LIMITE D`UNE SUITE - Christophe Bertault

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
LIMITE D’UNE
1
SUITE
GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES RÉELLES
Définition (Suite réelle) On appelle suite (réelle) toute fonction u de N dans R. Pour tout n ∈ N, on préfère noter un le
réel u(n), et (un )n∈N ou (un )n¾0 la suite u.
Explication
• On travaillera seulement dans ce chapitre avec des suites définies sur tout N, mais on pourrait bien sûr travailer avec
des suites définies sur des ensembles de la forme ¹n0 , +∞¹ avec n0 ∈ N.
• Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite (un )n∈N :
— soit comme une fonction de N dans R, c’est-à-dire de manière plane avec N en abscisse et R en ordonnée,
— soit comme un ensemble de points le long d’un axe.
un
r
r
r
r
u10
r
r
r
u9 u8
r
r
r
r
0
r
r
r
r
r
u11 u7 u4 u0 u6
r
u12
r
r
r
r
r
u2 u5
r
r
r
r
2 u1 u3
1
n
Définition (Vocabulaire usuel sur les suites réelles) Soit (un )n∈N une suite réelle.
• On dit que (un )n∈N est majorée si un n∈N est une partie majorée de R, i.e. si :
∃ M ∈ R/
∀n ∈ N,
un ¶ M .
Un tel M est appelé UN majorant de (un )n∈N . On dit aussi que (un )n∈N est majorée par M ou que M majore (un )n∈N .
On dispose bien sûr d’une définition analogue des suites minorées.
• On dit que (un )n∈N est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, i.e. si :
∃ K ∈ R+ /
• On dit que (un )n∈N est positive si elle est minorée par 0, i.e. si pout tout n ∈ N :
∀n ∈ N,
|un | ¶ K.
un ¾ 0.
On dispose bien sûr d’une définition analogue des suites négatives.
• On dit que (un )n∈N est croissante (resp. strictement croissante) si pour tout n ∈ N :
un ¶ un+1
(resp. un < un+1 ).
On dispose bien sûr de définitions analogues des suites décroissantes et strictement décroissantes.
• On dit que (un )n∈N est monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante).
Une suite majorée ne possède
! $
$ ATTENTION
p
3, π, 15. . . Par ailleurs :
JAMAIS UN SEUL MAJORANT.
Une suite majorée par 2 l’est aussi par
Les majorants d’une suite sont par définition des constantes. Une majoration de un
par un réel QUI DÉPEND DE n NE montre PAS que la suite (un )n∈N est majorée.
En pratique Pour montrer qu’une suite (un )n∈N est monotone, deux méthodes courantes :
— étudier le signe de un+1 − un ,
—
un+1
par rapport à 1 — méthode intéressante
un
surtout lorsque un est défini par des produits et des quotients et qu’on peut espérer des simplifications.
SI
un > 0 POUR TOUT n ∈ N :
étudier la position de
1
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Exemple
2n
. Alors la suite (un )n∈N est croissante.
n+1
En effet Les deux méthodes de différence et quotient sont envisageables ici. Au choix, donc, pour tout n ∈ N :
€
Š
2n n
2n
2n
2n+1
2(n + 1) − (n + 2) =
−
=
¾ 0.
• Différence :
un+1 − un =
n+2 n+1
(n + 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
Pour tout n ∈ N, on pose :
• Quotient :
un > 0
un =
ET
un+1
n+1
(n + 2) + n
n
2n+1
2(n + 1)
× n =
=
=1+
¾ 1.
=
un
n+2
2
n+2
n+2
n+2
Définition (Propriété vraie à partir d’un certain rang) Soient (un )n∈N une suite et P = (Pn )n∈N une suite de
propositions portant sur (un )n∈N . On dit que (un )n∈N vérifie la propriété P à partir d’un certain rang s’il existe N ∈ N tel
que pour tout n ¾ N , la proposition Pn soit vraie.
Ce qu’une suite a d’intéressant, ce ne sont pas ses premiers termes mais son comportement « à
Explication l’infini ». Si par exemple tous ses termes sont majorés par 1 sauf les 30 premiers, on a bien envie de dire que la suite est
« presque » majorée par 1. Pour être exact, on dit qu’elle est majorée par 1 à partir d’un certain rang.
On peut définir une suite principalement de deux façons — soit explicitement, soit implicitement par
Explication récurrence. Ceci ne veut pas dire qu’il y a deux sortes de suites, ce sont là seulement deux manières de les définir. Une suite
géométrique, par exemple, peut être définie aussi bien explicitement — « un = q n u0 » — que par récurrence — « un+1 = qun ».
• Suites définies explicitement : Définir une suite (un )n∈N explicitement, c’est la définir à l’aide d’une certaine fonction f par une expression « un = f (n) ». Avec une telle définition il n’est pas difficile de calculer u1000 , on calcule
directement f (1000).
De nombreuses propriétés de f se transmettent alors telles quelles à (un )n∈N , qui n’est après tout que la restriction de
f à N — ainsi la monotonie, le signe et le caractère majoré/minoré/borné.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
f est bornée. . .
. . . donc (un )n∈N est bornée.
r
r
. . . donc (un )n∈N est croissante.
f est croissante. . .
• Suites récurrentes définies par une relation « un+1 = f (un ) » : On peut définir une suite (un )n∈N par récurrence par
la donnée de son premier terme u0 et d’une relation « un+1 = f (un ) » où f est une fonction. Une telle définition présente
un énorme inconvénient, on est obligé pour calculer u1000 de calculer les uns après les autres u1 , . . . , u999 , u1000 .
$ ATTENTION ! $
Pour une suite récurrente (un )n∈N
définie par une relation
« un+1 = f (un ) » :
y=x
f est croissante
=⇒
(un )n∈N est croissante.
f est décroissante
=⇒
(un )n∈N est décroissante.
y=x
y = f (x)
y = f (x)
. . . u3 u2 u1
u1 u3 u5 . . . u4 u2
u0
f est croissante MAIS (un )n∈N décroissante.
u0
f est décroissante MAIS (un )n∈N n’est même pas monotone.
Nous reviendrons plus longuement dans un prochain paragraphe sur les suites récurrentes « un+1 = f (un ) ».
2
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
LIMITE D’UNE SUITE RÉELLE DANS R
2
La notion de voisinage, issue d’une partie des mathématiques appelée topologie, n’est pas au programme de MPSI mais
elle facilite grandement la compréhension des limites. Je ne vous en donne ci-dessous qu’une DÉFINITION SIMPLIFIÉE.
Définition (Voisinage d’un point dans R, définition simplifiée) Soit ℓ ∈ R. On appelle voisinage de ℓ (dans R) :
— si ℓ ∈ R, tout intervalle de la forme ]ℓ − ǫ, ℓ + ǫ[ avec ǫ > 0,
— si ℓ = +∞, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ avec A ∈ R,
— si ℓ = −∞, tout intervalle de la forme ]−∞, A[ avec A ∈ R.
L’idée, c’est qu’un voisinage de ℓ contient tous les réels « à proximité immédiate » de ℓ.
ǫ
A
A
ℓ
+∞
−∞
+∞
−∞
Voisinage de −∞
Voisinage de +∞
Voisinage de ℓ ∈ R
Explication
−∞
b
+∞
Théorème (Deux points distincts ont des voisinages disjoints) Soient ℓ, ℓ′ ∈ R. Si ℓ 6= ℓ′ , il existe un voisinage V de
ℓ et un voisinage V ′ de ℓ′ pour lesquels V ∩ V ′ = ∅.
Démonstration
−∞
−∞
ǫ ǫ ǫ
ℓ
b
ℓ′
b
V′
V
1
ℓ
b
V
2
V′
+∞
Nous ne traiterons que deux cas caractéristiques, les autres se traitent de la même manière.
ℓ′ − ℓ
, puis : V = ]ℓ − ǫ, ℓ + ǫ[ et
3
′
Alors V est un voisinage de ℓ, V un voisinage de ℓ′ et : V ∩V ′ = ∅.
• Cas où ℓ, ℓ′ ∈ R avec ℓ < ℓ′ : Posons :
V ′ = ]ℓ′ −ǫ, ℓ′ +ǫ[.
ǫ=
ℓ′
+∞ • Cas où ℓ ∈ R et ℓ′ = +∞ : Posons : V = ]ℓ−1, ℓ+1[ et V ′ = ]ℓ+2, +∞[.
V est un voisinage de ℓ, V ′ un voisinage de ℓ′ = +∞ et : V ∩ V ′ = ∅.
Alors
„
La définition suivante est l’objet central de ce chapitre.
Définition (Limite d’une suite) Soient (un )n∈N une suite et ℓ ∈ R.
• Définition générale : On dit que (un )n∈N admet ℓ pour limite si tout voisinage de ℓ contient tous les un à partir
d’un certain rang, i.e. si :
pour tout voisinage V de ℓ, un appartient à V à partir d’un certain rang.
• Cas d’une limite finie : Lorsque ℓ ∈ R, on dit que (un )n∈N admet ℓ pour limite si :
∀ǫ > 0,
ou bien de manière plus concise, si :
∃ N ∈ N/
∀n ∈ N,
∀ǫ > 0,
∃ N ∈ N/
n ¾ N =⇒ |un − ℓ| < ǫ,
∀n ¾ N ,
|un − ℓ| < ǫ.
• Cas de la limite +∞ : On dit que (un )n∈N admet +∞ pour limite si :
∀A > 0,
ou bien de manière plus concise, si :
∃ N ∈ N/
∀A > 0,
∀n ∈ N,
∃ N ∈ N/
n ¾ N =⇒ un > A,
∀n ¾ N ,
un > A.
• Cas de la limite −∞ : On dit que (un )n∈N admet −∞ pour limite si :
∀A < 0,
ou bien de manière plus concise, si :
∃ N ∈ N/
∀A < 0,
∀n ∈ N,
∃ N ∈ N/
3
n ¾ N =⇒ un < A,
∀n ¾ N ,
un < A.
