8.6 Variation de l`énergie mécanique

8.6 Exemple Variation de l’énergie mécanique
Analysons l’exemple 2 suivant
Deux blocs de masses m1 = 2,0 kg et m2 = 3,0 kg sont
suspendus de chaque côté d’une poulie sans masse. Le bloc
de masse m1 est sur un plan incliné (θ = 300 ) et il est fixé à un
ressort dont la constante vaut 40 N/m. Si le système est lâché
du repos,
a) déterminez l’allongement maximal du ressort , si µc =0,15
b) la vitesse de m2 après une chute de 50 cm.
Situation:
Problème:
m1
Je cherche xmax
m2
Solution possible:
1
8.6 Variation de l’énergie mécanique
Exemple 2 : Deux blocs de masses m1 = 2,0 kg et m2 = 3,0 kg sont
suspendus de chaque côté d’une poulie sans masse. Le bloc de masse
m1 est sur un plan incliné (θ = 300 ) et il est fixé à un ressort dont la
constante vaut 40 N/m. si le système est lâché du repos,
a) déterminez l’allongement maximal du ressort , si µc =0,15
b) la vitesse de m2 après une chute de 50 cm.
Situation:
Problème: Je cherche x max
Solution possible: J’utilise
Wnc = ∆E m
m2
Le travail fait par la force de
frottement va faire varier
l’énergie mécanique.
2
8.6 Variation de l’énergie mécanique
Situation:
N
+
Solution possible: J’utilise
D
Wnc = ∆E m
T
T
fc
Fg1
D
Je cherche
xmax = D
m2
+
Fres
????
Wnc = E m f − E m i
Fg2
Identification des forces
Tension -> T,
Force gravitationnelle -> Fg ,
,Normale
-> N
Force dans le ressort - > Fres , Force de frottement - > fc
3
8.6 Variation de l’énergie mécanique
Situation:
Solution possible:
D
N
Wnc = ∆E m
T
T
xmax = D
fc
Fg1
D
m2
Fres
Wnc = E m f − E m i
Fg2
E m f − E m i = Wnc
Dans cette situation,
on sait que Wnc < 0
K f + U f − K i − U i = Wnc
4
8.6 Variation de l’énergie mécanique
Situatio
n: N
Solution possible:
D
E m f − E m i = Wnc
T
T
fc
Fres
Fg
D
K f + U f − K i − U i = Wnc
m2
1
Fg
Ug =0 ??
Difficulté: Nous avons ici deux
objets, et il est difficile de trouver
l’endroit où Ug =0
Dans une situation de ce genre, c’est plus simple de traiter les
variations des énergies:
∆K 1 + ∆K 2 + ∆U = Wnc
5
8.6 Variation de l’énergie mécanique
Situatio
n: N
Solution possible:
D
E m f − E m i = Wnc
T
∆K + ∆U = Wnc
T
fc
Fres
Fg
m2
D
Nous cherchons l’allongement
maximal D, donc
1
Fg
Nous aurons pour le ressort
un gain d’énergie
potentielle
Pour la masse mi un
gain d’énergie
potentielle
∆K 1 = 0 et ΔK 2 = 0
∆U res
1
= k (D 2 − 02 )
2
∆U g = m1 gh1 = m1 gD sin θ
1
6
8.6 Variation de l’énergie mécanique
Situatio
n: N
D
gain
T
∆U g 1
T
fc
Fres
Fg
D
m2
1
Fg
1
2
2
∆U res = k ( D − 0 )
2
= m1 gh1 = m1 gD sin θ
Pour la masse m2 , une
diminution d’énergie
potentielle
∆U g = m 2 gh2 = −m 2 gD
2
perte
Finalement, pour le travail fait par la force de frottement,
nous aurons
W fc = − f c D = − µ c ND = − µ c m1 g cos θD
7
8.6 Variation de l’énergie mécanique
En regroupant tous ces termes
1 2
kD + m1 gD sin θ − m2 gD = − µ c m1 gD cos θ
2
gain
gain
perte
perte
1
kD = m2 g − m1 g sin θ − µ c m1 g cos θ
2
D = 2(m2 g − m1 g sin θ − µ c m1 g cos θ ) / k
D = 2(3 × 9,81 − 2 × 9,81× sin 30 o − 0,15 × 2 × 9,81× cos 30 o ) / 40
D = 0,854
m
Résultat probable: L’allongement maximal D sera de 0,854 m
8
8.6 Variation de l’énergie mécanique
Situation:
D
N
b) Déterminez la vitesse
de m2 après une chute
de 50 cm
T
T
fc
Fg1
D
m2
On utilise le même
principe
Fres
Fg2
Wnc = E m f − E m i
Où la variation de l’énergie
cinétique est
Wnc = ∆K + ∆U
1
1
2
2
∆K = m1v1 + m2 v2
2
2
9
8.6 Variation de l’énergie mécanique
Situation:
D
b) Déterminez la vitesse
de m2 après une chute
de 50 cm
N
T
T
fc
Fg1
D
Wnc = ∆K + ∆U
m2
Fres
Fg2
1
