Chapitre I Compléments d`algèbre : les polynômes

0·x1
1·x1
2·x1
3·x1
4·x1
5·x1
6·x1
7·x1
0·x2
1·x2
2·x2
3·x2
4·x2
5·x2
6·x2
7·x2
0·x3
1·x3
2·x3
3·x3
4·x3
5·x3
6·x3
7·x3
0·x4
1·x4
2·x4
3·x4
4·x4
5·x4
6·x4
7·x4
0·x5
1·x5
2·x5
3·x5
4·x5
5·x5
6·x5
7·x5
0·x6
1·x6
2·x6
3·x6
4·x6
5·x6
6·x6
7·x6
Chapitre I
Compléments d’algèbre :les polynômes
1

2CHAPITRE I. COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE :LES POLYNÔMES
1Les monômes
ADéfinitions
– Un monôme est le produit d’un réel, appelé coefficient, par une partie littérale, produit de
puissances, àexposants naturels, d’inconnues représentées par les lettres x,y,z,...
–Ledegré d’un monôme par rapport àune inconnue est l’exposantde cette inconnue.
Exemples :5 x2y3 est un monômeen x et y ,5est le coefficient ( partie numérique )et x2y3
est la partie littérale dontxet ysontles inconnues. C’est un monôme du deuxième degré
par rapport àxet du troisième degré par rapport ày.
–Des monômes semblables sontdes monômes ayantmême partie littérale.
Exemples :5x2y3,−x2y3et 10y3x2sontdes monômes semblables.
2Les polynômes
ADéfinitions
Un polynôme est une somme de monômes.
Exemple :5x4y3 −3x2
BRemarques :
–Un polynôme en une seule variable est une somme de monômes en cette variable.
–Tout monôme est un polynôme.
–Un polynôme est dit réduit lorsqu’il ne comporte plus de monômes semblables.
–
Un binôme est un polynômeréduit comprenantdeux termes. Un trinôme est un polynôme
réduit comprenanttrois termes. Un quadrinôme est un polynôme réduit comprenantquatre
termes.
–
Le degré d’un polynôme réduit est le plus grand exposantde la variable dans ce polynôme.
– Un polynôme est dit ordonné par rapport aux puissances décroissantes (croissantes) de la
variable siles exposants des puissances de cette variable sontplacés en ordre décroissant (
croissant).
–
Un polynôme réduit de degré n est complet lorsque la variableyfigure àtoutes les puissances
égales ou inférieures à n ycompris le terme de degré 0en la variable, appelé le terme
indépendantde la variable.
CValeur numérique d’un polynôme
Un polynôme en x est généralementnoté : P ( x )=..., R ( x )=... Pour chaque valeur numérique
de la variable, lepolynôme désigne un et un seul nombre réel.
La valeur numérique de P ( x )pour x = a est notée P ( a )et appelée la valeurdu polynôme lorsque
l’on remplace xpar aet que l’on réduit l’expression obtenue.
Exemple :P(x)=3x2 −5x+3et P(2) =3.22 −5.2+3=5

3. OPÉRATIONS SUR LES POLYNÔMES 3
3Opérations sur les polynômes
Remarque préliminaire:d’une manière générale, on appliquera les règles connues du calcul
dans R,puisque chaquepolynôme est une écriture littérale de réels.
AEgalité de deux polynômes
Deux polynômes réduits sontégaux si et seulementsi les termes de même degré ontdes
coefficients égaux.
BAddition
Règle :On applique l’ associativité et la commutativité de l’addition dans R et on additionne
les termes semblables.
Exemple :(2 x3 +3 x2 − 5)+(5 x2 − 5 x + l )=2 x3 +(3 x2 +5 x2 ) − 5 x +( − 5+1) =2 x3 +8 x2 − 5 x− 4
CSoustraction
Règle :On applique la propriété :"l’opposé d’une somme de réels égale la somme des opposés"
(c’est-à-dire enlever les parenthèses en changeantles signes de chaqueterme du polynôme à
soustraire) et on procède ensuitecomme pour la somme.
Exemple :(2 x3 +3 x2 − 5) − (5 x2 − 5 x + l )=2 x3 +3 x2 − 5 − 5 x2 +5 x−l =2 x3 +3 x2 − 5 x2 +
5x−5−1=2x3 −2x2+5x−6
DMultiplication
Règle :On applique lespropriétés du produit :multiplier les coefficients et ensuite les termes
littéraux, on applique ensuite la distributivité de la multiplication par rapport àl’addition dans R
et on additionne ensuite les termes semblables .
Exemple :(2 x3 +3 x2 − 5)( x +2) =2 x4 +3 x3 − 5 x +4 x3 +6 x2 − 10 =2 x4 +7 x3 +6 x2 − 5 x− 10
4Division d’un polynôme parun polynôme
ALa division euclidienne des polynômes
Définition :Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x)par le polynôme D(x),c’est
déterminer les polynômes quotientQ(x)et reste R(x)tels que
A(x)=D(x).Q(x)+R(x)
Le polynôme A ( x )est appelé le polynôme dividende .Le polynôme D(x) est appelé le polynôme
diviseur .Remarques :
–les degrés de ces polynômes répondentàl’égalité suivante :d◦A(x)=d◦D(x)+d◦Q(x)