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
On peut montrer que les inégalités strictes « |un − ℓ| < ǫ », « un > A » et « un < A » peuvent être
En pratique remplacées par des inégalités larges « |un − ℓ| ¶ ǫ », « un ¾ A » et « un ¶ A », cela n’affecte pas la notion de limite. Pour une
raison qui dépasse ce cours, les mathématiciens considèrent que les inégalités strictes sont plus adaptées, mais les inégalités
larges vous sembleront peut-être plus facile à manipuler.
Inégalités STRICTES ou inégalités LARGES, choisissez ce que vous préférez.
Ces définitions un peu obscures au premier abord satisfont en réalité parfaitement l’intuition que
Explication nous avons des limites. Nous nous contenterons de trois remarques en guise d’explication.
— Trois voisinages V1 , V2 et V3 ne suffisent pas à forcer (un )n∈N à tendre vers ℓ. Il est essentiel que la définition de la
limite commence par : « POUR TOUT voisinage V de ℓ ».
V1
ℓ
Tous les un
à partir de N1
V2
b
ℓ
Tous les un
à partir de N2
V3 ℓ
b
Tous les un
à partir de N3
b
ǫ1
ǫ2
ǫ3
Ces figures illustrent le cas d’une limite ℓ finie mais le principe est le même dans les cas infinis.
— Intuitivement, les premiers termes de la suite (un )n∈N ne doivent pas compter quand on s’intéresse à sa limite. C’est
pour cela que la définition de la limite piège un dans des voisinages de ℓ À PARTIR D’UN CERTAIN RANG.
— Intuitivement, plus le voisinage V est petit, plus le rang N est grand.
Théorème (Unicité de la limite) Soit (un )n∈N une suite. Si (un )n∈N possède une limite, elle est unique et notée lim un .
n→+∞
Pour tout ℓ ∈ R, la relation :
lim un = ℓ
n→+∞
est souvent notée :
un −→ ℓ.
n→+∞
Démonstration Soient ℓ, ℓ′ ∈ R. On veut montrer, sous l’hypothèse que (un )n∈N admet ℓ et ℓ′ pour limites,
que : ℓ = ℓ′ . Supposons par l’absurde que : ℓ 6= ℓ′ . Il existe alors un voisinage V de ℓ et un voisinage
V ′ de ℓ′ pour lesquels : V ∩ V ′ = ∅. Or, par hypothèse : un ∈¦V
à© partir d’un certain rang N et :
un ∈ V ′ à partir d’un certain rang N ′ . Si nous posons : n0 = max N , N ′ , alors : un0 ∈ V ∩ V ′ = ∅
„
— contradiction !
Tous les un
Tous les un
à partir de n0
à partir de n0
ℓ
ℓ′
b
b
V
FOLIE !
V′
Il y a une idée importante dans cette preuve que nous allons retrouver tout au long du chapitre. Si
Explication une certaine propriété P1 est vraie à partir d’un rang N1 , une certaine propriété P2 vraie à partir
d’un rang
N2 . . . et enfin
©
¦
une certaine propriété Pk vraie à partir d’un rang Nk , alors à partir du rang : n0 = max N1 , . . . , Nk , les propriétés
P1 , . . . , Pk sont TOUTES vraies en même temps.
Définition (Convergence/divergence) Soit (un )n∈N une suite. On dit que (un )n∈N est convergente ou qu’elle converge si
elle possède une limite FINIE. On dit sinon qu’elle est divergente ou qu’elle diverge.
$ ATTENTION ! $
« Converger » n’est pas « avoir une limite » mais « avoir une
limite FINIE ». « Diverger » n’est pas « avoir ±∞ pour limite », mais éventuellement
« ne pas avoir de limite ».
Théorème (Convergence et caractère borné) Toute suite convergente est bornée.
4
Limite
finie
Convergence
Limite
±∞
Pas de
limite
Divergence
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Démonstration Soit (un )n∈N une suite convergente, disons de limite ℓ ∈ R. Pour ǫ = 1, la définition de la
limite affirme que l’inégalité : |un − ℓ| < 1 est vraie à partir d’un certain rang N . Ainsi pour tout n ¾ N :
|un | = (un − ℓ) + ℓ ¶ |un − ℓ| + |ℓ| ¶ |ℓ| + 1
d’après l’inégalité triangulaire.
¦
©
Posons : K = max |u0 |, |u1 |, . . . , |uN −1 |, |ℓ| + 1 . Alors K est plus grand que |u0 |, . . . , |uN −1 |, mais aussi que
„
|un | pour tout n ¾ N . Conclusion : |un | ¶ K pour TOUT n ∈ N, autrement dit (un )n∈N est bornée.
$ ATTENTION ! $
• La réciproque est fausse, la suite de terme général (−1)n est bornée (entre −1 et 1) sans être convergente.
• Une suite non bornée n’admet pas forcément +∞ ou −∞ pour limite. La suite de terme général (−1)n n, par exemple,
n’est pas bornée et n’a pas de limite — que dire en effet de ses termes d’indice pair/impair ?
La manipulation des définitions de la limite n’est pas trop difficile si l’on veut bien se conformer aux
En pratique recommandations qui suivent. Imprégnez-vous-en comme jamais, sans quoi vous serez vite perdus.
• Supposons dans un premier temps que ℓ ∈ R. Pour montrer que : ∀ǫ > 0, ∃ N ∈ N/ ∀n ¾ N , |un − ℓ| < ǫ,
on commence sans réfléchir par : « Soit ǫ > 0. » Ensuite, pour trouver un rang N à partir duquel : |un − ℓ| < ǫ, on
essaie de MAJORER |un − ℓ| EN RESPECTANT DEUX RÈGLES :
— La majoration obtenue doit TENDRE VERS 0 QUAND n TEND VERS +∞. Sans cela nous ne pourrons
pas trouver un rang N à partir duquel : |un − ℓ| < ǫ quand ǫ est trop petit.
— La majoration obtenue doit ÊTRE SIMPLE VIS-À -VIS DE LA RECHERCHE DU RANG N . Par exemple,
› ž la
1
1
+1.
majoration « |un −ℓ| ¶ » peut être considérée simple car on peut dans ce cas choisir : N =
n
ǫ
• Dans le cas où ℓ = +∞, on s’adapte. Pour montrer que : ∀A > 0, ∃ N ∈ N/ ∀n ¾ N , un > A, on commence
sans réfléchir par : « Soit A > 0. » Ensuite, pour trouver un rang N à partir duquel : un > A, on essaie de MINORER
un EN RESPECTANT DEUX RÈGLES :
— La minoration obtenue doit TENDRE VERS +∞ QUAND n TEND VERS +∞.
— La minoration obtenue doit ÊTRE SIMPLE VIS-À -VIS DE LA RECHERCHE DU RANG N . Par exemple,
p la
A + 1.
minoration « un ¾ n2 » peut être considérée simple car on peut dans ce cas choisir : N =
Exemple
lim
n→+∞
n sin n
= 0.
n2 + 2
En effet
Nous devons montrer que :
Soit ǫ > 0. Pour tout n ∈ N, majorons :
∀ǫ > 0,
∃ N ∈ N/
∀n ¾ N ,
n sin n n| sin n|
n
n
1
n2 + 2 = n2 + 2 ¶ n2 + 2 ¶ n2 = n .
On majore en SIMPLIFIANT et en
vérifiant que ce par quoi on majore TEND TOUJOURS VERS 0.
Exemple
Posons donc : N =
n sin n n2 + 2 < ǫ aussi.
lim
n→+∞
€
› ž
1
+ 1.
ǫ
À partir de N , l’inégalité :
Š
n2 + (−1)n n = +∞.
En effet
Nous devons montrer que :
Soit A > 0. Pour tout n ∈ N, minorons :
n sin n n2 + 2 < ǫ.
∀A > 0,
∃ N ∈ N/
On arrête de majorer quand
on se sent capable de trouver
le rang N cherché.
1
<ǫ
n
∀n ¾ N ,
est vraie, donc a fortiori l’inégalité
n2 + (−1)n n > A.
n2 + (−1)n n ¾ n2 − n = n(n − 1) ¾ (n − 1)2 .
On minore en SIMPLIFIANT et en
vérifiant que ce par quoi on minore TEND TOUJOURS VERS +∞.
On arrête de minorer quand
on se sent capable de trouver
le rang N cherché.
p
p
Pour tout n ∈ N∗ : (n − 1)2 > A ⇐⇒ n > A + 1. Posons donc : N = ⌊ A⌋ + 2.
l’inégalité : (n − 1)2 > A est vraie, donc a fortiori l’inégalité : n2 + (−1)n n > A aussi.
5
À partir de N ,
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
3
MANIPULATION DES LIMITES
OPÉRATIONS
3.1
SUR LES LIMITES
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles, ℓ, ℓ′ ∈ R et λ ∈ R. On suppose dans tout ce paragraphe que les limites
lim un et lim vn EXISTENT. Dans les tableaux ci-dessous, le symbole ? ? ? ne signifie pas une absence de limite mais une
n→+∞
n→+∞
indétermination — précisions plus loin.
lim un
ℓ
ℓ
ou +∞
ℓ
ou −∞
+∞
lim vn
ℓ′
+∞
−∞
−∞
lim (un + vn )
ℓ + ℓ′
+∞
−∞
???
n→+∞
SOMME
n→+∞
n→+∞
lim un
ℓ
ℓ>0
ou +∞
ℓ<0
ou −∞
ℓ>0
ou +∞
ℓ<0
ou −∞
+∞
ou −∞
lim vn
ℓ′
+∞
−∞
−∞
+∞
0
lim (un vn )
ℓℓ′
+∞
+∞
−∞
−∞
???
n→+∞
PRODUIT
n→+∞
n→+∞
λ>0
λ<0
n→+∞
lim un
+∞
ℓ
−∞
peu
importe
+∞
ℓ
−∞
lim (λun )
+∞
λℓ
−∞
0
−∞
λℓ
+∞
MULTIPLICATION
PAR UN RÉEL
λ=0
n→+∞
un < 0
un > 0
à partir d’un à partir d’un
certain rang certain rang
INVERSE
lim un
n→+∞
lim
n→+∞
Explication
1
un
sinon
ℓ 6= 0
+∞
ou −∞
0
0
0
1
ℓ
0
+∞
−∞
???
