Exercice 1 Soit A un anneau commutatif. (i) Si A est un corps, quels

Lyc´ ee Janson de Sailly - MP* - 2005-2006 Semaine no2
Exercice 1
Soit Aun anneau commutatif.
(i) Si Aest un corps, quels sont les id´eaux de A[X] ?
(ii) On suppose que tous les id´eaux de A[X] sont principaux. Que peut-on dire
de A?
Exercice 2
Soit Aun anneau commutatif int`egre. On dit qu’un id´eal Ide Aest maximal
s’il n’existe pas d’id´eal Jde Av´erifiant : I$J$A.
(i) Si Iest un id´eal maximal de A, montrer que l’on a alors
∀(x, y)∈A2,xy ∈I⇒x∈Iou y∈I.
(ii) On suppose maintenant que tout id´eal de Aest principal.
Montrer que si un id´eal Ide Av´erifie la condition
∀(x, y)∈A2,xy ∈I⇒x∈Iou y∈I
alors il s’agit d’un id´eal maximal.
Exercice 3
Soit p>3 un nombre premier.
(i) D´eterminer le nombre de carr´es de Z/pZ.
(ii) Montrer que −1 est un carr´e dans Z/pZsi et seulement si p≡1[4].
(iii) En d´eduire qu’il y a une infinit´e de nombres premiers du type 4k+ 1.
Exercice 4
Soit Aet Bdeux sous-espaces vectoriels d’un R-espace vectoriel E. Montrer que
les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i)A∪Best un sous-espace vectoriel de E;
(ii)A∪B=A+B;
(iii)A⊂Bou B⊂A.
Exercice 5
(i) Montrer que la famille (1,√2) est li´ee dans le R-espace vectoriel Rmais
est libre dans le Q-espace vectoriel R.
(ii) Soit p1, ..., pkdes nombres premiers distincts. Montrer que la famille
(ln p1, ..., ln pk) est libre dans le Q-espace vectoriel R.
(iii) Pour tout λ∈R+, on note fλ(t) = cos(λt). Montrer que la famille (fλ)λ∈R+
est libre dans R-espace vectoriel des fonctions continues de Rdans R.
Exercice 6
Soit Aet Bdeux sous-espaces vectoriels de dimension rd’un K-espace vectoriel
Ede dimension n. Montrer que Aet Badmettent un suppl´ementaire commun.
Exercice 7
Soit n>2 et Fle sous-espace vectoriel de Rnengendr´e par e= (1, . . . , 1).
Montrer que Rn=F⊕Ho`u H=n(x1, . . . , xn)∈Rn;
n
X
i=1
xi= 0o.
Exercice 8
(i) Consid´erons une suite croissante de sous-espaces vectoriels (Fk)k∈Nde E
i.e. telle que : ∀k∈NFk⊂Fk+1. Montrer que la r´eunion S
k∈N
Fkest aussi
un sous-espace vectoriel de E.
(ii) Soit Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F∪Gest un
sous-espace vectoriel de Esi et seulement si F⊂Gou G⊂F.
Exercice 9
Soit Eun espace vectoriel sur un corps Kqui soit la r´eunion de k>3 sous-
espaces vectoriels stricts.
(i) Montrer que Kest fini.
(ii) Trouver un exemple avec card K=k−1.