∆K = (m1 + m2 )v 2
2
La variation de l’énergie potentielle garde la même forme, mais on
replace D par 0, 5 m
1
∆U = k (0,5) 2 + m1 g (0,5) sin θ − m2 g (0,5)
2
10
8.6 Variation de l’énergie mécanique
Situation:
D
1
∆U = k (0,5) 2 + m1 g (0,5) sin θ − m2 g (0,5)
2
N
T
1
∆K = (m1 + m2 )v 2
2
T
fc
Fg1
D
m2
Fres
Fg2
Finalement, pour le travail fait par la force de frottement,
nous aurons
W fc = − f c (0,5) = − µ c N (0,5) = − µ c m1 g cos θ (0,5)
11
8.6 Variation de l’énergie mécanique
En regroupant tous ces termes
1
1
(m1 + m2 )v 2 + k (0,5) 2 + m1 g (0,5) sin θ − m2 g (0,5) = − µ c m1 g cos θ (0,5)
2
2
En remplaçant par les chiffres
on obtient , voir détails à la fin
v = 1,18
m/s
Résultat probable: La vitesse de la masse 2 après 50 cm sera de
1,18 m/s vers le bas
La situation sans frottement est analysée à l’exemple 8.6
Conclusion, l’énergie mécanique n’est pas conservée en présence du
frottement
12
8.10 Généralisation du principe de conservation de l’énergie
Comme vous le savez, la notion d’énergie est utilisée dans divers
domaines autres que la physique, tels la chimie, la biologie, le génie,
etc.
En étudiant le comportement de la nature, les scientifiques en
sont venus à la conclusion vers les années 1845 que, jusqu’à
preuve du contraire, l’énergie peut changer de forme, mais elle
ne peut jamais être créée ni détruite.
Ce principe est le point de départ de beaucoup d’explications
et surtout de prédictions sur le comportement de la nature.
Le travail reste une bonne façon de mesurer ce transfert ou ce
changement de forme d’énergie.
Dans le domaine scientifique, il faut que la définition d’une forme
d’énergie soit toujours accompagnée de la façon dont on doit la
mesurer.
Note: Les trous noirs ; Intéressant à lire dans vos temps libres
13
Chapitre 8
Résumé :
Lorsque qu’un système isolé n’est soumis qu’à l’action de forces conservatives
nous pouvons utiliser le principe de conservation de l’énergie mécanique, pour
analyser le mouvement ( position et vitesse) des éléments du système.
K i + U i = K f + U f = Em
∆K + ∆U = ∆E m = 0
Énergie
cinétique
Énergie
potentielle
Énergie
mécanique
Nous avons vu que les forces conservatives doivent satisfaire trois
conditions.:
•Travail aller-retour nul
•Travail indépendant du trajet
•Une force conservative est égale à moins la dérivée d’une fonction énergie
potentielle
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Chapitre 8
Résumé :
dU
Fc = −
dr
Autrement dit
Wc = − ∆U
Fonction énergie potentielle de position
U ( y ) = mgy
gravitationnelle
J
1
U ( x) = kx 2 J
2
ressort
Nous savons également que le travail effectué par des forces non
conservatives ( frottement) fait varier l’énergie mécanique
Wnc = ∆E m = E mf − E mi
L’énergie peut changer de forme, mais elle ne peut jamais être créée
ni détruite.
Hyperphysics
Conservation of energy
15
8.8 Diagrammes d’énergie
Intéressant à lire durant vos temps libres
8.9 Énergie potentielle gravitationnelle et vitesse de
libération
Analyse du mouvement de satellite et de fusée à partir du principe
de conservation de l’énergie mécanique
Intéressant à lire durant vos temps libres
16
8.6 Variation de l’énergie mécanique
En regroupant tous ces termes
1
1
(m1 + m2 )v 2 + k (0,5) 2 + m1 g (0,5) sin θ − m2 g (0,5) = − µ c m1 g cos θ (0,5)
2
2
5 2
40
v = 3g (0,5) − (0,5) 2 − 2 g (0,5) sin 30−,15 × 2 g cos 30 × (0,5)
2
2
2 × 3 × 9,81(0,5) − 40(0,5) 2 − 2 × 2 × 9,81(0,5) sin 30 − 2 × 0,15 × 2 × 9,81 cos 30(0,5)
v=
(2 + 3)
v = 1,18
m/s
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