On pourrait bien sûr construire un tableau « quotient » à partir des tableaux « produit » et « inverse ».
±∞
1
et
. Mais qu’est-ce au fond qu’une forme indéterminée ?
On y découvrirait de nouveaux cas d’indétermination :
0
±∞
C’est une « forme À déterminer ». Dans les tableaux précédents, le symbole ? ? ? signifie qu’en effectuant une opération
(+∞) − (+∞) ou 0 × (+∞), on peut tomber a priori sur N’IMPORTE QUEL RÉSULTAT.
• Cas de la forme indéterminée (+∞) − (+∞) :
— On peut obtenir n’importe quel réel ℓ :
— On peut obtenir ±∞ :
lim (n+ℓ) = +∞ et
n→+∞
— On peut ne pas obtenir de limite :
n→+∞
lim n = ∞, mais :
n→+∞
€
Š
n
lim n = +∞,
lim n + (−1) = +∞ et
n→+∞
n→+∞
€
Š
mais n + (−1)n − n = (−1)n n’a pas de limite.
lim 2n = +∞
n→+∞
€
Š
mais :
lim (n+ℓ)−n = ℓ.
n→+∞
€
Š
lim 2n − n = +∞.
lim n = +∞,
et
n→+∞
6
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
• Cas de la forme indéterminée 0 × (+∞) :
— On peut obtenir n’importe quel réel ℓ :
— On peut obtenir ±∞ :
lim
n→+∞
1
=0
n
— On peut ne pas obtenir de limite :
lim
n→+∞
lim
et
n→+∞
mais :
n→+∞
n
(−1)
=0
n
et
lim n = +∞,
n→+∞
mais
Démonstration

‹
ℓ
mais :
lim
× n = ℓ.
n→+∞ n

‹
1
lim
× n2 = +∞.
n→+∞ n
lim n = +∞,
lim n2 = +∞,
et
n→+∞
ℓ
=0
n
(−1)n
× n = (−1)n n’a pas de limite.
n
Nous nous contentrons de démontrer quelques-uns des résultats des tableaux précédents.
• Somme de deux limites finies : On suppose que lim un = ℓ et lim vn = ℓ′ . Soit ǫ > 0. Pour tout
n→+∞ n→+∞
′ n ∈ N, d’après l’inégalité triangulaire : (un + vn ) − (ℓ + ℓ ) = (un − ℓ) + (vn − ℓ′ ) ¶ |un − ℓ| + |vn − ℓ′ |.
Ici, SIMPLIFIER, c’est faire apparaître les quantités |un − ℓ|
et |vn − ℓ′ | de l’hypothèse.
On majore en SIMPLIFIANT et en
vérifiant que ce par quoi on majore TEND TOUJOURS VERS 0.
ǫ
ǫ
Or par hypothèse, |un − ℓ| < à partir d’un certain rang N et |vn − ℓ′ | < à partir d’un certain rang N ′ .
2
2
¦
©
ǫ ǫ
Posons n0 = max N , N ′ . Alors pour tout n ¾ n0 : (un + vn )−(ℓ+ℓ′ ) ¶ |un −ℓ|+|vn −ℓ′ | < + = ǫ.
2 2
• Somme d’une limite finie et d’une limite +∞ : On suppose que lim un = ℓ et lim vn = +∞.
n→+∞
n→+∞
Soit A > 0. Par hypothèse, |un − ℓ| < 1 à partir d’un certain rang N
© en particulier un > ℓ − 1,
¦ , donc
′
′
et vn > A − ℓ + 1 à partir d’un certain rang N . Posons n0 = max N , N . Alors pour tout n ¾ n0 :
un + vn > (ℓ − 1) + (A − ℓ + 1) = A.
• Somme de deux limites +∞ : On suppose que lim un = +∞ et lim vn = +∞. Soit A > 0.
n→+∞
n→+∞
Par hypothèse,
u©n > A à partir d’un certain rang N et vn > 0 à partir d’un certain rang N ′ . Posons
¦
n0 = max N , N ′ . Alors pour tout n ¾ n0 : un + vn > A + 0 = A.
• Produit de deux limites finies : On suppose que lim un = ℓ et lim vn = ℓ′ . Soit ǫ > 0. Pour tout
n→+∞
n→+∞ n ∈ N d’après l’inégalité triangulaire : un vn −ℓℓ′ = (un −ℓ)vn +ℓ(vn −ℓ′ ) ¶ |un −ℓ|.|vn |+|ℓ|.|vn −ℓ′ |.
ǫ
à
À présent, (vn )n∈N est convergente donc bornée, disons par K en valeur absolue. En outre, |un −ℓ| <
2K
©
¦
ǫ
à partir d’un certain rang N ′ . Posons n0 = max N , N ′ .
partir d’un certain rang N et |vn −ℓ′ | <
2 |ℓ| + 1
ǫ
ǫ ǫ
ǫ
¶ + = ǫ.
K + |ℓ|
Alors pour tout n ¾ n0 : un vn − ℓℓ′ ¶ |un − ℓ|.|vn | + |ℓ|.|vn − ℓ′ | <
2K
2
2
2 |ℓ| + 1
• Produit ℓ × (+∞) avec ℓ ∈ R∗+ : On suppose que lim un = ℓ ∈ R∗+ et lim vn = +∞. Soit A > 0.
n→+∞
n→+∞
ℓ
ℓ
ℓ
Par hypothèse, |un − ℓ| <
à partir d’un certain rang N , donc en particulier un > ℓ − =
> 0,
2
2
2
¦
©
2A
> 0 à partir d’un certain rang N ′ . Posons n0 = max N , N ′ . Alors pour tout n ¾ n0 :
et vn >
ℓ
ℓ 2A
un vn > ×
= A.
2
ℓ
• Produit de deux limites +∞ : On suppose que lim un = +∞ et lim vn = +∞. Soit A > 0.
n→+∞
n→+∞
Par hypothèse,
u©n > A à partir d’un certain rang N et vn > 1 à partir d’un certain rang N ′ . Posons
¦
n0 = max N , N ′ . Alors pour tout n ¾ n0 : un vn > A × 1 = A.
• Inverse d’une limite finie non nulle : On suppose
que un 6= 0 à partir d’un certain rang N et aussi que
1
1 |un − ℓ|
.
lim un = ℓ 6= 0. Soit ǫ > 0. Pour tout n ¾ N : − =
n→+∞
u
ℓ
|u |.|ℓ|
n
7
n
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
|ℓ| ǫ|ℓ|2
Par hypothèse, |un − ℓ| < min
à partir d’un certain rang N ′ , donc d’après l’inégalité trian,
2
2
¦
©
|ℓ|
|ℓ|
|ℓ|
gulaire : |ℓ| − |un | ¶ |un − ℓ| <
, d’où |un | > |ℓ| −
=
. Posons n0 = max N , N ′ . Alors pour
2
2
2
ǫ|ℓ|2
1
1 |un − ℓ|
2
tout n ¾ n0 : − =
<
= ǫ.
|ℓ|
un ℓ
|un |.|ℓ|
× |ℓ|
2
• Inverse d’une limite +∞ : On suppose un 6= 0 à partir d’un certain rang N et que lim un = +∞.
n→+∞
¦
©
1
′
Soit ǫ > 0. Par hypothèse un > à partir d’un certain rang N . Posons n0 = max N , N ′ . Alors pour
ǫ
1
1
tout n ¾ n0 : =
< ǫ.
u
u
n
n
• Inverse d’une limite nulle de suite strictement positive : On suppose un > 0 à partir d’un certain
1
rang N et que lim un = 0. Soit A > 0. Par hypothèse |un | < à partir d’un certain rang N ′ . Posons
n→+∞
A
¦
©
1
1
n0 = max N , N ′ . Alors pour tout n ¾ n0 :
> A.
=
„
un
|un |
Le résultat suivant est momentanément admis car il requiert la notion de limite d’une fonction de R dans R — notion
connue intuitivement, mais qui ne sera définie proprement que plus tard dans l’année.
Théorème (Composition à gauche par une fonction) Soient I un intervalle, f : I −→ R une fonction, ℓ un élément
de I ou une borne de I , L ∈ R et (un )n∈N une suite.
Si :
Exemple
Pour tout x ∈ R :
lim un = ℓ
n→+∞
e x = lim
n→+∞
et
1+
lim f (x) = L,
alors :
x→ℓ
x n
.
n
lim f (un ) = L.
n→+∞
RÉSULTAT À CONNAÎTRE !
x
n ln 1+
ln(1 + t)
x n
n . Or : lim
= ln′ (1) = 1, donc par
= e
En effet
Pour tout n ∈ N :
1+
t→0
n
t
x
ln 1 +
x
n
composition :
lim
=
1,
ou
encore
:
lim
n
ln
1
+
= x. On achève le travail en
x
n→+∞
n→+∞
n
n
composant ce résultat avec la limite : lim e t = e x .
∗
t→x
Cet exemple prouve qu’on peut avoir :
lim un = 1
$ ATTENTION ! $
n→+∞
+∞
résumer cela en disant que 1
est une nouvelle forme indéterminée.
3.2
PASSAGE
lim unn = 1.
sans avoir :
On peut
n→+∞
À LA LIMITE DANS LES INÉGALITÉS
Théorème (Limites et inégalités strictes) Soient (un )n∈N une suite réelle possédant une limite et m, M ∈ R.
(i) Si :
lim un < M ,
n→+∞
alors :
un < M
à partir d’un cer-
tain rang.
r
r
r
r
r
r
r
r
n→+∞
(ii) Si :
lim un > m,
n→+∞
alors :
un > m
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
m
r
m < un < M
Prouvons seulement (i). Posons :
r
r
à partir d’un cer-
tain rang.
Démonstration
M
r
lim un
ℓ = lim un .
n→+∞
à partir d’un certain rang
Si ℓ = −∞, tous les un sont dans le
voisinage ]−∞, M [ de ℓ à partir d’un certain rang. Si au contraire ℓ ∈ R, sachant que : M − ℓ > 0 par
hypothèse, tous les un sont tous dans le voisinage ]ℓ − (M − ℓ), ℓ + (M − ℓ)[ ⊂ ]−∞, M [ de ℓ à partir d’un
certain rang. Dans les deux cas : un < M à partir d’un certain rang.
