INFO-F-302, Cours d`Informatique Fondamentale Logique pour l

INFO-F-302, Cours d’Informatique
Fondamentale
Logique pour l’Informatique
Emmanuel Filiot
Département d’Informatique
Faculté des Sciences
Université Libre de Bruxelles
Année académique 2011-2012
Basé sur le cours Logique Informatique du Pr. J.-F. Raskin
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Littéraux et Clauses
Rappels
Une formule propositionnelle φest un littéral si et seulement si φest
une proposition ou la négation d’une proposition.
Une valuation Vsatisfait un ensemble de formules A={φ1, . . . , φn},
que l’on note V|=A, si et seulement si V|=φ1∧ · · · ∧ φn. Si A=∅,
alors toute valuation Vsatisfait A.
Donc, pet ¬psont des littéraux.
Définition
Une formule propositionnelle φest une clause si φ=ψ1∨ψ2∨ · · · ∨ ψnoù
n≥1et chaque ψi,1≤i≤n, est un littéral .
Par exemple, p∨ ¬q∨rest une clause.
2- INFO-F-302 - La Logique Propositionnelle /La Résolution

Clauses et ensembles de littéraux
Une clause
¬a1∨ ¬a2∨ · · · ∨ ¬am∨b1∨b2∨ · · · ∨ bn
où a1,a2,...,am,b1,b2,...,bnsont des propositions peut être écrite
comme l’implication :
a1∧a2∧ · · · ∧ am→b1∨b2∨ · · · ∨ bn
ou encore comme une paire d’ensembles (N,P)où N={a1,a2,...,am}et
P={b1,b2,...,bn}(Npour négatif et Ppour positif). Donc Ncontient
l’ensemble des propositions qui apparaissent négativement dans la clause,
alors que Pcontient l’ensemble des propositions qui apparaissent
positivement dans la clause.
3- INFO-F-302 - La Logique Propositionnelle /La Résolution

Différents types de clauses
Une clause (N,P)est
une clause négative si P=∅;
une clause positive si N=∅;
une clause vide si N=P=∅(on la note ⊥) ;
une clause tautologique si N∩P6=∅.
4- INFO-F-302 - La Logique Propositionnelle /La Résolution

Interprétation des clauses
Définition
Une valuation Vsatisfait une clause C= (N,P), ce que l’on note V|=C,
si et seulement si il existe a∈Ntel que V(a) = faux ou si il existe b∈P
tel que V(b) = vrai.
Et donc,
1La clause vide n’est satisfaite par aucune fonction d’interprétation.
2La clause vide est la seule clause non satisfaisable.
3Une clause tautologique est satisfaite par toutes les fonctions
d’interprétation.
5- INFO-F-302 - La Logique Propositionnelle /La Résolution