4CHAPITRE I. COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE :LES POLYNÔMES
–
si A ( x )= D ( x ) .Q ( x ),on dit que le polynôme A ( x )est divisible par le polynôme D ( x );
dans ce cas, R(x)=0.
Disposition La méthode pratique de division d’un polynôme par un polynôme est basée sur
celle de la division écrite d’un nombre par un nombre.
Pour diviser un polynôme A(x)par un polynôme D(x):
–
on réduit et on ordonne par ordre décroissantdes puissances de la variable, les deux
polynômes
– oncomplète le polynôme A(x)
– oneffectue la division et on arrête lorsque le reste aun degré inférieur àcelui de D(x).
Exemple :On cherche àdiviser x2 −5x+3par x−2
x2 −5x+3x−2
−x2+2x x −3
−3x+3
3x−6
-3
BDivision d’un par un binôme de la forme (x−a)
Quand on divise un polynôme A ( x )par un binôme de la forme( x−a ),on sait que d◦D ( x )=1,
d◦R(x)=0et d◦Q(x)=d◦A(x)−1avec
A(x)=(x−a).Q(x)+r
puisque R ( x )est constanton le note alors r .Pour déterminer le quotientet le reste de cette
division par (x−a),deux méthodes peuvents’utiliser.
aPremière méthode :méthodede la division euclidienne
On utilise donc la disposition pratique de la division générale de deux polynômes (voir ? ?)

5. FACTORISATION 5
bDeuxième méthode :méthode de Horner
La recherche du quotientd’un polynôme par ( x−a )peut se faire par la méthode dite de
Horner1.
Exemple :On cherche àdiviser x2 −5x+3par x−2
1-5 3
22-6
1-3 -3
On obtientdonc (x2 −5x+3) =(x−2).(x−3) −3
Remarque :Avantdenoter les coefficients de A ( x )dans le tableau, il ne faut pas oublier de
l’ordonner et de le compléter si nécessaire par des termes de coefficients nuls.
Exemple (x4 −3x3+2x+5) :(x−2) =(x4 −3x3+0x2+2x+5) :(x−2) et donc
CLa loi du reste
Le reste de la division d’un polynôme A ( x )par un binôme de laforme ( x−a )est la valeur
numérique de ce polynôme pour x=a.
On adonc :r=A(a)
Un polynôme A ( x )est divisible par un binôme de la forme ( x−a )si le reste de la division de A ( x )
par (x−a)est nul c’est-à-dire si la valeur numérique de A(x)pour x=aest nulle ou A(a)=0
5Factorisation
ADéfinition
Factoriser une somme, c’est la transformer en un produit de facteur.
BMéthodes
Nous rappelons ici les prinicipales méthodes vues en 3
ème
.Elles serontillustrées au cours oral.
3 Mise en évidence simple :orsque tous les termes d’un polynôme ontun facteur commun, on
commence toujours par mettre ce facteur commun en évidence ;
3
Mise en évidence double :après une mise en évidence dans chaque groupe, apparaît un
facteur commun qui peut, àson tour, être mis en évidence ;
3Factorisation et produits remarquables
–
Binôme : a2 −b2 =( a−b )( a + b ), a3 −b3 =( a−b )( a2 + ab + b2 )et a3 + b3 =( a + b )( a2 + ab + b2 )
2
–Trinôme :(a−b)2=a2 −2ab +b2et (a+b)2=a2+2ab +b2
Remarque : il faut toujours vérifier quele double produit soit présentdans cette somme
(différence).
–
Quadrinôme cubeparfait :( a + b )
3
= a3 +3 a2b +3 ab2 + b3 et ( a−b )
3
= a3 − 3 a2b +3 ab2 −b33
3Méthode degroupement
1William Georges Horner, mathématicien anglais, 1786- 1837
2On démontre ces formules en développantcomplètement, par double distributivité, les seconds membres
3On démontre ces formules en observantque (a)
)
)3=(a)
)
)2.(a)
)
)