„
8
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Théorème (Limites et inégalités larges) Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles possédant une limite finie.
Si :
à partir d’un certain rang, alors :
un ¶ vn
lim un ¶ lim vn .
n→+∞
n→+∞
Ce résultat est utilisé le plus souvent lorsque l’une des deux suites est constante.
C’est faux avec des inégalités STRICTES ! Pour tout n ∈ N∗ :
$ ATTENTION ! $
Démonstration Raisonnons par l’absurde en supposant que :
vn − un < 0
affirme alors que :
3.3
EXTRACTION
1
> 0,
n
mais :
lim (vn − un ) < 0.
lim
n→+∞
1
= 0.
n
Le théorème précédent
n→+∞
à partir d’un certain rang — contradiction.
„
DE SUITES
Définition (Suite extraite) Soit (un )n∈N une suite. On appelle suite extraite de (un )n∈N toute suite de la forme uϕ(n)
où ϕ : N −→ N est une fonction strictement croissante.
Explication
n∈N
• La fonction ϕ n’est jamais qu’une suite strictement croissante d’entiers naturels utilisés comme de nouveaux indices.
Par exemple, si : ϕ = (2, 4, 5, 8, 24, 59, . . .), la suite uϕ(n) n∈N est la suite (u2 , u4 , u5 , u8 , u24 , u59 , . . .).
• La suite extraite uϕ(n) n∈N n’est jamais que la COMPOSÉE u ◦ ϕ. En particulier, si on en extrait une nouvelle suite à
partir d’une fonction ψ : N −→ N strictement croissante, le résultat est : u ◦ ϕ ◦ ψ = uϕ◦ψ(n) n∈N ET NON PAS :
u ◦ ψ ◦ ϕ = uψ◦ϕ(n) n∈N comme on le croit parfois.
Exemple
• Les suites
€p
2n + 4n
Š
n∈N
n
et (n)n∈N sont deux suites extraites de la suite de terme général
p
n, associées respectivement
aux fonctions n 7−→ 2 + 4n et n 7−→ n2 strictement croissantes de N dans N.
• Les suites constantes égales à 1 et −1 respectivement sont deux suites extraites de la suite de terme général (−1)n .
Pour tout k ∈ N, le terme qui vient après u2k dans la suite (u2n )n∈N est : u2(k+1) = u2k+2 ET NON
$ ATTENTION ! $
PAS u2k+1 . De même, le terme qui vient après u2k+1 dans la suite (u2n+1 )n∈N est :
u2(k+1)+1 = u2k+3 ET NON PAS u2k+2 .
Théorème
Soit ϕ une fonction strictement croissante de N dans N. Alors pour tout n ∈ N :
Démonstration
Initialisation : Comme ϕ(0) ∈ N :
ϕ(n) ¾ n.
ϕ(0) ¾ 0.
Hérédité : Soit n ∈ N. On suppose que : ϕ(n) ¾ n. Alors par stricte croissance de ϕ :
Or ϕ(n + 1) est un ENTIER, donc : ϕ(n + 1) ¾ n + 1.
ϕ(n+1) > ϕ(n) ¾ n.
„
Théorème (Limites de suites extraites) Soient (un )n∈N une suite et ℓ ∈ R.
(i) Si :
(ii) Si :
lim un = ℓ,
n→+∞
alors :
lim uϕ(n) = ℓ
n→+∞
lim u2n = lim u2n+1 = ℓ,
n→+∞
n→+∞
alors :
pour toute fonction ϕ : N −→ N strictement croissante.
lim un = ℓ.
n→+∞
Démonstration
(i) Sous l’hypothèse que :
lim uϕ(n) = ℓ.
n→+∞
lim un = ℓ,
n→+∞
soit ϕ : N −→ N strictement croissante. Montrons que :
Soit V un voisinage de ℓ. À partir d’un certain rang N :
n ¾ N , par croissance de ϕ et d’après le lemme :
9
ϕ(n) ¾ ϕ(N ) ¾ N ,
un ∈ V .
donc enfin :
Or pour tout
uϕ(n) ∈ V .
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
(ii) Sous l’hypothèse que :
lim u2n = lim u2n+1 = ℓ,
n→+∞
n→+∞
montrons que :
Soit V un
lim un = ℓ.
n→+∞
voisinage de ℓ. Alors : u2n ∈¦V à partir©d’un certain rang N et : u2n+1 ∈ V à partir d’un certain
rang N ′ . Posons : n0 = max 2N , 2N ′ + 1
et donnons-nous n ¾ n0 quelconque.
— Si n est pair, disons n = 2p avec p ∈ N, alors 2p = n ¾ n0 ¾ 2N donc p ¾ N , et enfin un = u2p ∈ V .
— Si n est impair, disons n = 2p +1, alors 2p +1 = n ¾ n0 ¾ 2N ′ +1 donc p ¾ N ′ , donc un = u2p+1 ∈ V .
Dans les deux cas :
un ∈ V .
„
Ce théorème est souvent utilisé pour montrer qu’une suite N’A
En pratique exhiber deux suites extraites n’ayant pas la même limite.
Exemple
Exemple
alors que :
4
La suite de terme général (−1)n n’a pas de limite car :
PAS DE LIMITE . Il
lim (−1)2n = 1
n→+∞
alors que :
› p ž2
n
n
. La suite (un )n∈N n’a pas de limite car :
Pour tout n ∈ N, on pose : un = −
9
3

ž
‹
›
6n + 1
6n + 1
3n + 1 2
(3n + 1)2
2
= n +
− n2 =
−
−→ +∞.
u(3n+1)2 =
n→+∞
9
3
9
9
suffit pour cela d’en
lim (−1)2n+1 = −1.
n→+∞
u9n2 = 0
−→ 0
n→+∞
THÉORÈMES D’EXISTENCE DE LIMITE
L’existence d’une limite n’est jamais acquise. Dans les paragraphes qui précèdent, l’existence de certaines limites a été établie — somme, produit, suites extraites, etc. On omet généralement de voir ces résultats comme des théorèmes d’EXISTENCE
pour les voir seulement, en pratique, comme des théorèmes de CALCUL, de manipulation des limites. Les théorèmes qui
suivent, au contraire, gagnent à être conçus comme de vrais théorèmes d’existence. Ce qu’ils nous fournissent de façon
essentielle, ce n’est pas tant la VALEUR d’une limite que son EXISTENCE.
4.1
THÉORÈMES D’ENCADREMENT/MINORATION/MAJORATION
Théorème
Soient (un )n∈N , (mn )n∈N et (Mn )n∈N trois suites réelles et ℓ ∈ R.
(i) Théorème d’encadrement :
Si :
lim mn = lim Mn = ℓ
n→+∞
n→+∞
et si :
mn ¶ un ¶ Mn
à partir d’un certain rang, alors lim un EXISTE et
n→+∞
vaut ℓ.
(ii) Théorème de minoration :
Si :
lim mn = +∞
n→+∞
et si :
un ¾ mn
à partir d’un certain rang, alors lim un EXISTE et vaut +∞.
un ¶ Mn
à partir d’un certain rang, alors lim un EXISTE et vaut −∞.
n→+∞
(iii) Théorème de majoration :
Si :
lim Mn = −∞
n→+∞
et si :
n→+∞
Démonstration
(i) Soit ǫ > 0. Par hypothèse : mn ¶ un ¶ Mn à partir d’un certain rang N , mn > ℓ − ǫ ¦à partir d’un
©
certain rang N ′ et : Mn < ℓ + ǫ à partir d’un certain rang N ′′ . Alors pour tout n ¾ max N , N ′ , N ′′ :
ℓ − ǫ < mn ¶ un ¶ Mn < ℓ + ǫ, donc : |un − ℓ| < ǫ.
(ii) Soit A > 0. Par hypothèse : un ¾ mn ¦ à partir
© d’un certain rang N et :
certain rang N ′ . Alors pour tout n ¾ max N , N ′ : un ¾ mn > A, donc :
mn > A
un > A.
à partir d’un
„
Ne prenez pas le théorème d’encadrement pour un simple passage à la limite dans des inégalités
$ ATTENTION ! $
larges. Quand on passe à la limite dans une inégalité, on sait déjà que son membre de gauche et son membre de droite ont
une limite. Dans le théorème d’encadrement au contraire, seules les limites lim mn et lim Mn sont réputées exister au
n→+∞
n→+∞
départ et l’existence de lim un en découle.
n→+∞
10
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Exemple
lim n! = +∞
n→+∞
par minoration, car pour tout n ∈ N :
lim n = +∞.
et
n! ¾ n
n→+∞
Le théorème d’encadrement est souvent utilisé sous la forme suivante :
Théorème (Produit d’une suite bornée par une suite de limite nulle) Soient (un )n∈N et (ǫn )n∈N deux suites. Si (un )n∈N
est bornée et si :
lim ǫn = 0, alors :
lim ǫn un = 0.
n→+∞
n→+∞
Démonstration Par hypothèse, il existe K ¾ 0 tel que pour tout n ∈ N : |un | ¶ K. Multiplions par ǫn :
0 ¶ |ǫn un | ¶ K|ǫn |. Aussitôt :
lim |ǫn un | = 0 par encadrement, donc :
lim ǫn un = 0.
„
n→+∞
Exemple
sin n
=0
n→+∞ n
lim
n→+∞
car la suite (sin n)n∈N est bornée et :
1
= 0.
n→+∞ n
lim
Théorème (Limite d’une suite géométrique) Pour tout a ∈ R :
lim a n
n→+∞
a>1
a=1
|a| < 1
a ¶ −1
+∞
1
0
Pas de
limite
Démonstration
n  ‹
n  ‹
X
€
Šn X
a>1
n
n
a n = 1 + (a − 1) =
(a − 1)k = 1 + n(a − 1) +
(a − 1)k ¾ n(a − 1)
k
k
k=0
k=2
pour tout n ¾ 2. Or :
lim n(a − 1) = +∞ car a > 1, donc :
lim a n = +∞ par minoration.
n→+∞
n→+∞
 ‹n
1
1
• Cas où |a| < 1 : Alors :
= +∞ d’après le cas précédent, puis :
> 1, donc :
lim
n→+∞ |a|
|a|
lim a n = 0.
lim a n = 0 par passage à l’inverse, et enfin :
n→+∞
n→+∞
Š
€
• Cas où a = −1 : Le cas de la suite (−1)n
a déjà été traité dans le paragraphe sur les suites extraites.
