Exercice 5. Considerons Rnavec sa norme euclidienne standard k·k2. Les parties suivantes de
Rnsont-elles ouvertes ? Ferm´ees ?
(a) A={(x, y)∈R2|x2+y2< x3+y3}, (b) B={(x, y, z)∈R3|z≥1,ln z≤y2+x2},
(c) C={(x, y, z)∈R3|x≥y, z2< x +y}, (d) D={(x, y)∈R2|x≥0, y2−x < 0}.
Exercice 6. Soit Mn(R) l’espace des matrices carr´ees de dimension n`a valeurs r´eelles. Soit k·k∞
la norme infini sur Mn(R) vu en tant que R-espace vectoriel. Les parties suivantes de Mn(R)
sont-elles ouvertes ? Ferm´ees ?
(a) A={M∈ M2(R)|M2=M},
(b) B={M∈ M3(R)|det M= 0},
(c) C={M∈ M2(R)|tM=−M},
(d) D={M∈ M2(R)|0<det M < 2,tr M < −1},
(e) E={M∈ M2(R)| kMvk2<1}, avec vn’importe quel vecteur fix´e de R2.
Fonctions uniform´ement continues et fonctions lipschitziennes
Exercice 7. Dans les cas suivants, d´eterminer si les applications donn´ees sont continues, lipschit-
ziennes, uniform´ement continues. Sur Rn, sauf si diff´eremment sp´ecifi´e, on consid`ere la norme
euclidienne standard k·k2.
(a) f: [0,1] →R, donn´ee par f(x) = x3,
(b) f:R→R, donn´ee par f(x) = x3,
(c) f:−π
2,π
2→R, donn´ee par f(x) = tan x,
(d) f:R→R, donn´ee par f(x) = arctan x,
(e) f: [0,+∞[→R, donn´ee par f(x) = √x,
(f) f: [1,+∞[→R, donn´ee par f(x) = √x,
(g) f:R2→R, donn´ee par f(x, y)=2x−3y,
(h) f:R2→R, donn´ee par f(x, y) = 2x−3y, o`u on consid`ere R2avec la norme k·k1,
(i) f:R2→R, donn´ee par f(x, y)=2x−3y, o`u on consid`ere R2avec la norme k·k∞,
(j) f:R2→R3, donn´ee par f(x, y) = x−y, x +y, sin(xy).
Exercice 8. Soient V1, V2, V3trois espaces vectoriels norm´es, et soient f:V1→V2et g:V2→V3
deux fonctions.
(a) Montrer que si fest Lf-lipschitzienne et gest Lg-lipchitzienne, alors g◦fest une fonction
L-lipschitzienne, avec L=Lf·Lg.
(b) Montrer que si fet gsont uniform´ement continues, alors g◦fl’est aussi.
(c) Montrer que flipschitzienne implique funiform´ement continue, et funiform´ement continue
implique fcontinue.
Exercice 9. Soit f:R→Rune application d´erivable. Montrer que fest lipshitzienne si et
seulement si f0est born´ee. Montrer que dans ce cas on a que la constante de Lipschitz de fest
donn´ee par
L(f) = sup
x∈R|f0(x)|.
Normes subordonn´ees
Exercice 10. Soit (V, k·k) un espace vectoriel norm´e. Soit End(V) l’espace des applications
lin´eaires L:V→V. D´esignons par [] ·[] la norme subordonn´ee induite par k·k sur End(V).
(a) Montrer que [] Id[] = 1.
(b) Montrer que []L2◦L1[] ≤[]L1[] ·[]L2[]. Montrer `a l’aide d’un exemple que l’in´egalit´e peut ˆetre
stricte.
(c) En d´eduire que si Lest inversible, alors []L−1[] ≥[]L[]−1.
Exercice 11. Soit V∼
=Rn, et k·k1la norme un sur Rn. Soit [] ·[]1la norme subordonn´ee induite
par k·k1sur End(V)∼
=Mn(R). Montrer que pour tout A= (aij )∈ Mn(R) on a
[]A[]1= max
1≤j≤n
n
X
i=1 |aij |.
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