans ε2, on ait d(x, y) = d(y, x). (sym´etrie)
3. pour tout (x, y, z)dans ε3, on ait d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z). (in´egalit´e triangulaire)
D´efinition 6 (espace m´etrique)
On appelle espace m´etrique tout couple (ε, d)o`u dest une distance sur ε.
Proposition-d´efinition 7 (norme induite)
Soit (Ek k)un R-espace vectoriel norm´e, Fun sous-espace vectoriel de E. La restriction de k k `a Fd´efinit
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4CHAPITRE 1. R-ESPACES VECTORIELS NORM ´ ES
une norme sur F, appel´ee norme induite sur Fpar k k, et not´ee k kF(ou abusivement k k).
k kF:F−→ R+
x7→ k xk
Proposition-d´efinition 8 (norme sur un produit fini de R-espaces vectoriels norm´es)
Soient (E1, N1),...,(En, Nn)des R-espaces vectoriels norm´es, et soit Ele produit cart´esien E1× · · · × En.
L’application
E−→ R+
x= (x1, . . . , xn)7→ sup
1≤i≤n
Ni(xi)
est une norme sur Enot´ee ν∞. Ainsi, (E, ν∞)est un R-espace vectoriel norm´e.
Nota bene. On peut d´efinir sur Ed’autres normes ´equivalentes `a ν∞:
la norme ν1:x7→
n
i=1
Ni(xi) et la norme ν2:x7→
n
i=1
Ni(xi)2.
D´efinition 9 (alg`ebre norm´ee)
Soit Eune R-alg`ebre munie d’une norme k k. (On rappelle qu’une R-alg`ebre est un anneau qui est aussi
un R-espace vectoriel). On dit que (E, k k)est une R-alg`ebre norm´ee si cette norme est ”multiplicative”,
c’est-`a-dire si pour tout xet ydans E, on a
kx.y k≤k xk.kyk
Eest une R-alg`ebre norm´ee unitaire si de plus k1Ek= 1.
1.2 Exemples de R-espaces vectoriels norm´es
1. E=Ravec la norme usuelle |x|.
2. E=Rn. Si xest dans E, on pose x= (x1, . . . , xn).
(a) kxk∞= sup
1≤i≤n
|xi|
(b) kxk1=
n
i=1
|xi|
(c) kxk2=
n
i=1
|xi|2
3. E=Mn(R). Si Aest dans E, on pose A= (aij )1≤i,j≤n.
(a) kAk∞= sup
1≤i,j≤n
|aij |
(b) kAk1=
n
i=1
n
j=1
|aij |
(c) kAk2=
n
i=1
n
j=1
|aij |2
4. E=R[X]. Si Pest dans E, on pose P(X) =
n
k=0
akXk.
(a) kPk∞= sup
0≤k≤n
|ak|
(b) kPk1=
n
k=0
kak|
(c) kPk2=
n
k=0
|ak|2

1.3. NOTIONS M ´ ETRIQUES 5
(d) Na,b(P) = sup
x∈[a,b]
|P(x)|et N1(P) =
b
a
|P(t)|dt o`u aet bsont deux r´eels fix´es (avec a<b).
5. E=C0([a, b],R) o`u aet bsont deux r´eels (avec a < b). Soit fdans E.
(a) kfk∞= sup
x∈[a,b]
|f(x)|
(b) kfk1=
b
a
|f(t)|dt
(c) kfk2=
b
a
|f(t)|2dt
6. E=B(A, F ) o`u Aest un ensemble non vide et (F, k k) un R-espace vectoriel norm´e.
D´efinition 10 (fonction born´ee)
Une fonction f:A7→ Fest dite born´ee sur Asi l’ensemble {k f(x)k, x ∈A}est major´e. On note B(A, F )
l’ensemble des fonctions born´ees sur A`a valeurs dans F.
Proposition 11
B(A, F )est un R-espace vectoriel, et l’application k k∞d´efinie par
B(A, F )−→ R+
f7→ k fk∞= sup
x∈A
kf(x)kest une norme sur B(A, F ).
Un cas particulier usuel :
A=Net F=R. Dans ce cas, (B(A, F ),k k∞) est le R-espace vectoriel norm´e des suites born´ees `a
valeurs r´eelles. On le note `∞(R). Si ud´esigne la suite (un)n∈N, on a kuk∞= sup
n∈N
kunk.
7. E=`1(N,R). (d´esigne l’espace des suites r´eelles dont la s´erie est absolument convergente)
Proposition 12
Eest un R-espace vectoriel et l’application not´ee k k1qui `a un ´el´ement ude Eassocie i∈N|ui|est une
norme sur E.
8. E=`2(N,R). (d´esigne l’espace des suites r´eelles (un)n∈Nde ”carr´e sommable”, c’est-`a-dire telles que la
s´erie de terme g´en´erale (|un|2)n∈Nsoit convergente)
Proposition 13
Eest un R-espace vectoriel et l’application not´ee k k2qui `a un ´el´ement ude Eassocie i∈N|ui|2est une
norme sur E.
Exercice. Montrer que toutes ces applications sont des normes, et les comparer.
1.3 Notions m´etriques
1.3.1 Boules
D´efinition 14 (boules, sph`ere)
(E, k k)est un R-espace vectoriel, aun ´el´ement de E, et r > 0. On appelle
1. Boule ouverte de centre aet de rayon rl’ensemble B(a, r) = {x∈E:kx−ak< r}
2. Boule ferm´ee de centre aet de rayon rl’ensemble B0(a, r) = {x∈E:kx−ak≤ r}
3. Sph`ere de centre aet de rayon rl’ensemble S(a, r) = {x∈E:kx−ak=r}
Proposition 15
Une boule (ouverte ou ferm´ee) d’un R-espace vectoriel norm´e est convexe.