• Cas où a > 1 :
n∈N
• Cas où a < −1 : Comme a2 > 1 : lim a2n = +∞ d’après le premier cas, puis : lim a2n+1 = −∞.
n→+∞
n→+∞
„
Les suites extraites a2n n∈N et a2n+1 n∈N n’ayant pas même limite, (a n )n∈N n’a pas de limite.
Exemple
Pour tout a ∈ ] − 1, 1[ :
On remarquera bien que la suite a2
En effet
Exemple
n
n
lim a2 = 0.
n→+∞
n∈N
N’est PAS
Nous venons d’établir que :
n
géométrique, a2 et a2
lim a n = 0,
n→+∞
n
= a2n n’ont rien de commun.
n
or a2 n∈N est une suite extraite de (a n )n∈N .
Soient (un )n∈N une suite strictement positive et η ∈ ]0, 1[. On suppose que :
rang N . Alors :
lim un = 0.
n→+∞
En effet
Pour tout n ¾ N :
un+1 ¶ ηun ,
donc :
et donc bornée car positive. Or η ∈ ]0, 1[, donc :
un
suite convergente de limite nulle : un = n × ηn
η
un+1
¶η
un
à partir d’un certain
‹
un
est décroissante,
ηn n¾N
Par produit d’une suite bornée et d’une
un
un+1
¶ n,
n+1
η
η
lim ηn = 0.
donc la suite
n→+∞

−→ 0.
n→+∞
Théorème (Comparaison exponentielles/factorielle) Pour tout a ∈ R :
an
= 0.
n→+∞ n!
lim
|a|n
> 0 pour tout n ∈ N.
n!
un+1
un+1
|a|
|a|
1
pour tout n ∈ N, et comme lim
=0:
à partir d’un certain
=
¶
Alors :
n→+∞ n + 1
un
n+1
un
2
„
rang. L’exemple précédent montre alors comme voulu que :
lim un = 0.
Démonstration
Le résultat est trivial si a = 0. Si a 6= 0, posons :
n→+∞
11
un =
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
4.2
THÉORÈME
DE LA LIMITE MONOTONE
Le théorème de la limite monotone est LE théorème d’EXISTENCE par excellence.
Théorème (Théorème de la limite monotone) Soit (un )n∈N une suite réelle.
Si (un )n∈N est monotone, alors lim un EXISTE.
n→+∞
Plus précisément, si (un )n∈N est croissante majorée, alors (un )n∈N converge, et si (un )n∈N est croissante NON majorée :
lim un = +∞. On dispose bien sûr d’un résultat analogue sur les suites décroissantes.
n→+∞
Explication
En fait, si (un )n∈N est croissante :
lim un = sup un n∈N
sup un n∈N
n→+∞
avec une borne supérieure DANS R — éventuellement +∞. Si de plus (un )n∈N est majorée, on voit sur la figure ci-contre que les un viennent s’écraser contre leur « sup » fini.
u0
r
↓
u1 u2 u3 u4 u5 . . .
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r r r r r r r r
Nous traiterons seulement le cas d’une suite (un )n∈N croissante.
• Supposons (un )n∈N majorée. L’ensemble un n∈N est alors une partie non vide majorée de R, donc possède une borne supérieure ℓ DANS R d’après la propriété de la borne supérieure.
Montrons que :
lim un = ℓ. Soit ǫ > 0. Par définition de ℓ, ℓ − ǫ ne majore pas (un )n∈N donc :
Démonstration
n→+∞
uN > ℓ − ǫ pour un certain N ∈ N. Du coup, pour tout n ¾ N : un ¾ uN > ℓ − ǫ
croissante, mais donc aussi : ℓ − ǫ < un ¶ ℓ < ℓ + ǫ, ou encore : |un − ℓ| < ǫ.
car (un )n∈N est
• Supposons (un )n∈N NON majorée. Soit A > 0. Comme A ne majore pas (un )n∈N : uN > A
certain N ∈ N, donc pour tout n ¾ N , (un )n∈N étant croissante : un ¾ uN > A, donc :
Comme voulu :
lim un = +∞.
n→+∞
$ ATTENTION ! $
Exemple
pour un
un > A.
„
Une suite croissante majorée par M converge. . .
MAIS PAS FORCÉMENT VERS M , qui n’est qu’ UN majorant parmi d’autres !
Pour tout n ∈ N, on pose :
un =
š p 
n
X
2k 2
k=0
3k
La suite (un )n∈N est convergente.
.
Il nous suffit, d’après le théorème de la limite monotone, de šmontrer que (un )n∈N est croissante et
p
2n+1 2
majorée. Or (un )n∈N est croissante car pour tout n ∈ N : un+1 − un =
¾ 0, et majorée car pour
3n+1
 ‹n+1
2
p
p
1−
n  ‹
n
X
p
2
2k 2 p X 2 k p
3
¶
= 3 2.
= 2
= 2
tout n ∈ N : un ¶
k
2
2
3
3
k=0
k=0
1−
1−
3
3
En effet
4.3
THÉORÈME
DES SUITES ADJACENTES
Définition (Suites adjacentes) Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles. On dit que (un )n∈N et (vn )n∈N sont adjacentes
si l’une de ces suites est croissante, l’autre décroissante et :
lim (un − vn ) = 0.
n→+∞
12
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Explication
r
rencontre l’une de l’autre, l’une en croissant, l’autre en décroissant, et qui finissent
par s’écraser l’une contre l’autre. « Il faut bien qu’elles s’écrasent QUELQUE PART ! »
nous dit le théorème des suites adjacentes — théorème d’EXISTENCE.
r
r
Deux suites adjacentes sont deux suites qui viennent à la
r
r
r
Existence forcée
d’une limite
b
b
un
b
r
b
b
b
r
r
r
b
b
b
vn
r
r
b
b
r
b
b
Théorème des suites adjacentes
Théorème (Théorème des suites adjacentes) Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles. Si elles sont adjacentes,
alors (un )n∈N et (vn )n∈N sont toutes deux convergentes de même limite ℓ.
Précisément, si c’est (un )n∈N qui est croissante et (vn )n∈N qui est décroissante, alors pour tous m, n ∈ N : um ¶ ℓ ¶ vn .
Démonstration
Supposons (un )n∈N croissante et (vn )n∈N décroissante.
• Montrons d’abord que pour tout n ∈ N : un ¶ vn en supposant par l’absurde que pour un certain
N ∈ N : uN > vN , i.e. : uN − vN > 0. Alors pour tout n ¾ N , sachant que : uN ¶ un par
croissance et : vn ¶ vN
par décroissante : un − vn ¾ uN − vN . Faisons tendre n vers +∞ :
0 = lim (un − vn ) ¾ uN − vN . Conclusion : 0 ¾ uN − vN > 0. Contradiction !
n→+∞
• Montrons ensuite que pour tous m, n ∈ N : um ¶ vn . Soient m, n ∈ N. Si m ¶ n : um ¶ un ¶ vn
par croissance de (un )n∈N et d’après le premier point, et si m > n : um ¶ vm ¶ vn par décroissance
de (vn )n∈N et d’après le premier point. Dans les deux cas : um ¶ vn .
• La suite (un )n∈N est croissante et majorée (par v0 ), donc convergente de limite un certain réel ℓu en vertu
du théorème de la limite monotone. De même, la suite (vn )n∈N est décroissante et minorée (par u0 ), donc
convergente de limite un certain réel ℓ v . L’égalité : ℓu = ℓ v découle de ce que :
lim (un − vn ) = 0.
n→+∞
• Pour tous m, n ∈ N, l’inégalité : um ¶ ℓu = ℓ v ¶ vn exprime simplement le fait que la suite croissante
„
(um )m∈N est majorée par sa limite et la suite décroissante (vn )n∈N minorée par la sienne.
Exemple
Pour tout n ∈ N, on pose :
un =
est le nombre e.
En effet
Posons :
La suite (un )n∈N est convergente. On peut montrer que sa limite
1
pour tout n ∈ N∗ et montrons que (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗ sont adjacentes.
n.n!
sera alors convergente d’après le théorème des suites adjacentes.
vn = un +
En particulier, (un )n∈N∗
— Tout d’abord :
n
X
1
.
k!
k=0
vn − un =
1
n.n!
−→ 0.
n→+∞
— Ensuite (un )n∈N∗ est croissante car pour tout n ∈ N∗ :
un+1 − un =
— Enfin (vn )n∈N∗ est décroissante car pour tout n ∈ N∗ :
n
n+1
X
1
1 X 1
−
=
¾ 0.
k! k=0 k! (n + 1)!
k=0
vn+1 − vn = un+1 − un +
1
1
1
1
1
−
=
+
−
(n + 1).(n + 1)! n.n!
(n + 1)! (n + 1).(n + 1)! n.n!
€
Š
1
−1
=
n(n + 1) + n − (n + 1)2 =
¶ 0.
n(n + 1).(n + 1)!
n(n + 1).(n + 1)!
5
SUITES RÉCURRENTES DÉFINIES PAR UNE RELATION « un+1 = f (un ) »
Les exercices qu’on vous a proposés jusqu’ici ont pu vous donner l’impression
que pour définir une suite (un )n∈N par récurrence, il suffit de se donner une fonction f quelconque et un u0 dans le domaine de définition de f , et de décréter
simplement que « un+1 = f (un ) ». Quelle illusion !
p
Notons par exemple f la fonction x 7−→ 2 + 2 − x définie sur ]−∞, 2] et
posons : u0 = 1. Comme : f (u0 ) = f (1) = 3, on peut poser : u1 = 3.
Mais ensuite f (3) ? Aucun sens ! Quelle valeur pour u2 ? La suite (un )n∈N n’est ici
pas définie. Mais comment différencier alors les exemples qui marchent de ceux
qui ne marchent pas ?
13
y=x
y = f (x)
b
. . . ET ENSUITE ?
u0
u1
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Définition (Partie stable par une fonction) Soient E un ensemble, f : E −→ E une fonction et D une partie de E. On
dit que D est stable par f si : f (D) ⊂ D, i.e. si pour tout x ∈ D : f (x) ∈ D.
Exemple
• L’intervalle R∗+ est stable par la fonction inverse x 7−→
• L’intervalle [0, 1] est stable par la fonction x 7−→
p
1
car pour tout x > 0 :
x
1
> 0.
x
1 − x car pour tout x ∈ [0, 1] :
0¶
p
1 − x ¶ 1.
Théorème (Existence de suites récurrentes définies par une relation « un+1 = f (un ) ») Soient D une partie de R et
f : D −→ D une fonction — ainsi D est stable par f .
• Pour tout δ ∈ D, il existe une et une seule suite (un )n∈N pour laquelle : u0 = δ et pour tout n ∈ N : un+1 = f (un ).
• Cette suite, par ailleurs, est à valeurs dans D.
Idée toute simple ! Pour définir (un )n∈N , on a besoin de composer et re-composer f par elle-même
Explication autant de fois qu’on veut et c’est précisément ce que la stabilité de D par f garantit : un = f ◦ . . . ◦ f (u0 ) pour tout n ∈ N.
| {z }
n fois
Le fait que la suite du théorème soit à valeurs dans D est très pratique pour montrer qu’une suite
En pratique est minorée/majorée/bornée. Par exemple, si l’intervalle [1, 3] est stable par une fonction f , la suite (un )n∈N définie par :
u0 = 2 ∈ [1, 3] et pour tout n ∈ N : un+1 = f (un ) est à valeurs dans [1, 3], donc bornée entre 1 et 3.
Exemple
p un .
p d’autre part l’intervalle R+ est stable par la fonction x −
7 → ln 1 + x car
p donc : ln 1 + x ∈ R+ .
Il existe une et une seule suite (un )n∈N définie par :
En effet D’une part : 2 ∈ R+ ,
p
pour tout x ∈ R+ : 1 + x ¾ 1
u0 = 2
et pour tout n ∈ N :
un+1 = ln 1 +
On s’intéresse à présent à la convergence des suites récurrentes définies par une relation « un+1 = f (un ) », et pour cela,
on commence par deux exemples simples.
Exemple
La suite (un )n∈N définie par :
u0 = 0
et pour tout n ∈ N :
un+1 = un + eun
diverge vers +∞.
un
En effet Pour
tout n ∈ N : un+1 − un = e ¾ 0, donc (un )n∈N est croissante, donc possède une limite
ℓ ∈ R ∪ +∞ d’après le théorème de la limite monotone. Par l’absurde, faisons l’hypothèse que : ℓ ∈ R.
Sachant que lim e x = eℓ : ℓ = lim un+1 = lim un + eun = ℓ + eℓ , donc : eℓ = 0 — contradiction !
x→ℓ
n→+∞
n→+∞
Il en découle que ℓ n’est pas un réel, donc :
Exemple
La suite (un )n∈N définie par :
En effet
u0 = 1
ℓ = +∞.
et pour tout n ∈ N :
un+1 =
Parce que l’intervalle R∗+ est stable par la fonction x 7−→
u3n
un
1 + u2n
converge vers 0.
x
et parce que u0 = 1 ∈ R∗+ :
1 + x2
un > 0
un
− un = −
¶ 0. Décroissante et positive, (un )n∈N se
1 + u2n
1 + u2n
trouve donc converger d’après le théorème de la limite monotone, disons vers ℓ.
un
ℓ
ℓ3
ℓ
, donc : ℓ −
=
= 0. Enfin : ℓ = 0.
=
Aussitôt : ℓ = lim un+1 = lim
2
2
2
n→+∞
n→+∞ 1 + u
1+ℓ
1+ℓ
1 + ℓ2
n
pour tout n ∈ N. Du coup :
un+1 − un =
Afin de pouvoir traiter des exemples plus sophistiqués, on démontre à présent deux petits théorèmes bien pratiques sur
les suites définies par récurrence « un+1 = f (un ) », l’un sur la monotonie d’une telle suite, l’autre sur la valeur de sa limite
éventuelle.
14
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Théorème (Monotonie d’une suite récurrente définie par une relation « un+1 = f (un ) ») Soient D une partie de R,
u0 ∈ D et f : D −→ D une fonction — ainsi D est stable par f . On note (un )n∈N la suite définie pour tout n ∈ N par :
un+1 = f (un ).
(i) Si : f (x) ¾ x pour tout x ∈ D, alors (un )n∈N est croissante, et si : f (x) ¶ x pour tout x ∈ D, alors (un )n∈N
est décroissante. Le signe de la fonction x 7−→ f (x) − x nous renseigne donc sur la monotonie de (un )n∈N .
(ii) Si f est croissante, (un )n∈N est monotone. Son sens de variation dépend de la position de u0 par rapport à u1 .
(iii) Si f est décroissante, (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N sont monotones de sens contraires. Leurs sens de variation dépendent
de la position de u0 et u2 .
$ ATTENTION ! $
• Les assertions (i), (ii) et (iii) ne peuvent être utilisées que sur un domaine D STABLE
PAR f . Sur la figure ci-contre, f est croissante sur [2, +∞[ et :
u0 ∈ [2, +∞[,
mais [2, +∞[ N’est PAS stable par f . On voit dans cet exemple (un )n∈N quitter le
domaine [2, +∞[. La croissance de f sur [2, +∞[ n’a ainsi aucun impact sur (un )n∈N
dès lors que ses termes vivent leur vie ailleurs.
y=x
y = f (x)
• Pour tout n ∈ N, f (u2n ) vaut u2n+1 et non pas u2n+2 . Par contre : u2n+2 = f ◦ f (u2n ),
donc LA SUITE (u2n )n∈N EST RÉCURRENTE ASSOCIÉE À LA FONCTION f ◦ f . Même
chose pour (u2n+1 )n∈N .
u2 u3 u1
u0
Démonstration
(i) Si f (x) ¾ x pour tout x ∈ D, alors pour tout n ∈ N :
un+1 = f (un ) ¾ un ,
donc (un )n∈N est croissante.
(ii) Supposons f croissante et montrons que, si u0 ¶ u1 , alors (un )n∈N est croissante — on montrerait de
même que si u1 ¶ u0 , alors (un )n∈N est décroissante.
Initialisation : u0 ¶ u1 par hypothèse.
Hérédité : Soit n ∈ N. Si un ¶ un+1 , alors par croissance de f :
un+1 = f (un ) ¶ f (un+1 ) = un+2 .
(iii) Supposons f décroissante avec u0 ¶ u2 . Alors f ◦ f est croissante et : u2n+2 = f ◦ f (u2n ) pour tout
n ∈ N, donc (u2n )n∈N est croissante d’après (i). Il en découle que (u2n+1 )n∈N est décroissante car pour
tout n ∈ N, par décroissance de f : u2n+1 = f (u2n ) ¾ f (u2n+2 ) = u2n+3 .
„
Théorème (Limite d’une suite récurrente convergente définie par une relation « un+1 = f (un ) ») Soient D une
partie de R, u0 ∈ D et f : D −→ D une fonction — ainsi D est stable par f . On note (un )n∈N la suite définie pour tout
n ∈ N par : un+1 = f (un ).
Si (un )n∈N CONVERGE vers ℓ ∈ D et si f est CONTINUE en ℓ, alors ℓ est un point fixe de f , i.e. :
L’hypothèse de continuité n’est vraiment pas là pour décorer. Sur la
$ ATTENTION ! $
figure ci-contre :
lim un = ℓ mais : f (ℓ) 6= ℓ.
n→+∞
Démonstration
Comme f est continue en ℓ :
avec la limite lim un = ℓ :
n→+∞
tout n ∈ N avec :
Exemple
lim f (un ) = f (ℓ).
n→+∞
lim un+1 = ℓ,
n→+∞
lim f (x) = f (ℓ).
x→ℓ
donc en effet :
Or :
u0 ∈ [1, +∞[,
f (ℓ)
ℓ
y = f (x)
b
bc
ℓ u2 u1
pour
f (ℓ) = ℓ.
u0
„
un+1 = u2n +un
et f la fonction x 7−→ x 2 + x.
• Comme [1, +∞[ est stable par f et :
et minorée par 1.
y=x
Composons
un+1 = f (un )
On note (un )n∈N la suite définie par : u0 = 1 et pour tout n ∈ N :
f (ℓ) = ℓ.
y = f (x)
y=x
la suite (un )n∈N est bien définie
• Comme : f (x) ¾ x pour tout x ∈ [1, +∞[, (un )n∈N est croissante donc possède
une limite ℓ d’après le théorème de la limite monotone.
• Supposons par l’absurde que : ℓ ∈ R. Alors : f (ℓ) = ℓ puisque f est continue
sur R, i.e. : ℓ2 + ℓ = ℓ, i.e. : ℓ = 0. Or (un )n∈N est croissante et : u0 = 1,
donc : ℓ ¾ 1 — contradiction !
• Conclusion : (un )n∈N croît vers +∞.
15
u0 u1
u2 . . .
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
y=x
b
Exemple
y = f (x)
On note (un )n∈N la suite définie par : u0 = 0 et pour tout n ∈ N : un+1 = ln(un +3)
et f la fonction x 7−→ ln(x + 3) sur ] − 3, +∞[.
g
• La fonction x 7−→ f (x) − x est à la fois continue et strictement décroissante sur R+ avec :
g(0) = ln 3 et : lim g = −∞, donc d’après le TVI strictement monotone, g s’annule
+∞
une et une seule fois sur R+ , disons en α — l’unique point fixe de f sur R+ .
• Montrons que l’intervalle [0, α] est stable par f . Pour tout x ∈ [0, α], la croissance de f
montre que : 0 ¶ ln 3 = f (0) ¶ f (x) ¶ f (α) = α, donc que : f (x) ∈ [0, α].
ւ
u1 u2 u3
u0
α
• À présent, comme [0, α] est stable par f et comme : u0 = 0 ∈ [0, α], la suite (un )n∈N est bien définie et à valeurs
dans [0, α]. Or g est positive ou nulle sur [0, α], donc pour tout x ∈ [0, α] : f (x) ¾ x, donc pour tout n ∈ N :
un+1 = f (un ) ¾ un . Conclusion : (un )n∈N est croissante. Majorée par α, elle est finalement convergente d’après le
théorème de la limite monotone, et comme f est continue sur [0, α], sa limite est un point fixe de f — forcément α.
Conclusion :
lim un = α.
n→+∞
Exemple
x 7−→ 1 +
On note (un )n∈N la suite définie par :
u0 = 1
et pour tout n ∈ N :
un+1 = 1 +
1
sur R∗+ .
x
• L’intervalle [1, 2] est clairement stable par f et : u0 ∈ [1, 2], donc la
suite (un )n∈N est bien définie et à valeurs dans [1, 2] — donc bornée.
3
• Or f est décroissante comme somme sur R∗+ et : u2 = ¾ u0 , donc
2
(u2n )n∈N est croissante et (u2n+1 )n∈N décroissante. Bornées, ces deux suites
sont alors toutes deux convergentes, disons de limites ℓ et ℓ′ respectivement.
1
un
y=x
y = f (x)
p
5+1
2
• À présent, (u2n )n∈N et (u2n+1 )n∈N étant récurrentes associées à la fonction
continue f ◦ f , ℓ et ℓ′ sont en réalité des points fixes de f ◦ f . Or pour tout
x ∈ [1, 2] :
p
x∈[1,2]
5+1
1
2
= x ⇐⇒ x −x−1 = 0
⇐⇒
x=
,
f ◦ f (x) = x ⇐⇒ 1+
1
2
1+
x
p
p
5+1
5+1
donc : ℓ = ℓ′ =
. Comme :
lim u2n = lim u2n+1 =
,
n→+∞
n→+∞
2
2
p
5+1
.
(un )n∈N est finalement convergente de limite
2
6
et f la fonction
b
u0
u2 u3
...
u1
B ORNES SUPÉRIEURES/ INFÉRIEURES, DENSITÉ ET LIMITES
Explication
Dans ce paragraphe, « caractérisation séquentielle » veut dire « caractérisation en termes de suites ».
Théorème (Caractérisation séquentielle de la borne supérieure/inférieure) Soient A une partie non vide de R et
M ∈ R.
(i) M = sup A si et seulement si M majore A et est la limite d’une suite d’éléments de A.
(ii) A n’est pas majorée si et seulement s’il existe une suite d’éléments de A de limite +∞.
On dispose bien sûr de résultats analogues pour les bornes inférieures et les parties non minorées.
Démonstration
1
n
1
ne majore pas A, A contient au moins un élément an supérieur ou égal à M − . Comme par ailleurs la
n
suite (an )n∈N est majorée par M :
lim an = M par encadrement.
(i) Supposons d’abord que A admet M pour borne supérieure. Dans ce cas, pour tout n ∈ N∗ , comme M −
n→+∞
16
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
Réciproquement, faisons l’hypothèse que M majore A et est la limite d’une suite (an )n∈N d’éléments de
A. Soit M ′ un majorant de A. Alors : an ¶ M ′ pour tout n ∈ N, donc : M ¶ M ′ par passage à la
limite, ce qui montre bien que M est le plus petit majorant de A, i.e. que : M = sup A.
(ii) Supposons d’abord A non majorée. Dans ce cas, pour tout n ∈ N, comme n ne majore pas A, A contient
au moins un élément an supérieur ou égal à n, donc :
lim an = +∞ par minoration.
n→+∞
La réciproque est tout à fait évidente.
Exemple
On note A l’ensemble
lim
2n
q
p
2 +q
ª
. Alors :
1
=0
+1
et
lim
n→+∞
inf A = 0
et
sup A = 1.
p,q∈N∗
Pour tous p, q ∈ N∗ :
En effet
n→+∞
§
„
0¶
n
=1
2+n
2p
q
¶ 1,
+q
avec :
2n
donc A est minoré par 0 et majoré par 1. Ensuite :
1
∈A
+1
et
n
∈A
2+n
pour tout n ∈ N.
Théorème (Caractérisation séquentielle de la densité) Soit A une partie de R. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) A est dense dans R.
(ii) Tout réel est la limite d’une suite d’éléments de A.
Démonstration
(i) =⇒ (ii) Supposons A dense dans R. Soit x ∈ R. Nous voulons ˜montrer que
• x est la limite d’une suite
1
d’éléments de A. Pour tout n ∈ N∗ , l’intervalle ouvert non vide x, x +
contient un élément an de A
n
par hypothèse. Dans ces conditions :
lim an = x par encadrement.
n→+∞
(ii) =⇒ (i) Faisons l’hypothèse que tout réel est la limite d’une suite d’éléments de A. Soient x, y ∈ R tels
que x < y. Nous voulons montrer que l’intervalle ouvert non vide ]x, y[ contient un élément de A, or
x+y
son centre
est la limite d’une suite (an )n∈N d’éléments de A. À partir d’un certain rang, du coup :
2
y−x
x + y
, donc : x < an < y comme voulu.
„
<
an −
2
2
Définition (Nombre décimal) On appelle décimal tout rationnel de la forme
p
avec p ∈ Z et n ∈ N.
10n
On peut aussi dire qu’un décimal est un réel dont le développement décimal est fini, i.e. un réel qui,
Explication en base 10, n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule.
Théorème (Densité des décimaux dans R)
• L’ensemble des décimaux est dense dans R.
⌊10n x⌋
10n
sont adjacentes, à valeurs décimales et de limite commune x. Pour
• Précisément, pour tout x ∈ R, si on note (an )n∈N et (bn )n∈N les suites définies pour tout n ∈ N par :
an =
1
, alors (an )n∈N et (bn )n∈N
10n
tout n ∈ N, an est appelé la valeur décimale approchée de x par défaut à 10−n près et bn sa valeur décimale approchée
par excès à 10−n près.
et
bn = a n +
Explication
1
est rationnel mais non décimal. En montrant
3
que tout réel est la limite d’une suite de décimaux, on montre donc en particulier que tout réel est la limite d’une
suite de rationnels — on redémontre donc la densité de Q dans R.
• Tout décimal est rationnel mais la réciproque est fausse, par exemple
17
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
• Sur l’exemple de x = π = 3, 141592653589793 . . ., calculons les premiers termes des suites (an )n∈N et (bn )n∈N :
a0 = 3,
et
31
= 3, 1,
10
a1 =
b0 = 4,
b1 =
Démonstration
lim an = x
n→+∞
a2 =
32
= 3, 2,
10
314
= 3, 14,
100
b2 =
Pour tout n ∈ N :
a3 =
315
= 3, 15,
100
3141
= 3, 141,
1000
b3 =
3142
= 3, 142,
1000
10n x − 1 < ⌊10n x⌋ ¶ 10n x
par encadrement, et du coup bien sûr :
lim bn = x.
n→+∞
a4 =
31415
= 3, 1415 . . .
10000
b4 =
31416
= 3, 1416 . . .
10000
1
< an ¶ x, donc :
10n
La densité de l’ensemble des décimaux
donc :
x−
dans R est ainsi établie. Il nous reste à montrer l’adjacence des suites (an )n∈N et (bn )n∈N .
1
−→ 0.
10n n→+∞
• Pour la croissance de (an )n∈N et la décroissance de (bn )n∈N , partons de l’inégalité, pour tout n ∈ N :
10n an = 10n x ¶ 10n x < 10n x + 1 = 10n bn ,
• Tout d’abord :
bn − a n =
puis multiplions-la par 10 : 10n+1 an ¶ 10n+1 x < 10n+1 bn . Par définition de
la partie
entière, sachant
que 10n+1 an et 10n+1 bn sont des ENTIERS, il en découle que : 10n+1 an ¶ 10n+1 x = 10n+1 an+1 et
10n+1 bn ¾ 10n+1 x + 1 = 10n+1 an+1 + 1 = 10n+1 bn+1 . On divise enfin par 10n+1 : an ¶ an+1 et
bn ¾ bn+1 .
„
Explication
Le résultat précédent peut être reformulé en termes de développement décimal illimité. Nous venons
n
X
ak
de montrer que tout réel x peut être écrit sous la forme : ⌊x⌋ + lim
pour une certaine suite (ak )k∈N d’entiers
k
n→+∞
10
k=0
compris entre 0 et 9. C’est cela qu’on appelle un développement décimal illimité. Reprenons l’exemple de π :
π= 3+
4
1
5
9
2
1
+
+
+
+
+
+ ...
10 102 103 104 105 106
La question de l’unicité d’un tel développement se pose naturellement, et hélas non, il n’y a pas unicité en général. On peut
montrer cependant que :
— l’unicité est garantie pour les réels NON décimaux,
— mais que tout décimal possède exactement deux développements décimaux illimités. On le comprend facilement sur
8
8
4
5
3
9
9
9
9
5
+
+
+
= 12 +
+
+
+
+
+
+ . . ., et pour
un exemple : 12, 584 = 12 +
10 102 103
10 102 103 104 105 106 107
plus de généralité, l’essentiel est dit dans le calcul suivant :
1
n
1− n
X
9
1
9
10
=1− n
×
=
k
1
10
10
10
k=1
1−
10
Le développement décimal illimité :
12, 583999 . . . est dit impropre.
7
−→ 1,
n→+∞
12, 584000 . . .
c’est-à-dire en résumé :
0, 999999 . . . = 1.
est dit propre, tandis que le développement décimal illimité :
EXTENSION AUX SUITES COMPLEXES
Il s’agit d’étendre aux suites complexes les définitions et résultats que nous avons développés pour les suites réelles.
Définition (Suite complexe) On appelle suite complexe toute fonction de N dans C.
$ ATTENTION ! $
Pas d’inégalités dans C, donc pas de suites complexes majorées/minorées/monotones ! Hélas !
18
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
La notion de suite bornée a quant à elle toujours un sens.
Définition (Suite bornée) Soit (un )n∈N une suite complexe.
On dit que (un )n∈N est bornée s’il existe K ∈ R+ tel que pour tout n ∈ N :
|un | ¶ K.
Pour une suite complexe, la notion de limite infinie n’a aucun sens car il sont où −∞ et +∞ dans C ?
Définition (Voisinage dans C, définition simplifiée) Soit ℓ ∈ C.
On
¦ appelle voisinage ©de ℓ (dans C) tout disque ouvert de centre ℓ, c’est-à-dire tout ensemble de la forme
z ∈ C/ |z − ℓ| < ǫ pour un certain ǫ > 0.
ǫ
b
ℓ
Définition (Limite d’une suite complexe) Soient (un )n∈N une suite complexe et ℓ ∈ C. On dit que (un )n∈N admet ℓ
pour limite si tout voisinage de ℓ contient tous les un à partir d’un certain rang, i.e. si :
pour tout voisinage V de ℓ, un appartient à V à partir d’un certain rang.
Cela revient à dire que :
lim |un − ℓ| = 0,
n→+∞
∀ǫ > 0,
ce qui nous ramène au cas des limites de suites réelles :
∃ N ∈ N/
∀n ¾ N ,
|un − ℓ| < ǫ.
Le théorème d’unicité de la limite est encore valable — ainsi que la notation lim un , du coup.
n→+∞
Explication
Exemple
Même définition que dans le cas réel. La seule modification, c’est l’allure des voisinages.
lim a n = 0.
Pour tout a ∈ C tel que |a| < 1 :
En effet
Montrer que :
n→+∞
lim a n = 0
n→+∞
Or nous savons très bien que :
revient, comme dans le cas réel, à montrer que :
lim |a|n = 0
n→+∞
quand |a| < 1.
lim a n = 0.
n→+∞
Théorème (Caractérisation de la limite par les parties réelle et imaginaire) Soient (un )n∈N une suite complexe et
ℓ ∈ C. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)
lim un = ℓ.
(ii)
n→+∞
Démonstration
(i) =⇒ (ii) Pour tout n ∈ N :
lim Re(un ) = Re(ℓ)
n→+∞
lim Re(un ) = Re(ℓ)
n→+∞
et
lim Im(un ) = Im(ℓ).
n→+∞
Re(u )−Re(ℓ) = Re(u −ℓ) ¶ |u −ℓ|,
n
n
n
or :
lim |un −ℓ| = 0,
n→+∞
donc :
par encadrement. Attention, on vient d’appliquer le théorème d’encadrement à
des suites RÉELLES.
(ii) =⇒ (i) Si :
lim Re(un ) = Re(ℓ) et
lim Im(un ) = Im(ℓ), alors par de simples opérations
n→+∞
Ȁ
Š2 €
Š2
p
Re(un ) − Re(ℓ) + Im(un ) − Im(ℓ)
−→
02 + 02 = 0, donc :
sur les limites : |un − ℓ| =
n→+∞
n→+∞
lim un = ℓ.
„
n→+∞
Exemple
π
lim Arctan n =
n→+∞
2
et
1
lim
= 0,
n→+∞ n
donc :
19
lim
n→+∞

‹
1
iπ
+ i Arctan n = .
n
2
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
On définit comme avant les notions de convergence et divergence. Il est toujours vrai qu’une suite convergente est bornée.
Les opérations d’addition, produit, multiplication par un scalaire et inverse sur les limites donnent lieu aux mêmes résultats que dans le cas réel, à ceci près que les symboles +∞ et −∞ sont bannis.
Le paragraphe sur les suites extraites est intégralement maintenu.
Les grands théorèmes d’existence de limite en revanche — théorèmes d’encadrement/minoration/majoration, théorème
de la limite monotone et théorème des suites adjacentes — n’ont pas de sens dans le cas complexe car ils utilisent de façon
essentielle la relation ¶ sur R. C’est assez terrible en un sens, car nous passons notre temps à nous y référer pour étudier les
suites réelles. Sous ce rapport, le paragraphe suivant doit être vu comme une lueur d’espoir.
8
LE THÉORÈME DE B OLZANO -WEIERSTRASS
Ce théorème subtil et important aura pour nous un intérêt surtout théorique dans certaines preuves à venir en cours
d’année. Il établit une sorte de réciproque — mais pas jusqu’au bout — au résultat selon lequel toute suite convergente est
bornée.
Théorème (Théorème de Bolzano-Weierstrass) De toute suite complexe bornée on peut extraire une suite convergente.
Ce théorème d’EXISTENCE est d’un genre particulier. Il n’affirme pas que toute suite bornée est
Explication convergente — on a vu que c’est faux — mais qu’une suite bornée possède toujours une suite EXTRAITE convergente. Intuitivement, cela revient à dire que les valeurs d’une suite bornée sont forcées de s’accumuler QUELQUE PART, i.e. autour d’AU
MOINS UN point.
m
M
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r r r r r r
r
r
a0
a1
r
r
r
r
r
r
r
r
r r r r r r r r r
r
r
r
r
r
r
r
r
b0
a2
a3
..
.
b1
b2
b3
r
un
Démonstration
• Cas d’une suite réelle : Soit (un )n∈N une suite RÉELLE bornée, disons entre m et M avec m ¶ M . Nous
cherchons une fonction ϕ : N −→ N strictement croissante pour laquelle uϕ(n) n∈N est convergente.
Nous allons construire une telle ϕ pas à pas au moyen d’un algorithme appelé dichotomie.
On commence en posant : a0 = m, b0 = M et ϕ(0) = 0. Soit ensuite n ∈ N. Supposons
construits a0 , . . . , an ∈ R, b0 , . . . , bn ∈ R et ϕ(0), . . . , ϕ(n) ∈ N tels que :
(i)
a0 ¶ a1 ¶ . . . ¶ a n
et
bn ¶ bn−1 ¶ . . . ¶ b0 ,
(iv)
M −m
,
pour tout k ∈ ¹0, nº : bk − ak =
2k
¦
©
l’ensemble d’indices i ∈ N/ ui ∈ [ak , bk ] est infini pour tout k ∈ ¹0, nº,
(v)
ϕ(0) < ϕ(1) < . . . < ϕ(n).
(ii)
(iii)
pour tout k ∈ ¹0, nº :
ak ¶ uϕ(k) ¶ bk ,
Il nous faut maintenant construire trois réels an+1 , bn+1 et ϕ(n+ 1) rendant
(i) ˜ª
à (v)
§ vraies les assertions
•
a n + bn
et
au rang n+ 1. Remarquons dans ce but qu’au moins l’un des ensembles i ∈ N/ ui ∈ an ,
2
˜ª
§
•
¦
©
a n + bn
, bn est infini, car si les deux étaient finis, leur réunion i ∈ N/ ui ∈ [an , bn ]
i ∈ N/ ui ∈
2
le serait aussi et cela contredirait (iii).
˜ª
§
•

a n + bn
a + bn
 an+1 = an et bn+1 = n
est infini (cas ♠)
si i ∈ N/ ui ∈ an ,
2
2
Du coup, posons :
a
+
b
n
n
 a
et bn+1 = bn sinon (cas ♣).
n+1 =
2
20
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
¦
©
Par construction, l’ensemble d’indices i ∈ N/ ui ∈ [an+1 , bn+1 ] est infini, donc aussi l’ensemble
¦
©
i ∈ N/ i > ϕ(n) et ui ∈ [an+1 , bn+1 ] — le même ensemble à ceci près qu’on a ôté les éléments inférieurs ou égaux à ϕ(n), en nombre fini. Sélectionnons alors simplement dans cet ensemble un élément
quelconque ϕ(n + 1).
Assertion (i) au rang n + 1 : Comme an ¶ bn d’après (ii) :
an ¶
a n + bn
¶ bn
2
donc :
que l’on soit dans le cas ♠ ou dans le cas ♣.

bn − an (ii) M − m
a + bn
 n
− an =
=
2
2
2n+1
Assertion (ii) au rang n + 1 :
bn+1 − an+1 =
M −m
 b − an + bn = bn − an (ii)
=
n
2
2
2n+1
Assertion (iii) au rang n + 1 : Déjà fait.
et
bn+1 ¶ bn ,
an ¶ an+1
(cas ♠)
(cas ♣).
Assertions (iv) et (v) au rang n + 1 : Vraies par définition de ϕ(n + 1).
Ouf ! Fin de la construction. Les deux suites (an )n∈N et (bn )n∈N ainsi construites sont adjacentes en vertu
des assertions (i) et (ii), donc convergentes de limite commune un certain ℓ d’après
le théorème des
suites adjacentes. Or par ailleurs : an ¶ uϕ(n) ¶ bn pour tout n ∈ N, donc uϕ(n) n∈N converge vers
ℓ par encadrement.
• Cas
général
: Soit (un )n∈N une suite
complexe bornée, disons par K en module.
Pour tout n ∈ N :
Re(u ) ¶ |u | ¶ K et Im(u ) ¶ |u | ¶ K, donc Re(u )
et
Im(u
)
n
n
n
n
n n∈N
n n∈N sont deux suites
RÉELLES bornées.
€
Š
D’apès le théorème de Bolzano-Weierstrass RÉEL, Re uϕ(n)
converge, disons vers a, pour une cern∈N
taine fonction ϕ : N −→ N strictement croissante.
€
Š
La suite Im uϕ(n)
n’a hélas aucune raison de converger elle aussi mais elle est toujours bornée.
n∈N
€
Š
D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass RÉEL, Im uϕ◦ψ(n)
converge donc, disons vers b, pour
n∈N
une nouvelle fonction ψ : N −→ N strictement croissante.
−→ a + ib. Comme voulu, nous avons réussi
Finalement : uϕ◦ψ(n) = Re uϕ◦ψ(n) + i Im uϕ◦ψ(n)
n→+∞
à extraire une suite convergente de (un )n∈N .
21
„